江苏省常州市2019-2020高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

1 江苏省常州教育学会学业水平测试 2019—2020 学年度第二学期（期末） 高二数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．从 5 名男生和 4 名女生中，选出男女各 1 名学生主持某次活动，不同的选法种数为 A．9 B．10 C．20 D．40 2．若 ，则 n 的值为 A．4 B．5 C．6 D．7 3．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数” 为事件 A，“两颗骰子的点数之积为奇数”为事件 B，则 P(B∣A)＝ A． B． C． D． 4．某年级有 6 个班级，3 位数学教师，每位教师任教 2 个班级，则不同分法的种数有 A．15 B．45 C．90 D．540 5．函数 的大致图象是 6．对某同学 7 次考试的数学成绩 x 和物理成绩 y 进行分析，下面是该生 7 次考试的成绩． 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 发现他的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为 ＝ ，若该生的数学成绩达到 130 分，估计他的物理成绩大约是 A．114.5 B．115 C．115.5 D．116 7．已知函数 的极大值与极小值的差为 4，则实数 a 的值为 A．﹣1 B． C． D．1 3 26n nA C= 1 2 1 3 1 4 1 6 2 2( ) ex x xf x += y 0.5x a+ 3( ) 3 1f x ax x= + + 1 4 − 1 42 8．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉 三角形”．若将这些数字依次排列构成数列 1，1，1，1，2，1， 1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第 2020 项为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．下列求导数运算不正确的是 A． B． C． D． 10．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩 X 服从正态分布 N(105，100)，其中 90 分为及格线，120 分为优秀线，下列说法正确的是 附：随机变量 服从正态分布 N( ， )，则 P( )＝0.6826， P( )＝0.9544，P( )＝0.9974． A．该市学生数学成绩的期望为 105 B．该市学生数学成绩的标准差为 100 C．该市学生数学成绩及格率超过 0.99 D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 11．已知复数 ，其中 i 是虚数单位，则以下说法正确的是 A．复数 z 的实部为 3 B．复数 z 的虚部为 2i C．复数 z 的模为 D．复数 z 的共轭复数 12．由 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的 个数是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，则展开式中常数项 为 ． 3 63C 4 63C 3 64C 4 64C (sin ) cosx x′ = − 2 ln 2(log )x x ′ = 2 ln 1 ln( )x x x x +′ = 2 1 2 1(e ) 2ex x+ +′ = ξ µ 2σ µ σ ξ µ σ− < < + 2 2µ σ ξ µ σ− < < + 3 3µ σ ξ µ σ− < < + 8 i 2 iz += − 13 3 2iz = − + 4 1 1 3 9 4 8 8A A A A+ ⋅ ⋅ 4 1 4 3 9 4 9 8( )A A A A+ − 5 4 1 4 3 10 9 4 9 8( )A A A A A− + − 5 4 1 4 3 10 9 5 9 8( )A A A A A− − − 2 1( )nx x + 第 8 题3 14．有一个活动小组有 6 名男生和 4 名女生，从中任选 3 名学生，至多选中 2 名男生的概率 为 ． 15．已知函数 ，若曲线 在 处的切线方程为 ，则 a ＋b＝ ． 16．已知随机变量 X 的分布列如下表所示：、 X ﹣1 0 1 P a b c 若 a＝2b＝3c，则 E(X)为 ；若 b＝ ，V(X)的最大值为 ． （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分 10 分） 已知 ,其中 i 是虚数单位，m 为实数． （1）当 z 为纯虚数时，求 m 的值； （2）当复数 z·i 在复平面内对应的点位于第二象限时，求 m 的取值范围． 18．（本题满分 12 分） 江苏省从 2021 年开始，高考取消文理分科，实行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表 示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学 生对“1”的选课情况，随机抽取了 100 名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到 的 2×2 列联表． 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 50 b m 女生 c 20 40 总计 100 （1）求 m，b，c 的值； （2）请你依据该列联表判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理 由． 附：对于 2×2 列联表 类 1 类 2 合计 类 A a b a＋b 类 B c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 有 ，其中 ． P( ) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．（本题满分 12 分） ( ) e lnxf x a x= + ( )y f x= 1x = y x b= + 1 2 2 2( 8 15) ( 5 6)iz m m m m= − + + − + 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 2 0K x≥ 0x4 已知函数 ，m R． （1）若 m＝﹣1，求函数 在区间[ ，e]上的最小值； （2）若 m＞0，求函数 的单调增区间． 20．（本题满分 12 分） 已知 ，n ． （1）当 时，求 的值； （2）求 ． 21．（本题满分 12 分） 常州别称龙城，是一座有着 3200 多年历史的文化古城．常州既有春秋淹城、天宁寺等 名胜古迹，又有中华恐龙园、嬉戏谷等游乐景点，每年都有大量游客来常州参观旅游．为合 理配置旅游资源，管理部门对首次来中华恐龙园游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中 的人计划只游览中华恐龙园，另外 的人计划既游览中华恐龙园又参观天宁寺．每位游 客若只游览中华恐龙园，得 1 分；若既游览中华恐龙园又参观天宁寺，得 2 分．假设每位首 次来中华恐龙园游览的游客均按照计划进行，且是否参观天宁寺相互独立，视频率为概率． （1）有 2 名首次来中华恐龙园游览的游客是拼车到常州的，求“这 2 名游客都是既游 览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率； （2）从首次来中华恐龙园游览的游客中随机抽取 3 人，记这 3 人的合计得分为 X，求 X 的概率分布和数学期望． 22．（本题满分 12 分） 已知函数 ，a，b R． （1）若 a＝1，求关于 x 的不等式 的解集； 21( ) ( 1) ln2f x x m x m x= − + + ∈ ( )f x 1 e ( )f x 2 0 1 2(1 )n n nx a a x a x a x+ = + + + + N∗∈ 7n = 1 3 5 7a a a a+ + + 0 1 23 5 (2 1) na a a n a+ + + + + 2 3 1 3 ( ) ( )exf x x a b= + + ∈ ( ) (0)f x f>5 （2）若 ，讨论函数 的零点个数． 江苏省常州教育学会学业水平测试 2019—2020 学年度第二学期（期末） 高二数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．从 5 名男生和 4 名女生中，选出男女各 1 名学生主持某次活动，不同的选法种数为 A．9 B．10 C．20 D．40 答案：C 考点：分步计数原理 解析：5×4＝20，故选 C． 2．若 ，则 n 的值为 A．4 B．5 C．6 D．7 答案：B 考点：排列公式与组合公式 解析：由 得 ，解得 n＝5，故选 B． 3．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数” 为事件 A，“两颗骰子的点数之积为奇数”为事件 B，则 P(B∣A)＝ A． B． C． D． 答案：A 考点：条件概率 解析： ， ， ，故选 A． 4．某年级有 6 个班级，3 位数学教师，每位教师任教 2 个班级，则不同分法的种数有 A．15 B．45 C．90 D．540 答案：C 考点：组合 解析： ，故选 C． 1eab += ( )f x 3 26n nA C= 3 26n nA C= ( 1)( 1)( 2) 6 2 n nn n n −− − = × 1 2 1 3 1 4 1 6 1( ) 2P A = 9 1( ) 36 4P B = = 1 ( ) 14( ) 1( ) 2 2 P BP B A P A = = = 2 2 2 6 4 2 15 6 1 90C C C = × × =6 5．函数 的大致图象是 答案：A 考点：利用导数研究函数的性质 解析：∵ ，∴ ，列表如下： x ( ， ) ( ， ) ( ， ) － 0 ＋ 0 － 递减 递增 递减 故选 A． 6．对某同学 7 次考试的数学成绩 x 和物理成绩 y 进行分析，下面是该生 7 次考试的成绩． 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 发现他的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为 ＝ ，若该生的数学成绩达到 130 分，估计他的物理成绩大约是 A．114.5 B．115 C．115.5 D．116 答案：B 考点：线性回归方程 解析： ， ，所以 ， ，故选 B． 7．已知函数 的极大值与极小值的差为 4，则实数 a 的值为 A．﹣1 B． C． D．1 答案：A 考点：利用导数研究函数的极值 2 2( ) ex x xf x += 2 2( ) ex x xf x += 22( ) ex xf x −′ = −∞ 2− 2− 2− 2 2 2 +∞ ( )f x′ ( )f x y 0.5x a+ 100x = 100y = 0.5 100 0.5 100 50a y x= − = − × = 0.5 130 50 115y = × + = 3( ) 3 1f x ax x= + + 1 4 − 1 47 解析：∵ ，∴ ，令 ，解得 ， ∴ 解得 a＝﹣1，故选 A． 8．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉 三角形”．若将这些数字依次排列构成数列 1，1，1，1，2，1， 1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第 2020 项为 A． B． C． D． 答案：A 考点：二项式定理 解析：第 2020 项是第 64 行的第 4 个数字，即为 ，故选 A． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．下列求导数运算不正确的是 A． B． C． D． 答案：ABC 考点：导数的运算 解析：选项 A， ，故 A 错误； 选项 B， ，故 B 错误； 选项 C， ，故 C 错误； 选项 D 错误，故本题选 ABC． 10．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩 X 服从正态分布 N(105，100)，其中 90 3( ) 3 1f x ax x= + + 2( ) 3 3f x ax′ = + ( ) 0f x′ = 1x a = ± − 1 1( ) ( )f fa a − − − − 1 1 1 1 1 1( )( ) 3( ) ( )( ) 3( ) 4a aa a a a a a = × − − + − − × − − − − − − = 3 63C 4 63C 3 64C 4 64C 3 63C (sin ) cosx x′ = − 2 ln 2(log )x x ′ = 2 ln 1 ln( )x x x x +′ = 2 1 2 1(e ) 2ex x+ +′ = (sin ) cosx x′ = 2 1(log ) ln 2x x ′ = 2 ln 1 ln( )x x x x −′ = 第 8 题8 分为及格线，120 分为优秀线，下列说法正确的是 附：随机变量 服从正态分布 N( ， )，则 P( )＝0.6826， P( )＝0.9544，P( )＝0.9974． A．该市学生数学成绩的期望为 105 B．该市学生数学成绩的标准差为 100 C．该市学生数学成绩及格率超过 0.99 D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 答案：AD 考点：正态分布 解析：期望为 105，选项 A 正确；方差为 100，标准差为 10，选项 B 错误；该市 85 分以上 占 97.72%，故 C 错误；根据对称性可判断选项 D 正确，故选 AD． 11．已知复数 ，其中 i 是虚数单位，则以下说法正确的是 A．复数 z 的实部为 3 B．复数 z 的虚部为 2i C．复数 z 的模为 D．复数 z 的共轭复数 答案：AC 考点：复数 解析： ，故实部为 3，虚部为 2， ， ，故 AC 正确． 12．由 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的 个数是 A． B． C． D． 答案：ABD 考点：排列 解析：如果个位是 0，有 个，如果个位不是 0，有 个，故 A 正确； 由 于 ， 故 B 正 确 ； 由 于 ， 故 C 错 误 ； 由 于 ，故 D 正确．故选 ABD． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，则展开式中常数项 为 ． ξ µ 2σ µ σ ξ µ σ− < < + 2 2µ σ ξ µ σ− < < + 3 3µ σ ξ µ σ− < < + 8 i 2 iz += − 13 3 2iz = − + 8 i 3 2i2 iz += = +− 2 23 2 13z = + = 3 2iz = − 4 1 1 3 9 4 8 8A A A A+ ⋅ ⋅ 4 1 4 3 9 4 9 8( )A A A A+ − 5 4 1 4 3 10 9 4 9 8( )A A A A A− + − 5 4 1 4 3 10 9 5 9 8( )A A A A A− − − 4 9A 1 1 3 4 8 8A A A⋅ ⋅ 1 3 4 3 8 8 9 8A A A A⋅ = − 5 4 4 10 9 9A A A− ≠ 5 4 1 4 3 3 4 1 1 3 10 9 5 9 8 8 9 4 8 8( ) 41A A A A A A A A A A− − − = = + ⋅ ⋅ 2 1( )nx x +9 答案：45 考点：二项式定理 解析： ， ， ， ． 14．有一个活动小组有 6 名男生和 4 名女生，从中任选 3 名学生，至多选中 2 名男生的概率 为 ． 答案： 考点：概率 解析： ． 15．已知函数 ，若曲线 在 处的切线方程为 ，则 a ＋b＝ ． 答案：0 考点：利用导数研究函数的切线 解析：∵ ，∴ ， ， ∴ ，∴a＋b＝0． 16．已知随机变量 X 的分布列如下表所示：、 X ﹣1 0 1 P a b c 若 a＝2b＝3c，则 E(X)为 ；若 b＝ ，V(X)的最大值为 ． （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 答案： ， 考点：随机变量的均值与方差 解析：由 a＝2b＝3c， ，解得 ， ， ， ∴ ， b＝ 时， ， ， 4 6 10n nC C n= ⇒ = 5202 10 2 1 1( ) ( ) rr r r r r n nT C x C x x −− + = = 520 0 82 r r− = ⇒ = 8 0 2 10 10 45C x C= = 5 6 3 0 6 4 3 10 51 6 C CP C = − = ( ) e lnxf x a x= + ( )y f x= 1x = y x b= + ( ) e lnxf x a x= + ( ) ex af x x ′ = + (1) e 1f a′ = + = e 1 b= + 1 2 4 11 − 1 2 1a b c+ + = 6 11a = 3 11b = 2 11c = 6 3 2 4( ) 1 0 111 11 11 11E X = − × + × + × = − 1 2 1 2a c+ = ( ) 1 0 1E X a b c a c= − × + × + × = − +10 ， ，把 代入得， ， 时，V(X)有最大值，为 ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分 10 分） 已知 ,其中 i 是虚数单位，m 为实数． （1）当 z 为纯虚数时，求 m 的值； （2）当复数 z·i 在复平面内对应的点位于第二象限时，求 m 的取值范围． 解：（1）因为 z 为纯虚数，所以 综上可得，当 z 为纯虚数时 m＝5； （2）因为 在复平面内对应的点位于第二象限， ，即 m＜2 或者 m＞5， 所以 m 的取值范围为( ，2) (5， )． 18．（本题满分 12 分） 江苏省从 2021 年开始，高考取消文理分科，实行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表 示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学 生对“1”的选课情况，随机抽取了 100 名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到 的 2×2 列联表． 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 50 b m 女生 c 20 40 总计 100 （1）求 m，b，c 的值； （2）请你依据该列联表判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理 由． 附：对于 2×2 列联表 类 1 类 2 合计 类 A a b a＋b 类 B c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 有 ，其中 ． 2 2 2 2( ) ( 1) 0 1E X a b c a c= − × + × + × = + 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )V X E X E X a c a c= − = + − − + 1 2a c= − 21 1( ) (2 )2 2V X c= − − 1 4c = 1 2 2 2( 8 15) ( 5 6)iz m m m m= − + + − + 2 2 8 15 0 3 5 2 35 6 0 m m m m m mm m  − + = = = ⇒  ≠ ≠− + ≠  或 且 2 2i ( 8 15)i ( 5 6)z m m m m⋅ = − + − − + 2 2 8 15 0 5 3 3 2( 5 6) 0 m m m m m mm m  − + > > ( )f x +∞ ( )f x +∞ ( )f x +∞ ( )f x +∞ 2 0 1 2(1 )n n nx a a x a x a x+ = + + + + N∗∈ 7n = 1 3 5 7a a a a+ + + 0 1 23 5 (2 1) na a a n a+ + + + + 7 2 7 0 1 2 7(1 )x a a x a x a x+ = + + + + 7 0 1 2 3 4 5 6 72 a a a a a a a a= + + + + + + + 0 1 2 3 4 5 6 70 a a a a a a a a= − + − + − + − 7 1 3 5 72 2( )a a a a= + + + 6 1 3 5 7 2 64a a a a+ + + = = i i na C= i n ia a −= 0 1 23 5 (2 1) (2 1)i nS a a a i a n a= + + + + + + + + 13 则 所以 ， 令 x＝1 得， ， 所以 ． 21．（本题满分 12 分） 常州别称龙城，是一座有着 3200 多年历史的文化古城．常州既有春秋淹城、天宁寺等 名胜古迹，又有中华恐龙园、嬉戏谷等游乐景点，每年都有大量游客来常州参观旅游．为合 理配置旅游资源，管理部门对首次来中华恐龙园游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中 的人计划只游览中华恐龙园，另外 的人计划既游览中华恐龙园又参观天宁寺．每位游 客若只游览中华恐龙园，得 1 分；若既游览中华恐龙园又参观天宁寺，得 2 分．假设每位首 次来中华恐龙园游览的游客均按照计划进行，且是否参观天宁寺相互独立，视频率为概率． （1）有 2 名首次来中华恐龙园游览的游客是拼车到常州的，求“这 2 名游客都是既游 览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率； （2）从首次来中华恐龙园游览的游客中随机抽取 3 人，记这 3 人的合计得分为 X，求 X 的概率分布和数学期望． 解：（1）由题意，每位游客只游览中华恐龙园的概率为 ，既游览中华恐龙园又参观天宁 寺的概率为 记两位游客中一位游客“既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件 A，则 P(A)＝ ， 另一位游客“既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件 B，则 P(B)＝ ， 所以“这 2 名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件 AB， 因为游客是否参观天宁寺相互独立，所以 P(AB)＝P(A)P(B)＝ ， 答：“这 2 名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率为 ， （2）随机变量 X 的可能取值为 3，4，5，6， 2 1 0(2 1) [2( ) 1] 5 3n n iS n a n i a a a a−= + + + − + + + + +  0 1 2(2 1) (2 1) (2 3) [2( ) 1] i nn a n a n a n i a a= + + − + − + + − + + +  0 1 22 (2 2)( )nS n a a a a= + + + + + 0 1 2 2n na a a a+ + + + = 0 1 23 5 (2 1) (2 1) ( 1)2n i na a a i a n a S n+ + + + + + + + = = +  2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1=3 3 9 × 1 914 ， ， ， ， ∴X 的概率分布为： 所以 E(X)＝ ＝4 答：X 的数学期望为 4． 22．（本题满分 12 分） 已知函数 ，a，b R． （1）若 a＝1，求关于 x 的不等式 的解集； （2）若 ，讨论函数 的零点个数． 解：（1）a＝1 时， ， ， 当 x＞﹣2 时， ， 所以 在区间(﹣2， )上单调递增， 由 得 x＞0； 当 x≤﹣2 时， ， 此时 ， 综上可得，不等式 的解集为(0， )； （2） 时， ， ，令 得 x＝ ﹣a﹣1，列表如下： 3 3 0 3 2 1 8( 3) ( ) ( )3 3 27P X C= = = 2 2 1 3 2 1 4( 4) ( ) ( )3 3 9P X C= = = 1 1 2 3 2 1 2( 5) ( ) ( )3 3 9P X C= = = 0 0 3 3 2 1 1( 6) ( ) ( )3 3 27P X C= = = 8 4 2 13 4 5 627 9 9 27 × + × + × + × ( ) ( )exf x x a b= + + ∈ ( ) (0)f x f> 1eab += ( )f x ( ) ( 1)exf x x b= + + ( ) ( 2)exf x x′ = + ( ) 0f x′ > ( )f x +∞ ( ) (0)f x f> ( 1)e 0xx + < ( ) ( )e 1 (0)xf x x a b b b f= + + < < + = ( ) (0)f x f> +∞ 1eab += 1( ) ( )e ex af x x a += + + ( ) ( 1)exf x x a′ = + + ( ) 0f x′ =15 所以，当 x＝﹣a﹣1 时，函数 的极小值为 ； ①当 即 时，对任意 x R，都有 恒成立，从而函数 无零点， ②当 即 时，对任意 x R，都有 恒成立（当且仅当 x＝0 时， ），从而函数 的 零点个数为 1， ③当 即 时， 在区间[﹣a﹣1，﹣a]上，函数 图象是连续不断的一条曲线，其中 ，函数 在区间[﹣a﹣1， )上单调递增，所以函数 在区间(﹣a﹣1， )上的零点个数为 1； 在区间[4a，﹣a﹣1]上，函数 图象是连续不断的一条曲线，其中 ， 即 ， ， ， 所 以 在区间( ，﹣1]上单调递减，由 a＜﹣1 得 ，即 ，所以 ，又因为函数 在区间( ，﹣a﹣1]上单调递减，所以函数 在区间( ，﹣a﹣1)上的零点 个数为 1；从而函数 的零点个数为 2． 综上可得，当 时，函数 无零点，当 时，函数 的零点个数 为 1，当 时，函数 的零点个数为 2． ( )f x 1 1( 1) e ea af a − − +− − = − + 1 1( 1) e e 0a af a − − +− − = − + > 1a > − ∈ ( ) ( 1) 0f x f a≥ − − > ( )f x 1 1( 1) e e 0a af a − − +− − = − + = 1a = − ∈ ( ) ( 1) 0f x f a≥ − − ≥ ( ) 0f x = ( )f x 1 1( 1) e e 0a af a − − +− − = − + < 1a < − ( )f x ( 1) 0f a− − < 1( ) e 0af a +− = > ( )f x +∞ ( )f x +∞ ( )f x ( 1) 0f a− − < 3(4 ) e (5 e e)a af a a= + 3( ) th t te= 1t < − 3( ) (3 1) 0th t e t′ = + < 3( ) th t te= −∞ 3( ) ( 1) eh a h −> − = − 3 3e eaa −> − 3 3(4 ) e (5 e e) e ( 5e e) 0a a af a a −= + > − + > ( )f x −∞ ( )f x −∞ ( )f x 1a > − ( )f x 1a = − ( )f x 1a < − ( )f x