高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 1 页 共 11 页
上海市嘉定区 2019 学年第二学期封浜高级中学高二
年级数学期末质量调研（满分 150 分，时间 120 分钟）
一.填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分考生
应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1．抛物线 的焦点坐标为 .
2．平面直角坐标系中点 到直线 的距离为 ．
3．若复数 满足 （ 是虚数单位），则 的虚部是 .
4．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有 种不
同的组合．
5．侧棱长为 ,底面面积为 的正四棱柱的体对角线的长为 .
6．双曲线 的两条渐近线的夹角大小为 .
7．底面半径和高均为 的圆柱的表面积为 ．
8．双曲线 的虚轴长是实轴长的 倍，则 ．
9．已知空间直角坐标系中，某二面角 的大小为 ， ，半平面 和
的一个法向量分别为 ， ，则 ．(结果用反
三角函数值表示)
10 ． 二 项 式 的 展 开 式 中 各 项 系 数 的 和
是 ．
11．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是 5 厘米，高是 10
厘米，容器内放着 49 个半径为 1 厘米的玻璃球，在向容器倒满水
后，再把玻璃球全部取出，则此时容器内水面的高度
为 厘米．
12．已知定点 ，点 在抛物线 上运动，若复数 在复平面内分别
2 4y x=
)2,1( 012 =++ yx
z (1 i) 4z − = i z
3 8
2 2
13 3
x y− =
3
2
2 1yx m
+ = 2 m =
-l-α β θ 0 2
πθ< < α β
1 (1,3,0)n =
2 (0,2,4)n = θ =
31(2 )x x
+
(0,2)P Q 2 4x y= 1 2z z、高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 2 页 共 11 页
对应点 的位置，且 ，则 的最小值为 ．
二.选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应
在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.
13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（ ）．
(A) (B) (C) (D)
14.“ ”是“直线 与直线 相互垂
直”的 ……………………………………………………………………………（ ）.
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
15 ． 曲 线 的 图 像 … … … … … … … … … … … … … … … … … …
( )．
(A)关于 轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线 对称
(C)关于 轴对称 (D)关于直线 对称，也关于直线 对称
16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………
( )．
(A) 若 、 ， ，则 ．
(B) 若 ，则 不成立．
(C) ， ，则 或 ．
(D) ， ，则 且 ．
三．解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编
号的规定区域内写出必要的步骤.
17. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分．
已知复数 ， ， .
x y x=
y y x= y x= −
P Q、 1 2z z z= − z
π(0, )2
π(0, ]2
π[0, )2
π[0, ]2
1
4a = ( 1) 3 1 0a x ay+ + + = ( 1) ( 1) 3 0a x a y− + + − =
2 2: 2 1x xy yΓ − + =
1z 2z ∈C 1 2 0z z− > 1 2z z>
z ∈R 2| |z z z⋅ =
1 2z z ∈C、 1 2 0z z⋅ = 1 0z = 2 0z =
1 2z z ∈C、 2 2
1 2 0z z+ = 1 0z = 2 0z =
2 iα = − imβ = − m∈R高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 3 页 共 11 页
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 是关于 的方程 的一个根，求实数 与 的值.
18.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分.
如图，长方体 中， ，直线 与平面 所成的角
的大小为 ．
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小．
19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分．
已知 的二项展开式中，第三项的系数为 ．
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即 的指数为整数的项）．
20.(本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小
题 6 分.
2α β α+ < m
β x 2 10 0 ( )x nx n− + = ∈R m n
1 1 1 1BABC A CD D− 2AB BC= = 1AC ABCD
4
π
1A A BD−
1A B 1B C
4
1( )
2
nx
x
+ 7
x高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 4 页 共 11 页
已知椭圆 的左右顶点分别是 ，点
在椭圆上．过该椭圆上任意一点 作 轴，垂足为 ，点 在 的延
长线上，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求动点 的轨迹 的方程；
（3）设直线 （ 点不同于 ）与直线 交
于 ， 为线段 的中点，证明：直线 与曲线
相切．
21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小
题满分 8 分．
在平面直角坐标系中， 为坐标原点．已知曲线 上任意一点 （其中
）到定点 的距离比它到 轴的距离大 1.
（1）求曲线 的轨迹方程；
（2）若过点 的直线 与曲线 相交于不同的 两点，求 的值；
（3）若曲线 上不同的两点 、 满足 求 的取值范围．
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
Γ + = > >： ( 2,0) (2,0)A B− ，
1( 3, )2 P PQ x⊥ Q C QP
QP PC=
Γ
C E
AC C A B、 2x =
R D RB CD
E
O C ( , )P x y
0x ≥ (1, 0)F y
C
(1, 0)F l C ,A B OA OB⋅
C M N 0,OM MN⋅ = ON高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 5 页 共 11 页
2019 学年第二学期高二期末质量调研
数学答案
（满分 150 分，时间 120 分钟）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚．
2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿
纸、试题卷上答题无效．
3．本试卷共有 21 道试题，可以使用规定型号计算器．
一.填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分考生
应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1．抛物线 的焦点坐标为 .
2．平面直角坐标系中点 到直线 的距离为 ．
3．若复数 满足 （ 是虚数单位），则 的虚部是 .
4．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有 种不
同的组合．
5．侧棱长为 ,底面面积为 的正四棱柱的体对角线的长为 .
6．双曲线 的两条渐近线的夹角大小为 .
7．底面半径和高均为 的圆柱的表面积为 ．
8．双曲线 的虚轴长是实轴长的 倍，则 ．
9．已知空间直角坐标系中，某二面角 的大小为 ， ，半平面 和
的一个法向量分别为 ， ，则 ．(结果用反
三角函数值表示)
2 4y x= (1,0)
)2,1( 012 =++ yx 5
z (1 i) 4z − = i z 2
2
4 6C =
3 8 5
2 2
13 3
x y− = π
2
3 36π
2
2 1yx m
+ = 2 m = 4−
-l-α β θ 0 2
πθ< < α β
1 (1,3,0)n =
2 (0,2,4)n = θ =
3 2arccos 10高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 6 页 共 11 页
10．二项式 的展开式中各项系数的和是 ．
11．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是 5 厘米，高是 10 厘米，容
器内放着 49 个半径为 1 厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃
球全部取出，则此时容器内水面的高度为 厘米．6
12．已知定点 ，点 在抛物线 上运动，若复数 在
复 平 面 内 分 别 对 应 点 的 位 置 ， 且 ， 则 的 最 小 值
为 ．
二.选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应
在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.
13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（ B ）．
(A) (B) (C) (D)
14.“ ”是“直线 与直线 相互垂
直”的 ……………………………………………………………………………（ A ）.
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
15 ． 曲 线 的 图 像 … … … … … … … … … … … … … … … … … …
( )．
(A)关于 轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线 对称
(C)关于 轴对称 (D)关于直线 对称，也关于直线 对称
16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………( )．
(A) 若 、 ， ，则 ．
(B) 若 ，则 不成立．
(C) ， ，则 或 ．
(D) ， ，则 且 ．
三．解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编
x y x=
y y x= y x= −
31(2 )x x
+ 27
(0,2)P Q 2 4x y= 1 2z z、
P Q、 1 2z z z= − z
2
π(0, )2
π(0, ]2
π[0, )2
π[0, ]2
1
4a = ( 1) 3 1 0a x ay+ + + = ( 1) ( 1) 3 0a x a y− + + − =
2 2: 2 1x xy yΓ − + =
D
C
1z 2z ∈C 1 2 0z z− > 1 2z z>
z ∈R 2| |z z z⋅ =
1 2z z ∈C、 1 2 0z z⋅ = 1 0z = 2 0z =
1 2z z ∈C、 2 2
1 2 0z z+ = 1 0z = 2 0z =高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 7 页 共 11 页
号的规定区域内写出必要的步骤.
17. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分．
已知复数 ， ， .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 是关于 的方程 的一个根，求实数 与 的值.
解: （1）
………………………………………………………………2 分
于是 …………………………4 分
又 ，所以 ，解得： . …………6 分
所以实数 的取值范围为 .
…………………………………………………7 分
（2）因为 （ ）是方程 的一个根，
（ ）也是此方程的一个根，…………………………………………9 分
于是 …………………………………………………11 分
解得 或 ，且满足 ……………………13 分
所以 或 ……………………………………………………………14 分
18.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分.
如图，长方体 中， ，直线 与平面 所成的角
的大小为 ．
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小．
解：（1）联结 ，
因为 ，
2 iα = − imβ = − m∈R
2α β α+ < m
β x 2 10 0 ( )x nx n− + = ∈R m n
5α α= =
( )22 2 2 2 4i m i m i mα β+ = − + − = + − = + +
2α β α+ < ( )22 4 2 5m + + < 6 2m− < <
m ( 6 , 2 )−
m i− m∈R 2 10 0 ( )x nx n− + = ∈R
m i+ m∈R
( ) ( )
( ) ( ) 10
m i m i n
m i m i
+ + − = + ⋅ − =
3
6
m
n
=
=
3
6
m
n
= −
= −
2( ) 4 13 0,n∆ = − − × <
3
6
m
n
=
=
3
6
m
n
= −
= −
1 1 1 1BABC A CD D− 2AB BC= = 1AC ABCD
4
π
1A A BD−
1A B 1B C
AC
1AA ABCD⊥ 平面高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 8 页 共 11 页
所以 就是直线 与平面 所成的角，………………………………2 分
所以 ，所以 ……………………………………………4 分
所以 …………………………………………7 分
（2）联结 ，
因为 ，所以
所以 就是异面直线 与 所成的角或其补角………………………10 分
在△ 中，
所以 ……………………………………………………………13 分
所以异面直线 与 所成角的大小是 …………………………………14 分
19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分．
已知 的二项展开式中，第三项的系数为 ．
（1）求证：前三项系数成等差数列；
（2）求出展开式中所有有理项（即 的指数为整数的项）．
解：（1） …………………………………2 分
，……………………………………………4 分
所以前三项分别为 ， ，
……………………………………………………7 分
所以前三项系数分别为 ，即前三项系数成等差数列……………………8 分
（2） ……………10 分
1ACA∠ 1AC ABCD
1 4ACA
π∠ = 1 2 2AA =
1 1 1
1 4 23 3A BD ABD ABDA AV V S A A− −= = ⋅ =
1A D BD
1 1 / /A B CD 1 1/ /A D B C
1BA D∠ 1A B 1B C
1BA D
2 2 2
1
(2 3) (2 3) (2 2) 2cos 32 2 3 2 3
BA D
+ −∠ = =
× ×
1
2arccos 3BA D∠ =
1A B 1B C 2arccos 3
4
1( )
2
nx
x
+ 7
x
3
2 2 2 2 2
3 4
1 1( ) ( ) 42
n-
n
n nT C x C x
x
−= =
2 21 7 28 84 n nC C n= ⇒ = ⇒ =
0 8 0 4
1 8 4
1( ) ( )
2
T C x x
x
= =
13
1 7 1 4
2 8 4
1( ) ( ) 4
2
T C x x
x
= =
5
2 6 2 2
3 8 4
1( ) ( ) 7
2
T C x x
x
= =
1,4,7
348 4
1 8 84
1 1( ) ( ) , 0,1,2, ,7,822
r
r r r r
r rT C x C x r
x
−−
+ = = = 高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 9 页 共 11 页
时，展开式中 的指数为整数，
所 以 展 开 式 中 所 有 有 理 项 为 ： 、 、
……………………………………………………………14 分
20.(本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小
题 6 分.
已知椭圆 的左右顶点分别是 ，点
在椭圆上．过该椭圆上任意一点 作 轴，垂足为 ，点 在 的延
长线上，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求动点 的轨迹 的方程；
（3）设直线 （ 点不同于 ）与直线 交
于 ， 为线段 的中点，证明：直线 与曲线
相切．
解：（1）由题意可知 且
，………………………………2
分
所以椭圆方程为 ……………………………………………………………4 分
（2）设 ，则由 可得 ， ………………………………6 分
又 在椭圆 上，可知 ，……………………………9 分
所以动点 的轨迹 的方程是 ……………………………………………10
分
（3）设 ， ，由题意可知 三点共线，所以 ，
0,4,8r∴ = x
0 8 0 4
1 8 4
1( ) ( )
2
T C x x
x
= = 3
4 8
1 78T C x x= =
8 2
8 8 2
1 1
256 256T C x x
−= =
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
Γ + = > >： ( 2,0) (2,0)A B− ，
1( 3, )2 P PQ x⊥ Q C QP
QP PC=
Γ
C E
AC C A B、 2x =
R D RB CD
E
2 4a =
2
2
3 1 1 14 4 bb
+ = ⇒ =
14
2
2
=+ yx
( , )C x y QP PC= 1( , )2P x y
1( , )2P x y 14
2
2
=+ yx 2 2 4x y+ =
C E 2 2 4x y+ =
( , )C m n (2, )R t A C R、 、 AC AR
高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 10 页 共 11 页
因为 ， ，则 ，即 ，
…………………………………………………………………………12 分
，从而 ，又 ，
故
…………………………………14 分
则圆心到直线 的距离 …………………………………15 分
所以直线 与曲线 相切 …………………………………………………………16 分
21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小
题满分 8 分．
在平面直角坐标系中， 为坐标原点．已知曲线 上任意一点 （其中
）到定点 的距离比它到 轴的距离大 1.
（1）求曲线 的轨迹方程；
（2）若过点 的直线 与曲线 相交于不同的 两点，求 的值；
（3）若曲线 上不同的两点 、 满足 求 的取值范围．
解：（1）依题意知，动点 到定点 的距离等于 到直线 的距离，曲线
是以原点为顶点， 为焦点的抛物线………2 分
∵ ∴ ∴ 曲线 方程是 …………………4 分
（2）当 平行于 轴时，其方程为 ，由 解得 、
此时 …………………………………………………6 分
当 不平行于 轴时，设其斜率为 ，
则由 得
设 则有 ， ……………………8 分
∴
( 2, )AC m n= + (4, )AR t= 44 ( 2) 2
nn t m t m
= + ⇒ = +
4(2, )2
nR m +
2(2, )2
nD m + 2
2
2
2 4CD
nn mnmk m m
− += =− −
2 2 4m n+ =
2 24CD
mn mn mk m n n
= = = −− −
: ( ) 4 0CD
ml y n x m mx nyn
− = − − ⇒ + − =
CD 2 2
4 2d r
m n
= = =
+
CD E
O C ( , )P x y
0x ≥ (1, 0)F y
C
(1, 0)F l C ,A B OA OB⋅
C M N 0,OM MN⋅ = ON
P F (1, 0) P 1x = −
C F (1, 0)
12
p = 2p = C 2 4y x=
l y 1x = 2
1
4
x
y x
=
= (1,2)A (1, 2)B −
=1 4= 3OA OB⋅ − −
l y k
2
( 1)
4
y k x
y x
= −
=
2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1x x =
2
1 2 2
2 4+ kx x k
+=
1 2 1 2 1 2 1 2= = ( 1) ( 1)OA OB x x y y x x k x k x⋅ + + − − 2 2 2
1 2 1 2(1 ) ( )k x x k x x k= + − + +高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 11 页 共 11 页
……………………………10 分
（3）设
∴ ………………………………12 分
∵
∴
∵ ，化简得 ………………………………14 分
∴ ……………………………………14 分
当且仅当 时等号成立………………………………16 分
∵
∴当 的取值范围是 ………18 分
2
2 2 2
2
2 4=1+ 1 4 3kk k kk
+− ⋅ + = − = −
2 2
1 2
1 2( , ), ( , )4 4
y yM y N y
2 2 2
1 2 1
1 2 1( , ), ( , )4 4
y y yOM y MN y y
−= = −
0OM MN⋅ =
0)(16
)(
121
2
1
2
2
2
1 =−+−
yyyyyy
0, 121 ≠≠ yyy )16(
1
12 yyy +−=
6432256232256
2
1
2
1
2
2 =+≥++=
yyy
4,16,256
1
2
12
1
2
1 ±=== yyyy
2
2 2 2 2 22
2 2 2
1| | ( ) ( 8) 64 644 4
yON y y y= + = + − ≥
，又
2
2 2 min64, 8 | | 8 5 | |y y ON ON= = ± = ， ，故 ),58[ +∞
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