数 学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页， 满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的
答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改
液.不按以上要求作答的答案无效.
4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.
第一部分 选择题 (共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 集合 ， ，则（***）
A． B．M ⊂≠N C．N ⊂≠M D．
2. 原命题为“若 互为共轭复数，则 ”，其逆命题，否命题，逆否命题真假性依次
为（***）
A．真，假，真 B．真，真，假 C．假，假，真 D．假，假，假
3. 已知平面向量 ， 是非零向量， ， ，则向量 在向量 方向上的投影
为（***）
A. B. 1 C. D. 2
4. 平面 平面 的一个充分条件是（***）
A．存在一条直线
B．存在一条直线
C．存在两条平行直线
D．存在两条异面直线
5. 函数 零点的个数是（***）
A．2 B．3 C．4 D．5
1 ,2 4
kM x x k Z = = − ∈
1 ,4 2
kN x x k Z = = + ∈
=M N M N =∅
1 2,z z 1 2z z=
a b 2=a ( )2⊥ + a a b b a
1− 2−
∥α β
a a aα β， ∥ ， ∥
a a aα β⊂， ， ∥
a b a b a bα β β α⊂ ⊂， ， ， ， ∥ ， ∥
a b a b a bα β β α⊂ ⊂， ， ， ， ∥ ， ∥
2( ) log 3sin( )2
π= −f x x x
6. 已知函数 （ ， 为常数， ， ）在 处取得最
大值，则函数 是（***）
A. 奇函数且它的图象关于点 对称 B. 偶函数且它的图象关于点 对称
C. 奇函数且它的图象关于 对称 D. 偶函数且它的图象关于 对称
7. 已知函数 的图象连续且在 上单调，又函数 的图象关于 轴对称，
若数列 是公差不为 0 的等差数列，且 ，则 的前 2019 项之和为
（***）
A．0 B．2019 C．4038 D．4040
8．函数 在 上的单调减区间为（***）
A． 和 B． 和
C． 和 D．
9. 函数 的值域是（***）
A. B. C. D.
10. 已知圆 ，点 ，△ 内接于圆，且 ，当 ， 在圆上
运动时，
中点的轨迹方程是（***）
A． B．
C． D.
11. 已知双曲线 的右焦点为 ，过点 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足
为 ，
交另一条渐近线于 ，若 ，则双曲线的离心率（***）
A． B． C． D. 2
12. 若正四面体 SABC 的面 ABC 内有一动点 P 到平面 SAB，平面 SBC，平面 SCA 的距离依次
成等差数列，则点 P 在平面 ABC 内的轨迹是（***）
A．一条线段 B．一个点 C．一段圆弧 D．抛物线的一段
( )
2
11 2
−
−−=
x
xxf
( ) sin 2 cos2= −f x a x b x a b 0≠a ∈x R 12
π=x
3
π = + y f x
,02
π
,02
π
π=x π=x
( )f x ( )2,+∞ ( )2= +y f x y
{ }na ( ) ( )4 2016
=f a f a { }na
( ) 2 sin cos2= +f x x x ,2 2
π π −
,2 6
π π − − 0, 6
π
,06
π − ,6 2
π π
,2 6
π π − − ,6 2
π π
,6 6
π π −
4 4,3 3
−
4 ,03
−
[ ]0,1 40, 3
2 2 1x y+ = (1, 0)A ABC 60∠ = BAC B C
BC
2 2 1
2x y+ = 2 2 1
4x y+ =
2 2 1 1
2 2
+ = a
(1,3)P ( )y f x=
l cos
sin
x m t
y t
α
α
= +
= (t 0 )α π≤ < C 4cosρ θ= θ ϕ= 4 πθ ϕ= + 4 πθ ϕ= − C ,,A B C O ( , )4 4 π πϕ ∈ − 2OB OC OA+ = 12 πϕ = ,B C l m α
已知函数 ．
（Ⅰ）若 ，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若关于 x 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
( ) 2 2 2f x x a x a= + − + −
( )1 3
， ，
即二面角 的取值范围是 ．
………………12 分
解法二：由题意，AC⊥BC，以 CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CP 为 z 轴建立空间直角坐标系，
设 AB 2，BC t ，则 ，
. …………6 分
设平面 DBF 的法向量为 ，
则由 得 ，取 得 ．
易知平面 BCD 的法向量 ， …………8 分
设二面角 的大小为 ，易知 为锐角．
， …………11 分
，
即二面角 的取值范围是 ． …………12 分
20. （本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由题可知 ，直线 的斜率存在.
设 ， ，由于点 ， 都在椭圆上，
所以 ①， ②
①—②，化简得 ③
又因为离心率为 ，所以 . …………2 分
又因为直线 过焦点 ，线段 的中点为 ，
0 2FBC
π< ∠ y
2
2 12
+ =x y
2
1 2
= − xy
2 2
1' ( )
4 22 1 2
= ⋅ − = −
−−
xy x
x x
1l M
1
0 0
2
00 24 2
= − = −
−l
x xk yx
0
1 0 0
0
: ( )2
− = − −xl y y x xy
2l F MF 0
2
0
1: ( 1)
+= − +xl y xy
y
2
20 0
0 012 2
+ = − − − −x x xy x x
2
20
0 12
+ =x y 0
0
2 2 02
+ ⋅ + + =x x x 2= −x
1l 2l 2= −x
解：（Ⅰ）函数 的定义域为 ， ．…………………1 分
（1）当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增；
（2）当 时， 令 ，得 ．
当 时， ，函数 为减函数；
当 时， ，函数 为增函数．…………………2 分
综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ．
当 时 ， 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 ， 单 调 递 增 区 间 为
．
…………………………………………………………………
…3 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
（1）当 时，即 时，函数 在区间 上为增函数，
所以在区间 上， ，显然函数 在区间 上恒大于
零；………………4 分
（2）当 时，即 时，函数 在 上为减函数，在
上为增函数，所以 ．
依 题 意 有 ， 解 得 ， 所 以
．………………5 分
（3）当 时，即 时， 在区间 上为减函数，
所以 ．
依 题 意 有 ， 解 得 ， 所 以
． …………6 分
综上所述，当 时，函数 在区间 上恒大于零．………………7 分
（Ⅱ）另解：当 时，显然 恒成立. …………4 分
( )f x { }0x x > ( ) 1 a x af x x x
+′ = + =
0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
0a < ( ) 0f x′ = x a= − 0 x a< < − ( ) 0f x′ < ( )f x x a> − ( ) 0f x′ > ( )f x
0a ≥ ( )f x (0, )+∞
0a < ( )f x (0, )a− ( ,+ )− ∞a 1a− ≤ 1a ≥ − ( )f x [ ]1,2 [ ]1,2 min( ) (1) 1f x f= = ( )f x [ ]1,2 1 2a< − < 2 1a− < < − ( )f x [ )1 a−， ( ],2a− min( ) ( ) ln( )f x f a a a a= − = − + − min( ) ln( ) 0f x a a a= − + − > > −a e
2 1a− < < − 2a− ≥ 2a ≤ − ( )f x [ ]1,2 min( ) (2) 2 ln 2= = +f x f a min( ) 2 ln 2 0= + >f x a 2
ln 2a > −
2 2ln 2 a− < ≤ − 2 ln 2a > − ( )f x [ ]1,2
1x = ln 1 0x a x+ = >
当 时， 恒成立 恒成立 的最大值.
令 ，则 ，易知 在 上单调递增，
所以 最大值为 ，此时应有 . …………6 分
综上， 的取值范围是 . …………7 分
（Ⅲ）设切点为 ，则切线斜率 ，
切线方程为 ．
因为切线过点 ，则 ．
即 ．………………① ………………8 分
令 ，则 ．
（1）当 时，在区间 上， ， 单调递增；
在区间 上， ， 单调递减，
所以函数 的最大值为 ．
故方程 无解，即不存在 满足①式．
因此当 时，切线的条数为 ． ………………9 分
（2）当 时, 在区间 上， ， 单调递减，在区间 上， ，
单调递增，所以函数 的最小值为 ．
取 ，则 ．
故 在 上存在唯一零点．
取 ，则
．
(1,2]x∈ ln 0+ >x a x ln
⇔ > − xa x ln
xa x
⇔ > −
( ) ln
= − xm x x 2
1 ln'( ) 0ln
−= >xm x x ( ) ln
= − xm x x (1,2]
( )m x 2(2) ln 2m = − 2
ln 2
> −a
a 2( , )ln 2
− +∞
0 0 0, ln )x x a x+（
0
1 ak x
= +
0 0 0
0
( ln ) (1 )( )ay x a x x xx
− + = + −
(1,3)P 0 0 0
0
3 ( ln ) (1 )(1 )ax a x xx
− + = + −
0
0
1(ln 1) 2 0a x x
+ − − =
1( ) (ln 1) 2g x a x x
= + − − ( 0)x > 2 2
1 1 ( 1)( ) ( ) a xg x a x x x
−′ = − =
0a < (0,1) ( ) 0g x′ > ( )g x
(1, )+∞ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )g x (1) 2 0g = − < ( ) 0g x = 0x 0a < 0 0a > (0,1) ( ) 0g x′ < ( )g x (1, )+∞ ( ) 0g x′ >
( )g x ( )g x (1) 2 0g = − < 21 1 += >ax e e
2 21 1
1
2( ) (1 1) 2 0
− − − −= + + − − = >a ag x a e aea
( )g x (1, )+∞
21
2
1− −= ( ) 2= −tu t e t ( ) 2′ = −tu t e
1t > ( ) 2 2 0′ = − > − >tu t e e
( )u t (1, )+∞ ( ) (1) 2 0> = − >u t u e
2( ) 0g x >
( )g x (0,1)
0a > (1,3)
0a = ( )f x x= (1,3)
0a > (1,3)
0a ≤ (1,3)
0 0 0, ln )x x a x+（
0
1 ak x
= +
0 0 0
0
( ln ) (1 )( )ay x a x x xx
− + = + −
(1,3)P 0 0 0
0
3 ( ln ) (1 )(1 )ax a x xx
− + = + −
0
0
1(ln 1) 2 0a x x
+ − − =
0a = 0 2 0− =
0a ≠ 1 2ln 1x x a
+ − = −
1( ) ln 1g x x x
= + − 2
1'( )
−= xg x x
0 1<
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