数 学（文科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2. 答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的
答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔用答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按
以上要求作答的答案无效.
4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破.
第一部分 选择题（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知集合 ，则
A． B． C． D．
2．已知 ， ，则 z 对应的点 Z 的轨迹为
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段
3．设 ， ，那么
A． B．
C． D．
4．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，
壬，癸被称为“十天干”，子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥叫做“十二地
支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年
法，其相配顺序为：甲子，乙丑，丙寅，…癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…癸未，甲申，乙
酉，丙戌，…癸巳，…，共得到 60 个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2019 年
是“干支纪年法”中的己亥年，那么 2026 年是“干支纪年法”中的
A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．丁未年
{ } { }2 2 3 0 , ln( )A x x x B x y x= + − ≤ = = − A B =
[ 3,0]− [ 3,1]− [ 3,0)− [ 1,0)−
z C∈ 2z i z i+ + − =
0.7log 0.8a = 0.9
11log 0.9 1.1b c= =，
a b c< < a c b< < b a c< < c a b<
2020?n
9．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于
A．18 B．36 C．45 D．60
10．已知函数 ，那么下列命题中假命题是
A． 是偶函数 B． 在 上恰有一个零点
C． 是周期函数 D． 在 上是增函数
11．在三棱锥 中， ， ，则三棱锥
外接球的体积是
A． B．
C． D．
12．已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 A，B 两点．若 ，
，则椭圆 的方程为
A． B．
C． D．
第二部分 非选择题（共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填在答题卡的相应位置上.
13．曲线 在点 处的切线方程为 .
14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了 100 个样本．若样本数据 ， ，…，
的方差为 16，则数据 ， ，…， 的方差为 .
15．设 F 为双曲线 C： （a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以 为直径的圆
与圆 交于 两点．若 ，则 C 的离心率为 .
16. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ，且角
为锐角，则 面积的最大值为 .
{ }na n nS 2 8 515a a a+ = − 9S
( ) cos sinf x x x= −
( )f x ( )f x [ ,0]π−
( )f x ( )f x [ ,0]π−
P ABC− 2 5PA PB PC= = = 2 3AB AC BC= = =
P ABC−
36π 125π
6
32π
3 50π
C 1( 1,0)F − 2 (1,0)F 2F C 2 23AF BF=
1 25BF BF= C
2
2 12
x y+ =
2 2
13 2
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
15 4
x y+ =
cosy x x= + (0,1)
1x 2x 100x
12 1x − 22 1x − 1002 1x −
2 2
2 2 1x y
a b
− = OF
2 2 2+x y a= P Q， PQ OF=
ABC∆ A B C 4 4 2 sina b c c a A= =， ， ， ， C
ABC∆
B1
C1
A1
D
C
BA
三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17．(本小题满分 12 分)
在等比数列 中，公比为 ， ．
（Ⅰ）求数列{ }的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ．
18．(本小题满分 12 分)
如图，在直三棱柱 中， ，
是 的中点， .
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）异面直线 和 所成角的余弦值为
，求几何体 的体积.
19．(本小题满分 12 分)
已知某保险公司的某险种的基本保费为 （单位：元），继续购买该险种的投保人称为
续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3
保费（元）
随机调查了该险种的 400 名续保人在一年内的出险情况，得到下表：
出险次数 0 1 2 3
频数 280 80 24 12 4
该保险公司这种保险的赔付规定如下：
出险序次 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
及以上
赔付金额（元） 0
将所抽样本的频率视为概率.
（Ⅰ）求本年度续保人保费的平均值的估计值；
（Ⅱ）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险 3 次，则可获得赔付
元；若续保人在本年度内出险 6 次，则可获得赔付 元；依此
类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；
（Ⅲ）续保人原定约了保险公司的销售人员在上午 ～ 之间上门签合同，因为
续保人临时有事，外出的时间在上午 ～ 之间，请问续保人在离开前见
到销售人员的概率是多少？
{ }nb (0 1)q q< < 1 3 5 1 1 1 1 1, , , ,50 32 20 8 2b b b ∈ ， ， nb ( )3 1n nnc b−= { }nc n nT 1 1 1ABC A B C− 1 1 1 1A B AC⊥ D 1 1BC 1 1 1 2A A A B= = 1AB 1ACD 1AB BC 26 13 1 1A B DCA a 4≥ 0.9a a 1.5a 2.5a 4a 4≥ 2.5a 1.5a a 0.5a ( )2.5 1.5a a a+ + ( )2.5 1.5 0.5a a a a+ + + 10 30： 11 30： 10 45： 11 05：
20．(本小题满分 12 分)
已知点 ， 在椭圆 上，其中 为椭圆的离心率，
椭圆的右顶点为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）直线 过椭圆 的左焦点 交椭圆 于 ， 两点， 直线 , 分别与直线
交于 ， 两点，求证： .
21．(本小题满分 12 分)
已知函数 有两个极值点 ，其中 .
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）当 时，求 的最小值.
（二）选考题：共 10 分. 请考生从给出的第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题
卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多
做，则按所做的第一题计分.
22．(本小题满分 10 分) 选修 4-4；坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
曲线 ，曲线 .
（Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线 与 轴交于 两点， 为曲线 上任一点，
求 的最小值.
23．(本小题满分 10 分) 选修 4-5：不等式选讲
已知函数 的单调递增区间为 .
（Ⅰ）求不等式 的解集 ；
（Ⅱ）设 ，证明： .
( )1 e， 3
2e
，
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > e
D
C
l C F C A B DA DB
ax e
= − N M 0NF MF⋅ =
( )2( ) 2lnf x x x ax a R= + − ∈ 1 2x x， 1 2x x< a 22a e e ≥ + ( ) ( )1 2f x f x− xoy O x 2 1 : 4 sin 2 0C ρ ρ θ− + = 2 2: cos 04 2C πρ θ − + = 1 2C C， 1C y A B， P 2C PA PB+ ( )f x x t= + [ )2,− +∞ ( ) 1 2 1f x x+ < + M a b M∈， 1a b ab+ < +
数学（文科）参考答案
一、选择题
CDCCB DBACD BA
二、填空题
13． 14．64 15． 16．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）因为公比为 的等比数列 中，
所以，当且仅当 时成立.----------------------2 分
此时公比 , ---------------------------------3 分
所以 ------------------------------------------------5 分
（Ⅱ）因为
所以
--------------7 分
--------8 分
--------9 分
-------------------------11 分
故数列 的前 项和 ----------------------------12 分
1 0x y− + = 2 4+4 2
(0 1)q q< < { }nb 1 3 5 1 1 1 1 1, , , ,50 32 20 8 2b b b ∈ ， ， 1 3 5 1 1 1, ,2 8 32b b b= = = 2 3 1 1 4 bq b = = 1 2q = 1 .2 n nb = 1(3 1) 2 n nc n = − ⋅ 1 2 3n nT c c c c= + + + + 1 2 31 1 1 1=2 5 8 (3 1)2 2 2 2 n n × + × + × + + − ⋅ 2 3 11 1 1 1 12 5 (3 4) (3 1)2 2 2 2 2 n n nT n n + ∴ = × + × + + − ⋅ + − ⋅ 1 2 3 11 1 1 1 1 12 3 (3 1)2 2 2 2 2 2 n n nT n + ∴ = × + × + + + − − ⋅ 1 11 1 11 3 1 (3 1)2 2 2 n n n − + = + × − − − ⋅ 5 1 3 5 2 2 2 n n + = − ⋅ { }nc n 15 (3 5) 2 n nT n = − + ⋅
18. 解：（Ⅰ）如图，连结 交 于点 ，连结 ---------------------------1 分
因为在直三棱柱 中，四边形 是矩形
所以 点 是 的中点---------------------------------------------2 分
因为 是 的中点
所以 ∥ ---------------------------------------------------3 分
因为 平面 ， 平面
所以 ∥平面 ---------------------------------------------4 分
（Ⅱ）因为棱柱 是直三棱柱
所以
因为
所以 ---------------------------------------------------5 分
因为异面直线 和 所成角的余弦值为
所以 --------------------------------------------6 分
因为
所以 ----------------------------------------------------7 分
根据余弦定理，在 中，
可得 ----------------------------------------------8 分
因为 ，所以 由勾股定理可得
因为
所以
同理 ------------------------------------------------9 分
1AC 1AC E DE
1 1 1ABC A B C− 1 1AACC
E 1AC
D 1 1BC
DE 1AB
1AB ⊄ 1ACD DE ⊂ 1ACD
1AB 1ACD
1 1 1ABC A B C−
1 1 1AA AC⊥
1 1 1 1 1 1 1A B AC A A A B⊥ =，
1 1 1AC B C=
1AB BC 26
13
1 1
26cos 13AB C∠ =
1 1 1 1 1 12A A A B A A A B= = ⊥，
1=2 2AB
1 1ABC∆ 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1= 2 cosAC B C AB B C AB AB C+ − ⋅ ⋅ ∠
1 1= 13B C
1 1 1 1 1 1=2A B AC A B⊥ ， 1 1=3AC
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, ,C A A B C A A A A A A B A⊥ ⊥ =
1 1 1C A A B⊥ 平面
1 1 1A B AC⊥ 平面
所以 --------------------------------10 分
所以 几何体 的体积为 .----------------------------------12 分
19. 解：（Ⅰ）由题意可得
保费（元）
概率 0.7 0.2 0.06 0.03 0.01
本年度续保人保费的平均值的估计值为
；----4 分
（Ⅱ）由题意可得
赔偿金额（元） 0
概率 0.7 0.2 0.06 0.03 0.01
本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值
；-----8 分
（Ⅲ）设保险公司销售人员到达的时间为 ，续保人离开的时间为 ， 看成平面上的
点，全部结果所构成的区域为 ，
则区域 的面积 ---------------------------------9 分
事件 表示续保人在离开前见到销售人员，
所构成的区域为 ---10 分
即图中的阴影部分，其面积 ------------------11 分
1 1 1 1 1
=A B DCA D A AB D AA CV V V− −+
1 1 3 1 12 2 2 3 13 2 2 3 2
= × × × × + × × × ×
2=
1 1A B DCA 2
0.9a a 1.5a 2.5a 4a
0.9 0.7 0.2 1.5 0.06 2.5 0.03 4 0.01 1.035a a a a a a× + × + × + × + × =
2.5a 4a 5a 5.5a
0 0.7 2.5 0.2 4 0.06 5 0.03 5.5 0.01 0.945a a a a a× + × + × + × + × =
x y ( ),x y
( ) 3 1= , 10.5 11.5,10 114 12x y x y
Ω ≤ ≤ ≤ ≤
Ω ( ) 1 11 3 3S Ω = × =
A
( ) 3 1= , ,10.5 11.5,10 114 12A x y y x x y
≥ ≤ ≤ ≤ ≤
( ) 1 1 7 1 5= =2 4 12 3 36S A × + ×
E B1
C1
A1
D
C
BA
11
1
12
10
3
4
11.510.5
y
xO
所以 ，即续保人在离开前见到销售人员的概率是 --------12 分
（备注：第Ⅰ、Ⅱ参考答案中的表格填写正确各得 2 分；示意图不要求作出）
20. 解：（Ⅰ）依题意得
解得
所以 椭圆 的方程为 -----------------------------------3 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， -----------------------------------------------4 分
如图，设 ， ， ， ，
把直线 代入椭圆方程，得
所以 --------------------------5 分
因为 三点共线，得 ------------------------6 分
所以 ①-------------7 分
同理，由 三点共线，得 ②-------------8 分
( )
5
536P = =1 12
3
A 5
12
2
2 2
2
2 2
1 1
3
4 1
e
a b
e
a b
+ =
+ =
2 22, 1a b= =
C
2
2 12
x y+ =
2a
e
=
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )32,N y− ( )42,M y−
1l x my= −： ( )2 22 2 1 0m y my+ − − =
1 2 1 22 2
2 1,2 2
my y y ym m
+ = ⋅ = −+ +
M B D、 、 4 2
22 2 2
y y
x
=
− − −
( ) ( )2 2
4
2 2
2 2 2 2
2 1 2
y y
y
x my
− − − −
= =
− − −
N A D、 、
( )1
3
1
2 2
1 2
y
y
my
− −
=
− −
因为 ③-------------9 分
所以把①②代入③得
--10 分
----11 分
所以 --------------------------------------------------12 分
21. 解：（Ⅰ）依题意得 的定义域为 ， ----------1 分
因为函数 有两个极值点
所以方程 有两个不相等的正根
所以 --------------------------------------------3 分
解得
此时 在 和 上单调递增，在 上单调递减
所以 实数 的取值范围是 -------------------------------4 分
（Ⅱ）因为 ， 是方程 的两个根，
所以 ，
因为 ，
所以 ， ---------------------------------6 分
所以
3 4
3 4=2 1 2 1NF MF
y yk k y y⋅ = ⋅− + − +
( )
( )
( )
( )2 1
2 1
2 2 2 2
1 2 1 2NF MF
y y
k k
my my
− − − −
⋅ = ⋅
− − − −
( )
( )( ) ( )
2
1 2
22
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
y y
m y y m y y
+
=
− + + + +
( ) ( )( )2 2 2
6 4 2
2 2+2 2 2 2 3m m m
+=
+ − + +
= 1−
0NF MF⋅ =
( )f x (0 + )∞，
22 2( ) x a xf x x
− +′ =
( )f x 1 2 1 2x x x x
⋅ =
4a >
( )f x 1(0 )x， 2( + )x ∞， 1 2( )x x，
a ( )4 +∞，
1x 2x 22 2 0x ax− + =
1 2 2
ax x+ = 1 2 1x x =
2
1 12 2 0x ax− + = 2
2 22 2 0x ax− + =
2
1 12 2ax x= + 2
2 22 2ax x= +
( ) ( )2 2
1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 2ln 2lnf x f x x x ax x x ax− = + − − + −
2 2 2 2
1 1 1 2 2 22ln (2 2) 2ln (2 2)x x x x x x = + − + − + − +
--------------------------------8 分
令 ， ，则
即 在 上单调递减------------------------------------------10 分
因为 ， 所以
所以 ，即
所以 ， 即
所以 ，
所以 ------------------------------------------------------11 分
因为 在 上单调递减
所以 的最小值为
即 的最小值为 .--------------------------------12 分
22. 解：（Ⅰ）因为 ，
所以曲线 的直角坐标方程为 -----------------2 分
因为 ----------------4 分
2 2
2 1 1 22ln 2lnx x x x= − + −
2 2
2 1 1
1 2 2
2lnx x x
x x x
−= +
2 1 1
1 2 2
2lnx x x
x x x
= − +
1
2
xt x
= ( )0 1t< < 1( ) 2lnh t t tt = − + 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ( 1)( ) 1 0t t th t t t t t − + − − −′ = − − + = = < ( )h t ( )0，1 22a e e ≥ + 1 2 1 2 ax x e e + = ≥ + 22 1 2 1 2 ( ) 1x x ex x e + ≥ + 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2x x x x ex x e + + ≥ + + 1 2 2 1 1x x ex x e + ≥ + 1 1t et e + ≥ + 1( )( ) 0t e t e − − ≥ 0 1t< < 10 t e < ≤ ( )h t 10 e ， ( )h t 1 1 2h ee e = − − ( ) ( )1 2f x f x− 1 2e e − − cos sin x y ρ θ ρ θ = = 1C 2 2 4 2 0x y y+ − + = ( )2 2cos cos + sin 14 2 2 πρ θ ρ θ ρ θ − + = +
所以曲线 的直角坐标方程为 ------------------------5 分
（Ⅱ）因为曲线 与 轴交于 两点------------6 分
点 关于直线 的对称点为 -------------8 分
所以
所以 的最小值为 ----------------------------------10 分
23. 解：（Ⅰ）依题意得 --------------------------------------------------1 分
所以不等式 化为
当 时，原不等式化为 ， ，得 ------2 分
当 时，原不等式化为 ， ，
得 -----------------------------------------3 分
当 时，原不等式化为 ， ，得 ------------4 分
所以，不等式 的解集 ----------5 分
（Ⅱ）要证明 ，只需证明
即要证明 --------------------------------------6 分
因为 ，所以 ---------------8 分
因为 --------9 分
所以
即 得证 ---------------------------------------------10 分
2C 1 0x y+ + =
1C y ( ) ( )0 2 2 0 , 2 2A B− +， ，
A 1 0x y+ + = ( )3+ 2 1A′ − ，-
( ) ( )2 2
3 2 3 2 22PA PB A B′+ ≥ = − + + + =
PA PB+ 22
2t =
( ) 1 2 1f x x+ < + 2 1 2 1x x+ + < + 2x < − 2 1 2 1x x− − + < − − 0x < 2x < − 12 2x− ≤ < − +2+1 2 1x x< − − 4 3x < − 42 3x− ≤ < − 1 2x ≥ − +2+1 2 +1x x< 2x > 2x >
( ) 1 2 1f x x+ < + 4= 23M x x x < − >
或
1a b ab+ < + ( )2 2 22 1 2ab ab a ab b+ + > + +
( )2 2 2 1 0ab a b− − + >
4 23a b x x x
∈ < − >
， 或 2 216 16,9 9a b≥ ≥
( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 0ab a b a b b b a− − + = − − + = − − >
( )2 2 2 1 0ab a b− − + >
1a b ab+ < +
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