吉林省2020年8月份普通高中学业考试仿真卷01数学试题（Word版附解析）

2020 年 8 月份吉林省普通高中学业考试仿真卷 01 数 学 本卷满分 120 分，考试时间 100 分钟。 注意事项: 1.答题前将自己的姓名、考籍号、科考号、试卷科目等项目填写或涂在答题卡和试卷规定的位 置上。考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。 2.本试题分两卷，第 1 卷为选择题，第Ⅱ卷为书面表达题。试卷满分为 120 分。答题时间 为 100 分钟。 3.第 1 卷选择题的答案都必须涂在答题卡上。每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应 题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，选择题答案写在 试卷上无效。 4.第Ⅱ卷的答案直接写在试卷规定的位置上 . 注意字迹清楚 . 卷面整洁。 参考公式: 标准差: 锥体体积: 其中 s 为底面面积，h 为高 , 柱体体积公式 V=s.h 球的表面积、体积公式： , 其中 s 为底面面积，h 为高，V 为体 积，R 为球的半径。 第 I 卷 (选择题 共 50 分) 一、 选择题 (本大题共 15 小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的。第 1-10 小题每小题 3 分，第 11-15 小题每小题 4 分，共 50 分) 1．集合 A＝{1,3}，B＝{2,3,4}则 A∩B＝（ ） A．{1} B．{2} C．{3} D．{1,2,3,4} 【答案】C 【解析】根据集合交集的运算可知， ，故选 C． 2．函数 f（x）＝2x–1 的零点为( ) A．2 B． C． D．–2 ( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 1 ns x x x x x xn  = − + − + + −   1 3V Sh= 24S Rπ= 34 3V Rπ= 1 2 1 2 −【答案】B 【解析】根据题意，函数 f（x）＝2x–1，令 f（x）＝0，即 2x–1＝0，解可得 x ，即函数 f（x） ＝2x–1 的零点为 ，故选 B． 3．函数 的定义域是（ ） A． B． C．R D． 【答案】D 【解析】 ， 即函数 的定义域为 故选：D 4． 的值是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据特殊角的三角函数值，容易知 .故选：B. 5．已知向量 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量加法坐标运算公式得: .故选：B. 6．为了得到函数 的图象只需将 的图象向左平移（ ） A． 个单位长度 B． 个单位长度 C． 个单位长度 D． 个单位长度 【答案】D 【解析】由题将 的图象向左平移 个单位长度即可得到函数 的图象. 故选：D 7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是( ) 1 2 = 1 2 1( ) 2f x x = − { | 2}x x < { | 2}x x > { | 2}x x ≠ 2 0x − ≠ 2x∴ ≠ 1( ) 2f x x = − { | 2}x x ≠ cos30 2 2 3 2 2 2 − 3 2 − cos30 3 2 = (1,1), (2,2)a b= = a b+ = (0,0) (3,3) (4,4) (5,5) ( ) ( ) ( )1,1 2,2 3,3a b+ = + = cos( )4y x π= + cosy x= 1 2 2 π 1 4 4 π cosy x= 4 π cos( )4y x π= +A．圆柱 B．三棱柱 C．球 D．四棱柱 【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体是圆柱，故选：A 8．设 ，则 的值为( ) A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】A 【解析】由题意 ．故选：B． 9．下列函数为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当 时, ,所以 为偶函数, 为非奇非偶函数函数, 与 为奇函数.故选:B 10．在等差数列 中， ，公差 ，则 （ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】 .故选：C. 11.已知两条相交直线 a，b，a∥平面 ，则 b 与 的位置关系是（ ） A．b 平面 B．b 与平面 相交 C．b∥平面 D．b 在平面 外 【答案】D 【解析】因为两条相交直线 a，b，a//平面 α，所以 b 与 α 相交，或者 b//平面 α，因而 b 在 α 外. 1 ,( 1)( ) 2,( 1) xf x x x  ≥=   0b > 1a b+ = 1 1 a b + 1a b+ = ( )1 1 1 1 2 2 4b a b aa ba b a b a b  + + = + + + ≥ + ⋅ =   b a a b = 1 2a b= = 1 1 a b +分比较好的运动员是_________. 【答案】乙 【解析】甲的平均分为 ，乙的平均分为 ， 所以乙的平均分高于甲.故答案为:乙. 17．求值： ＝____. 【答案】4 【解析】原式 ，故答案为 4. 18．取一个正方形及其外接圆，在圆内随机取一点，该点取自正方形内的概率为______. 【答案】 【解析】设正方形边长为 a，则圆的直径为 ，所以正方形的面积为 ， 圆形的面积为 ，所以概率为 . 19．给出右边的程序框图，程序输出的结果是 . 1 2 10 38 39 185 + + + + = 11 22 23 24 30 225 + + + + = 0 1 3 3 12log log 12 (0.7) 0.252 −+ − + 3 3 3 1log log 12 1 4 log 3 3 1 3 44 = + − + = + = + = 2 π 2a 2a 2 22 =2 2 a aπ π      2 2 2 a a π = 2 π【答案】10 【解析】根据程序框图可知，程序输出的结果是 . 三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步 骤) 20．已知正方体 ， （1）证明： 平面 ； （2）求异面直线 与 所成的角． 1 2 3 4 10S = + + + = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 //D A 1C BD 1D A BD【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）证：在正方体 中， ，且 ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， 又∵ 平面 ， 平面 ； ∴ 平面 ； （2）解：∵ ， ∴ 即为异面直线 与 所成的角， 设正方体 的边长为 ， 则易得 ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， 故异面直线 与 所成的角为 ． 21．已知 a，b，c 分别为锐角三角形 三个内角 A，B，C 的对边，且 ． （1）求 A； （2）若 ， 的面积为 ，求 b，c． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）因为 ， 由正弦定理得： ， 因为 ，所以 ． 3 π 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1//AB C D 1 1AB C D= 1 1ABC D 1 1//D A C B 1D A ⊄ 1C BD 1C B ⊂ 1C BD 1 //D A 1C BD 1 1//D A C B 1C BD∠ 1D A BD 1 1 1 1ABCD A B C D− a 1 1 2C B BD C D a= = = 1C BD∆ 1 3C BD π∠ = 1D A BD 3 π ABC 3 2 sinc a C= 2a = ABC 3 3A π= 2b c= = 3 2 sinc a C= 3sin 2sin sinC A C= sin 0C ≠ 3sin 2A =因为 A 为锐角，所以 ． （2）由 ，得： ． 又 的面积为 ，即 ． 所以 ．则 ．解得 ． 22．设等差数列 的前 项和为 ,，已知 ， . （1）求首项 和公差 的值； （2）若 ，求 的值. 【答案】（1） ； ；（2） 【解析】（1）由题意得： ，解得： ， 则公差 。 （2）由（1）知： ，若 ，即 ， 又 ，解得： 。 23．设圆的方程为 （1）求该圆的圆心坐标及半径. （2）若此圆的一条弦 AB 的中点为 ，求直线 AB 的方程. 【答案】（1） ； ；（2） 【解析】（1）由圆的方程为 ，则 ，所以可知圆心 ， 半径 . （2）由弦 的中垂线为 ,则 ，所以可得 ，故直线 AB 的方程为： ，即 。 24．已知函数 ， . 3A π= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 4b c bc+ − = ABC∆ 3 1 sin 32 bc A = 4bc = 2 2 8b c+ = 2b c= = { }na n nS 3 5a = 3 9S = 1a d 100nS = n 1 1a = 2d = 10n = ( ) ( )1 3 1 3 3 3 5 92 2 a a aS + += = = 1 1a = 3 1 5 1 22 2 a ad − −= = = ( ) 2 1 1 2n n nS na d n −= + = 100nS = 2 100n = *n N∈ 10n = 2 2 4 5 0x y x+ − − = (3,1)P (2,0) 3r = 4 0x y+ − = 2 2 4 5 0x y x+ − − = ( )2 22 9x y− + = ( )2,0C 3r = AB CP 1 0 13 2CPk −= =− 1ABk = − ( )( )1 1 3y x− = − − 4 0x y+ − = 2( ) 2 2f x x ax= + + [ 5,5]x∈ −（1）当 时，求 的最大值和最小值； （2）求实数 的取值范围，使 在区间 上是单调函数. 【答案】（1） 的最大值为 37，最小值为 1；（2） 或 【解析】 (1)当 a=−1 时,函数 的对称轴为 x=1，∴y=f(x)在区间 [−5,1]单调递减,在(1,5]单调递增，且 f(−5)=37,f(5)=17