江苏省2020届高考数学考前押题卷含附加题（Word版附解析）

数学试题 第 1 页（共 18 页） 数学试题 第 2 页（共 18 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 绝密★启用前|苏科优品试题命制中心 2020 年江苏高考考前押题读卷 数 学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（必做题）文科理科都做，和第Ⅱ卷（选做题）选修理科做文科不做，两部分。答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容。 第Ⅰ卷（必做题） 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1. 已知全集 U＝{－1，0，2}，集合 A＝{－1，0}，则∁UA＝________． 2. 设复数 z 满足 zi＝ 3－i(i 为虚数单位)，则|z|＝__________． 3. 某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600 人、700 人、700 人，为了解 不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为 100 的样本，则高三年级应 抽取的学生人数为__________． 4. 若命题“∃t∈R，t2－2t－a＜0”是假命题，则实数 a 的取值范围是____________． 5. 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为甲组：88，89，90；乙组： 87，88，92.如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不 超过 3 的概率是________． i←1 S←0 While S＜20 　S←2S＋3 　i←i＋2 End While Print i (第 6 题)6. 执行如图所示的伪代码，输出 i 的值为__________． 7. 设抛物线 y2＝8x 的焦点与双曲线 x2－y2 b2＝1(b＞0)的右焦点重合，则 b＝__________． 8. 设 x，y 满足{y＞0， y ≤ x， |x|＋|y| ≤ 1， 则 z＝x＋y 的最大值为________． 9. 将函数 y＝sin (2x＋ π 3 )的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，恰好得到函数 y＝sin 2x 的图象，则φ的最小值为__________． 10. 已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，点 P，Q 分别为棱 CC1，BC 的中点，则四面 体 A1B1PQ 的体积为__________． 11. 设 数 列 {an} 的 首 项 a1 ＝ 1 ， 且 满 足 a2n ＋ 1 ＝ 2a2n － 1 与 a2n ＝ a2n － 1 ＋ 1 ， 则 S20 ＝ __________． 12. 若 a，b 均为非负实数，且 a＋b＝1，则 1 a＋2b＋ 4 2a＋b的最小值为__________． 13. 已知 A，B，C，D 四点共面，BC＝2，AB2＋AC2＝20，CD→ ＝3CA→ ，则|BD→ |的最大值为__________． 14. 若实数 x，y 满足 2x－3≤ln(x＋y＋1)＋ln(x－y－2)，则 xy＝__________． 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤．数学试题 第 3 页（共 18 页） 数学试题 第 4 页（共 18 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此 卷 只 装 订 不 密 封 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 15. (本小题满分 14 分) 如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，平面 A1ABB1⊥底面 ABCD，且∠ABC＝π 2 .求证： (1) B1C1∥平面 BCD1； (2) 平面 A1ABB1⊥平面 BCD1. 16.(本小题满分 14 分) 设△ABC 面积的大小为 S，且 3AB→ ·AC→ ＝2S. (1) 求 sin A 的值； (2) 若 C＝π 4 ，AB→ ·AC→ ＝16，求 AC. 17. (本小题满分 14 分) 一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示．ABCD 是等腰梯 形，AB＝20 米，∠CBF＝α(F 在 AB 的延长线上，α为锐角)．圆 E 与 AD，BC 都相切，且其半径 长为(100－80sin α)米．EO 是垂直于 AB 的一个立柱，则当 sin α的值设计为多少时，立柱 EO 最矮？ 18. (本小题满分 16 分) 已知 A，F 分别是椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左顶点、右焦点，点 P 为椭圆 C 上一动点， 当 PF⊥x 轴时，AF＝2PF. (1) 求椭圆 C 的离心率； (2) 若椭圆 C 上存在点 Q，使得四边形 AOPQ 是平行四边形(点 P 在第一象限)，求直线 AP 与 OQ 的斜率之积； (3) 记圆 O：x2＋y2＝ ab a2＋b2为椭圆 C 的“关联圆”．若 b＝ 3，过点 P 作椭圆 C 的“关联 圆”的两条切线，切点为 M，N，直线 MN 的横、纵截距分别为 m，n，求证： 3 m2＋ 4 n2为定值．数学试题 第 5 页（共 18 页） 数学试题 第 6 页（共 18 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 19. (本小题满分 16 分) 设函数 f(x)＝xex－ax2(a∈R)． (1) 若函数 g(x)＝f（x） ex 是奇函数，求实数 a 的值； (2) 若对任意的实数 a，函数 h(x)＝kx＋b(k，b 为实常数)的图象与函数 f(x)的图象总相 切于一个定点． ① 求 k 与 b 的值； ②对(0，＋∞)上的任意实数 x1，x2，都有[f(x1)－h(x1)][f(x2)－h(x2)]＞0，求实数 a 的 取值范围． 20. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}，{bn}都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列 (相同的项视为一项)，则得到一个新数列{cn}． (1) 设数列{an}，{bn}分别为等差、等比数列，若 a1＝b1＝1，a2＝b3，a6＝b5，求 c20； (2) 设{an}的首项为 1，各项为正整数，bn＝3n，若新数列{cn}是等差数列，求数列{cn}的 前 n 项和 Sn； (3) 设 bn＝qn－1(q 是不小于 2 的正整数)，c1＝b1，是否存在等差数列{an}，使得对任意的 n∈N*，在 bn 与 bn＋1 之间数列{an}的项数总是 bn？若存在，请给出一个满足题意的等差数列{an}； 若不存在，请说明理由.数学试题 第 7 页（共 18 页） 数学试题 第 8 页（共 18 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此 卷 只 装 订 不 密 封 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 　　　　　　　第Ⅱ卷（选做题） 21. 【选做题】 在 A，B，C，三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．若多做， 则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修 42：矩阵与变换) 已知矩阵 A＝[2　－2 1　－3]，B＝[1　　0 0　－1]，设 M＝AB. (1) 求矩阵 M； (2) 求矩阵 M 的特征值． B. (选修 44：坐标系与参数方程) 已知曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线 l 的极坐标方程为ρsin(θ＋ π 6 )＝m.若直 线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求实数 m 的值． C. (选修 45：不等式选讲) 解不等式：|x－1|＋2|x|≤4x. 【必做题】 第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分．解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤． 22. 如图，在底面为正方形的四棱锥 PABCD 中，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD＝DC，点 E 是线段 PC 的中点． (1) 求异面直线 AP 与 BE 所成角的大小； (2) 若点 F 在线段 PB 上，使得二面角 FDEB 的正弦值为 3 3 ，求PF PB的值． 23. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每 人都已投球 3 次时结束．设甲每次投篮命中的概率为2 5，乙每次投篮命中的概率为2 3，且各次投 篮互不影响．现由甲先投． (1) 求甲获胜的概率； (2) 求投篮结束时甲的投篮次数 X 的分布列与期望．数学试题 第 9 页（共 18 页） 数学试题 第 10 页（共 18 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2020 年江苏高考考前押题读卷(详细答案) 数 学 　　　　　　　第Ⅰ卷（必做题） 1. {2}　解析：全集 U＝{－1，0，2}，集合 A＝{－1，0}，则∁UA＝{2}．本题主要考查补 集及其运算等知识．本题属于容易题． 2. 2　解析：zi＝ 3－i，两边同时乘以－i，得 z＝－1－ 3i，则|z|＝2.本题考查了复 数乘法运算，以及复数的模的计算．本题属于容易题． 3. 35　解析：100× 700 2 000＝35.本题考查了分层抽样．本题属于容易题． 4. (－∞，－1]　解析：原命题的否定为真命题，即“∀t∈R，t2－2t－a≥0”是真命题， 即Δ≤0，解得实数 a 的取值范围是(－∞，－1]． 5. 8 9　解析：如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，基本事件有 9 种，两名同学的 成绩之差的绝对值超过 3 的基本事件只有(88，92)这 1 种，则满足题意的事件有 8 种，所求的 概率为8 9.本题考查了列举法求概率．本题属于容易题． 6. 7　解析：当 S0，所以φ的最小值为5π 6 .本题考查了三 角函数图象的平移．本题属于容易题． 10. 3 2 　解析：V＝1 3S△B1PQ·h＝1 3×(2×2－2×1 2×2×1－1 2×1×1)× 3＝ 3 2 .本题考 查了三棱锥的体积．本题属于容易题． 11. 2 056　解析：由 a2n＋1＝2a2n－1 知奇数项成等比数列，a2n＝a2n－1＋1 知相邻奇偶数项数 值差值为 1，S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a1 ＋a3＋a5＋…＋a19＋10)＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋10＝2×1－210 1－2 ＋10＝2 056.本题考查了等 比数列求和、分组求和．本题属于中等题． 12. 3　解析：( 1 a＋2b＋ 4 2a＋b)(a＋2b＋2a＋b)×1 3＝1 3[1＋2a＋b a＋2b＋4（a＋2b） 2a＋b ＋4]≥1 3(5＋ 4)＝3，当且仅当2a＋b a＋2b＝4（a＋2b） 2a＋b 时取到等号，此时 a＝1，b＝0.本题考查了基本不等式、 整体代换．本题属于中等题． 13. 10　解析：以 BC 中点为原点，BC 所在直线为 x 轴建立坐标轴．设 A(x，y)，D(x0， y0)，则 B(－1，0)，C(1，0)．由 AB2＋AC2＝20，得(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝20，x2＋y2＝9. 由CD→ ＝3CA→ ，得(x0－1，y0)＝3(x－1，y)，则{x＝ x0＋2 3 ， y＝ y0 3 ， 则(x0＋2)2＋y20＝81.令 x0＋2＝9cos θ，y0＝9sin θ，|BD→ |2＝(x0＋1)2＋y20＝(9cos θ－1)2＋81sin2θ＝82－18cos θ，当 cos θ＝－ 1 时取到最大值 100，则|BD→ |最大值为 10.本题考查了向量的坐标运算，圆的轨迹求法．本题属 于中等题． 14. －9 4　解析：设 x＋y＋1＝t1，x－y－2＝t2，t1＋t2－2≤ln t1＋ln t2.因为 x－1≥ln x 恒成立(由 y＝x－1－ln x，y′＝1－1 x＝x－1 x ＝0，则 x＝1，可判断此函数在 x＝1 处取最小值 0，得 x－1－ln x≥0，即 x－1≥ln x)，所以 t1－1≥ln t1，t2－1≥ln t2，即 t1＋t2－2≥ln t1 ＋ln t2，故 t1＋t2－2＝ln t1＋ln t2，此时 t1＝t2＝1，即 x＋y＋1＝1，x－y－2＝1，得 x＝ 3 2，y＝－3 2，xy＝－9 4.本题考查了导数的运用和代数式的变形．本题属于难题． 15. 证明：(1) 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，有 B1C1∥BC.(4 分) 又 B1C1⊄平面 BCD1，BC⊂平面 BCD1， 所以 B1C1∥平面 BCD1.(6 分) (2) 因为平面 A1ABB1⊥底面 ABCD，交线为 AB，BC⊂底面 ABCD，且 BC⊥AB，所以 BC⊥平面 A1ABB1.(12 分) 又 BC⊂平面 BCD1，所以平面 A1ABB1⊥平面 BCD1.(14 分) 16. 解：(1) 设△ABC 的三边长分别为 a，b，c，由 3AB→ ·AC→ ＝2S， 得 3bccos A＝2×1 2bcsin A，得 sin A＝3cos A．(2 分) 即 sin2A＝9cos2A＝9(1－sin2A)，所以 sin2A＝ 9 10.(4 分) 又 A∈(0，π)，所以 sin A＞0，故 sin A＝3 10 10 .(6 分) (2) 由 sin A＝3cos A 和 sin A＝3 10 10 ，得 cos A＝ 10 10 ， 又AB→ ·AC→ ＝16，所以 bccos A＝16，得 bc＝16 10　①.(8 分) 又 C＝π 4 ，所以 sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝3 10 10 × 2 2 ＋ 10 10 × 2 2 ＝ 2 5 5 .(10 分) 在△ABC 中，由正弦定理，得 b sin B＝ c sin C，即 b 2 5 5 ＝ c 2 2 ，得 c＝ 10 4 b　②.(12 分) 联立①②，解得 b＝8，即 AC＝8.(14 分) 17.解：(解法 1)如图①，以 AB 所在直线为 x 轴，以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平 面直角坐标系． 因为 B(10，0)，kBC＝tan α，所以直线 BC 的方程为 y＝tan α·(x－10)，数学试题 第 11 页（共 18 页） 数学试题 第 12 页（共 18 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此 卷 只 装 订 不 密 封 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ① 即 xtan α－y－10tan α＝0.(4 分) 设圆心 E(0，t)(t＞0)，由圆 E 与直线 BC 相切， 得 100－80sin α＝|－t－10tan α| 1＋tan2α ＝t＋10tan α 1 cos α ， 所以 EO＝t＝100－90sin α cos α .(8 分) 令 f(α)＝100－90sin α cos α ，α∈(0，π 2 )，则 f′(α)＝ 100(sin α－ 9 10) cos2α .(10 分) 设 sin α0＝ 9 10，α0∈(0， π 2 ).列表如下： α (0，α0) α0 (α0， π 2 ) f′(α) － 0 ＋ f(α)  极小值  所以当α＝α0，即 sin α＝ 9 10时，f(α)取最小值．(13 分) 答：当 sin α＝ 9 10时，立柱 EO 最矮．(14 分) ② (解法 2)如图②，延长 EO，CB 交于点 G，过点 E 作 EH⊥BC 于 H， 则 EH＝R＝100－80sin α，∠HEG＝∠OBG＝∠CBF＝α. 在 Rt△EHG 中，EG＝ R cos α＝100－80sin α cos α .(4 分) 在 Rt△OBG 中，OG＝OBtan α＝10tan α.(6 分) 所以 EO＝EG－OG＝100－90sin α cos α .(8 分) (以下同解法 1) 18. (1) 解：由 PF⊥x 轴知，xP＝c，代入椭圆 C 的方程， 得c2 a2＋ y b2＝1，解得 yP＝±b2 a .(2 分) 又 AF＝2PF，所以 a＋c＝2b2 a ，解得 e＝1 2.(4 分) (2) 解：因为四边形 AOPQ 是平行四边形，所以 PQ＝a 且 PF∥x 轴， 所以 xP＝a 2，代入椭圆 C 的方程，解得 yP＝± 3 2 b.(6 分) 因为点 P 在第一象限，所以 yP＝ 3 2 b，同理可得 xQ＝－a 2，yQ＝ 3 2 b，(7 分) 所以 kAPkOQ＝ 3b 2 a 2－（－a） · 3b 2 － a 2 ＝－b2 a2. 由(1)知 e＝c a＝1 2，得b2 a2＝3 4，所以 kAPkOQ＝－3 4.(9 分) (3) 证明：由(1)知 e＝c a＝1 2，又 b＝ 3，解得 a＝2，所以椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1， 圆 O 的方程为 x2＋y2＝2 3 7 　①.(11 分) 连结 OM，ON，由题意可知，OM⊥PM，ON⊥PN， 所以四边形 OMPN 的外接圆是以 OP 为直径的圆． 设 P(x0，y0)，则四边形 OMPN 的外接圆方程为 (x－ x0 2 ) 2 ＋(y－ y0 2 ) 2 ＝1 4(x20＋y20)， 即 x2－xx0＋y2－yy0＝0　②.(13 分) ①－②，得直线 MN 的方程为 xx0＋yy0＝2 3 7 . 令 y＝0，则 m＝2 3 7x0 ；令 x＝0，则 n＝2 3 7y0 . 所以 3 m2＋ 4 n2＝49(x 4＋ y 3). 因为点 P 在椭圆 C 上，所以x 4＋y 3＝1，所以 3 m2＋ 4 n2＝49.(16 分) 19. 解：(1) ∵ 函数 g(x)＝f（x） ex 是奇函数， ∴ f（－x） e－x ＝－f（x） ex 恒成立，(2 分) 即－xe－x－a（－x）2 e－x ＝－xex－ax2 ex ， 得 ax2(e－x＋ex)＝0 恒成立，∴ a＝0.(4 分) (2) ① f′(x)＝ex(x＋1)－2ax，设切点为(x0，f(x0))， 则切线的斜率为 f′(x0)＝ex0(x0＋1)－2ax0，数学试题 第 13 页（共 18 页） 数学试题 第 14 页（共 18 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 据题意 f′(x0)是与 a 无关的常数，故 x0＝0，k＝f′(x0)＝1，切点为(0，0)，(6 分) 由点斜式得切线的方程为 y＝x，即 h(x)＝x，故 k＝1，b＝0.(8 分) ② 当 f(x1)－h(x1)＞0 时，对任意的 x2∈(0，＋∞)，都有 f(x2)－h(x2)＞0； 当 f(x1)－h(x1)＜0 时，对任意的 x2∈(0，＋∞)，都有 f(x2)－h(x2)＜0； 故 f(x)－h(x)＞0 对 x∈(0，＋∞)恒成立，或 f(x)－h(x)＜0 对 x∈(0，＋∞)恒成立． 而 f(x)－h(x)＝x(ex－ax－1)，设函数 p(x)＝ex－ax－1，x∈[0，＋∞)． 则 p(x)＞0 对 x∈(0，＋∞)恒成立，或 p(x)＜0 对 x∈(0，＋∞)恒成立，(10 分) p′(x)＝ex－a. 1° 当 a≤1 时，∵ x∈(0，＋∞)，∴ ex＞1，∴ p′(x)＞0 恒成立，∴ p(x)在[0，＋∞) 上递增，p(0)＝0，故 p(x)＞0 在(0，＋∞)上恒成立，符合题意．(12 分) 2° 当 a＞1 时，令 p′(x)＝0，得 x＝ln a；令 p′(x)＜0，得 0＜x＜ln a，故 p(x)在 (0，ln a)上递减，∴ p(ln a)＜p(0)＝0. 而 p(a)＝ea－a2－1，设函数φ(a)＝ea－a2－1，a∈[1，＋∞)， 则φ′(a)＝ea－2a.∵ [φ′(a)]′＝ea－2＞0 恒成立， ∴ φ′(a)在(1，＋∞)上递增，∴ φ′(a)＞φ′(1)＝e－2＞0 恒成立，∴ φ(a)在(1，＋ ∞)上递增，∴ φ(a)＞φ(1)＝e－2＞0 恒成立，即 p(a)＞0，而 p(ln a)＜0，不合题意． 综上 1° 2°知，实数 a 的取值范围是(－∞，1]．(16 分) 20. 解：(1) 设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q，由题意，得{1＋d＝q2， 1＋5d＝q4， 解得 d＝0 或 3. 因为数列{an}，{bn}单调递增， 所以 d＞0，q＞1，所以 d＝3，q＝2，所以 an＝3n－2，bn＝2n－1.(2 分) 因为 b1＝a1，b3＝a2，b5＝a6，b7＞a20， 所以 c20＝a17＝49.(4 分) (2) 设等差数列{cn}的公差为 d，又 a1＝1，且 bn＝3n，所以 c1＝1，所以 cn＝dn＋1－d. 因为 b1＝3 是{cn}中的项，所以设 b1＝cn，即 d(n－1)＝2. 当 n≥4 时，解得 d＝ 2 n－1＜1，不满足各项为正整数；(6 分) 当 b1＝c3＝3 时，d＝1，此时 cn＝n，只需取 an＝n，而等比数列{bn}的项都是等差数列{an} 中的项，所以 Sn＝1 2n(n＋1)；(8 分) 当 b1＝c2＝3 时，d＝2，此时 cn＝2n－1，只需取 an＝2n－1， 由 3n＝2m－1，得 m＝3n＋1 2 ，3n 是奇数，3n＋1 是正偶数，m 有正整数解，所以等比数列{bn} 的项都是等差数列{an}中的项，所以 Sn＝n2.(10 分) 综上所述，数列{cn}的前 n 项和 Sn＝1 2n(n＋1)或 Sn＝n2.(11 分) (3) 存在等差数列{an}，只需首项 a1∈(1，q)，公差 d＝q－1.(13 分) 下证 bn 与 bn＋1 之间数列{an}的项数为 bn.即证对任意正整数 n，都有 {bn＜a（b1＋b2＋…＋bn－1＋1）， bn＋1＞a（b1＋b2＋…＋bn）， 即{bn＜a（1＋q＋q2＋…qn＋2＋1）， bn＋1＞a（1＋q＋q2＋…＋qn－1） 成立． 由 bn－a(1＋q＋q2＋…＋qn＋2＋1)＝qn－1－a1－(1＋q＋q2＋…＋qn－2)·(q－1)＝1－a1＜0， bn＋1－a(1＋q＋q2＋…＋qn－1)＝qn－a1－(1＋q＋q2＋…＋qn－2＋qn－1－1)(q－1)＝q－a1＞0. 所以首项 a1∈(1，q)，公差 d＝q－1 的等差数列{an}符合题意．(16 分) 　 　　　　　　　　　　第Ⅱ卷（选做题） 21. A. 解：(1) M＝AB＝[2　－2 1　－3][1　　0 0　－1]＝[2　2 1　3 ].(5 分) (2) 矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝|λ－2 －2 －1 λ－3|＝(λ－2)(λ－3)－2. 令 f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4， 所以矩阵 M 的特征值为 1 或 4.(10 分) B. 解：曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 化为直角坐标方程为 x2＋y2＝2x. 即(x－1)2＋y2＝1，表示以(1，0)为圆心，1 为半径的圆．(3 分) 直线 l 的极坐标方程是ρsin(θ＋ π 6 )＝m，即1 2ρcos θ＋ 3 2 ρsin θ＝m， 化为直角坐标方程为 x＋ 3y－2m＝0.(6 分) 因为直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点， 所以|1－2m| 2 ＝1，解得 m＝－1 2或 m＝3 2. 所以，所求实数 m 的值为－1 2或3 2.(10 分) C. 解：原不等式等价于 {x ≤ 0， 1－x－2x ≤ 4x或{0＜x ≤ 1， 1－x＋2x ≤ 4x或{x＞1， x－1＋2x ≤ 4x.(6 分) 解{x ≤ 0， 1－x＋2x ≤ 4x，得 x∈∅；数学试题 第 15 页（共 18 页） 数学试题 第 16 页（共 18 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此 卷 只 装 订 不 密 封 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 解{0＜x ≤ 1， 1－x＋2x ≤ 4x，得1 3≤x≤1； 解{x＞1， x－1＋2x ≤ 4x，得 x＞1. 所以原不等式的解集为[1 3，＋∞).(10 分) 22. 解：(1) 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形， 侧棱 PD⊥底面 ABCD， 所以 DA，DC，DP 两两垂直，故以{DA→ ，DC→ ，DP→ }为正交基底， 建立空间直角坐标系 Dxyz. 因为 PD＝DC，所以 DA＝DC＝DP， 不妨设 DA＝DC＝DP＝2， 则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)． 因为 E 是 PC 的中点，所以 E(0，1，1)． 所以AP→ ＝(－2，0，2)，BE→ ＝(－2，－1，1)， 所以 cos〈AP→ ，BE→ 〉＝ AP→ ·BE→ |AP→ |·|BE→ | ＝ 3 2 ， 从而〈AP→ ，BE→ 〉＝π 6 . 因为异面直线 AP 与 BE 所成角的大小为π 6 .(4 分) (2) 由(1)可知，DE→ ＝(0，1，1)，DB→ ＝(2，2，0)，PB→ ＝(2，2，－2)． 设PF→ ＝λPB→ ，则PF→ ＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF→ ＝DP→ ＋PF→ ＝(2λ，2λ，2－2λ)． 设 m＝(x1，y1，z1)为平面 DEF 的一个法向量， 则{m·DF→ ＝0， m·DE→ ＝0， 即{λx1＋λy1＋（1－λ）z1＝0， y1＋z1＝0， 取 z1＝λ，则 y1＝－λ，x1＝2λ－1. 所以 m＝(2λ－1，－λ，λ)为平面 DEF 的一个法向量．(6 分) 设 n＝(x2，y2，z2)为平面 DEB 的一个法向量， 则{n·DB→ ＝0， n·DE→ ＝0， 即{2x2＋2y2＝0， y2＋z2＝0， 取 x2＝1，则 y2＝－1，z2＝1. 所以 n＝(1，－1，1)为平面 BDE 的一个法向量．(8 分) 因为二面角 FDEB 的正弦值为 3 3 ， 所以二面角 FDEB 的余弦值为 6 3 ， 即|cos〈m，n〉|＝ 6 3 ， 所以 |m·n| |m|·|n|＝ 6 3 ， |4λ－1| 3· （2λ－1）2＋2λ2＝ 6 3 ， 化简得 4λ2＝1. 因为点 F 在线段 PB 上，所以 0≤λ≤1， 所以λ＝1 2，即PF PB＝1 2.(10 分)数学试题 第 17 页（共 18 页） 数学试题 第 18 页（共 18 页） ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 23. 解：(1) 设甲第 i 次投中获胜的事件为 Ai(i＝1，2，3)，则 A1，A2，A3 彼此互斥． 甲获胜的事件为 A1＋A2＋A3. P(A1)＝2 5； P(A2)＝3 5×1 3×2 5＝ 2 25； P(A3)＝(3 5 ) 2 ×(1 3 ) 2 ×2 5＝ 2 125. 所以 P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝2 5＋ 2 25 ＋ 2 125＝ 62 125. 答：甲获胜的概率为 62 125.(4 分) (2) X 所有可能取的值为 1，2，3. 则 P(X＝1)＝2 5＋3 5×2 3＝4 5； P(X＝2)＝ 2 25＋3 5×1 3×3 5×2 3＝ 4 25； P(X＝3)＝(3 5 ) 2 ×(1 3 ) 2 ×1＝ 1 25. 即 X 的概率分布列为 　　 X 1 2 3 P 4 5 4 25 1 25 (8 分) 所以 X 的数学期望 E(X)＝1×4 5＋2× 4 25＋3× 1 25＝31 25.(10 分)