1
江苏省 2020 年普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟试题
第 I 卷（必做题）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题
1．已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 _______
2．已知复数 为纯虚数，其中 为虚数单位，则实数 的值是________.
3．阅读如图所示的程序框，若输入的 n 是 30，则输出的变量 S 的值是______.
4．函数 的定义域是____________
5．在某次数学测验中， 位学生的成绩如下： 、 、 、 、 ，他们的平均成绩为 ，则他们成
绩的方差等于________.
6．某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中任选 2 门课程学习，则该同
学“选到文科类选修课程”的概率为______.
7．在平面直角坐标系 中，已知点 是抛物线 与双曲线 的一个交点.若抛物
线的焦点为 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为______
8．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和，已知 a2a4=1，S3=7，则 S5=____________.
9．已知 , , , 是球 的球面上的四点， ， ， 两两垂直， ,且三棱锥
{ }1,3,2 1A m= − − { }23,B m= B A⊆ m =
( 2 )(1 )a i i+ + i a
( )
2
1
3 4
lg xy x x
−= − −
5 78 85 a 82 69 80
xOy A 2 4y x= ( )2 2
2 1 04
x y bb
− = >
F 5FA =
P A B C O PA PB PC PA PB PC= =2
的体积为 ，则球 的表面积为______．
10．若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的距离的最小值为____________
11．已知 且满足 1，则 的最小值为_____.
12．已知 C 是以 AB 为直径的半圆上一点，且 C 是线段 PQ 的中点，若 AB=5，PQ=1， 与 的夹角为
，则 ________.
13．已知 是第二象限角，且 ，则 的值为______．
14．已知函数 ，若函数 恰好有 2 个不同的零点，则实数 m 的
取值范围是______.
二、解答题
15．在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， .
（1）若 面积为 ，求 ab 的值；
（2）若 ，求 .
16．如图，在四棱锥 中，四边形 ABCD 为平行四边形，E 为侧棱 PD 的中点，O 为 AC 与 BD 的
交点．
（1）求证： 平面 PBC；
（2）若平面 平面 ABCD， ， ， ，求证： ．
P ABC− 4
3 O
P 2 lny x x= − P 2y x= −
, , ,a b c d R∈ 3 3
2
a lna d
b c
+ −= = 2 2( ) ( )a c b d− + −
PQ AB
120° AP BQ⋅ =
θ 4sin 5
θ = tan 2 4
θ π −
1 , 0
( ) 1 , 0
x xxf x
x xx
+ >=
− > 31 2
， 1e 2
=
( )l y kx m 0k= + ≠： M N， MN
1G 08
， k
A B 20km AB AB C
A B A B
C A xkm C A B y
A A B
B k AB A B
y x
AB A B
A4
19．设函数 （其中 为实数）.
（1）若 ，求 零点的个数；
（2）求证：若 不是 的极值点，则 无极值点.
20．给定数列 ，记该数列前 项 中的最大项为 ，该数列后 项 ， ， …..，
中的最小项为 ， .
（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的 ， ， ；
（2） 是数列 的前 项和，若对任意 ，有 ，其中 且 ，
①设 ，判断数列 是否为等比数列；
②若数列 对应的 满足： 对任意的正整数 恒成立，求 的取值范围.
第 II 卷（附加题）
21．已知矩阵 ， ，列向量 .
（1）求矩阵 ；
（2）若 ，求 ， 的值.
( ) ( )1 2 2 1xf x e ax a x−= + − + a
0a > ( )f x
1x = ( )f x ( )f x
{ }na i 1 2, , , ia a a… iA n i− 1ia + 2ia + na
,i i i iB d A B= − ( 1,2,3... 1)i n= −
1d 2d 3d
nS { }na n n N +∈ 2 1(1 ) 3 3n nS a nλ λ− = − + + 0λ > 1λ ≠
2
3( 1)n nb a λ= + − { }nb
{ }na id 1i id d+ > 1,2, 2i n= … − λ
4 0
0 1A
=
1 2
0 5B
=
X a
b
=
AB
1 1 5
1B A X− − =
a b5
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）已知点 是曲线 上的动点，求点 到曲线 的最小距离.
23．已知函数 ， ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集包含[–1，1]，求 的取值范围．
24．设 .已知
（1）求 的值；
（2）求 的值.
25．口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放
回的从口袋中随机取出一个球，最多取球 2n＋1(n )次．若取出白球的累计次数达到 n＋1 时，则终止取
球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为 ．
（1）求 ；
（2）证明： ．
xOy 1C
6 3
x t
y t
= = +
t O x
2C 2 2 23 2 cos 3ρ ρ θ− =
1C 2C
P 2C P 1C
2( ) 4f x x ax= − + + ( ) | 1| | 1|g x x x= + + −
1a = ( ) ( )f x g x≥
( ) ( )f x g x≥ a
( ) ( ) ( ) ( )2
0 1 21 1 1 1 , Nn n
nx a a x a x a x n ∗+ = + − + − …+ − ∈
1
1023
n
i
i
a
=
= −∑
n
1
n
k
k
ka
=
∑
N ∗∈
nP
1P
1n nP P+ ∴ − − ≠ 1x < 1x ≠ −
( )
2
1
3 4
lg xy x x
−= − −
( ) ( ), 1 1,1−∞ − − ( ) ( ), 1 1,1−∞ − −
5 a
78 85 82 69 5 80a∴ + + + + = × 86a =
2 2 2 2 2 21[(78 80) (85 80) (86 80) (82 80) (69 80) ] 385s∴ = − + − + − + − + − =7
6．
【解析】某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中任选 2 门课程学习，
基本事件总数为 ，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为
.∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是 .故答案为： .
7．
【解析】设点 A(x,y),因为 x-(-1)=5,所以 x=4.所以点 A(4,±4)，
由题得
所以双曲线的渐近线方程为 .故答案为
8．
【解析】∵{an}是由正数组成的等比数列，且 a2a4=1，
∴设{an}的公比为 q，则 q>0，且 ，即 a3=1.
∵S3=7，∴a1＋a2＋a3= ＋ ＋1=7，即 6q2－q－1=0.
故 q= 或 q=－ (舍去)，∴a1= =4.∴S5= =8(1－ )= .
9．
【解析】三棱锥的体积为 ，故 ，
因为 ， ， 两两垂直， ，故可把三棱锥补成正方体，
该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，
又体对角线的长度为 ，故球的表面积为 .
10．
【解析】因为点 P 是曲线 上任意一点，则点 P 到直线 的距离的最小值是过点 P 的切
7
10
2
5 10n C= =
2 1 1
2 3 2 7m C C C= + = 7
10
mp n
= = 7
10
2 3
3y x= ±
5FA = ，所以
2
2 2
16 16 16 161, 3 , .4 3bb b
− = ∴ = ∴ =
4 3 23 32 3y x x= ± = ±
2 3
3y x= ±
31
4
2
2 4 3 1a a a= =
2
1
q
1
q
1
2
1
3 2
1
q
514 1 2
11 2
× −
−
5
1
2
31
4
12π
21 1 4
3 2 3V PA PA= × × × = 2PA =
PA PB PC PA PB PC= =
2 3 ( )2
2 3 12S π π= × =
2
2 lny x x= − 2y x= −8
线与直线平行的时候，则 ，即点（1，1）那么可知两平行线间的距离即点（1，1）
到直线的距离为
11． ln2
【解析】因为 ， 所以可将 ， 分别看成函数 与
上任意一点，问题转化为曲线上的动点 与直线上的动点 之间的最小值的平方问题，
设 是曲线 的切点，因为 ，
故点 M 处的切斜的斜率 ，由题意可得 ，解得 ，
也即当切线与已知直线 平行时，此时切点 到已知直线 的距离最近，
最近距离 ，也即 .
12． ；
【解析】由 C 是以 AB 为直径的半圆上一点，且 C 是线段 PQ 的中点，
且 与 的夹角为 ，可得 ，且
则
.
13．
【解析】 是第二象限角，且 ，
， ， ，
，又 ，
1' 2 1 1y x xx
= − = ∴ =
2
9
5
2
3
e
3 3 12
a lna d
b c
+ −= = ( , )P a b ( , )Q c d 3lny x x= +
2 3y x= + P Q
( , 3 )M t t lnt+ 3lny x x= + 31y x
′ = +
31k t
= + 31 2t
+ = 3t =
2 3y x= + (3,3 3ln3)M + 2 3y x= +
6 3 3 3 3 6 3 3
5 5
ln lnd
− − + −= = 2 2
2 2 29(2 ln3) 9( ) ( ) ln5 5 3
ea c b d
−− + − = =
3
2
−
PQ AB 120° AC BC⊥ = − CP CQ
( ) ( )AP BQ AC CP BC CQ AC BC AC CQ CP BC CP CQ⋅ = + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
0 AC CQ CQ BC CP CQ AC CQ CQ CB CP CQ= + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
( )AC CB CQ CP CQ AB CQ CP CQ= + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
1 1 1 1 3cos120 cos180 5 ( ) ( 1)2 2 2 2 2AB CQ CP CQ= ⋅ + ⋅ = × × − + × × − = −
1
3
θ 4sin 5
θ =
∴ 2 , 2 ,2 k k k Z
πθ π π π ∈ + + ∈
2 3cos 1 sin 5
θ θ= − − = − sin 4tan cos 3
θθ θ= = −
∴
2
2tan 42tan tan 2 2 31 tan 2
θ
θθ θ
= ⋅ = = − −
, ,2 4 2k k k Z
θ π ππ πæ öç ÷Î + + Îç ÷ç ÷è ø9
，解得 ， ．
14．
【解析】令函数 ，得 ，
结合函数 的图象知当 时，
函数 的图象与直线 恰好有 2 个不同的交点，所以 .
15．【解析】（1）因为 ，
在 中，由正弦定理 ，得 ，
化简得 ，
在 中，由余弦定理得， ，因为 ，所以 ，
又 面积为 ，可得 ，所以 ab=4.
（2）因为 ，在 中，由正弦定理 ，
所以 ，因为 ，所以
由（1）得 ，所以 ，
化简得 ，所以 .
∴ θtan 02 > tan 22
θ = ∴
tan 1 2 1 12tan 2 4 1 2 31 tan 2
θ
θ π
θ
− − − = = = + +
{ }( 1,0) 2 2− ∪
( ) ( ) 0g x f x x m= + − =
12 , 0
1( ) 2 , 1 0
1 , 1
x xx
m f x x x xx
xx
+ >
= + = − − ≤
2 24 3m k< + ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y ( )0 0,x y11
则 ，∴
∴ ，
∴点 A 的坐标为 ，
∴直线 AG 的斜率为 ，
又直线 AG 和直线 MN 垂直，∴ ，∴ ，
将上式代入（1）式，可得 ，整理得 ，
解得 ．∴实数 的取值范围为 ．
18．【解析】（1）由题意得 ，
又 当 时， ，
， .
（2） ，
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
弧 上存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城 和城 的总影响度最小.
19．【解析】（1）由题意得 ，所以 ，
又 ，且 ，所以 恒成立，从而函数 在 上单调递增，
2
1 2 1 22 2
8 4 12,3 4 3 4
mk mx x x xk k
−+ = − =+ + 0 2
4 ,3 4
mkx k
= − +
2
0 0 2 2
4 3
3 4 3 4
mk my kx m mk k
= + = − + =+ +
2 2
4 3,3 4 3 4
mk m
k k
− + +
2
2
2
3
243 4
4 1 32 3 4
3 4 8
AG
m
mkk mk mk k
k
+= = − − −− −+
2
24 · 132 3 4
m kmk k
= −− − −
23 4
8
km k
+= −
22
23 4 4 38
k kk
+ < +
2 1
20k >
5 5
10 10k k> < −或 k 5 5, ,10 10
∞ ∞ − − ∪ +
( )2 2
4 0 20400
ky xx x
= + <
( )y f x= ( ),1−∞ ( )1,+∞
( )1 0f a= − < ( ) 10 0f e
= > ( )y f x= ( ,1]−∞
( )y f x= ( ),1−∞ 1
( )1 0f a= − < ( )2 2 0f e= − > ( )y f x= [ )1,+∞
( )y f x= [ )1,+∞ 1
0a > ( )y f x= 2
0a > ( )y f x′= R
( )1 0f ′ = 1x < ( ) 0f x′ < 1x > ( ) 0f x′ >
1x = ( )y f x=
0a = 1x = ( )y f x=
0a < ( ) 1 2 0xf x e a−′′ = + = ( )1 ln 2x a= + − ( )y f x′′= R
( )1 ln 2x a< + − ( ) 0f x′′ < ( )1 ln 2x a> + − ( ) 0f x′′ >
( )y f x′= ( )( ),1 ln 2a−∞ + − ( )( )1 ln 2 ,a+ − +∞
( )1 ln 2 1a+ − < 1 02 a− < < ( )( )1 ln 2 ,1x a∈ + − ( ) 0f x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
1x = ( )y f x=
( )1 ln 2 1a+ − > 1
2a < − 1x = ( )y f x=
( )1 ln 2 1a+ − = 1
2a = − ( ) 0f x′ ≥ ( )y f x= R 1x =
( )y f x=
1x = ( )y f x= 1
2a = − ( )y f x= R
( )y f x=
1 3A = 1 1B = 1 2d = 2 4A = 2 1B = 2 3d = 3 7A = 3 1B = 3 6d =13
（2）①当 时， ，所以 ；
当 时，由 ，则 ，
两式相减得 ，即 ，
所以 .
因为 ，
所以当 时， ，故 ，
所以数列 满足 ，
即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
当 时， ，故 ，数列 不是等比数列.
②由①知，当 时， ；
当 时， .
又 ，
，
由于 ，
所以由 ，可得， .
所以 对任意的正整数 恒成立，
即数列 的前 项单调递增是题设成立的必要条件，易知 .
因为 ， ，
1n = 1 1(1 ) 1a aλ λ− = − + 1 1a =
2n ≥ 2 1(1 ) 3 3n nS a nλ λ− = − + + 1 1
2 1(1 ) ( 1)3 3n nS a nλ λ− −− = − + − +
1
2(1 ) 3n nna a aλ λ λ −− = − + + 1
2
3n na aλ −= +
1 1 1
2 2 2
3 3( 1) 3( 1)n n n nb a a bλ λ λλ λ− − −
= + + = + = = − −
1 1
2 3 1
3( 1) 3( 1)b a
λ
λ λ
−= + =− −
1
3
λ ≠ 1
3 1 03( 1)b
λ
λ
−= ≠− 0nb ≠
{ }nb
1
( 2)n
n
b nb
λ
−
= ≥
{ }nb 3 1
3( 1)
λ
λ
−
− λ
1
3
λ = 1
3 1 03( 1)b
λ
λ
−= =− 0nb = { }nb
1
3
λ ≠ 13 1 2
3( 1) 3( 1)
n
na
λ λλ λ
−−= ⋅ −− −
1
3
λ = 2
3( 1)na λ= − −
{ } { }1 2 1 2max , , , min , , ,i i i i nd a a a a a a+ += ⋅⋅⋅ − ⋅⋅⋅
{ } { }1 1 2 1 2 3max , , , min , , ,i i i i nd a a a a a a+ + + += ⋅⋅⋅ − ⋅⋅⋅
{ } { }1 2 2 3min , , , min , , ,i i n i i na a a a a a+ + + +⋅⋅⋅ ≤
1i id d+ > { } { }1 2 1 2 1max , , , max , , ,i ia a a a a a + 1n na a+ > 3 1 03( 1)
λ
λ
− >− 1λ >
1 0i id d +− ≥ 1i id d+ >
0 1λ< < 1n na a+ > 3 1 03( 1)
λ
λ
−
λ 1 ,13
4 0 1 2 4 8
0 1 0 5 0 5AB
= =
1 1 5
1B A X− − =
5
1X AB
=
4 8 5 28
0 5 1 5
= =
aX b
= 28a = 5b =
t 3 6y x= + 1C 3 6 0x y− + =
2 2 23 2 cos 3ρ ρ θ− = x cos
y sin
ρ θ
ρ θ
=
=
( )2 2 23 2 3x y x+ − =
2
2 13
x y+ = 2C
2
2 13
x y+ =
P ( )3cos ,sinθ θ
P 1C 3cos
2
sin 6d
θ θ− += ( )10cos 6
2
θ ϕ+ +
=
( )cos 1θ ϕ+ = − d P 1C 6 10
2
−
1a = ( ) ( )f x g x≥ 2 1 1 4 0x x x x− + + + − − ≤15
当 时，①式化为 ，无解；
当 时，①式化为 ，从而 ；
当 时，①式化为 ，从而 .
所以 的解集为 .
（2）当 时， .
所以 的解集包含 ，等价于当 时 .
又 在 的最小值必为 与 之一，所以 且 ，得 .
所以 的取值范围为 .
24．【解析】（1）令 得， ；令 得，
所以 ，则 .
（2）对 两边求导得
令 ， 得
25．【解析】（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为 ，取出的球是黑球的概率为 ，
所以 ；
（2）证明：累计取出白球次数是 的情况有：
前 n 次取出 n 次白球，第 n +1 次取出的是白球，概率为
前 n+1 次取出 n 次白球，第 n +2 次取出的是白球，概率为
前 2n﹣1 次取出 n 次白球，第 2n 次取出的是白球，概率为
前 2n 次取出 n 次白球，第 2n +1 次取出的是白球，概率为
1x < − 2 3 4 0x x− − ≤
1 1x− ≤ ≤ 2 2 0x x− − ≤ 1 1x− ≤ ≤
1x > 2 4 0x x+ − ≤ 1 171 2x
− +< ≤
( ) ( )f x g x≥ 1 17{ | 1 }2x x
− +− ≤ ≤
[ ]1,1x∈ − ( ) 2g x =
( ) ( )f x g x≥ [ ]1,1− [ ]1,1x∈ − ( ) 2f x ≥
( )f x [ ]1,1− ( )1f − ( )1f ( )1 2f − ≥ ( )1 2f ≥ 1 1a− ≤ ≤
a [ ]1,1−
1x = 0 2na = 0x = 0 1 2 1na a a a+ + +⋅⋅⋅+ =
1 2 1 2 1023n
na a a+ +⋅⋅⋅+ = − = − 10n =
2
0 1 2(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n n
nx a a x a x a x+ = + − + − +⋅⋅⋅+ −
1 1
1 2(1 ) 2 (1 ) (1 )n n
nn x a a x na x− −+ = − − − −⋅⋅⋅− −
0x = 10n =
1
10
n
k
k
ka
=
= −∑
2
5
3
5
1 2
1 2
2 2 2 3 44( )5 5 5 5 125P C= × + × × =
1n+
12( )5
n n
nC +×
1
1
2 3( )5 5
n n
nC +
+ × ×
1 1
2 1
2 3( ) ( )5 5
n n n
nC + −
− × ×
1
2
2 3( ) ( )5 5
n n n
nC +× ×16
则
因此
则
因为 ，
所以 ，因此 ．
1 1 1 1
1 2 1
2 2 3 2 3( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 5 5
n n n n n n n
n n n nP C C C+ + + −
+ −= × + × × + + × × +
1 1 0 1 1 1
2 1 2 1 2
2 3 2 3 3 3( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]5 5 5 5 5 5
n n n n n n n n
n n n n nC C C C C+ + − −
+ −× × = × + × + + × + ×
2 0 1 1 1
1 1 2 2 1 2 2
2 3 3 3( ) [ ( ) ( ) ]5 5 5 5
n n n n n
n n n n n nP P C C C C+ + +
+ + + + +− = × + × + + × + ×
1 0 1 1 1
1 2 1 2
2 3 3 3( ) [ ( ) ( ) ]5 5 5 5
n n n n n
n n n nC C C C+ − −
+ −− × + × + + × + ×
1 0 1 1 1
1 2 2 1 2 2
2 3 3 3( ) {[ ( ) ( ) ]5 5 5 5
n n n n n
n n n nC C C C+ + +
+ + + += × + × + + × + ×
0 1 +1 +1 +2
2 2 +1 2 +1 2 +2
3 3 3 3[ ( ) ( ) + ( ) ]}5 5 5 5
n n n n n n
n n n n nC C C C C+− + × + + × + × ×
1 1 1 1 1 2
1 2 2 2 1 2 2
2 3 3 3( ) [ ( ) ( ) ( ) ]5 5 5 5
n n n n n n n
n n n n nP P C C C+ + + + + +
+ + + +− = × × − × − ×
1 1 1 1
2 2 2 1 2 2
2 3 3( ) ( ) ( )5 5 5
n n n n n
n n nC C C+ + + +
+ + += × − − 1 1 1 1
2 1 2 2
2 3 3( ) ( ) ( )5 5 5
n n n n
n nC C+ + + +
+ += × −
1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
3 3 2 3 1( )5 5 5 5 5
n n n n n n n n
n n n n n n n nC C C C C C C C+ + + + +
+ + + + + + + +− = − + = − = −
1 1
1 2 1
2 3 1( ) ( ) ( ) 05 5 5
n n n
n n nP P C+ +
+ +− = × × − < 1n nP P+
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