江西省2020届高三数学（理）下学期校测（三）试题（Word版附答案）

2020 届高三校测(三) 数学(理)试卷 命题：高三数学备课组 第 I 卷 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则集合 可以是 （ ） A. B. C. D. 2.若复数 的其共轭复数 满足 ，则复数 为（ ） A. B. C. D. 3. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕 琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示 意图， 为 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取 自扇面（扇环）部分的概率是（ ） A． B． C． D． 4．设 ， ， ,则（ ） A． B． C． D． 5. 已知点 在 表示的平面区域内，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数 的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 明代数学家程大位（1533~1606 年），有感于当时筹算方法的不便，用 其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序 框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若 输出的 的值为 ，则输入的 的值为（ ） A . B. C. D. 8. ( ) A. B. C. D. c b a< < . 4{ log 1}M x x= < {2}M N = N {1,2} {2,3} {2,4} {2,3,4} z z ii z 311 +=+ z i42 −− i42 +− i44 − i44 + A OB 1 4 1 2 5 8 4 3 52−=a 5log 2b = 8log 5c = a b c< < b c a< < c a b< < ( , )m n m n+ − 0 0 2 2 x y x y x y − ≥  + ≥  − ≥ 2 2m n+ 2 5 10 5 4 9 2 3 ( ) ( )2 cos ln 1 xf x x x = + − y 2 x 7 4 56 27 2 164 81 =⋅−=⋅==∆ ACABBEADACEDCBDACABABC ，则4的中点，若是2中， ,, 0 2 4 89. 已知数列 为等差数列, 是其前 项和, . 数 列 的 前 项 和 为 , 若 对 一 切 都 有 恒成立,则 能取到的最小整数为( ) A. B. C. D. 10. 在棱长为 的正方体 中， 是正方形 的中心， 为 的中点，过 的平面 与直线 垂直,则平面 截正方体 所得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 11.已知双曲线 的焦距为 ，若 的渐近线上存在点 ,使得经过点 所作的圆 的两条切线互相垂直，则双曲线 的离心率的取值范围是( ) A． ] B．（ ] C． ] D．（ ] 12.已知函数 ，方程 恰有两个不同的实数根 , 则 的最小值与最大值的和( ) A. B. C. D. 第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 某产品的宣传费用 （万元）与销售额 （万元）的统计数据如下表所示： 宣传费用 （万元） 4 2 3 5 销售额 （万元） 45 24 50 根据上表可得回归方程 则宣传费用为 3 万元时，对应的销售额 为 ． 14．定义在 R 上的函数 满足对任意的 都有 .设 ，若 ，则 ． 15. 已知 ，若 ，则 的值为______. 16.高三年级毕业成人礼活动中，要求 A,B,C 三个班级各出三人，组成 小方阵，则来自同 一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为 . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每道 试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共 60 分. 17. （本小题满分 12 分）如图，在 中，点 P 在边 BC 上， . (1) 求 的大小； (2)若 ，求 的值. 18. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 { }na nS n 2 55, 35= =a S       ⋅ +1 1 nn aa n nT * ∈n N nTm >+ 12 m 1− 0 1 2 2 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1 1BB C C M 1 1C D 1A M α DE α 1 1 1 1ABCD A B C D− 24 2 6 52 102 2 2 2 2: 1( 0)x yM b aa b − = > > 2c M T T 2 2 2( )x c y a− + = M ( 30, 3,1 ( 32, 2,1 ( )    ≤< ≤≤−−= exx xxxf 0 021 2 ,ln , ( ) axf = )(, 2121 xxxx < 2 2 1 xx + e+2 2 36 −+ e 34 −+ e x y x y a ˆ 9.6 2.9y x= + a )(xf yx, )()()( yfxfyxf +=+ 2xxxfxg ++= sin)()( 202010 =)(g =− )( 10g 2 2 0 2 4a x dxπ= −∫ 2020(1 )− =ax 2 2020 0 1 2 2020 ( )+ + +⋅⋅⋅+ ∈b b x b x b x x R 20201 2 2 20202 2 2 + +⋅⋅⋅+ bb b 3 3× ABC∆ .4,2,3 =+== PCACAPC π APB∠ 2 35的面积为ABC∆ PAB∠sinABCD， E 是 PD 的中点． (1)证明：直线 平面 PAB； (2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 ，求二面角 的 余弦值． 19. （本小题满分 12 分）已知点 F1，F2 为椭圆 的左、右焦点，F1， F2 都在圆 E： 上，椭圆 C 和圆 E 在第一象 限相交于点 P，且线段 PF1 为圆 E 的直径． （1）求椭圆 C 的方程； （2）椭圆 C 的左、右顶点分别为 M，N，过定点 Q 的直线 l: x＝ ty﹣2（t+1）与椭圆 C 分别交于点 A，B，且点 A，B 位于第一象 限，点 A 在线段 BQ 上，直线 OQ 与 NA 交于点 C．记直线 MB， MC 的斜率分别为 k1，k2．求证：k1k2 为定值． 20. （本小题满分 12 分） 2019 年由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻 10 月 21 日至 22 日首 次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为 1046.3 公斤，第三代杂交水稻的综合优势可以 推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的食 品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量 以某项指标值 为衡量标准，其质量指标的等级划分如表： 质量指标值 产品等级 废品 合格 良好 优秀 良好 为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随 机抽取了 1000 件产品，测量了每件产品的指标值，得到 产品质量指标值 的频率分布直方图（如图）． （1）若从质量指标值不小于 85 的产品中利用分层抽 样的方法抽取 7 件产品，并采集相关数据进行分析，然 后从这 7 件产品中任取 3 件产品，求质量指标值 ， 的件数 的分布列及数学期望； （2）若将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取 3 件产品，记“抽出的产品中至少 有 1 件为合格或合格以上等级”为事件 ，求事件 发生的概率； （3）若每件产品的质量指标值 与利润 （单位：元）的关系如表所示 质量指标值 利润 （元 请问生产该产品能否盈利？若不能，试说明理由；若能，试确定 为何值时，利润达到最大 （参考数值： ， ， ． 21. （本小题满分 12 分）已知函数 ， (1)讨论函数 的单调性 (2)若 有两个零点 证明： ( ) lnf x kx x= − ( )k R∈ ( )f x ( )f x 1 2 1 2, ( )x x x x< 12 1 ekx ex −> o1 , 90 ,2AB BC AD BAD ABC= = ∠ = ∠ = CE∥ o45 M AB D− − 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 3 02 yx y+ − − = ( [70,100])k k ∈ k 10090 即 ，整理可得 .（12 分） 方 法 二 ： 由 （ 1 ） 知 ， 有 两 个 零 点 ， 则 且 ， 得 ， 则 ， ，又 ， （7 分） 且 ，又 ， 即 ，又 在 上单调递减，（9 分） ，又 ， ，所以原命题成立.（12 分） 22. 【解析】（1）将 改为 ， 化为极坐标方程为 ；（4 分） （2）将 代入 得， ，（6 分） 以为 ， 所以方程 有 2 个不同的根 ， ， 所以直线 与曲线 相交，公共弦的长为 .（10 分） 23. 【解析】(1)当 时， （2 分） 令 ，解得 ，即解集为： （5 分） (2)当 ，可得 ，（7 分） 的图像与 轴围城的三角形面积等于 6， （10 分） 12 1 ekx ex −>2 2 1 2 lnln 1 lnxx e xx + − > ( )f x 1 2,x x 0k > 1( ) 1 ln 0f kk = + < 10 k e < < 1 ek > 1 2x x > 1 1eke e k < < ( ) ( ) 0ek ek ekf e ke ek k e e= − = − < 1( ) 0f x = 1( ) ( )ekf e f x< ( )f x 1(0, )k 1 1 1(0, ), (0, )eke xk k ∈ ∈ 10 ekx e∴ < < 2x e> 12 1 ek ek x e ex e −∴ > = 2 2( 1) ( 1) 3x y− + + = 2 2 2 2 1 0x y x y+ − + − = 2 2 cos 2 sin 1 0ρ ρ θ ρ θ− + − = 3 πθ = 2 2 cos 2 sin 1 0ρ ρ θ ρ θ− + − = 2 ( 3 1) 1 0ρ ρ+ − − = 2 1 ( 3 1) 4 8 2 3 0∆ = − + = − > 2 ( 3 1) 1 0ρ ρ+ − − = 1 ρ 2 ρ l C 1 2 8 2 3ρ ρ− = ∆ = − 1=a 21 ++−= xxxf )(    −≤−−