2020 届高三校测(三)
数学(文)试卷
命题：高三数学备课组
第 I 卷
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则集合 可以是 （ ）
A.
B.
C.
D.
2. 若复数 的其共轭复数 满足 ，则复数 为（ ）
A.
B.
C.
D.
3．某产品的宣传费用 （万元）与销售额 （万元）的统计数据如下表所示：
宣传费用 （万元） 4 2 3 5
销售额 （万元） 45 24 50
根据上表可得回归方程 则宣传费用为 3 万元时，对应的销售额 为（ ）
A.36.5 B.30 C.33 D.27
4．设 ， ， 则（ ）
A. B． C． D．
5.已知点 在 表示的平面区域内，则
的 最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易
于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，
七
子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数 n 被 3 除余 2，被
5 除余 3，被 7 除余 4，求 n 的最小值．按此口诀的算法如图，
则输出 n 的结果为（ ）
A．263
B．158
C．54
D．53
7. 定 义 在 R 上 的 函 数 满 足 对 任 意 的 都 有 . 设
，若 ，则 （ ）
A．-2020 B．2020 C．0 D．1010
8. 已知 的外接圆直径为 1，D 是 BC 的中点，且 ，则
（ ）
A．20 B． C．10 D．
9. 函数 y＝sinx+ln|x|在区间[﹣3，3]的图象大致为（ ）
c b a< <
4{ log 1}M x x= < {2}M N = N
{1,2} {2,3} {2,4} {2,3,4}
z z ii
z 311
+=+ z
i42 −− i42 +− i44 − i44 +
x y
x
y a
ˆ 9.6 2.9y x= + a
52−=a 5log 2b = 23log=c
a b c< < b c a< < c a b< <
( , )m n m n+ −
0
0
2 2
x y
x y
x y
− ≥
+ ≥
− ≥
2 2m n+
2
3
10
5
4
9
2
5
)(xf yx, )()()( yfxfyxf +=+
xxxfxg −+= sin)()( 202010 =)(g =− )( 10g
ABC∆ sin sin 20AC B AB c− =
=⋅ BCAD
210 310A． B． C． D．
10. 已知数列 为等差数列, 是其前 项和, .数列 的前 项
和为 ,若对一切 都有 恒成立,则 能取到的最小整数为( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线 C: 的离心率为 ，过点 的直线 l 与双曲线 C 交于不同的
两点 A、B,且 为钝角（其中 O 为坐标原点），则直线 l 斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数 ，若不等式 对于任意的非负实数 都成
立，求实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 若向量 ， ，则 ．
14. 我市 VR 大会展厅前广场改造,在人行道（斑马线）两侧划分 5 块区域(如图)，现有四种不
同颜色的花卉,要求每块区域随机种植一种颜色的花卉,且相邻区域（有公共边的区域）所选花
卉颜色不能相同,则不同的摆放方式共有 种.
15. 三棱柱 ABC—A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，且球的表面积等于 20π．若 AB＝AC=2，
∠BAC＝120°，则此棱柱高为________．
16.已知椭圆 的焦点为 ,若在长轴 上任取一点 M，过点 M 作垂
直于 的直线交椭圆于点 P,若使得 的点 M 的概率为 ，则 m 的值为
________．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每道
试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共 60 分.
17. （本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ，点 在函数
{ }na nS n 2 55, 35= =a S
⋅ +1
1
nn aa n
nT *
∈n N nTm >+ 12 m
1− 0 1 2
2
2 1− =x ym
6
2
( )2,0P
∠AOB
∪
−
2
2,00,2
2 5 5,0 0,5 5
− ∪
2 2, ,2 2
−∞ − ∪ +∞
5 5, ,5 5
−∞ − ∪ +∞
xaxxf )1(ln)( +−= 1)( 2 −+≤ baxxf a
b( ]0,∞− ( ]1,∞− [ )+∞,0 [ )+∞,1
1(tan15 , )cos75a = ° °
(1,sin 75 )b = ° a b⋅ =
2
2
2 1x ym
+ = ( )0m > 21 FF , 21 AA
21 AA 021 <
→
⋅
→
PFPF
3
6
{ }na n nS ( )( )*, nn S n N∈ 2xy =的图像上，数列 满足 ,
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 ．
18. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面
ABCD，
E 是 PD 的中点．
（Ⅰ）证明：直线 平面 PAB；
（Ⅱ）若点 M 为 PC 的中点， ,求点 D 到平面
MAB 的距离．
19. （本小题满分 12 分）某校为了解学生在新冠病毒疫情期间学生自制力，学校随机抽取 80
位学生，请他们家长（每位学生请一位家长）对学生打分，满分为 10 分.下表是家长所打分数
的频数统计.
分数 5 6 7 8 9 10
频数 4 8 20 24 16 8
（Ⅰ）求家长所打分数的平均值；
（Ⅱ）若分数不小于 8 分为“自制力强”,否则为“自制力一般”,在抽取的 80 位学生中，男同
学共 42 人，其中打分为“自制力强”的男同学为 18 人，是否有 99.5%的把握认为“自制力强”与
性别有关？
（III）在评分为 10 分的学生中有 7 名女同学，小雯同学也在其中，学校团委随机抽选这七名
女同学中的两名同学座谈，则小雯同学被选中的概率是多少？
附：
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
20. （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 ， 轴 上 方 的 点
在抛物线上，且 ，直线 与抛物线交于 ，
两点（点 ， 与点 不重合），设直线 的斜率分别为
， ．
（Ⅰ）求该抛物线的方程；
（Ⅱ）当 时，证明：直线 恒过定点，并求出
{ }nb 63,3
10
11 +== + nn bbb
{ }na
( 3)n n nc a b= − { }nc n nT
o1 , 90 ,2AB BC AD BAD ABC= = ∠ = ∠ =
CE∥
4=PA
X
X
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2
0( )P K k≥
0k
( )2 2 0y px p= − > F x
( )2,M m− 5
2MF = l A B
A B M MBMA,
1k 2k
1 2 2k k+ = − l该定点的坐标．
21. （本小题满分 12 分）设函数 .
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，求证：方程 有唯一解.
(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计
分.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22 ．（本 小 题 满 分 10 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为
，以 为极点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标
系方程为 .
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）判断：直线 与曲线 是否相交？若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由.
选修 4-5：不等式选讲
23. （本小题满分 10 分）已知函数
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）当 时，若 的图像与 轴围成的三角形面积等于 6，求 的值.
高三校测(三)数学(文)试卷参考答案
1-12 C A D A D D A C A B A C
13. 4 14. 288 15. 2 16.
小题详解：
11. 【解析】由题意得，双曲线 C: ，
设 直 线 l ： ， 与 双 曲 线 C 联 立 得 ： ， 设 点
，则
( ) ( )ln 0k xf x x x kx
= − >
1k = ( )f x
( ) ( )23 12g x x k x= − + ( ) ( )f x g x=
xOy C
( ) ( )2 21 1 3x y− + + = O x l
( )
3 R
πθ ρ= ∈
C
l C
21 ++−= xaxxf )(
1=a 4≤)(xf
1−
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