2020 届高三校测(一)
文科数学试卷
命 题：高三数学备课组
第 I 卷
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知全集 ，集合 ，B={-1,0,1}，则
A． B． C． D．
2．若复数 ， 为虚数单位，则
A． B． C． D．
3．已知实数 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若函数 的图象的一条对称轴为 ,则 的最小值为
A． B． C． D．
5．已知数列 为等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 与 的等差中项
为 ，则
A． B． C． D．
6．已知向量 ， ，且 ，则
A． B．
C． D．
7．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题
目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和
尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算
法，则输出 的值为
A． B．
C． D．
8．已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75．现发现在收集
这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，
另一个错将 70 记录为 90．在对错误的数据进行更正后，重新求得
样本的平均数为 ，方差为 ，则
A．
B．
C．
D．
9．下列图象可以作为函数 的图象的有
{ }1− {1} { 1,0}− {0,1}
2 iz = − i (1 )(1 )z z+ − =
2 4i+ 2 4i− + 2 4i− − 4−
.a b 2ab ≥ 2 2 4a b+ ≥
( ) ( )sin 3cos 0xf x xω ω ω= − >
3x
π= ω
3
2 2 5
2 3
}{ na nS n 2 3 12a a a⋅ = 4a 72a
5
4 5S =
35 33 31 29
( 3,0)a = ( , 2)b x= − ( 2 )a a b⊥ − a b =
2 3− 2 3
3
2
− 3
2
n
20 25
30 35
x 2s
270, 75x s= <
270, 75x s= >
270, 75x s> <
270, 75x s< >
( ) 2
xf x x a
= +
U = R }10|{ ≤ a
2
1 1 ,2 2e
− − +∞ 2
1 ,2e
− +∞
[ )2− + ∞ 2
1 12, 2 2e
− − −
xy axe= 0x = y x= − a =
1
3DF DA=
4AE BF⋅ = − cos DAB∠
4 2 3
{ }na 1 1a = 1 2 2
13 3 2 3 2( 2)n n n
n na a n− − −
−= − ⋅ + ≥ nS
1na
n
+ n nS
3( ) 3 cos2 2sin( )sin( )2f x x x x
π π= + + − x∈R（1）求 的最小正周期及单调递增区间；
（2）已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，
，求 边上的高的最大值．
18．(12 分)为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济
收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的
趋势.下表给出了 2017 年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时 6 组死亡的株数：
温度 （单位： ） 21 23 24 27 29 32
死亡数 （单位：株） 6 11 20 27 57 77
经计算： ， ， ， ，
， ， ，其中 ， 分别为试验数据中
的温度和死亡株数， .
（1）若用线性回归模型，求 关于 的回归方程 （结果精确到 0.1）；
（2）若用非线性回归模型求得 关于 的回归方程 ，且相关指数为
.
(i)试与（1）中的回归模型相比，用 说明哪种模型的拟合效果更好；
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为 时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）.
附：对于一组数据 ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截距
的最小二乘估计分别为： ， ；相关指数为：
.
注：相关指数越趋近于 1 拟合效果越好
19．(12 分)已知四棱台 ABCD-A1B1C1D1 的下底面是边长为 4 的正方形，AA1=4，且 AA1⊥面
ABCD，点 P 为 DD1 的中点，点 Q 在 BC 上，BQ=3QC，DD1 与面 ABCD 所成角的正切值为
2.
（Ⅰ）证明：PQ//面 A1ABB1；
（Ⅱ）求证：AB1⊥面 PBC，并求三棱锥 Q-PBB1 的体积.
( )f x
ABC∆ A B C a b c ( ) 3f A = −
3a = BC
x C
y
6
1
1 266 i
i
x x
=
= =∑ 6
1
1 336 i
i
y y
=
= =∑ 6
1
( )( ) 557i i
i
x x y y
=
− − =∑ 6
2
1
( ) 84i
i
x x
=
− =∑
6
2
1
( ) 3930i
i
y y
=
− =∑ 6
2
1
( ) 23 .6ˆ 6 4i
i
y y
=
− =∑ 8.065 3167e ≈ ix iy
1,2,3,4,5,6i =
y x ^ ^ ^
y b x a= +
y x 0.23030.06ˆ xy e=
2 0.9522R =
2R
35 C
1 1( , )u v 2 2( , )u v ( , )n nu v ˆˆv uα β
∧
= +
1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
u u v v
u u
β
∧
=
=
− −
=
−
∑
∑ a v uβ
∧ ∧
= −
2
2 1
2
1
( )
1
( )
n
ii
i
n
i i
i
v v
R
v v
∧
=
=
−
= −
−
∑
∑20．(12 分)已知曲线 上的点到点 的距离比到直线 的距离小 ， 为坐标
原点.
（1）过点 且倾斜角为 的直线与曲线 交于 、 两点，求 的面积；
（2）设 为曲线 上任意一点，点 ，是否存在垂直于 轴的直线 ，使得 被以
为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 的方程和定值；若不存在，说明理由.
21．(12 分)已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）判断并说明函数 的零点个数.若函数 所有零点均在区间
内，求 的最小值.
(二)选考题：共 10 分.
22. 在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数），以坐标原点 为极点，以 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）已知点 ，直线 的极坐标方程为 ，它与曲线 的交点为 ， ，与
曲线 的交点为 ，求 的面积.
23. 已知 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围.
2020 届高三校测(一)文科数学试卷参考答案
第 I 卷
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，全集 ，集合 ，
可得 或 ，又由集合 ，所以 .故选：C.
2．若复数 ， 为虚数单位，则
A． B． C． D．
C ( )1,0F : 2 0l x + = 1 O
F 45 C M N MON△
P C ( )2,0N x l l
PN l
( ) 2ln 2f x x x x= + −
( )f x
( ) ( ) cosg x f x x= − ( )g x
[ ]( )m n m n∈ ∈Z Z， ， n m−
xOy 1
cos: 1 sin
x tC y t
=
= + t O x
2C 2 cos 3 33
πρ θ − =
1C
( )2,0M l 6
πθ = 1C O P
2C Q MPQ∆
( ) 1 1f x x ax= + − −
1a = ( ) 1f x >
( )0,1x∈ ( )f x x> a【答案】B
【解析】 ,选 B.
3．已知实数 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题考查充分必要条件的判断、不等式等知识．
充分性：由均值不等式 ；必要性：取 ，显然得不到 ．故
“ ”是“ ”的充分不必要条件，选 A．
4．若函数 的图象的一条对称轴为 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，且函数 的图象的一条
对称轴为 ，
∴当 时， 取最大值或最小值，∴
，
∴ ，∵ ，∴ 的最小值为 .故选：C.
5．已知数列 为等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 与 的等差中项
为 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
试题分析：由题意得，设等比数列的公比为 ，则 ，所以 ，
又 ，解得 ，所以
，故选 C．
6．已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】向量 ， ,所以 =（ ,4）,因为 ，故（ ）+0=0 解得 ,则 .故答案为 D.
7．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，
大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问
题的一个求解算法，则输出 的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】输出 ；
；
；
；
；
，
退出循环，输出 ，故选 B.
8．已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75．现发现在收集这些数据时，其中的两
个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90．在对错误的数据进行更
正后，重新求得样本的平均数为 ，方差为 ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，根据平均数的计算公式，可得 ，
设收集的 48 个准确数据分别记为 ，
则
，
，
故 ．选 A．
9．下列图象可以作为函数 的图象的有 （ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【解析】当a0 时，如取 a=1，其定义域为 R，它是奇函数，图象是②。所以②选项是正确的；
当 a=0 时,则 ,其定义域为：{x|x≠0}，它是奇函数，图象是④，所以④选项是正确的。
本题选择 C 选项.
10．已知 P，A，B，C 是半径为 2 的球面上的点，O 为球心， ， ，
则三棱锥 体积的最大值是( )
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】如图,设 交平面 于 .因为 ,由球的对称性有 底面
.
又 , .故 . ,
因为 ,所以 .
又 .故 .
故 .当且仅当 时取等号.
故选：B11．已知 ， 分别是双曲线 ： 的左，右焦点，动点 在双曲线的左支上，点
为圆 ： 上一动点，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C． D．
【答案】A
【解析】双曲线 中 ， ， ， ，
圆 半径为 ， ， ，
（当且仅当 ， ， 共线且 在 ， 之间时取等号.）
当且仅当 是线段 与双曲线的交点时取等号． 的最小值是 7.故选：A.
12．若函数 有最大值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，可得 在
上递增，在 递减，当 时，函数 在 上递增，在
递减， 有最大值 ，可排除选项 D； 时，
，而 ， ，即 无最大值，
可排除选项 C；当 时， 在 上递增，在 上递减，在
递减，且有 ， 有最大值 ，可排除选项
B,故选 A.
第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．函数 的图象在 处的切线与直线 互相垂直,则 _____．
【答案】1.
【解析】 函数 的图象在 处的切线与直线 垂直,
函数 的图象在 的切线斜率
本题正确结果：
14．如图在平行四边形 ABCD 中，AB=4，AD=3，E 为边 CD 的中点， ，若
则 =---------.
【答案】
【解析】因为平行四边形 中， ， ， 是边 的中点， ，
∴ ， ，
∴ = =
= ∴ .
15．如图，在一个底面边长为 cm 的正六棱柱容器内有一个半径为 cm 的铁球，现向容
器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降______cm.
【答案】
【解析】解：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积 ，水面高
度为 ，
此时正六棱柱容器中水的体积为 ，
若将铁球从容器中取出，则水面高度 ，
则水面下降 .故答案为: .
16．在数列 中， ， ， 是数列 的
前 项和，则 为 .
【答案】
【解析】：由
得 ，即
，所以数列 是以 为首项、
为公比的等比数列，所以 ，由 ，.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每道
试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共 60 分.
17．已知 ， ，
（1）求 的最小正周期及单调递增区间；
（2）已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，
，求 边上的高的最大值．
17. 【解析】（1）
的最小正周期为： ；
当 时，即当 时，函数
单调递增，
所以函数 单调递增区间为： ；
（2）因为 ，所以
设 边上的高为 ，所以有 ，
由余弦定理可知： （当
用仅当 时，取等号），所以 ，因此 边上的高的最大值 .
18．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.
紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.
下表给出了 2017 年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时 6 组死亡的株数：
温度 （单位： ） 21 23 24 27 29 32
死亡数 （单位：株） 6 11 20 27 57 77
经计算： ， ， ，， ， ， ，其中 ，
分别为试验数据中的温度和死亡株数， .
（1）若用线性回归模型，求 关于 的回归方程 （结果精确到 0.1）；
（2）若用非线性回归模型求得 关于 的回归方程 ，且相关指数为
.
(i)试与（1）中的回归模型相比，用 说明哪种模型的拟合效果更好；
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为 时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）.
附：对于一组数据 ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截
距的最小二乘估计分别为： ， ；相关指数为：
.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)详见解析．
试题解析：(Ⅰ)由题意得， ∴ 33−6.63´26=−139.4，
∴ 关于 的线性回归方程为： =6.6x−139.4．
（注：若用 计算出 ，则酌情扣 1 分）
(Ⅱ) （i）线性回归方程 =6.6x−138.6 对应的相关指数为：
，因为 0.9398＜0.9522，
所以回归方程 比线性回归方程 =6.6x−1 38.6 拟合效果更好．
（ii）由（i）知，当温度 时，
，
即当温度为 35°C 时该批紫甘薯死亡株数为 190.
19．已知四棱台 的下底面是边长为 4 的正方形， ，且 面
，点 为 的中点，点 在 上， ， 与面 所成角的正切
值为 2.
（Ⅰ）证明： 面 ；
（Ⅱ）求证： 面 ，并求三棱锥 的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）6.
试题解析：（Ⅰ）证明：取 中点为 ，连接 、 ，过 作 于 .
∵ 面 ， ，∴ 面 .∴ 为 与面 所成
角.
∴ ，又 ，∴ .∴ .而 ， ，
∴ ，又 ，∴ ，∴四边形 为平行四边形，
又 面 ， 面 ，∴ 面 .
（Ⅱ）由 面 ，∴面 面 且交于 .又 ，∴ 面
，
∴ .在梯形 中，可证 ，∴ 面 .
.
20．已知曲线 上的点到点 的距离比到直线 的距离小 ， 为坐标原点.
（1）过点 且倾斜角为 的直线与曲线 交于 、 两点，求 的面积；
（2）设 为曲线 上任意一点，点 ，是否存在垂直于 轴的直线 ，使得 被以
为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 的方程和定值；若不存在，说明理由.
20．（1） ；（2）直线 存在，其方程为 ，定值为 .
【解析】（1）依题意得，曲线 上的点到点 的距离与到直线 的距离相等，
所以曲线 的方程为： . 过点 且倾斜角为 的直线方程为 ，设 ， ，联立 ，得 ，
则 ， ，则 ；
（2）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，设点 ，
则以 为直径的圆的方程为 ，
将直线 代入，得 ，
则 ，
设直线 与以 为直径的圆的交点为 、 ，
则 ， ，
于是有 ，
当 ，即 时， 为定值.
故满足条件的直线 存在，其方程为 .
21．已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）判断并说明函数 的零点个数.若函数 所有零点均在区间
内，求 的最小值.
21．（1）函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 （2） 存
在两个零点，详见解析； 的最小值为 3
解：（1） 的定义域为 ， ，
令 ，得 ， （舍）.
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因此，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（2） ，当 时， ，
因为 单调递减，所以 ， 在 上单调递
增，
又 ， ，所以存在唯一 ，使得.
当 ， ， ，
所以 单调递减，又 ，所以 ， 在 上
单调递增.
因为 ，所以 ，故不存在零点.
当 时， ， ，
所以 单调递减，又 ， ，
所以存在 ，使得 .当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减. 又 ，
， ，所以存在唯一 ，使得
.
当 时， ，故不存在零点.
综上， 存在两个零点 ， ，且 ， ，
因此 的最小值为 3.
22. 在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数），以坐标原点 为极点，以 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）已知点 ，直线 的极坐标方程为 ，它与曲线 的交点为 ， ，与曲线
的交点为 ，求 的面积.
22. 【解析】（1） ，其普通方程为 ，化为极坐标方程为
（2）联立 与 的极坐标方程： ，解得 点极坐标为
联立 与 的极坐标方程： ，解得 点极坐标为 ，所以 ，又点 到直线 的距离 ，
故 的面积 .
23. 已知 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围.
23. 【解析】（1）当 时， ，即
故不等式 的解集为 ．
（2）当 时 成立等价于当 时 成立．
若 ，则当 时 ；
若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ．
综上， 的取值范围为 ．
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