山东省泰安肥城市2020届高三数学适应性训练（一）试题（Word版附答案）

2020 年高考适应性训练 数 学 试 题（一） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 , ,则 A. B. C. D. 2. 已知 ,则 = A. B. C. D. 3. 下列结论正确的是 A. 残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低. B. 在线性回归模型中,相关指数 ,说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为 . C. 已知随机变量 ，若 ，则 . D. 设 均为不等于 1 的正实数，则“ ”的充要条件是“ ”. 4. 若 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式中 的系数是 A. 54 B. 81 C. 96 D. 106 5. 若圆锥的侧面展开图是半径为 的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积比值是 { }2| 3 2 0A x x x= − + < { }= || 1| 1B x x − < A B = { }| 0 2x x< < { }| 0 1x x< < { }| 2x x < { }|1 2x x< < ( )2 i i 2 iz += − z 3 2 1 1 2 =0.962R 96% 2(2, )X N σ (0 2) 0.4P X< < = ( 4) 0.2P X > = ,a b log 2 log 2b a > 1a b> > 3 n x x  +   256 x lA. B． C． D． 6. 已知点 在直线 上，且满足 ，则 的取值范围为 A． B． C． D． 7. 函数 在区间 上的大致图像为 8. 已知函数 ，其中 ，记 为 的最小值， 则当 时， 的取值范围为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文 化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量 总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则下列说法正确的是 A. 此数列的第20项是200 B. 此数列的第19项是182 C. 此数列偶数项的通项公式为 D. 此数列的前 项和为 10. 已知 、 是双曲线 的上、下焦点，点 是该双曲线的一条渐近线上的 一点,并且以线段 为直径的圆经过点 ,则下列说法正确的是 A. 双曲线 的渐近线方程为 3 2 2 4 3 5 3 0 0( , )M x y 3 2 0x y+ + = 0 0 1x y> − 0 0 y x 1( 3, ]3 − − 1( , 3 ( , )3 −∞ − − +∞） 1( , 3] ( ,+ )3 −∞ − − ∞ 1( 3, )3 − − cos( )2( ) lg | 2 2 |x x x f x π − − = − [ ) ( ]3,0 0,3−  4( ) , [ , )af x x b x bx = + + ∈ +∞ 0,b a> ∈R M ( )f x 2M = a 1 3a > 1 3a < 1 4a > 1 4a < 2 2 2na n = n ( 1)nS n n= ⋅ − 1F 2F 2 2 : 14 2 y xC − = M 1 2F F M C 2y x= ±A B D Q C P B. 以 为直径的圆的方程为 C. 点 的横坐标为 D. 的面积为 11. 已知定义在 上的函数 满足 ，且对 ，当 时，都有 ，则以下判 断正确的是 A. 函数 是偶函数 B. 函数 在 单调递增 C. 是函数 的对称轴 D. 函数 的最小正周期是12 12. 如图四棱锥 ,平面 平面 ,侧面 是边长为 的正三 角形, 底面 为矩形， ，点 是 的中点，则下列结论正确的是 A. B. 与平面 所成角的余弦值为 C. 三棱锥 的体积为 D. 四棱锥 外接球的内接正四 面体的表面积为 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 用 0,1,2,3,4 这五个数字，可以组成 ▲ 个三位正整数. 14. 函数 在 上的最小值是 ▲ . 15. 已知一袋中装有红,蓝,黄,绿小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回. 当四 种颜色的小球全部取出时即停止，则恰好取 6 次停止的概率为 ▲ . 16. 已知圆 ： ，直线 ，则与直线 相切且与圆 外切的圆的圆心 的轨迹方程为 ▲ .点 是圆心 轨迹上的动点,点 的坐标是 ， 则使 取最小值时的点 的坐标为 ▲ . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 1 2F F 2 2 2x y+ = M 2± 1 2MF F∆ 2 3 R ( )f x ( )+ ( ) 0, ( 6) ( )f x f x f x f x− = + = − [ ]1 2, 3,0x x∀ ∈ − 1 2x x≠ 1 1 2 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )x f x x f x x f x x f x+ < + ( )f x ( )f x [ ]9 6− −， 3x = ( )f x ( )f x P ABCD− PAD ⊥ ABCD PAD 2 6 ABCD 2 3CD = Q PD CQ PAD⊥ 平面 PC AQC 2 2 3 B ACQ− 6 2 Q ABCD− 24 3 2sin2cos)2sin()( 2 xxxxf −+= π ],0[ π F ( )22 3 1x y+ + = : 2l y = l F M P M A ( )0,3 | | | | PF PA P已知数列 各项均为正数， ， 为等差数列，公差为 2. （1）求数列 的通项公式. （2）求 . 18. (12 分) 在 中，角 的对边分别为 ,且 . （1）求角 的大小. （2）若 ， 为 外一点， ,四边形 的面积是 ， 求 . 19.（12 分） 条件①：图（1）中 . 条件②：图（1）中 . 条件③：图（2）中三棱锥 的体积最大. 从以上三个条件中任选一个，补充在问题（2）中的横线上，并加以解答. 如图（1）所示，在 中, ， ，过点 作 ，垂足 在线段 上，沿 将 折起，使 (如图（2）)，点 分别 为棱 的中点． （1）求证： . （2）已知_____________,试在棱 上确定一点 ，使得 ，并求锐二面角 的余弦值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20.（12 分） { }na 1 1a = { }2 na { }na 2 2 2 3 2 2 1 2 3=2 2 +2 2n n na aS a a+ + + ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 2(2 )( ) 2 cosb c b a c abc C− − + = A 3B π= D ABC∆ 2, 1BD CD= = ABDC 5 3 24 + a 4tan 2 3B = − 2 1 3 3AD AB AC= +   A BCD− ABC∆ 45ACB∠ =  3BC = A AD BC⊥ D BC AD ABD∆ 90BDC∠ =  ,E M ,BC AC CD ME⊥ CD N EN BM⊥ M BN C− − B D A C 图（1） 图（2） M A B C E D •已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别是 、 ，不经过 左焦点 的直线 上有且只有一个点 满足 . （1）求椭圆 的标准方程. （2）与圆 相切的直线 ： 交椭圆 于 、 两点，若椭圆上存在 点 满足 ，求四边形 面积的取值范围. 21.（12 分） 已知函数 . （1）讨论 的零点个数. （2）正项数列 满足 ， ( )， 求证： . 22.（12 分） 书籍是人类的智慧结晶和进步阶梯，阅读是一个国家的文化根基和创造源泉.2014 年以来， “全民阅读”连续 6 年被写入政府工作报告.某学校为提高师生阅读书籍的热情，举行了“博 雅杯”科技知识大奖赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给所有参赛选手评分，并确 定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛选手由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的 分数进行了统计分析，这些分数 都在 内，以 5 为组距画频率分布直方图时（设 ），发现 满足： , . （1）试确定 的所有取值，并求 . （2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于 分的参赛选手无缘获奖也不能参加附加赛； 分数在 的参赛选手评为一等奖；分数在 的参赛选手评为二等奖，但通过附 ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1 2 1F 2F 1F 2 0x y− + = A 1 2 90F AF∠ =  C 2 2 2x y+ = l = +y kx m C P Q M ( )( )0µ µ= + >  OM OP OQ OPMQ ( ) ln 1f x x x ax= + − ( )a∈R ( )f x { }na 1 2 3a = 1 +1ln +12 n n aa + = n ∗∈N 1 2 1 1 1 1 n na a a + +⋅⋅⋅+ < + x [ )70,100 Y=频率“ ”组距 Y Y = 8 109 16300 1 1615 20 n n k nn − ≤ − >−    ， ， ,5 5( 1)n n x n∗∈ ≤ < +N n k 85 [ )95,100 [ )90,95加赛有 的概率提升为一等奖；分数在 的参赛选手评为三等奖，但通过附加赛有 的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖选手均不降低获奖等级）.已知 和 均参加了 本次比赛，且 在第一阶段评为二等奖. （ⅰ）求 最终获奖等级不低于 的最终获奖等级的概率. （ⅱ）已知 和 都获奖，记 、 两位参赛选手最终获得一等奖的人数为 ，求 的 分布列和数学期望. 1 11 [ )85,90 1 7 A B A B A A B A B ξ ξ2020 年高考适应性训练 数学（一）参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B A A B C D 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 全部选对的得 5 分，部分选对的 得 3 分，有选错的得 0 分. 题号 9 10 11 12 答案 AC ACD BCD BD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 100 14. 15. 16. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 17.（10 分） 解：（1） ， ， 为等差数列，公差为 2, , ……………………………2 分 ， 通项公式 . ………………………………4 分 （2） , ………………………………6 分 以上两式相减，得 ………………………………8分 ……………………………9 分 ∴ . ………………………………10 分 18.（12 分） 解：（1）∵角 的对边分别为 ，且 , ∴ , ……………………………2 分 2 1 2 +− 75 512 2 12x y= − ( )6, 3± − 1 1a = 2 1 1a = { }2 na ∴ 2 2 1= ( 1) 2=2 1na a n n+ − × −  0na > ∴ 2 1na n= − 2 2 2 3 2 2 1 2 3=2 2 +2 +2n n na aS a a+ + 2 3=1 2 3 2 5 2 2 1 2n nS n× + × + × + + − × （ ） 2 3 4 +12 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2n nS n= × + × + × + + − × 2 3 +11 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2n n nS n− = × + × + × + + × − − × 2 3 +12 2 2 (2 1) 2n nn+= + − − − × +16 (2 3) 2nn= − − − × +16+(2 3) 2n nS n= − × , ,A B C , ,a b c ( )( )2 2 22 2 cosb c b a c abc C− − + = ( )( )2 2 22 cos2 b c b c a a Cbc − + − =由余弦定理得： , ……………………………3 分 由正弦定理得： ，又 , ∴ , ……………………5 分 ∵ ，∴ ∵ ,∴ . ……………………………6 分 （2）在 中， ,由余弦定理得： ,又 , ∴ ∴ 为等边三角形， ………………………………8 分 ∴ = ，又 ， ∴ = , …………10 分 ， , ……………………………11 分 , ， 即 . ………………………………12 分 19.（12 分） 解：（1） , , , . ………………………………………………2 分 又 分别为 的中点， …………………………………3 分 （2）方案一：选① 在图(1)所示的 中，由 , 2 )cos cosb c A a C− =（ 2sin cos sin cos sin cosB A C A A C− = A B C π+ + = ( )2sin cos sin cos cos sin sin sinB A C A C A C A B= + = + = sin 0B ≠ 1cos 2A = ( )0,A π∈ 3A π= BCD∆ 2, 1BD CD= = 2 2 21 2 2 1 2cos 5 4cosBC D D= + − × × = − 3A B π= = 3C π= ABC∆ 21 sin2 3ABCS BC π ∆ = × 5 3 3 cos4 D− 1= sin sin2BDCS BD DC D D∆ × × = 5 3 5 3sin 3 cos 2sin4 4 3ABDCS D D D π = + − = + −  四边形 5 3 24 + sin( ) 13D π∴ − = (0, )D π∈ 5 6D π∴ = 2 55 4cos 5 4cos 5+2 36BC D π∴ = − = − = 5 2 3BC∴ = + 5 2 3a = +  , ,CD AD CD BD AD BD D⊥ ⊥ = CD ABD∴ ⊥ 平面  AB ABD⊂ 平面 CD AB∴ ⊥ ,M E ,AC BC // ,ME AB∴ .CD ME∴ ⊥ ABC∆ 2 4 2tantan 2 3 1 tan BB B = − = −解得 或 (舍去). 设 ，在 中， , 解得 ， . …………………………………5 分 以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 , ，则 . 设 ,则 . , 即 ， ， , 当 (即 是 的靠近 的一个四等分点）时， . ………8 分 取平面 的一个法向量 ,且 , 由 ,得 ，令 ，则 . 取平面 的一个法向量 , …………………………………10 分 , …………………………………11 分 锐二面角 的余弦值为 . …………………………………12 分 方案二：选② 在图(1)所示的 中， , tan 2B = 1tan 2B = − AD CD x= = Rt ABD∆ tan 23 AD xB BD x = = =− 2x = ∴ 1BD = D D xyz− 1(0,0,0), (1,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (0,1,1), ( ,1,0)2D B C A M E ( 1,1,1)BM = − (0, ,0)N a 1( , 1,0)2EN a= − − , 0EN BM EN BM⊥ ∴ ⋅ =   1 , 1,0) ( 1,1,1) 02 a − ⋅ −− =（ ∴ 1 2a = ∴ 1(0, ,0)2N ∴ 1 2DN = N CD D EN BM⊥ BNM ( , , )x y z=n 1( 1, ,0)2BN = − 0 0 BN BM  ⋅ = ⋅ =   n n 2 0 0 x y x y z − + = − + + = 1x = (1,2, 1)= −n BNC (0,0,1)=m 2 2 2 (0,0,1) (1,2, 1) 6cos | || 61 2 ( 1) ⋅ ⋅ −< >= = = − + + −, | m nm n m n ∴ M BN C− − 6 6 ABC∆ , ( ) (1 )BD BC AD AB BD AB BC AB AC AB AB ACλ λ λ λ λ= = + = + = + − = − +            A B E C M x y z ND A B E C M x y z ND A B E C M x y z ND又因为 ,由平面向量基本定理知 ，即 . ……………5 分 以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 , ，则 . 设 ,则 . . 即 ， ， , 当 (即 是 的靠近 的一个四等分点)时, . …………8 分 取平面 的一个法向量 ,且 , 由 ,得 ，令 ，则 . 取平面 的一个法向量 , …………………………………10 分 , …………………………………11 分 锐二面角 的余弦值为 . …………………………………12 分 方案三：选③ 在图(1)所示的 中，设 ，则 , ∵ ，∴ 为等腰直角三角形，∴ , 折起后 ,且 ， ∴ .又 ， , , , 2 1 3 3AD AB AC= +   1 3 λ = 1BD = D D xyz− 1(0,0,0), (1,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (0,1,1), ( ,1,0)2D B C A M E ( 1,1,1)BM = − (0, ,0)N a 1( , 1,0)2EN a= − − , 0EN BM EN BM⊥ ∴ ⋅ =   1 , 1,0) ( 1,1,1) 02 a − ⋅ −− =（ ∴ 1 2a = ∴ 1(0, ,0)2N ∴ 1 2DN = N CD D EN BM⊥ BNM ( , , )x y z=n 1( 1, ,0)2BN = − 0 0 BN BM  ⋅ = ⋅ =   n n 2 0 0 x y x y z − + = − + + = 1x = (1,2, 1)= −n BNC (0,0,1)=m 2 2 2 (0,0,1) (1,2, 1) 6cos | || 61 2 ( 1) ⋅ ⋅ −< >= = = − + + −, | m nm n m n ∴ M BN C− − 6 6 ABC∆ (0 3)BD x x= < < 3CD x= − , 45AD BC ACB⊥ ∠ =  ADC∆ 3AD CD x= = − ,AD DC AD BD⊥ ⊥ BD DC D= AD BCD⊥ 平面 90BDC∠ =  ∴ 1 (3 )2BCDS x x∆ = − 3 21 1 1 1(3 ) (3 ) ( 6 9 )3 3 2 6A BCD BCDV AD S x x x x x x− ∆= ⋅ = − ⋅ − = − + (0,3)x∈ A B E C M x y z ND令 ， , 当 时， ，当 时， , ∴ 时，三棱锥 体积最大. …………………………………5 分 以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 , ,则 . 设 ,则 . , 即 ， ， , 当 (即 是 的靠近 的一个四等分点)时, . ………8 分 取平面 的一个法向量 ,且 , 由 ,得 ，令 ，则 . 取平面 的一个法向量 , …………………………………10 分 , …………………………………11 分 锐二面角 的余弦值为 . …………………………………12 分 20.（12 分） 解：（1） 直线 上有且只有一个点 满足 , 直线 与圆 相切， , . ………………………………………1 分 又 , ， , 3 21( ) ( 6 9 )6f x x x x= − + 1) ( 1)( 3)2f x x x′( = − − 0 1x< < ( ) 0f x′ > 1 3x< < ( ) 0f x′ < 1x BD= = A BCD− D D xyz− 1(0,0,0), (1,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (0,1,1), ( ,1,0)2D B C A M E ( 1,1,1)BM = − (0, ,0)N a 1( , 1,0)2EN a= − − , 0EN BM EN BM⊥ ∴ ⋅ =   1 , 1,0) ( 1,1,1) 02 a − ⋅ −− =（ ∴ 1 2a = ∴ 1(0, ,0)2N ∴ 1 2DN = N CD D EN BM⊥ BNM ( , , )x y z=n 1( 1, ,0)2BN = − 0 0 BN BM  ⋅ = ⋅ =   n n 2 0 0 x y x y z − + = − + + = 1x = (1,2, 1)= −n BNC (0,0,1)=m 2 2 2 (0,0,1) (1,2, 1) 6cos | || 61 2 ( 1) ⋅ ⋅ −< >= = = − + + −, | m nm n m n ∴ M BN C− − 6 6  2 0− + =x y A 1 2 90F AF∠ =  ∴ 2 0− + =x y 2 2 2+ =x y c ∴ ( )22 0 0 2 1 + 1 c − + = − ∴ 1=c  1 2 =c a ∴ 2=a ∴ 2 2 2 3= − =b a c A B E C M x y z ND椭圆 的方程为 . ………………………………………3 分 （2） 直线 ： 与圆 相切， ， 即 ，且 . ………………………………………4 分 设 ， ， 由 消去 得, , ， , . …………………………………5 分 ， ，又 在椭圆 上, ， . ………………………………7 分 设 的中点为 ，则 , 到 的距离为 , ∴四边形 的面积 …………8 分 ,……………………………10 分 令 ， ， , ， ∴ C 2 2 14 3 + =x y  l = +y kx m 2 2 2x y+ = 2 2 1 m k ∴ = + ( )2 22 1m k= + 2 2m ≥ ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y ( )0 0,M x y 2 2 14 3 = + + = y kx m x y y ( )2 2 24 3 8 4 12 0+ + + − =k x kmx m ∴ 1 2 2 8 4 3 −+ = + kmx x k 2 1 2 2 4 12 4 3 −= + mx x k ∴ ( )1 2 1 2 2 62 4 3 + = + + = + my y k x x m k  ( )µ= +  OM OP OQ ∴ 0 2 0 2 8 4 3 6 4 3 µ µ − = +  = + kmx k my k M C ∴ 2 2 2 2 8 6 4 3 4 3 14 3 µ µ   −   + +   + = km m k k ∴ 24 3 2 µ += k m PQ E ( ) 2µ µ= + =   OM OP OQ OE ( )0,0O :l y kx m= + = 2d OPMQ 12 2 22POQS S PQ d PQµ µ µ∆= = ⋅ ⋅ = ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 64 4 4 12 4 3 2 1 4 3 k m m k k k µ − − + = ⋅ + + ( ) ( ) 2 2 2 22 4 2 2 3 2 3 4 3 4 3 k k k k − + + = + ⋅ + 2 2 2 12 3 4 3 k k += + ( ) 2 2 2 2 1 1 1 4 3 2 8 6 kf k k k += = −+ +  28 6 6k + ≥ ∴ ( )1 1 3 2f k≤ < ∴ 2 6S≤ ( ) ln 1 0f x x a′ = + − = 1eax −= 10 e ( ) 0ax f x−< < ′ ( ) 0f x′ > ∴ ( )f x 1(0,e )a− 1(e , )a− +∞ ∴ ( )f x 1 1(e ) 1 ea af − −= − 1a < 11 e 0a−− > ( )f x 1a = 11 e 0a−− = ( )f x 1a > 11 e 0a−− < (e ) 1 0af = > 1e ea a−> ∴ ( )f x 1(e , )a− +∞ (e ) 1 2 ea af a− −= − ( ) e 2ah a a= − ( ) e 2ah a′ = −  1a > ∴ ( ) 0h a′ > ∴ ( ) (1) e 2 0h a h> = − > ∴ 2 eaa < ∴ (e ) 0af − > ( )f x 1(0,e )a− 1a < 1a = 1a > 1a = ( ) 0f x ≥ ∴ 1ln 1x x ≥ − ∴ 1 1 22ln 1 22 1 1 n n n n n a aa a a+ += + ≥ − =+ + ∴ 1 11 1 1 2 2 2 n n n n a a a a+ +≤ = + ∴ 1 1 1 11 ( 1)2n na a+ − ≤ − ∴ 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ( 1) ( 1) ( 1)2 2 2 2n n n n na a a a− − − − ≤ − ≤ − ≤ ⋅⋅⋅ ≤ − =， ………………………………10 分 . …………………………12 分 22.（12 分） 解:（1）根据题意， 在 内，按组距为 可分成 个小区间， 分别是 . ………………………1 分 ， 由 , ， ………………………2 分 每个小区间的频率值分别是 …………………3 分 ， , 的所有取值为 . …………………………4 分 （2）（ⅰ）由于参赛选手很多，可以把频率视为概率. 由（1）知， 的分数属于区间 的概率分别是： . ………………………………5 分 用符号 （或 )表示 （或 ）在第一轮获奖等级为 ，通过附加赛最终获奖等级为 ， 其中 . ………………………………6 分 记“ 最终获奖等级不低于 的最终获奖等级”为事件 ， 则 . ………………………………8 分 （ⅱ） 最终获得一等奖的概率是 ，记“第一轮比赛获奖”为事件 , ∴ 1 1 12n na ≤ + ∴ 1 2 1 11 ( )1 1 1 12 2+ 1 ( ) 11 21 2 n n n n n na a a  −  + +⋅⋅⋅ ≤ + = + − < + − x [ )70,100 5 6 [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ )70,75 , 75,80 , 80,85 , 85,90 , 90,95 , 95,100 70 100x≤