绝密★启用前
高三数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.已知复数 满足 ，则
A. B. C. D.
3.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，其数值越小说明生活富裕程度越高.
统计改革开放 年来我国历年城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了下面的折线图.根据
该折线图，下列结论错误的是
A.城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭
B.随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高
C.1996 年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于
D.随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越小
4.以抛物线 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为
A. B.
C. D.
{ | 5 1 }A x x n n= = + ∈N, {6 9 11 18}B = , , , A B
4 3 2 1
z ( 2)(1 ) 2z i i+ + = z =
1 i− + 1 i− − 1 i− 1 i+
40
50%
2 4y x=
2 2( 2) 16x y− + = 2 2( 2) 16y x− + =
2 2( 1) 4x y− + = 2 2( 1) 4y x− + =
（1978-2018）历年中国城乡居民家庭恩格尔系数
%
75
50
25
0
1978年 1982年 1986年
城镇居民家庭恩格尔系数（%） 农村居民家庭恩格尔系数（%）
1990年 1994年 1998年 2002年 2006年 2010年 2014年 2018年5.已知 ， 为第三象限角，则
A. B. C. D.
6.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量 （单位：
焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为 . 年 月 日，日本东北部
海域发生里氏 级地震与 年 月 日我国汶川发生里氏 级地震所释放出来的能
量的比值为
A. B. C. D.
7.已知函数 的最小正周期为 ，且其图像向右平移 个单
位得到函数 的图像，则
A. B. C. D.
8.已知点 分别在双曲线 的左右两支上，且关于原点 对
称， 的左焦点为 ，直线 与 的左支相交于另一点 ，若 ，且
，则 的离心率为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分.
9.若 为正实数，则 的充要条件为
A. B. C. D.
10.等差数列 的前 项和记为 ，若 ， ，则
A. B. C. D.当且仅当 时
11.如图直角梯形 ， ， ， ， 为 中
点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .则
A.平面 平面
B.
C.二面角 的大小为
3sin( )cos cos( )sin 5
β α β α β β− − − = α cos( )4
α π+ =
2
10
− 7 2
10
− 2
10
7 2
10
E
M lg 4.8 1.5E M= + 2011 3 11
9.0 2008 5 12 8.0
1.510 1.5 lg1.5 1.510−
( ) sin( )( 0 | | )f x xω ϕ ω ϕ= + > < π, π
6
π
( ) cosg x xω= ϕ =
6
π
3
π
3
2π
6
5π
A B,
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > O
C 1F 1AF C M 1 1| | | |MF BF=
1 0BF AM⋅ = C
10
2
5 5 10
2
a b, a b>
a
1 >
b
1 ln lna b> ln lna a b b< a ba b e e− < −
{ }na n nS 1 0a > 10 20S S=
0d < 16 0a < 15nS S≤ 0nS < 32n≥
ABCD AB CD AB BC⊥ 1 22BC CD AB= = = E AB
DE ADE∆ A P 2 3PC =
PED ⊥ EBCD
PC ED⊥
P DC B− −
4
π
E
P
D C
BAD. 与平面 所成角的正切值为
12.设函数 ，则
A. 在 单调递增 B. 的值域为
C. 的一个周期为 D. 的图像关于点 对称
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知 ， 为单位向量， ，且 ，则 ________.
14.若 展开式中 的系数为 ，则 ________.
15.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为 的鳖臑
中， 平面 ，且 ， ，则该鳖臑外接球的表面积为________．
16.为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建
造总面积为 的新型生鲜销售市场.市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共 间.
每间蔬菜水果类店面的建造面积为 ，月租费为 万元；每间肉食水产店面的建造面
积为 ，月租费为 万元.全部店面的建造面积不低于总面积的 ，又不能超过总
面积的 .①两类店面间数的建造方案为________种.②市场建成后所有店面全部租出，为
保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的 ，则
的最大值为______万元.（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分 10 分）
在 中，角 的对边分别是 已知 ，且 为锐角.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ，且 的面积为 ，求 的周长.
18.（本小题满分 12 分）
记数列 的前 项和为 ，已知 ， .设 .
PC PED 2
cos2 cos2( ) 2 2x xf x −= −
( )f x (0 )2
π
, ( )f x 3 3[ ]2 2
− ,
( )f x π ( )4f x
π+ ( 0)4
π
,
a b 2= −c a b < >=, a b
3
π < >=, a c
2 4(1 )(1 )ax x+ + 3x 12 a =
3
2
ABCD AB ⊥ BCD 2AB = 1CD =
2400 2m 80
28 2m x
20 2m 0.8 80%
85%
90%
x
ABC∆ , ,A B C , , ,a b c 2cos 3 4cos2A A− = A
A
6sin (sin sin )A a B C= + ABC∆ 3 ABC∆
{ }na n nS 1 1a = 1 4 1n nS a+ = + 1 2n n nb a a+= −（Ⅰ）证明：数列 为等比数列；
（Ⅱ）设 ， 为数列 的前 项和，求 .
19.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， ， ， .
过点 做四棱锥 的截面 ，分别交
于点 ，已知 ，
为 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求 与平面 所成角的正弦值.
20.（本小题满分 12 分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 是椭圆上一点，
是 和 的等差中项.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若 为椭圆的右顶点，直线 与 轴交于点 ，过点 的另一直线与椭圆交于
两点，且 ，求直线 的方程.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 .
（Ⅰ）当 时，试判断 零点的个数；
（Ⅱ）若 时， ，求 的取值范围.
{ }nb
| 100 |n nc b= − nT { }nc n 10T
P ABCD− PA ⊥ ABCD
AD CD⊥ AD BC 2PA AD CD= = = 3BC =
A P ABCD− AEFG
, ,PD PC PB , ,E F G : 2:3PG PB =
E PD
AG PCD
AF PAB
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F 2F 3( 1, )2P −
1 2F F 1PF 2PF
A AP y H H
M N、 6HMA PHNS S∆ ∆= MN
( 1)(1 )( ) 2ln x mxf x x x
− += −
1m = ( )f x
1x ≥ ( ) 0f x ≤ m
A D
B C
EF
G
P22.（本小题满分 12 分）
新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验.现对某种新药进
行 次动物实验，一次实验方案如下：选取 只白鼠对药效进行检验，当 只白鼠中有
只或 只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有 只“效果明显”，则再取
只白鼠进行二次检验，当 只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”,其余情况则确定
“ 实 验 失 败 ” . 设 对 每 只 白 鼠 的 实 验 相 互 独 立 ， 且 使 用 “ 效 果 明 显 ” 的 概 率 均 为
（ ）.
（Ⅰ）若 ,设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为 ，求 的值；
（Ⅱ）若动物实验预算经费 万元，对每只白鼠进行实验需要 元，其他费用总计为
万元，问该动物实验总费用是否会超出预算，并说明理由.
5000 3 3 2
2 1 2
2
p
0 1p< <
1
2p = 0p 0p
700 300
100高三数学参考答案
一、单项选择题： C B C C，A A D D
二、多项选择题： BD, ABC, AC, BC
三、填空题：
13. ； 14. ； 15. 16. ， ；
三、解答题：
17.（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）因为 ，所以 ，---------------2 分
解得 或 （舍），所以 . ---------------4 分
（Ⅱ）因为 的面积为 ，所以 ，得 . ---------------5 分
已知 ，由正弦定理可得 ，
所以 . ---------------7 分
由余弦定理 ---------------8 分
得 ， ---------------9 分
所以， 的周长为 . ---------------10 分
18.（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）由 得 ---------------1 分
两式相减得 ---------------3 分
， ---------------5 分
数列 为公比为 的等比数列. ---------------6 分
（Ⅱ）由 ， ---------------7 分
---------------8 分
---------------10 分
∴
6
π
2 9π 16 1
2cos 3 4cos2A A− = 28cos 2cos 1 0A A− − =
1cos 2A = 1cos 4A =－ π
3A =
ABC∆ 3 1 sin 2 32 bc A = 4bc =
6sin (sin sin )A a B C= ⋅ + 6 ( )a a b c= ⋅ +
6b c+ ＝
2 2 2 22 cos ( ) 3 24a b c bc A b c bc= + − + − =＝
2 6a =
ABC∆ 2 6 6a b c+ + = +
1 4 1n nS a+ = + 14 1( 2, )n nS a n n N−= + ≥ ∈
1 1 1 14 ( 2), 2 2( 2 )n n n n n n na a a n a a a a+ − + −= − ≥ ∴ − = −
1 1
1 1 1
2 2( 2 ) 2 ( 2)2 2
n n n n n
n n n n n
b a a a a nb a a a a
+ −
− − −
− −= = = ≥− −
{ }nb 2
2 1 2 1 2 14 1, 4, 2S a a a a b= + = + ∴ = ∴ = 12 2 2 ,n n
nb −= ⋅ =
100 2 , 6| 2 100 |
2 100, 6
n
n
n n
nc
n
− ≤= − = − >
1 2 6 7 8 9 10
10 600 (2 2 ... 2 ) 2 2 2 2 400T∴ = − + + + + + + + − ---------------12 分
19.（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）证明：在 上取点 ，且满足 ， --------------1 分
连接 ，则 ，且 ， ---------------2 分
因为 ，所以 ，且
所以 是平行四边形， ---------------3 分
所以 ， ---------------4 分
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ； --------------5 分
（Ⅱ）过点 做与 平行的射线 ，易证两两垂直，
所以，以 为 轴，以 为 轴， 为 轴， 建立空间直角坐标系 ，-------6 分
则有 ---------------7 分
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，解得
所以 是平面 的一个法向量 ---------------8 分
因为点 在 上，所以
因为 平面 ，所以 ，
解得 ，所以
或如下证法：因为 平面 且平面 平面 ，所以 ，
所以 ，因为 为 中点，所以 为 中点，所以 ，
所以 ， --------------10 分
设平面 的法向量为 ，则
6
7 8 9 10
8 9 10
2(1 2 )200 2 2 2 21 2
200 2 2 2 2 1994
−= − + + + +−
= + + + + =
PC H : 2:3PH PC =
,GH HD GH BC
2 23GH BC= =
AD BC AD GH AD GH=
ADHG
AG HD
HD ⊂ PCD AG ⊄ PCD AG PCD
A DC l
l x AD y AP z O xyz−
4 2 2(0,0,2), (2,2,0), ( , , ), (0,1,1),3 3 3P C G E−
AEFG ( , , )x y z=n
4 2 2 03 3 3
0
x y z
y z
− + =
+ =
1z =
1
1
1
x
y
z
= −
= −
=
( 1, 1,1)= − −n AEFG
F PC (1 ) (2 ,2 ,2 2 )AF AC APλ λ λ λ λ= + − = −
AF ⊂ AEFG 2 2 2 2 0AF λ λ λ⋅ = − − + − = n
1
3
λ = 2 2 4( , , )3 3 3AF =
AG PCD AGFE PCD EF= AG EF
EF HD E PD F PH 1
3PF PC=
2 2 4( , , )3 3 3F 2 2 4( , , )3 3 3AF =
PAB 1 1 1 1( , , )x y z=n
H
A D
B
C
EF
G
P
y
x
z，令 ，解得 ---------------11 分
所以 是平面 的一个法向量， ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 . ------------------------12 分
20（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）因为 是 和 的等差中项，所以 ，得 . --------1 分
又 在椭圆上，所以 ，所以 ， --------------------2 分
， ， ------------------3 分
可得椭圆的标准方程为 . --------------------4 分
（Ⅱ）因为 ，由（Ⅰ）计算可知 --------------------5 分
当直线 与 轴垂直时，不合题意. --------------------6 分
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为
联立直线与椭圆的方程 ，可得
设 ，由韦达定理可得 --------①， ---------7 分
由 ，可得 ，又 ，
所以 ，得 ， --------------------9 分
带入①，可得
所以 ，解得 --------------------11 分
1
1 1
0
2 0
z
x y
=
− = 1 1x =
1
1
1
1
2
0
x
y
z
=
=
=
1 (1,2,0)=n PAB 1
30cos , 10AF< >= n
AF PAB 30
10
1 2F F 1PF 2PF 2a c= 2 24a c=
3( 1, )2P − 2 2
1 3 14 4c c
+ = 1c =
2 4a = 2 2 2 3b a c= − =
2 2
14 3
x y+ =
3( 1, )2P − (2,0), (0,1)A H
MN x
MN x MN 1y kx= +
2 2
1
14 3
y kx
x y
= + + =
2 2(4 3) 8 8 0k x kx+ + − =
1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y
1 2 2
1 2 2
8
4 3
8
4 3
kx x k
x x k
− + = + − = +
6HMA PHNS S∆ ∆= 6AH MH NH PH= 2AH PH=
3MH NH= 1 23x x= −
2 2
2
2 2
82 4 3
83 4 3
kx k
x k
−− = + −− = +
2
2 2 2
16 83 (4 3) 4 3
k
k k
× =+ +
6
2k = ±所以直线 的方程为 --------------------12 分
21.（本小题满分 12 分）
当 时， ， . --------------------2 分
所以 在 上单调递减， --------------------3 分
又 有且只有一个零点. ---------------------4 分
（Ⅱ） ， . ---------------------5 分
（ 1 ） 当 时 ， 在 上 恒 成 立 ， 在 上 单 调 递 增 ，
，不符合题意. ---------------------6 分
（2）当 时，设 ，
当 即 时， 恒成立，
所以在 上 恒成立，
在 上单调递减， ，符合题意， . -----------8 分
当 即 时， 有两不等实根，设为
因为 ，可知 ，
所以 时 ， 时
即 在区间 上单调递增， 单调递减 ---------------10 分
所以 ，不符合题意. -------------11 分
综上， 的取值范围为 . ---------------------12 分
22.（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）当 时，一次检验就取得“实验成功”的概率为
； ------------------------2 分
MN 6 12y x= ± +
1m = ( 1)(1 )( ) 2ln x xf x x x
− += −
2
2
( 1)( ) xf x x
− −′ =
( ) 0, ( )f x f x′ ≤ (0, )+∞
(1) 0, ( )f f x= ∴
(1) 0f =
2
2
2 1( ) mx xf x x
− + −′ =
0m ≤ [1, )+∞ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x∴ [1, )+∞
( ) (1) 0f x f∴ ≥ =
0m > 2( ) 2 1g x mx x= − + −
4 4 0m∆ = − ≤ 1m ≥ 2( ) 2 1 0g x mx x= − + − ≤
[1, )+∞ ( ) 0f x′ ≤
( )f x∴ [1, )+∞ ( ) (1) 0f x f∴ ≤ = 1m∴ ≥
4 4 0m∆ = − > 0 1m< < ( ) 0g x = 1 2,x x
(1) 1 0g m= − > 1 21x x< <
2(1, )x x∈ ( ) 0f x′ > 2( , )x x∈ +∞ ( ) 0f x′ <
( )f x 2(1, )x 2( , )x +∞
2( ) (1) 0f x f> =
m [1, )+∞
1
2p =
2 2 3 3 3
3 3
1 1 1 1(1 ) 3 ( )4 2 2 2C p p C p− + = × × + =经过两次检验才取得“实验成功”的概率为
； ------------------------4 分
在一次实验方案中“实验成功”的概率为 . ------------------------5 分
（Ⅱ）设一次实验方案需要用到的经费为 元，则 的可能值为 . ----6 分
； . ----------------7 分
所以 ，--------8 分
设 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单增；
当 时， ，所以 在 上单减.
所以 的最大值为 ， ------------------------10 分
因此实施一次此方案最高费用为 元 ------------------------11 分
所以动物实验阶段估计最高试验费用为 万元，
因为 ，所以该阶段经费使用不会超出预算. ------------------------12 分
1 2 2
3
1 1 1 3[ (1 ) ] (3 )2 4 4 32C p p p− = × × × =
0
1 3 19
2 32 32p = + =
X X 900,1500
1 2
3( 900) 1 (1 )P X C p p= = − − 1 2
3( 1500) (1 )P X C p p= = −
1 2 1 2 2
3 3( ) 900 [1 (1 ) ] 1500 (1 ) 900 1800 (1 )E X C p p C p p p p= × − − + − = + −
2( ) (1 )f p p p= − 2( ) (1 ) 2 ( 1) (3 1)( 1)f p p p p p p′ = − + − = − −
1(0, )3p∈ ( ) 0f p′ > ( )f p 1(0, )3
1( ,1)3p∈ ( ) 0f p′ < ( )f p 1( ,1)3
( )f p 1 4( )3 27f =
4 3500900 1800 27 3
+ × =
43500 1750 2050100 5000 10 1003 3 3
+ × × = + =－
2050 7003
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