山东省威海市2020届高三数学二模试题（Word版附答案）

绝密★启用并使用完毕前 2020 年威海市高考模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2.已知复数 在复平面内对应的点在直线 上，则实数 A. B. C. D. 3.若 且 ， ，则 A. B. C. D. 4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四 个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻 的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变 化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而 复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一 尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是 A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B.春分和秋分两个节气的晷长相同 C.立冬的晷长为一丈五寸 D.立春的晷长比立秋的晷长短 5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好. 然后做“柑子”“苹 果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则 A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 2 2{ | 1}A x x y= + = 2{ | }B y y x= = A B = [0 1]， [0 )+ ∞， { 1 1}− ， {0 1}， (2 i)(3 i)a+ + y x= a = 2− 1− 1 2 log 0( 0a b a< > 1)a ≠ 2 2 1b b− > 1 1a b> >, 0 1 1a b< < >, 1 0 1a b> < 1 1 2 2( ) (1 2) ( )A x y B C x y, , ， , , , F 1x = − FA FB FC+ + =   0 | |FA | |FB | |FCC.若 ， ， 三点共线，则 D.若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为 2 12.已知函数 的定义域为 ，导函数为 ，若 ，且 ，则 A. B. 在 处取得极大值 C. D. 在 单调递增 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 的展开式中 的系数为________. 14.已知 是平面 ， 外的直线，给出下列三个论断，① ；② ；③ . 以其 中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________.（用序号表示） 15.已知双曲线 ，过左焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 ， 两点，以 ， 为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和为 ， 则双曲线的离心率为________. 16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部 衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设 要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为 米峡谷拐入宽为 米的峡谷. 如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点 ， 的连线恰好经过拐角内侧顶点 （点 ， ， 在同一水平面内）， 设 与 较 宽 侧 峡 谷 悬 崖 壁 所 成 角 为 ，则 的 长 为 __________(用 表示). 要使输气管顺利通过拐角，其长度 不能超过_________米. （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分 10 分） 在 中，角 的对边分别为 ， . （Ⅰ）求角 ； （Ⅱ）若 ， ，求 边上的高. A F C 1 2 1y y = − | | 6AC = AC y ( )f x (0 )+∞, ( )f x′ ( ) ( ) lnxf x f x x x′ − = 1 1( )f e e = 1( ) 0f e ′ = ( )f x 1x e = 0 (1) 1f< < ( )f x (0 )+∞, 5( 2 )( )x y x y+ − 2 4x y l α β l α α β⊥ l β⊥ 2 2 2 2 1( 0 0)x y a ba b − = > >, x P Q P Q 5a 27 8 E F O E O F EF θ EF θ ABC∆ A B C, , a b c, , 3( cos ) sina b C c B− = B 7b = sin 3sinA C= BC O F θ 8 米 27 米 E18.（本小题满分 12 分） 从条件① ，② ，③ 中任 选一个，补充到下面问题中，并给出解答． 已知数列 的前 项和为 ， ，__________.若 成等比数列，求 的 值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 19.（本小题满分 12 分） 携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营 商，并享受其提供的各种服务.2019 年 11 月 27 日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动. 某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出 名客户，对业务水平和服务水平的评价进 行统计，其中业务水平的满意率为 ，服务水平的满意率为 ，对业务水平和服务水平都满 意的客户有 人. （Ⅰ）完成下面 列联表，并分析是否有 的把握认为业务水平与服务水平有关； （Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取 名征求改 进意见，用 表示对业务水平不满意的人数，求 的分布列与期望； （Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都 满意的客户流失率为 ，只对其中一项不满意的客户流失率为 ，对两项都不满意的客 户流失率为 ，从该运营系统中任选 名客户，则在业务服务协议终止时至少有 名客户 流失的概率为多少？ 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 对业务水平不满意人数 合计 ( )2 1n nS n a= + 1 ( 2)n n nS S a n−+ = ≥ 20 2n n n na a a S> + =, { }na n nS 1 1a = 1 2k ka a S +, , k 300 13 15 2 3 180 2 2× 97.5% 2 X X 5% 34% 85% 4 2 附： 2( )P K k≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 ( ) .( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d × −= = + + ++ + + + ,1A A B C M N P 1B 1C 20.（本小题满分 12 分） 已知直三棱柱 ， ， 分别为 的中点，且 . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求 ； （Ⅲ）求二面角 的余弦值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 . （Ⅰ）求证：当 时， 的图像位于直线 上方； （Ⅱ）设函数 ，若曲线 在点 处的切线与 轴平行，且在点 处的切线与直线 平行（ 为坐标原点）. 求证： . 22.（本小题满分 12 分） 已知 是椭圆 上一点，以点 及椭圆的左、右焦点 ， 为顶点的三角形面积为 . （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）过 作斜率存在且互相垂直的直线 ， 是 与 两交点的中点， 是 与 两交点的中点，求 面积的最大值. 1 1 1ABC A B C− 1 1AB AC AA= = = M N P, , 1 1 1 1A C AB BB, , AP MN⊥ MN  1 1B BCC BAC∠ 1A PN M− − ( ) (3 4) xf x x e= − 0x > ( )y f x= 4 0x y+ + = 2( ) ( ) ( 3 5)xh x f x e x x a= + − + − ( )y h x= M x ( ( ))N t h t, OM O 1 32( ) 1t a e − −≤ ( 2 3)P , 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > P 1F 2F 2 3 C 2F 1 2l l, M 1l C N 2l C 2MNF∆2020 年威海市高考模拟考试数学答案 一、单项选择题：（每小题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D C D B D 二、多项选择题：（每小题 5 分，共 20 分） 题号 9 10 11 12 答案 BC AC ABD ACD 三、填空题：（每小题 5 分，共 20 分） 13. ； 14.①③ ②或②③ ①（填写一个即可）； 15. ； 16. ， （本题第一空 2 分，第二空 3 分）. 三、解答题： 17.（本小题满分 10 分） 解：（Ⅰ）由 及正弦定理可得 ， -------1 分 将 带入上式，整理得 ，------------3 分解 得 ，所以 . ------------5 分 (Ⅱ)由 ，得 ， ------------6 分 由余弦定理 得 解得 . ------------8 分 所以 边上的高为 . ------------10 分 18.（本小题满分 12 分） 若选择① 因为 ， ，所以 ， . 两式相减得 ，整理得 . -------------2 分 即 ， --------------4 分 所 以 为常数列. ， 以 . --------------6 分 （或由 ，利用相乘相消法，求得 ） --------------8 分 又 成等比数列，所以 ， --------------10 分 ，解得 或 （舍） 所以 --------------12 分 若选择② 由 变形得， ， --------------2 分 ， 15− ⇒ ⇒ 3 2 27 8 sin cosθ θ+ 13 13 3( cos ) sina b C c B− = 3sin 3sin cos sin sinA B C B C− = sin sin( )A B C= + 3 cos sin sin sin 0B C B C− = tan 3B = π 3B = sin 3sinA C= 3a c= 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 27 9 3c c c= + − 1c = BC 3sin 2c B = 2 ( 1)n nS n a= + *n∈N 1 12 ( 2)n nS n a+ += + *n∈N 1 12 ( 2) ( 1)n n na n a n a+ += + − + 1 ( 1)n nna n a+ = + 1 1 n na a n n + =+ *n∈N { }na n 1 11 na a n = = na n= 1 1n n a n a n + += na n= ( )( ) 2 2 2 33 2 2k k k k kka k S a+ + + ++= = × =, 1 2k ka a S +, , ( )( ) 22 3 2k k k+ + = 2 5 6 0k k− − = 6k = 1k = − 6k = 1 ( 2)n n nS S a n−+ = ≥ 1 1n n n nS S S S− −+ = − 1 1 1( )( )n n n n n nS S S S S S− − −+ = + −易知 ，所以 为等差数列， --------------4 分 而 ，所以 ， ， --------------6 分 ，且 时也满足 --------------8 分 因为 成等比数列， ， --------------10 分 又 --------------12 分 若选择③ 因为 ，所以 . 两式相减得 ， --------------2 分 整理得 . 因为 ， ，所以 是等差数列， --------------4 分 所以 --------------6 分 --------------8 分 又 成等比数列， ， --------------10 分 又 --------------12 分 19.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题意知对业务满意的有 260 人，对服务满意的有 100 人，得 列联表 ----- ----- ---- 2 分 经计算得 ， --------------3 分 所以有 的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关. --------------4 分 （Ⅱ） 的可能值为 ---------------5 分 则 ， ， ， -------------7 分 . --------------8 分 （Ⅲ）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 180 80 260 对业务水平不满意人数 20 20 40 合计 200 100 300 0nS > 1 1n nS S −− = { }nS 1 1 1S a= = nS n= 2 nS n= 1 2 1n n na S S n−∴ = − = − 1n = 1 2k ka a S +, , ( ) ( )2 22 2 1k k∴ + = − 13 3k k∴ = = −或 , k N ∗∈ , 3k∴ = 2 2 ( )n n na a S n N ∗+ = ∈ 2 1 1 12 ( 2)n n na a S n− − −+ = ≥ 2 2 1 1 12 2 2 ( 2)n n n n n n na a a a S S a n− − −− + − = − = ≥ 1 1 1( )( ) ( 2)n n n n n na a a a a a n− − −− + = + ≥ 0na > 1 1 ( 2)n na a n−∴ − = ≥ { }na 1 ( 1) 1na n n= + − × = ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 1 2 3 .2 1 12 2k k k k kS k+ + + + += + × + × = 1 2k ka a S +, , ( )( ) 22 3 2k k k∴ + + = 6k∴ = 1k = −或 , k N ∗∈ , 6k∴ = 2 2× 2 2 300 (180 20 80 20) 75 5.77 5.024200 100 260 40 13K × × − ×= = ≈ >× × × 97.5% X 0 1 2., , 0 2 20 80 2 100 316( 0) 495 C CP X C = = = 1 1 20 80 2 100 160( 1) 495 C CP X C = = = 2 20 2 100 19( 2) 495 CP X C = = = X 0 1 2 P 316 495 160 495 19 495 316 160 19 2( ) 0 1 2495 495 495 5E X = × + × + × =，只有一项满意的客户流失的概率为 ，对二者都不满 意的客户流失的概率为 . ----------------9 分 所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为 ， --------------10 分 故在业务服务协议终止时，从运营系统中任选 4 名客户，至少有 2 名客户流失的概率为 . -----------12 分 20.（本小题满分 12 分） （Ⅰ）证明：取 的中点 ，连接 ， 则有 ，且 ， ----------------2 分 因为 且 ， 所以 ，且 ，即 为平行四边形 ----------------3 分 所以 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ----------------4 分 （Ⅱ）解：设 ， ， ， ， 由已知可得， 且 ----------------5 分 ， ----------------6 分 因为 ，所以 ---------7 分 所以 ， ----------------8 分 （Ⅲ）解：在平面 内过点 做射线 垂直于 ，分别以 为 轴建立空间 直角坐标系 则 ， 且 为平面 的一个法向量 ----------------9 分 则 ----------------10 分 设 为平面 的一个法向量，则有 180 95%300 300 × = 100 3434%300 300 × = 20 1785%300 300 × = 9 17 34 1 300 5 + + = 0 4 1 3 4 4 4 4 1 1131 ( ) ( )5 5 5 625P C C= − − × = 1 1B C Q MQ NP PQ, , 1 1MQ A B 1 1 1 2MQ A B= 1 1PN A B 1 1 1 2PN A B= PN MQ PN MQ= PNMQ MN PQ MN ⊄ 1 1B BCC PQ ⊂ 1 1B BCC MN  1 1B BCC AB = a AC = b 1AA = c BAC θ∠ = | | | | | | 1= = =a b c 0=⋅ ⋅a c b c = 1 2AP = + a c 1 1 1 2 2 2MN QP= + −  = c b a AP MN⊥ 1 1 1 1 1 1( )( ) cos 02 2 2 2 2 4AP MN θ⋅ = + + − = − =  a c c b a 1cos 2 θ = 60BAC∠ = ° ABC A l AB 1AB l AA, , x y z, , 1 1 3 1 1(1 0 ) ( 1) ( 0 )2 4 4 2 2P M N, , , , , , , , 1 (0 0)= ,1,n 1A PN 1 3 1 1( ) ( 0 0)4 4 2 2MN PN= − − = − , , , , , 2 ( )x y z= , ,n PMN yx z 1A A B C M N P 1B 1C Q，令 ，则 ----------------11 分 ，所以二面角 的余弦值为 . ----------12 分 21.（本小题满分 12 分） （Ⅰ）由题意知，即证当 时， 恒成立 --------------1 分 令 所以 在 上单调递增， --------------3 分 在 上单调递增， --------------4 分 当 时， 的图象始终在直线 上方 --------------5 分 （Ⅱ） . --------------6 分 设 ，则 . --------------7 分 . --------------8 分 要证 ， 即证 ，即证 ， 即证 --------------9 分 下面证明 .令 所以当 ， 所以 在 单调递减，在 单调递增， 所以 ，即 . --------------11 分 所以 ， . --------------12 分 22.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由点 在椭圆上可得 ， 整理得 ①. ----------------1 分 ，解得 ----------------2 分 所以 ，带入①式整理得 ----------------3 分 解得 1 3 1 04 4 2 1 02 x y z x  − − = − = 1y = 2 3(0 1 )2 = −, ,n 1 2 1 2 7cos 77 4 < >= =,n n 1A PN M− − 2 7 7 0x > (3 4) 4 0xe x x− + + > ( ) (3 4) 4 ( ) (3 1) 1 ( ( )) (3 2) 0x x xg x e x x g x e x g x e x′ ′ ′= − + + = − + = + >, , ( )g x′ (0 )+∞, ( ) (0) 0 ( )g x g g x′ ′∴ > = ∴, (0 )+∞, ( ) (0) 0g x g∴ > = , 0x > ( )f x 4 0x y+ + = 2 2( ) ( 1) ( ) ( 1)x xh x e x a h x e x′= + − ∴ = + , 0 0( )M x y, 2 0 0 0( ) ( 1) 0 1xh x e x x′ = + = ∴ = −, 2 2( 1 ) OMM a k ae e ∴ − − ∴ = −, , 2 2( ) ( 1)th t e t a e ′∴ = + = − 1 32( ) 1t a e ≤ − − 3 2( 1)t a e + ≤ − 3 2( 1) ( 1)tt e t+ ≤ + 1 tt e+ ≤ 1xe x≥ + ( ) 1 ( ) 1x xF x e x F x e′= − − ∴ = −, 0 ( ) 0 0 ( ) 0x F x x F x′ ′> > < 2 1 2m t tm + = ≥, 2 2 12 MNFS t t ∆ = + 1( ) 2f t t t = + 2 2 2 1( ) tf t t −′ = 2t ≥ ( ) 0f t′ > ( )f t [2 )+∞, 2t = 2MNF∆ max 2 4 1 94 2 S = = +