数学模拟试题二
第 I 卷 选择题部分（共 60 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．设全集为 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带
一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是 2013－2018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客
人次情况，则下列说法正确的是（ ）
①2013－2018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加
②2013－2018 年这 6 年中，2014 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小
③2016－2018 年这 3 年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平
A．①②③ B．②③ C．①② D．③
4．平面向量 与 的夹角为 ，且 ， 为单位向量，则 （ ）
A． B． C．19 D．
5．函数 的图象大致为（ ）
R { }2| 4M x x= < { }0,1,2N = M N =
{ }0,1,2 (0,2) ( 2,2)− { }0,1
1
1 iz = + z i⋅
a b 60° 3a = b 2a b+ =
3 19 2 3
ln | |( ) xf x x x
= +A． B．
C． D．
6．已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 ，
两点，若 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求.全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分.
9．若函数 与 的图象恰有一个公共点，则实数 可能取值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
10．设正项等差数列 满足 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为
α ( )3, 4P − tan2α =
12
7
12
7
− 24
7
24
7
−
2 2
2 12
x y
a
− =
6
π
2 3
3
2 6
3
3 2
E ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > ( )3,0F F E A
B AB ( )1, 1− E
2 2
118 9
x y+ =
2 2
127 18
x y+ =
2 2
136 27
x y+ =
2 2
145 36
x y+ =
( ) 1xf x e= − ( )g x ax= a
1−
{ }na ( )2
1 10 2 92 20a a a a+ = +
2 9a a 10 2 9a a+ 2 10C． 的最大值为 D． 的最小值为
11．过抛物线 的焦点 且斜率为 的直线 与抛物线交于 两点（ 在第一
象限），以 为直径的圆分别与 轴相切于 两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线 的焦点 坐标为 B．
C． 为抛物线 上的动点， ，则 D．
12．在边长为 2 的等边三角形 中，点 分别是边 上的点，满足 且
，（ ），将 沿直线 折到 的位置.在翻折过程中，下列结论
不成立的是（ ）
A．在边 上存在点 ，使得在翻折过程中，满足 平面
B．存在 ，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面 平面
C．若 ，当二面角 为直二面角时，
D．在翻折过程中，四棱锥 体积的最大值记为 ， 的最大值为
第 II 卷 非选择题部分（共 90 分）
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．若直线 是曲线 的切线，且 ，则实数 的最小值是
______________.
14．已知函数 （ ）的最大值为 ，则实
数 的取值范围是______________.
15．点 是抛物线 上的两点， 是抛物线 的焦点，若 ，
中点 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最大值为_______.
2 2
2 9
1 1
a a
+ 1
5
4 4
2 9a a+ 200
2: 8C y x= F 3 l ,P Q P
,PF QF y ,A B
2: 8C y x= F (2,0) 32| | 3PQ =
M C (2,1)N min(| | | |) 6MF MN+ = 8 3| | 3AB =
ABC ,D E ,AC AB //DE BC
AD
AC
λ= ( )01λ ∈ ， ADE DE A DE′△
A E′ F //BF A CD′
10
2
λ ∈
, A BC′ ⊥ BCDE
1
2
λ = A DE B′− − | | 10
4A B′ =
A BCDE′− ( )f λ ( )f λ 2 3
9
1( ) cos2 2 sin cos2 2 2 4
x x af x x a= + − 0 2x
π≤ ≤ 3 2
4
a −
a
,A B 2: 2 ( 0)C y px p= > F C 120AFB °∠ =
AB D C d | |
d
AB16．在四棱锥 中， 平面 ， ，点 是矩形 内（含边
界）的动点，且 ， ，直线 与平面 所成的角为 .记点 的轨迹长
度为 ，则 ______；当三棱锥 的体积最小时，三棱锥 的外接球
的表面积为______.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
17．已知递增等差数列 满足 ， ，数列 满足
.
（1）求 的前 n 项和 ；
（2）若 ，求数列 的通项公式.
18．已知在 中， ，且 .
（1）判断 的形状；
（2）若 D 为 BC 的中点，BE AD，垂足为 E，延长 BE 交 AC 于 F，求证：
.
19．如图，在四棱锥 中，底面 是等腰梯形， ，
， 是等边三角形，点 在 上，且 ．
（1）证明： //平面 ．
（2）若平面 平面 ，求二面角 的余弦值．
20．已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上， 为椭圆 短轴的一个端点， 、
为椭圆的左、右焦点，线段 的延长线与椭圆 相交于点 ，且 .
{ }na 1 5 10a a+ = 2 4 21a a⋅ = { }nb
22log 1, *n nb a n N= − ∈
{ }nb nS
1 2( 1)n nT nb n b b= + − +…+ { }nT
ABC sin sina A c C= 2 2 2sin sin sinB A C= +
ABC
⊥
ADB FDC∠ = ∠
A DBCE− DBCE 2BC DE=
BD DE CE= = ADE F AC 3AC AF=
AD BEF
ADE ⊥ BCED F BE C− −
C O x ( )0,2D C 1F
2F 2DF C E 2 23DF EF=
P ABCD− PA ⊥ ABCD 2AP = M ABCD
1AB = 3AD = PM ABCD 4
π
M
α tanα = P ABM− P ABM−（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，点 为椭圆上一动点（非长轴端点）， 的延长线与椭圆交于 点， 的延
长线与椭圆交于 点，求 面积的最大值.
21．2019 年 7 月 1 日到 3 日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产
业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽
车，并在出厂前对 100 辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃
料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图的频
率分布直方图．
（1）估计这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点
值代表）；
（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程 X 近似地服从正态分
布 ，经计算第（1）问中样本标准差 s 的近似值为 50．用样本平均数 作为 的近
似值，用样本标准差 s 作为 的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在 250
千米到 400 千米之间的概率；
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，
客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本
营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是 ，方格图上标有第 0 格、
第 1 格、第 2 格……第 50 格．遥控车开始在第 0 格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一
C
A 2AF B AO
C ABC∆
x
( )2,N µ σ x µ
σ
1
2次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从 k 到 ），若掷出反面，遥控车向前移动两格
（从 k 到 ），直到遥控车移到第 49 格（胜利大本营）或第 50 格（失败大本营）时，游
戏结束．设遥控车移到第 n 格的概率为 ，试证明 是等比数
列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
22．已知函数 ， ， ．
（1）求函数 的极值；
（2）若 在 上为单调函数，求 的取值范围；
（3）设 ，若在 上至少存在一个 ，使得 成立，求
的取值范围．
1k +
2k +
nP { }( )*
1 1 49, Nn nP P n n−− ≤ ≤ ∈
ξ ( )2,N µ σ ( ) 0.6827P µ σ ξ µ σ− < + ≈≤
( )2 2 0.9545P µ σ ξ µ σ− < + ≈≤ ( )3 3 0.9973P µ σ ξ µ σ− < ≤ + ≈
( ) 2 lng x xx
= + ( ) 2 lnmf x mx xx
−= − − m R∈
( )g x
( ) ( )f x g x− [ )1,+∞ m
( ) 2eh x x
= [ ]1,e 0x ( ) ( ) ( )0 0 0f x g x h x− = m模拟试题二解析
第 I 卷 选择题部分（共 60 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．设全集为 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
M＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{0，1，2}；
∴M∩N＝{0，1}．
故选：D．
2．已知复数 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
∵ ，
∴ .
∴ 在复平面内对应的点为 ，
∴ 在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A.
3．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带
一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是 2013－2018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客
人次情况，则下列说法正确的是（ ）
R { }2| 4M x x= < { }0,1,2N = M N =
{ }0,1,2 (0,2) ( 2,2)− { }0,1
1
1 iz = + z i⋅
1 1
1 2
iz i
−= =+
1 1=2 2
i iz i i
− +⋅ = ⋅
z i⋅ 1 1,2 2
z i⋅①2013－2018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加
②2013－2018 年这 6 年中，2014 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小
③2016－2018 年这 3 年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平
A．①②③ B．②③ C．①② D．③
【答案】A
【解析】
由图中折线逐渐上升，即每年游客人次逐渐增多，故①正确；
由图在 2014 年中折线比较平缓，即 2014 年中游客人次增幅最小，故②正确；
根据图像在 2016－2018 年这 3 年中，折线的斜率基本相同，
故每年的增幅基本持平，故③正确；
故选：A
4．平面向量 与 的夹角为 ，且 ， 为单位向量，则 （ ）
A． B． C．19 D．
【答案】B
【解析】
，故 .
故选： .
5．函数 的图象大致为（ ）
a b 60° 3a = b 2a b+ =
3 19 2 3
( )22 2 2
2 2 = 4 4 9 6 4 19a b a b a a b b+ = + + ⋅ + = + + = 2 19a b+ =
B
ln | |( ) xf x x x
= +A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题意知，函数 ，满足 ，
所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，所以 B 选项错误；
又因为 ，所以 C 选项错误；
又因为 ，所以 D 选项错误，故选 A.
6．已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
角 的终边经过点 ，
由任意角的三角函数的定义得： ，
故有 .
故选：C．
7．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则双曲线的离心率为（ ）
ln | |( ) xf x x x
= + ln | | ln | |( ) ( ) ( )x xf x x x f xx x
−− = − + = − + = −−
( )y f x=
(1) 1 0f = >
ln 2(2) 2 02f = + >
α ( )3, 4P − tan2α =
12
7
12
7
− 24
7
24
7
−
α ( )3, 4P −
4tan 3
α = −
2
2tan 24tan 2 1 tan 7
αα α= =−
2 2
2 12
x y
a
− =
6
πA． B． C． D．
【答案】A
【解析】
双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，
则 ，
所以该条渐近线方程为 ；
所以 ，
解得 ；
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ．
故选：A．
8．已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 ，
两点，若 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设 ， ， ， ，
代入椭圆方程得 ，
2 3
3
2 6
3
3 2
2 2
2 12
x y
a
− =
6
π
3tan 6 3
π =
3
3y x=
2 3
3a
=
6a =
2 2 6 2 2 2c a b= + = + =
2 2 2 3
36
ce a
= = =
E ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > ( )3,0F F E A
B AB ( )1, 1− E
2 2
118 9
x y+ =
2 2
127 18
x y+ =
2 2
136 27
x y+ =
2 2
145 36
x y+ =
1(A x 1)y 2(B x 2 )y
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
x y
a b
x y
a b
+ =
+ =相减得 ，
．
， ， ．
，
化为 ，又 ，解得 ， ．
椭圆 的方程为 ．
故选： ．
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求.全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分.
9．若函数 与 的图象恰有一个公共点，则实数 可能取值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
【答案】BCD
【解析】
由 与 恒过 ，如图，
当 时，两函数图象恰有一个公共点，
当 时，函数 与 的图象恰有一个公共点，
则 为 的切线，且切点为 ，
由 ，所以 ，
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 0x x y y
a b
− −+ =
∴ 1 2 1 2 1 2
2 2
1 2
0x x y y y y
a x x b
+ − ++ =−
1 2 2x x+ = 1 2 2y y+ = − 1 2
1 2
1 0 1
1 3 2AB
y yk x x
− − −= = =− −
∴
2 2
2 1 2 02a b
−+ × =
2 22a b= 2 23c a b= = − 2 18a = 2 9b =
∴ E
2 2
118 9
x y+ =
A
( ) 1xf x e= − ( )g x ax= a
1−
( ) 1xf x e= − ( )g x ax= ( )0,0
0a ≤
0a > ( ) 1xf x e= − ( )g x ax=
( )g x ax= ( ) 1xf x e= − ( )0,0
( ) xf x e′ = ( ) 00 1a f e′= = =综上所述， 或 .
故选：BCD
10．设正项等差数列 满足 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
因为正项等差数列 满足 ，
所以 ，
即 .
① ，当且仅当 时成立，故 A 选项正确.
②由于 ，所以 ，当且仅当
时成立，故 B 选项正确.
③ ，当且仅当 时成立，
所以 的最小值为 ，故 C 选项错误.
④结合①的结论，有 ，
当且仅当 时成立，故 D 选项正确.
故选：ABD
11．过抛物线 的焦点 且斜率为 的直线 与抛物线交于 两点（ 在第一
象限），以 为直径的圆分别与 轴相切于 两点，则下列结论正确的是（ ）
0, 1a = − 1
{ }na ( )2
1 10 2 92 20a a a a+ = +
2 9a a 10 2 9a a+ 2 10
2 2
2 9
1 1
a a
+ 1
5
4 4
2 9a a+ 200
{ }na ( )2
1 10 2 92 20a a a a+ = +
( )2
2 9 2 92 20a a a a+ = +
2 2
2 9 20a a+ =
2 2
2 9
2 9
20 102 2
a aa a
+≤ = = 2 9 10a a= =
2 2 2
2 9 2 9 102 2
a a a a+ + ≤ =
2 9
2 910, 2 102
a a a a
+ ≤ + ≤
2 9 10a a= =
2 2
2 9
22 2 2 2 2 2 22 22 9 2 9 2 9 2 9
1 1 20 20 20 1
10 5
2
a a
a a a a a a a a
++ = = ≥ = =⋅ ⋅ +
2 9 10a a= =
2 2
2 9
1 1
a a
+ 1
5
( )24 4 2 2 2 2 2 2 2
2 9 2 9 2 9 2 92 400 2 400 2 10 200a a a a a a a a+ = + − ⋅ = − ⋅ ≥ − × =
2 9 10a a= =
2: 8C y x= F 3 l ,P Q P
,PF QF y ,A BA．抛物线 的焦点 坐标为 B．
C． 为抛物线 上的动点， ，则 D．
【答案】ABD
【解析】
A，由题意可得抛物线的焦点 F（2，0），所以 A 正确；
B，由题意设直线 PQ 的方程为：y （x﹣2），
与抛物线联立整理可得：3x2﹣20x+12＝0，解得：x 或 6，
代入直线 PQ 方程可得 y 分别为： ，4 ，
由题意可得 P（6，4 ），Q（ ， ）；
所以|PQ|＝6 4 ，所以 B 正确；
C，如图 M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于 E，可得|MF|＝ME|，
所以|MF|+|MN|＝|ME|+|MN|≥NE＝2+2＝4，当 N，M，E 三点共线时，|MF|+|MN|最小，且最小
值为 4，所以 C 不正确；
D，因为 P（6，4 ），Q（ ， ），所以 PF，QF 的中点分别为：（3，2 ），（ ，
），
所以由题意可得 A（0，2 ），B（0， ），
所以|AB|＝2 ，所以 D 正确；
故选：ABD．
2: 8C y x= F (2,0) 32| | 3PQ =
M C (2,1)N min(| | | |) 6MF MN+ = 8 3| | 3AB =
3=
2
3
=
4 3
3
− 3
3 2
3
4 3
3
−
2
3
+ + 32
3
=
3 2
3
4 3
3
− 3 1
3
2 3
3
−
3 2 3
3
−
2 3 8 33 3 3
+ =12．在边长为 2 的等边三角形 中，点 分别是边 上的点，满足 且
，（ ），将 沿直线 折到 的位置.在翻折过程中，下列结论
不成立的是（ ）
A．在边 上存在点 ，使得在翻折过程中，满足 平面
B．存在 ，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面 平面
C．若 ，当二面角 为直二面角时，
D．在翻折过程中，四棱锥 体积的最大值记为 ， 的最大值为
【答案】ABC
【解析】
对于 A.在边 上点 F，在 上取一点 N，使得 ，在 上取一点 H，使得
，作 交 于点 G，如图所示，
则可得 平行且等于 ，即四边形 为平行四边形，
ABC ,D E ,AC AB //DE BC
AD
AC
λ= ( )01λ ∈ ， ADE DE A DE′△
A E′ F //BF A CD′
10
2
λ ∈
, A BC′ ⊥ BCDE
1
2
λ = A DE B′− − | | 10
4A B′ =
A BCDE′− ( )f λ ( )f λ 2 3
9
A E′ A D′ / /FN ED ED
/ /NH EF / /HG BE BC
FN BG BGNF∴ ，而 始终与平面 相交，
因此在边 上不存在点 F，使得在翻折过程中，满足 平面 ，A 不正确.
对于 B， ，在翻折过程中，点 在底面 的射影不可能在交线 上，因此
不满足平面 平面 ，因此 B 不正确.
对于 C. ，当二面角 为直二面角时，取 的中点 M，如图所示：
可得 平面 ，
则 ，因此 C
不正确；
对于 D.在翻折过程中，取平面 AED⊥平面 BCDE，四棱锥 体积
， ， ，可得 时，函数
取得最大值 ，因此 D 正确.
综上所述，不成立的为 ABC.
故选：ABC.
第 II 卷 非选择题部分（共 90 分）
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．若直线 是曲线 的切线，且 ，则实数 的最小值是
______________.
【答案】
【解析】
/ /NG BE GN ACD
A E′ //BF A CD′
10
2
λ ∈
, A′ BCDE BC
A BC′ ⊥ BCDE
1
2
λ = A DE B′− − ED
AM ⊥ BCDE
2 2 2 23 1 1 10 10( ) 1 ( ) 2 1 cos1202 2 2 2 4A B AM BM′ = + = + + − × × × ° = ≠
A BCDE′−
( ) 31 33 BCDEf Sλ λ λ λ= ⋅ ⋅ = − ( )01λ ∈ ， ( ) 21 3f λ λ′ = − 3
3
λ = ( )f λ
( ) 3 1 2 313 3 9f λ = − = y＝2alnx 的导数为 ，由于直线 y＝2x+b 是曲线 y＝2alnx 的切线，设切点为（m，n），则
，
∴m＝a，又 2m+b＝2alnm，∴b＝2alna﹣2a（a＞0），b ＝2（lna+1）﹣2＝2lna，
当 a＞1 时，b ＞0，函数 b 递增，当 0＜a＜1 时，b ＜0，函数 b 递减，
∴a＝1 为极小值点，也为最小值点，∴b 的最小值为 2ln1﹣2＝﹣2．
14．已知函数 （ ）的最大值为 ，则实
数 的取值范围是______________.
【答案】
【解析】
由已知
令 ，
则 ，
因为 ，
则 在区间 的右端点取最大值，
故 ，则 ．
故答案为： ．
15．点 是抛物线 上的两点， 是抛物线 的焦点，若 ，
中点 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最大值为_______.
【答案】
【解析】
1( ) cos2 2 sin cos2 2 2 4
x x af x x a= + − 0 2x
π≤ ≤ 3 2
4
a −
a
2a ≥
( )2 21 1( ) 1 2sin sin sin sin2 4 4 2
a af x x a x x a x= − + − = − + − +
[ ]sin 0,1t x= ∈
2 1( ) ,0 14 2
ag t t at t= − + − + ≤ ≤
1 3 2(1) 1 4 2 4
a ag a
−= − + − + =
( )g t [ ]0,1
12
a ≥ 2a ≥
2a ≥
,A B 2: 2 ( 0)C y px p= > F C 120AFB °∠ =
AB D C d | |
d
AB
3
3如图，过 作准线的垂线，垂足分别为 ，则
，
中，
，当且仅当
时取等号。
∴ ，
，即 的最大值为 。
故答案为： 。
16．在四棱锥 中， 平面 ， ，点 是矩形 内（含边
界）的动点，且 ， ，直线 与平面 所成的角为 .记点 的轨迹长
度为 ，则 ______；当三棱锥 的体积最小时，三棱锥 的外接球
的表面积为______.
【答案】
【解析】
如图，因为 平面 ，垂足为 ，
则 为直线 与平面 所成的角，
, ,A B D , ,N P M
1 1( ) ( )2 2d MD AN BP AF BF= = + = +
ABF∆ 2 2 2 2 cos120AB AF BF AF BF= + − ° 2 2AF BF AF BF= + +
2 2 2 23( ) ( ) ( ) ( )2 4
AF BFAF BF AF BF AF BF AF BF
+= + − ≥ + − = +
AF BF=
4 2 3
3 3
AF BF
AB
+ ≤ =
| |
d
AB
1 3
2 3
AF BF
AB
+= ⋅ ≤ d
AB
3
3
3
3
P ABCD− PA ⊥ ABCD 2AP = M ABCD
1AB = 3AD = PM ABCD 4
π
M
α tanα = P ABM− P ABM−
3 8π
PA ⊥ ABCD A
PMA∠ PM ABCD所以 .因为 ，所以 ，
所以点 位于底面矩形 内的以点 为圆心， 为半径的圆上，
记点 的轨迹为圆弧 .连接 ，则 .
因为 ， ，所以 ，
则弧 的长度 ，所以 .
当点 位于 时，三棱锥 的体积最小，
又 ，
∴三棱锥 的外接球球心为 的中点.
因为 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 .
故答案为： ；
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
17．已知递增等差数列 满足 ， ，数列 满足
.
（1）求 的前 n 项和 ；
（2）若 ，求数列 的通项公式.
{ }na 1 5 10a a+ = 2 4 21a a⋅ = { }nb
22log 1, *n nb a n N= − ∈
{ }nb nS
1 2( 1)n nT nb n b b= + − +…+ { }nT
4PMA
π∠ = 2AP = 2AM =
M ABCD A 2
M EF AF 2AF =
1AB = 3AD =
6AFB FAE
π∠ = ∠ =
EF 26 3
π πα = × = tan 3α =
M F P ABM−
2PAF PBF
π∠ = ∠ =
P ABM− PF
2 22 2 2 2PF = + =
P ABM− ( )2
4 2 8S π π= =
3 8π【答案】（1） （2）
【解析】
（1）设数列 公差为 ，由 ，
解得： （舍去），所以 ， .
.
（2） ，
.
18．已知在 中， ，且 .
（1）判断 的形状；
（2）若 D 为 BC 的中点，BE AD，垂足为 E，延长 BE 交 AC 于 F，求证：
.
【答案】（1）等腰直角三角形；（2）证明见解析
【解析】
（1）由正弦定理得： ，其中 R 为 外接圆的半径.
∵ ，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形；
(2)以 B 为坐标原点，BC、BA 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系.
2 1n
nS = − 12 2n
nT n+ - -=
{ }na ( 0)d d > 1
1 1
2 4 10
( )( 3 ) 21
a d
a d a d
+ =
+ + =
1 11 9
2 2
a a
d d
= =
= = −
或 2 1na n= − 1
2log 1, 2n
n nb n b −= − =
2 1 2 12 1
n
n
nS
−= = −−
1 2( 1) ...n nT nb n b b= + − + +
1 1 2 1 2 3 1 2( ) ( ) ( )n nT b b b b b b b b b= + + + + + + + + + +
2
1 2 (2 1) (2 1) + 2 1)n
nS S S= + + + = − + − + − （
2 12(2 1)(2 2 +2 2 22 1
n
n nn n n+−= + + − = − = − −− ）
ABC sin sina A c C= 2 2 2sin sin sinB A C= +
ABC
⊥
ADB FDC∠ = ∠
sin ,sin ,2 2
a bA BR R
= = sin 2
cC R
= ABC
sin sina A c C= 2 2 2sin sin sinB A C= +
2 2
a ca cR R
⋅ = ⋅ 2 2 2( ) ( ) ( )2 2 2
b a c
R R R
= +
2 2 2 2 2,a c b a c= = +
0, 90a c B= =
ABC
x y设 A（0，2），C（2，0），则 D（1，0）， .
设 ，则 ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，
又因为 ，且 ， ，
所以 .
19．如图，在四棱锥 中，底面 是等腰梯形， ，
， 是等边三角形，点 在 上，且 ．
（1）证明： //平面 ．
（2）若平面 平面 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
(2, 2)AC = −
AF ACλ= (0 2) (2 , 2 ) 2 2 2BF BA AF λ λ λ λ= + = + − = − ， （ ， ）
( )1,2DA = −
BF DA⊥
0BF DA⋅ =
-2 2 2 2 0λ λ+ − =（ ）
2
3
λ =
4 2( , )3 3BF =
1 2( , )3 3DF BF BD= − = (1 0)DC = ，
5cos 5
DF DCFDC
DF DC
⋅∠ = =
⋅
5cos 5
BDADB AD
∠ = = ADB∠ (0, )FDC π∠ ∈
ADB FDC∠ = ∠
A DBCE− DBCE 2BC DE=
BD DE CE= = ADE F AC 3AC AF=
AD BEF
ADE ⊥ BCED F BE C− −
13
13【解析】
（1）连接 交 于点 ，连接 ．
∵在等腰梯形 中， ， ，
// ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ // ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
（2）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ，显然 ．
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ．
因为 、 分別为 、 的中点，且在等腰梯形 中， ，
所以 ．以 为原点建立如所示的空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，
， ， ，
DC BE G FG
DBCE BD DE CE= = 2BC DE=
BC DE 2CG BC
DG DE
= = 3AC AF= 2CF
AF
=
CF CG
AF DG
= AD FG
AD ⊄ BEF FG ⊂ BEF
AD BEF
DE O BC H AO OH AO DE⊥
ADE ⊥ BCED ADE BCED DE=
AO ⊥ BCED
O H DE BC DBCE 2BC DE=
OH DE⊥ O O xyz−
( )2 0BC a a= > 3, ,02B a a
3, ,02C a a
−
,0,02
aE −
30,0, 2A a
∴ ，
∴
易得 为平面 的一个法向量，
设平面 的一个法向量为 ，
可得 ，故 ，
令 ，可得 ， ，则 ．
设二面角 的平面角为 ，则 ，
即二面角 的余弦值为 ．
20．已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上， 为椭圆 短轴的一个端点， 、
为椭圆的左、右焦点，线段 的延长线与椭圆 相交于点 ，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，点 为椭圆上一动点（非长轴端点）， 的延长线与椭圆交于 点， 的延
长线与椭圆交于 点，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
3 3, ,02 2
aBE a
= − −
2
3BF BC CF BC CA= + = +
( ) 2 3 3 4 3 32 ,0,0 , , , ,3 2 2 3 3 3a a a a a a a
= − + − = − −
( )0,0,1u = BEC
FBE ( )1 1 1, ,v x y z=
0
0
v BE
v BF
⋅ = ⋅ =
1 1
1 1 1
3 3 02 2
4 3 3 03 3 3
a x ay
ax ay az
− − =
− − + =
1 3y = 1 3x = − 1 1z = − ( )3,3, 1v = − −
F BE C− − θ 1 13cos 131 13
u v
u v
θ
⋅
= = =
×⋅
F BE C− − 13
13
C O x ( )0,2D C 1F
2F 2DF C E 2 23DF EF=
C
A 2AF B AO
C ABC∆
2 2
18 4
x y+ = 4 2【解析】
（1）设椭圆 的方程为 ，右焦点 ，
因为 为椭圆短轴的一个端点，则 .
因为 ，
故可得 ，设点 坐标为 ，
即 ，解得 .
则点 .
因为点 在椭圆上，则 ，即 .
又 ，则 ，得 ，
所以椭圆 的标准方程是 .
（2）①当直线 的斜率不存在时，不
妨取 ， ， ，
故 ；
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
， ，
联立方程 ，化简得 ，
则 ，
， ，
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > ( )2 ,0F c
( )0,2D 2b =
2 23DF EF=
23DF F E= E ( ),x y
( ) ( ), 2 3 ,c x c y− = − 4 2,3 3
cx y= = −
4 2,3 3
cE −
E
2
2
16 1 19 9
c
a
+ = 2 22a c=
2 2 4c a= − ( )2 22 4a a= − 2 8a =
C
2 2
18 4
x y+ =
AB
( )2, 2A ( )2, 2B − ( )2, 2C − −
1 2 2 4 4 22ABCS∆ = × × =
AB AB ( )2y k x= −
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
( )
2 2
2
18 4
y k x
x y
= − + =
( )2 2 2 22 1 8 8 8 0k x k x k+ − + − =
( )( ) ( )2 2 2 264 4 2 1 8 8 32 1 0k k k k∆ = − + − = + >
2
1 2 2
8
2 1
kx x k
+ = +
2
1 2 2
8 8
2 1
kx x k
−⋅ = +，
点 到直线 的距离 ，
因为 是线段 的中点，所以点 到直线 的距离为 ，
∴ ，
∵ ，又 ，所以等号不成立.
∴ ，
综上可得， 面积的最大值为 .
21．2019 年 7 月 1 日到 3 日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产
业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽
车，并在出厂前对 100 辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃
料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图的频
率分布直方图．
（1）估计这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点
值代表）；
( ) ( )22
1 2 1 21 4A k x x xB x = + ⋅ + − ⋅ ( ) 22 2
2
2 2
8 8 81 42 1 2 1
k kk k k
−= + ⋅ − ⋅ + +
2
2
14 2 2 1
k
k
+= ⋅ +
O ( )2y k x= −
2 2
2 2
1 1
k kd
k k
−= =
+ +
O AC C AB 2
42
1
kd
k
=
+
2
2 2
41 1 12 4 22 2 2 1 1ABC
kkS AB d k k
∆
+= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + +
( )
( )
2 2
22
1
8 2
2 1
k k
k
+
= ⋅
+
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 22 2 2
1 1 1 1
44 12 1 1
k k k k k k
k kk k k
+ + +
= ≤ =
+ + + +
2 2 1k k≠ +
( )
( )
2 2
22
1
8 2 4 2
2 1ABC
k k
S
k
∆
+
= ⋅ <
+
ABCS∆ 4 2
x（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程 X 近似地服从正态分
布 ，经计算第（1）问中样本标准差 s 的近似值为 50．用样本平均数 作为 的近
似值，用样本标准差 s 作为 的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在 250
千米到 400 千米之间的概率；
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，
客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本
营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是 ，方格图上标有第 0 格、
第 1 格、第 2 格……第 50 格．遥控车开始在第 0 格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一
次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从 k 到 ），若掷出反面，遥控车向前移动两格
（从 k 到 ），直到遥控车移到第 49 格（胜利大本营）或第 50 格（失败大本营）时，游
戏结束．设遥控车移到第 n 格的概率为 ，试证明 是等比数
列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
【答案】（1）300；（2） ；（3）见解析.
【解析】
（1）
（千米）．
（2）由 ．
∴ ．
（3）遥控车开始在第 0 格为必然事件， ．
第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为 ，即 ．
遥控车移到第 格的情况是下面两种，而且只有两种：
①遥控车先到第 格，又掷出反面，其概率为 ．
( )2,N µ σ x µ
σ
1
2
1k +
2k +
nP { }( )*
1 1 49, Nn nP P n n−− ≤ ≤ ∈
ξ ( )2,N µ σ ( ) 0.6827P µ σ ξ µ σ− < + ≈≤
( )2 2 0.9545P µ σ ξ µ σ− < + ≈≤ ( )3 3 0.9973P µ σ ξ µ σ− < ≤ + ≈
0.8186
0.002 50 205 0.004 50 255 0.009 50 305 0.004 50 355x = × × + × × + × × + × × +
0.001 50 405 300× × =
( )2300,50X N
( ) 0.9545 0.6827250 400 0.9545 0.81862XP
−< ≤ = − =
0 1P =
1
2 1
1
2P =
( )2 49n n≤ ≤
2n − 2
1
2 nP −②遥控车先到第 格，又掷出正面，其概率为 ．
∴ ．
∴ ．
∴ 时，数列 是等比数列，
首项为 ，公比为 的等比数列．
∴ ， ，
，……， ．
∴
． ．
∴获胜的概率 ，
失败的概率 ．
∴ ．
∴获胜的概率大．
∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
22．已知函数 ， ， ．
1n − 1
1
2 nP −
2 1
1 1
2 2n nnP P P− −= +
( )1 1 2
1
2n n n nP P P P− − −− = −
1 49n≤ ≤ { }1n nP P −−
1 0
1
2P P− = − 1
2
−
1
11 2P − = −
1
2
2
1
2P P − = −
3
3 2
1
2P P − = − 1
1
2
n
n nP P −
− = −
( ) ( ) ( )1 1 2 1 0 0n n n n nP P P P P P P P− − −= − + − + + − +
11 1 1 12 2 2
n n− = − + − + − +
1
1
11 2 12 11 3 21 2
n
n
+
+
− − = = − − − −
( )0,1, ,49n =
50
49
2 113 2P
= − −
49 49
50 48
1 1 2 1 1 11 12 2 3 2 3 2P P
= = × − − = +
50 49 48
49 50
2 1 1 1 1 11 1 1 03 2 3 2 3 2P P
− = − − − + = − >
( ) 2 lng x xx
= + ( ) 2 lnmf x mx xx
−= − − m R∈（1）求函数 的极值；
（2）若 在 上为单调函数，求 的取值范围；
（3）设 ，若在 上至少存在一个 ，使得 成立，求
的取值范围．
【答案】（1） ，无极大值；（2） ；（3） .
【解析】
（1）因为 .由 得: ，
当 时， ，当 时，
所以 为函数 的极小值点 .
（2） ， .
因为 在 上为单调函数，
所以 或 在 上恒成立，
等价于 在 恒成立，
又 ．当且仅当 时，等号成立
等价于 ，
即 在 恒成立，而 ．
综上，m 的取值范围是 ．
（3）构造函数 ，
( )g x
( ) ( )f x g x− [ )1,+∞ m
( ) 2eh x x
= [ ]1,e 0x ( ) ( ) ( )0 0 0f x g x h x− = m
( ) 1 ln2g x = +
极小值
] [( ),0 1,−∞ ∪ +∞
2[ 4 , )1
e
e
+∞−
( ) 2 2
2 1 2xg x x x x
−= − + =′ ( ) 2 2
2 1 2 0xg x x x x
−= − + = =′ 2x =
2x > ( ) 0g x′ > 0 2x< < ( ) 0g x′ <
2x = ( )g x ( ) ( )2 1 ln2g x g= = +
极小值
( ) ( ) 2lnmf x g x mx xx
− = − − ( ) ( ) 2'
2
2mx x mf x g x x
− + ∴ − =
( ) ( )f x g x− [ )1,+∞
2 2 0mx x m− + ≥ 2 2 0mx x m− + ≤ [ )1,+∞
2 2 0mx x m− + ≥ 2
2
1
xm x
≥ +
[ )1,+∞
2
2 2 2 111 12
x
x x xx x
= ≤ =+ + × 1x =
1m∴ ≥
2 2 0mx x m∴ − + ≤ ( )21 2m x x+ ≤
2
2
1
xm x
≤ +
[ )1,∞ ( ]2
2 0,1 , 01
x mx
∈ ∴ ≤+
] [( ),0 1,−∞ ∪ +∞
( ) ( ) ( ) ( ) 22lnm eF x f x g x h x mx xx x
= − − = − − −当 时， ，
所以在 不存在 ，使得
当 时，
因为 ，所以 在 恒成立，
故 在 单调递增，
所以 ，又
所以只需 ，解之得 ，
故 m 的取值范围是 .
0m ≤ [ ] 21, , 0, 2ln 0m ex e mx xx x
∈ − ≤ − − <
[ ]1,e 0x ( ) ( ) ( )0 0 0f x g x h x− =
0m > ( ) 2
2 2 2
2 2 2 2m e mx x m eF x m x x x x
− + ++′ = + − =
[ ] 21, , 2 2 0, 0x e e x mx m∈ ∴ − ≥ + > ( ) 0F x′ > [ ]1,e
( )F x [ ]1,e
( )max 4mF x me e
= − − ( ) ( )min 1 2 0F x F e= −
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