潍坊市高考模拟考试
数学
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则 A∩ ∁UB
＝（ ）
A. {1，4} B. {1，4，5} C. {4，5} D. {6，7}
【答案】C
【解析】
【分析】
根据补集与交集的定义，计算即可．
【详解】集合 U＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，7}，
所以∁UB＝{1，4，5}，
又 A＝{2，3，4，5}，
所以 A∩ ∁UB ＝{4，5}．
故选：C．
【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算，基础题．
2.若复数 在复平面内对应的点在第二象限内，则实数 a 的值可以是（ ）
A. 1 B. 0 C. ﹣1 D. ﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于 0 且虚部大于 0 求解 a 的范围即可.
【详解】∵
又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，
(
)
( )
1
a iz i
+= −
( )( )
( )( )
1 1 1
1 1 1 2 2
a i ia i a az ii i i
+ ++ − += = = +− − +∴ ，得﹣1＜a＜1．
∴实数 a 的值可以是 0．
故选：B．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础
题．
3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲
的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（ ）
A. 甲是律师，乙是医生，丙是记者
B. 甲是医生，乙是记者，丙是律师
C. 甲是医生，乙是律师，丙是记者
D. 甲是记者，乙是医生，丙是律师
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生.
【详解】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，
从而排除 B 和 D；
由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从
而乙是律师，甲是医生．
故选：C.
【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化思
想，是基础题.
4.以抛物线 的焦点为圆心，且与 E 的准线相切的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
1 02
1 02
a
a
−
+
＜
＞
2: 4E x y=
( )2 21 4x y− + = ( )22 1 4x y+ + =
( )2 21 4x y+ + = ( )22 1 4x y+ − =【解析】
【分析】
根据抛物线的焦点和准线得到圆心和半径，进一步到圆的方程.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
圆与 E 的准线相切，则 ，故圆方程为： .
故选：D.
【点睛】本题考查了抛物线的焦点和准线，圆方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
5.设函数 f（x）为奇函数，且当 x≥0 时，f（x）＝ex﹣cosx，则不等式 f（2x﹣1）+f（x﹣2）＞
0 的解集为( )
A. （﹣∞，1） B. （﹣∞， ） C. （ ，+∞） D. （1，+∞）
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的解析式求出其导数，分析可得 f（x）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性分
析可得 f（x）在 R 上为增函数，据此可得原不等式等价于 2x﹣1＞2﹣x，解出 x 的取值范围，
即可得答案．
【详解】由题知，当 x≥0 时，f（x）＝ex﹣cosx，此时有 ＝ex+sinx＞0，则 f（x）在[0，
+∞）上为增函数，
又由 f（x）为奇函数，则 f（x）在区间（﹣∞，0]上也为增函数，
故 f（x）在 R 上为增函数.
由 f（2x﹣1）+f（x﹣2）＞0，可得 f（2x﹣1）＞﹣f（x﹣2），
而函数 f（x）为奇函数，可得到 f（2x﹣1）＞f（2﹣x），
又 f（x）在 R 上为增函数，有 2x﹣1＞2﹣x，解得 x＞1，
即不等式的解集为（1，+∞）.
故选：D
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属
于中档题．
6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，
2: 4E x y= ( )0,1 1y = −
2r = ( )22 1 4x y+ − =
1
3
1
3
( )f x′十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，
万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有 20 位老人，他们的年龄（都为正整数）之和
恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于 90 至 100），其余 19 人的年龄依次相差一
岁，则年长者的年龄为( )
A. 94 B. 95 C. 96 D. 98
【答案】B
【解析】
【分析】
设年纪最小者年龄为 n，年纪最大者为 m，m∈[90，100]，由题可得 n+（n+1）+（n+2）+
+（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，解出 n 的取值范围，根据年龄为整数可得 n 的取值范围，
再代入可得 m 的值．
【详解】根据题意可知，这 20 个老人年龄之和为 1520，设年纪最小者年龄为 n，年纪最大者
为 m，m∈[90,100]，
则有 n+（n+1）+（n+2）+ +（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，
则有 19n+m＝1349，则 m＝1349﹣19n，
所以 90≤1349﹣19n≤100，
解得 ，
因为年龄为整数，所以 n＝66，
则 m＝1349﹣19×66＝95.
故选：B
【点晴】本题考查阅读理解能力，涉及等差数列的性质，属于中档题．
7.在四面体 ABCD 中，△ABC 和△BCD 均是边长为 1 的等边三角形，已知四面体 ABCD 的四
个顶点都在同一球面上，且 AD 是该球的直径，则四面体 ABCD 的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
易得出 AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，设球心为 O，则 OB＝OC＝OD
14 565 6619 19n≤ ≤
2
24
2
12
2
6
2
4，BO⊥AD，BO⊥OC，从而 BO⊥平面 ACD，由此能求出四面体 ABCD 的体积．
【详解】在四面体 ABCD 中，△ABC 和△BCD 均是边长为 1 的等边三角形，
四面体 ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且 AD 是该球的直径，设球心为 O，则 O 为 AD
的中点，
∴AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，
OB＝OC＝OD ，BO⊥AD，BO⊥OC，
∴BO⊥平面 ACD，
∴四面体 ABCD 的体积为：
VB﹣ACD ．
故选：B
【点晴】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础
知识，考查运算求解能力，属中档题．
8.已知 O 为坐标原点，双曲线 C： 右焦点为 F，过点 F 且与 x
轴垂直的直线与双曲线 C 的一条渐近线交于点 A（点 A 在第一象限），点 B 在双曲线 C 的渐
近线上，且 BF∥OA，若 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
的
2
2
=
2
2
=
1 1 1 2 2 223 3 2 2 2 12ACDS BO= × × = × × × × =
( )2 2
2 2 1 0 0x y a ba b
− = ＞ ， ＞
0AB OB⋅ =
2 3
3 2 3【答案】A
【解析】
【分析】
设双曲线的半焦距为 c，利用题设条件分别求出 A、B 的坐标，再利用 得到 a 与 c
的关系式，即可求出离心率．
【详解】如图所示，设双曲线的半焦距为 c，渐近线方程为：y＝± ，
则点 F（c，0），A（c， ），设点 B（x0， ），∵BF∥OA，
∴ ，即 ，解得：x0 ，所以
∴ ，
又∵ ，∴ 0，即 a2＝3b2．
∵c2＝a2+b2，∴a2＝3（c2﹣a2），即 3c2＝4a2，
所以离心率 e ．
故选：A．
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了求双曲线的离心率，考查了平面向量的数
量积的坐标运算，属于基础题．
二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四
个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有
选错的得 0 分.
0AB OB⋅ =
b xa
bc
a
0bx
a
−
OA BFk k=
0
0
bx
b a
a x c
−
= − 2
c= ( , )2 2
c bcB a
−
3
2 2
c bcAB a
− = −
，
2 2
c bcOB a
= −
，
0AB OB⋅ = 2 2 2
2
3
4 4
c b c
a
− + =
2 3
3
c
a
= =9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照 14 亿人口计算，中国人均
粮食产量约为 950 斤﹣比全球人均粮食产量高了约 250 斤．如图是中国国家统计局网站中
2010﹣2019 年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知
在 2010﹣2019 年中（ ）
A. 我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增
B. 2011 年我国粮食年产量的年增长率最大
C. 2015 年﹣2019 年我国粮食年产量相对稳定
D 2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰
【答案】BCD
【解析】
【分析】
仔细观察 2010﹣2019 年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，利用
条形图中的数据直接求解．
【详解】由中国国家统计局网站中 2010﹣2019 年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口
（千万人）的条形图，知：
对于 A，我国粮食年产量在 2010 年至 2015 年逐年递增，在 2015 年至 2019 年基本稳定在 66
千万吨左右，2016 年，2018 年略低；而我国年末总人口均逐年递增，故 A 错误；
对于 B，由粮食产量条形图得 2011 年我国粮食年产量的年增长率最大，约为 5%，故 B 正确；
对于 C，在 2015 年至 2019 年基本稳定在 66 千万吨以上，故 C 正确；
对于 D，2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为 0.48 吨/人，故 D 正确．
故选：BCD
【点睛】本题主要考查条形图，考查学生的数据分析和运算求解能力，是基础题．
10.若 ， 则下列不等式中一定成立的是（ ）1a b< < − 0c >A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于 A：构造函数 ，由函数在 上的单调性进行比较；
对于 B：构造函数 ，由函数在 上 单调性进行比较；
对于 C：由于 ，则 ，但不确定 与 1 的大小关系，无法判断大小；
对于 D：易知 ， ，由指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】由函数 在 上为增函数可知，当 时， ，故
选项 A 错误；
由函数 在 上为增函数可知，当 时， ，即
，故选项 B 正确；
由于 ，则 ，但不确定 与 1 大小关系，故 与 0 的大小关系不确
定，故选项 C 错误；
由 可知， ， ,而 ，则 ，故选项 D 正
确．
故选：BD．
【点睛】本题考查实数的大小比较，考查函数思想的运用，属于基础题．
11.在单位圆 O：x2+y2＝1 上任取一点 P（x，y），圆 O 与 x 轴正向的交点是 A，设将 OA 绕原
点 O 旋转到 OP 所成的角为 θ，记 x，y 关于 θ 的表达式分别为 x＝f（θ），y＝g（θ），则下列
说法正确的是（ ）
A. x＝f（θ）是偶函数，y＝g（θ）是奇函数
的
的
1 1a ba b
− > − 1 1
b aa b− < −
( ) 0ln b a− >
c ca b
b a
>
1y x x
= − ( , 1)−∞ −
1y x x
= + ( , 1)−∞ −
a b< 0b a− > b a−
1a
b
> 0 1b
a
< <
1y x x
= − ( , 1)−∞ − 1a b< < − 1 1a ba b
− < −
1y x x
= + ( , 1)−∞ − 1a b< < − 1 1a ba b
+ < +
1 1
b aa b− < −
a b< 0b a− > b a− ( )ln b a−
1a b< < − 1a
b
> 0 1b
a
< < 0c > 1 0
c ca b
b a
> > > B. x＝f（θ）在 为增函数，y＝g（θ）在 为减函数
C. f（θ）+g（θ）≥1 对于 恒成立
D. 函数 t＝2f（θ）+g（2θ）的最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】
，由题可知， ， ，根据正弦函数和余弦函数的奇偶性，可判
断选项 ；
，根据正弦函数和余弦函数的单调性，可判断选项 ；
，先利用辅助角公式可得 ，再结合正弦函数的值域即可得解；
， ， ， ，先对函数 求导，从而可知函数 的单调性，进而可得
当 ， 时，函数 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即
可得解．
【详解】解：由题可知， ， ，即 正确；
在 上为增函数，在 上为减函数； 在
上为增函数，即 错误；
， ， ，
，即 正确；
函数 ， 则
，
令 ，则 ；令 ，则 ，
函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，当 即
2 2
π π − ，
2 2
π π − ，
0 2
πθ ∈ ，
3 2
2
A ( ) cosx f θ θ= = ( ) siny g θ θ= =
A
B B
C ( ) ( ) 2 sin( )4f g
πθ θ θ+ = +
D 2cos sin 2t θ θ= + [0θ ∈ 2 ]π t t
1sin 2
θ = 3cos 2
θ = t
( ) cosx f θ θ= = ( ) siny g θ θ= = A
( ) cosx f θ θ= = [ ,0)2
π− [0, ]2
π
( ) siny g θ θ= = [ , ]2 2
π π−
B
( ) ( ) cos sin 2 sin( )4f g
πθ θ θ θ θ+ = + = + [0, ]2
πθ ∈ ∴ 3[ , ]4 4 4
π π πθ + ∈
2 sin( ) [1, 2]4
πθ + ∈ C
2 ( ) (2 ) 2cos sin 2t f gθ θ θ θ= + = + [0,2 ]θ π∈
22sin 2cos2 2sin 2(1 2sin ) 2(2sin 1)(sin 1)t θ θ θ θ θ θ′ = − + = − + − = − − +
0t′ > 11 sin 2
θ− < < 0t′ < 1 sin 12
θ< <
∴ t 0 6,
π
5 ,26
π π
5,6 6
π π
6
πθ =， 时，函数 取得极大值，为 ，
又当 即 ， 时， ，所以函数 的最大值为 ，
即 错误．
故选： ．
【点睛】本题考查正弦函数、余弦函数的单调性和奇偶性，三角恒等变换，利用导数求函数
的单调性与最值等，考查学生灵活运用知识的能力、推理论证能力和运算能力，属于中档
题．
12.如图，平面 α∩平面 β＝l，A，C 是 α 内不同的两点，B，D 是 β 内不同的两点，且 A，B，
C，D∉直线 l，M，N 分别是线段 AB，CD 的中点．下列判断正确的是（ ）
A. 若 AB CD，则 MN l
B. 若 M，N 重合，则 AC l
C. 若 AB 与 CD 相交，且 AC l，则 BD 可以与 l 相交
D. 若 AB 与 CD 是异面直线，则 MN 不可能与平行
【答案】BD
【解析】
【分析】
由若两两相交的平面有三条交线，交线要么相交于一点，要么互相平行判定 、 、 ；用
反证法证明 ．
【详解】解：若 ，则 、 、 、 四点共面 ，当 时，
平面 、 、 两两相交有三条交线，分别为 、 、 ，则三条交线交于一点 ，
则 与平面 交于点 ， 与 不平行，故 错误；
1sin 2
θ = 3cos 2
θ = t 3 1 3 3 32 22 2 2 2t = × + × × =
2θ π= sin 0θ = cos 1θ = 2 1 2 0 1 2t = × + × × = t 3 3
2
D
AC
// //
//
//
A B C
D
/ /AB CD A B C D γ =
⋅
,a b =0a b⋅
50 2 4 5sin
π πα α ∈ − = ， ，
( , )4 4 4
π π πα − ∈ − cos( ) 04
πα − >
sin sin[( ) ]4 4
π πα α= − +
cosα
5sin( )4 5
πα − = (0, )2
πα ∈ ∴ ( , )4 4 4
π π πα − ∈ −
2 2 5cos( ) 1 ( )4 4 5sin
π πα α− = − − =
∴ 2 2 3 5 3 10sin sin[( ) ] [sin( ) cos( )]4 4 2 4 4 2 5 10
π π π πα α α α= − + = − + − = × =
(0, )2
πα ∈ ∴ 2 10cos 1 10sinα α= − =
∴ sintan 3cos
αα α= =故答案为：3．
【点睛】本题考查三角恒等变换的混合运算，观察角之间的联系，使用拼、凑角是解题的关
键，考查学生的运算能力，属于基础题．
15.植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块
上的 ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中 A、B、C 分别与
E、F、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛
物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数
字作答）．
【答案】36
【解析】
【分析】
先选四个位置上的重复树苗有 种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问
题．
【详解】解：由题意对称相当于 3 种树苗种 ， ， ， 四个位置，有且仅有一种树苗重
复，有 种选法；在四个位置上种植有 种方法，
则由乘法原理得 种方法．
故答案为：36．
【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计
算．属于中档题．
16.已知函数 则 x∈[﹣1，e]时，f（x）的最小值为_____；设 g
（x）＝[f（x）]2﹣f（x）+a 若函数 g（x）有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是_____．
1
3C
A B C D
1
3C
4
4
2
2
12A
A
=
1
3 12 36C × =
( ) 3 2
1
2 3 1 1
lnx xf x x x x
≥= − +
，
， ＜【答案】 (1). ﹣4 (2). （0， ）
【解析】
【分析】
根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值或者下确界，即可求出 ， 时， 的
最小值；
令 ，根据题意再结合函数 的图象，以及 的图象即可求出实数 的取值
范围．
【详解】解：当 ， 时， ，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值
为 ，
当 ， 时， ，则 时， （舍 或 0，
且有 在 上单调递增，在 上单调递减，
因 ，
故函数 在 ， 上的最小值为 ；
令 ， 即 ，
作出函数 的图象，如图所示：
直线 与函数 的图象最多只有三个交点，所以 ，
即说明方程 有两个 内的不等根，
亦即函数 在 内的图象与直线 有两个交点，
因为 ，根据 的图象可知， ，
即实数 的取值范围为 ．
故答案为： ； ．
为
1
4
[ 1x∈ − ]e ( )f x
( )t f x= ( )f x 2y t t= − a
[1x∈ ]e ( )f x lnx=
( )1 1 0f ln= =
[ 1x∈ − 1) 3 2( ) 2 3 1f x x x= − + 2( ) 6 6 0f x x x′ = − = 1x = )
( )f x ( 1,0)− (0,1)
( ) ( )1 2 3 1 4 1f f− = − − + = − <
( )f x [ 1− ]e 4−
( )t f x= ( ) 0g x = 2t t a− = −
( )y f x=
y t= ( )y f x= 0 1t< <
2t t a− = − (0,1)
2y t t= − (0,1) y a= −
2 21 1( )2 4y t t t= − = − − 2y t t= − 1 04 a− < <
a 10 4a< <
4− 1(0, )4【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，以及根据函数的零点个数求参数范围，考查学
生的转化能力和数形结合能力，属于较难题．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
17.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ，
（1）若 ，求 b；
（2）求△ABC 面积的最大值．
【答案】（1）2 ；（2）3
【解析】
【分析】
（1）根据题意利用正弦定理可求 b 的值；
（2）由余弦定理和基本不等式可求 bc 的最大值，进而可求△ABC 面积的最大值．
【详解】解：（1） ， ，
由正弦定理 ，可得 ．
（2） ，
由余弦定理知 ，
，当且仅当 取“ ”；
2 3 3a A
π= =，
4B
π=
2 3
4B
π= 2 3, 3a A
π= =
∴
sin sin
a b
A B
=
22 3sin 2 2 2sin 3
2
a Bb A
×
= = =
2 3, 3a A
π= =
∴ 2 2 2 2 22 cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc= + − = + − − =
2 12bc a∴ = b c= =面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式与三角形面积的计算
问题，属于基础题．
18.已知数列 为正项等比数列， ；数列 满足
.
（1）求 ；
（2）求 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先令 和 求出 ，从而得到公比 ，再求通项公式即可.
（2）首先根据已知求出 ，再利用裂项求和即可得到答案.
【详解】（1）令 ，得 ，所以 ，
令 ，得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
设数列 的公比为 ，
则 ，所以 ；
（2）当 时， ①
又 ，②
②–① ，
因为 ，所以 ， 时也成立，所以 .
ABC∆∴ 1 1 3sin 12 3 32 2 2bc A = × × =
{ }na 1 1a = { }nb 2 1 1 2 2 3 33,b a b a b a b= + + ⋅⋅⋅
( )3 2 3 2n
n na b n+ = + −
na
1
1
n nb b +
n nT
12n
na -= 2 1n
nT n
= +
1n = 2n = 2 2a = 2
1
2aq a
= =
2 1nb n= −
1n = ( )1 1 3 2 3 2 1a b = + − = 1 1b =
2n = 2
1 1 2 2 3 (4 3) 2 7a b a b+ = + − × =
2 2 6a b = 2 3b = 2 2a =
{ }na q
2
1
2aq a
= = 12n
na -=
2n ≥ 1
1 1 2 2 1 1 3 [2( 1) 3]2n
n na b a b a b n −
− −+ + + = + − −
3 31 1 2 2 3 (2 3)2n
n na b a b a b b na+ + + = + −
1 13 (2 3)2 3 (2 5)2 (2 1)2n n n
n na b n n n− − = + − − + − = −
12n
na -= 2 1nb n= − 1n = 2 1nb n= −，
所以
.
【点睛】本题第一问考查等比数列的通项公式，第二问考查由前 项和求通项，同时考查了裂
项求和，属于中档题.
19.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
①AB⊥BC，②FC 与平面 ABCD 所成的角为 ，③∠ABC ．
如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA⊥平面 ABCD，且 PA＝AB＝2，，PD
的中点为 F．
（1）在线段 AB 上是否存在一点 G，使得 AF 平面 PCG？若存在，指出 G 在 AB 上的位置
并给以证明；若不存在，请说明理由；
（2）若_______，求二面角 F﹣AC﹣D 的余弦值．
【答案】（1）存在，G 是线段 AB 的中点，证明见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）设 PC 的中点为 H，连结 FH，由题意得 AGHF 为平行四边形，则 AF∥GH，由此能证明
在线段 AB 上存在中点 G，使得 AF∥平面 PCG．
（2）选择①AB⊥BC，推导出 AB，AD，AP 彼此两两垂直，以 AB，AD，AP 分别为 x，y，z
轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 F﹣AC﹣D 的余弦值．选择②FC 与平
1
1 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n nb b n n n n+
= = −− + − +
1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( )]2 3 3 5 2 1 2 1nT n n
== − + − + + −− +
1 1 1 1 1 1[(1 ) ( )]2 3 2 1 3 5 2 1n n
= + + + − + + +− +
1 1(1 )2 2 1 2 1
n
n n
= − =+ +
n
6
π
3
π=
//面 ABCD 所成的角为 ，取 BC 中点 E，连结 AE，取 AD 的中点 M，连结 FM，CM，则
FM∥PA，且 FM＝1，FM⊥平面 ABCD，FC 与平面 ABCD 所成角为∠FCM， ，
推导出 AE，AD，AP 彼此两两垂直，以 AE、AD、AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标
系，利用向量法能求出二面角 F﹣AC﹣D 的余弦值．选择③∠ABC ，推导出 PA⊥BC，
取 BC 中点 E，连结 AE，推导出 AE，AD，AP 彼此两两垂直，以 AE、AD、AP 分别为 x，y，
z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 F﹣AC﹣D 的余弦值．
【详解】（1）在线段 AB 上存在中点 G，使得 AF∥平面 PCG．
证明如下：如图所示：
设 PC 的中点为 H，连结 FH，
因为 ， ， ， ，
所以
所以四边形 AGHF 为平行四边形，
则 AF∥GH，
又 GH⊂平面 PGC，AF⊄平面 PGC，
∴AF∥平面 PGC．
（2）选择①AB⊥BC：
∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BC，
由题意知 AB，AD，AP 彼此两两垂直，
以 AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
6
π
6FCM
π∠ =
3
π=
/ /FH CD 1
2FH CD= / /AG CD 1
2AG CD=
/ / ,FH AG FH AG=∵PA＝AB＝2，
则 A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），F（0，1，1），P（0，0，
2），
∴ （0，1，1）， （﹣2，﹣1，1），
设平面 FAC 的一个法向量为 （x，y，z），
∴ ，
取 y＝1，得 （﹣1，1，﹣1），
平面 ACD 的一个法向量为 （0，0，1），
设二面角 F﹣AC﹣D 的平面角为 θ，
则 cosθ ，
∴二面角 F﹣AC﹣D 的余弦值为 ．
选择②FC 与平面 ABCD 所成的角为 ：
∵PA⊥平面 ABCD，取 BC 中点 E，连结 AE，取 AD 的中点 M，连结 FM，CM，
则 FM∥PA，且 FM＝1，
∴FM⊥平面 ABCD，
FC 与平面 ABCD 所成角为∠FCM，∴ ，
在 Rt△FCM 中，CM ，
又 CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE，
AF = CF =
µ =
0
2 0
AF y z
CF x y z
µ
µ
⋅ = + =
⋅ = − − + =
µ =
v =
3
3
v
v
µ
µ
⋅= =
⋅
3
3
6
π
6FCM
π∠ =
3=∴AE，AD，AP 彼此两两垂直，
以 AE、AD、AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
∵PA＝AB＝2，
∴A（ 0，0，0），B（ ，﹣1，0），C（ ，1，0），D（0，2，0），E（ ，0，0），F
（0，1，1），P（0，0，2），
∴ （0，1，1）， （ ，0，1），
设平面 EAC 的一个法向量为 （x，y，z），
则 ，
取 x ，得 （ ，﹣3，3），
平面 ACD 的一个法向量为： （0，0，1），
设二面角 F﹣AC﹣D 的平面角为 θ，
则 cosθ ．
∴二面角 F﹣AC﹣D 的余弦值为 ．
选择③∠ABC ：
∵PA⊥平面 ABCD，
∴PA⊥BC，取 BC 中点 E，连结 AE，
∵底面 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC 是正三角形，
∵E 是 BC 的中点，∴BC⊥AE，
∴AE，AD，AP 彼此两两垂直，
3 3 3
AF = CF = 3−
m =
0
3 0
m AF y z
m CF x z
⋅ = + = ⋅ = − + =
3= m = 3
n =
21
7
m n
m n
⋅
= =
⋅
21
7
3
π=以 AE、AD、AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
∵PA＝AB＝2，
∴A（ 0，0，0），B（ ，﹣1，0），C（ ，1，0），D（0，2，0），E（ ，0，0），F
（0，1，1），P（0，0，2），
∴ （0，1，1）， （ ，0，1），
设平面 EAC 的一个法向量为 （x，y，z），
则 ，
取 x ，得 （ ，﹣3，3），
平面 ACD 的法向量 （0，0，1），
设二面角 F﹣AC﹣D 的平面角为 θ，
θ 则 cosθ ．
∴二面角 F﹣AC﹣D 的余弦值为 ．
【点睛】本题主要考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，二面角的余弦值的求法，
考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等，还考查了运算求解能力、逻辑推理能力，属
于中档题．
20.已知函数 f（x） ，
3 3 3
AF = CF = 3−
m =
0
3 0
m AF y z
m CF x z
⋅ = + = ⋅ = − + =
3= m = 3
n =
21
7
m n
m n
⋅
= =
⋅
21
7
( )1 xealnx g xx x
= + =，（1）讨论函数 f（x）的单调性；
（2）证明：a＝1 时，f（x）+g（x）﹣（1 ）lnx＞e．
【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）对 求导后，再对 a 分类讨论即可得出函数的单调性．
（2）a＝1 时，将所证不等式转化为 ex﹣ex+1 ，令 F（x）＝ex﹣ex+1，G（x）
，分别根据导数求出 的最小值和 的最大值即可证明不等式成立.
【详解】（1）f（x） alnx，（x∈（0，+∞））．
．
当 a≤0 时， ＜0，函数 f（x）在 x∈（0，+∞）上单调递减．
a＞0 时，由 ，得 ，由 ，得
所以函数 在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增．
（2）证明：a＝1 时，要证 f（x）+g（x）﹣（1 ）lnx＞e．
即要证： lnx﹣e＞0⇔ex﹣ex+1 ．x∈（0，+∞）．
令 F（x）＝ex﹣ex+1，F′（x）＝ex﹣e，
当 x∈（0，1）时，F′（x）＜0，此时函数 F（x）单调递减；
当 x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，此时函数 F（x）单调递增．
可得 x＝1 时，函数 F（x）取得最小值，F（1）＝1．
令 G（x） ，G′（x） ，
当 时， ，此时 为增函数，
当 时。 ，此时 为减函数
所以 x＝e 时，函数 G（x）取得最大值，G（e）＝1．
2
e
x
+
( )f x
elnx
x
＞
elnx
x
= ( )F x ( )G x
1
x
= +
( )f x′
2 2
1 1a ax
x x x
−= − + =
( )f x′
( )f x′ 0< 10 x a
< < ( )f x′ 0> 1x a
>
( )f x 1
a
1
a
2
e
x
+
2
1 xe e
x x x
+ − elnx
x
＞
elnx
x
= ( )
2
1e lnx
x
−=
0 x e< < ( ) 0G x′ > ( )G x
x e> ( ) 0G x′ < ( )G xx＝1 与 x＝e 不同时取得，因此 F（x）＞G（x），即 ex﹣ex+1 ．x∈（0，+∞）．
故原不等式成立．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、分类讨论方法、等价转化方法，考
查了利用导数证明不等式，属于中档题．
21.区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为
构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015 年至 2019 年五年期
间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近 5 年区块链企业总数量相关
数据，如表
年份 2015 2016 2017 2018 2019
编号 1 2 3 4 5
企业总数量 y（单位：千个） 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224
注：参考数据 （其中 z＝
lny）．
附：样本（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的最小二乘法估计公式为
（1）根据表中数据判断，y＝a+bx 与 y＝cedx（其中 e＝2.71828…，为自然对数的底数），哪
一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理
由）
（2）根据（1）的结果，求 y 关于 x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；
（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请
甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；
②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个
公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在
每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 ，请通过计算说
明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？
elnx
x
＞
5 5 5 5
1 1 1 1
74.691 312.761 10.980 40.457i i i i i i
i i i i
y x y z x z
= = = =
= = = =∑ ∑ ∑ ∑， ， ，
( )( )
( )
1
2
1
ˆ ˆˆ
n
i ii
n
ii
x x y y
b a y bx
x x
=
=
− −
= = −
−
∑
∑ ，
1
3
3
5
1
2【答案】（1）选 y＝cedx；（2） ；（3）甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司
获得“优胜公司”的概率大
【解析】
【分析】
（1）直接由表中数据可得选择回归方程 y＝cedx，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；
（2）对 y＝cedx 两边取自然对数，得 lny＝lnc+dx，转化为线性回归方程求解；
（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A、甲与乙先赛；B、甲与丙先赛；C、丙与乙先
赛，由已知结合互斥事件与相互独立事件的概率计算公式分别求得甲公司获得“优胜公司”的
概率得结论．
【详解】（1）选择回归方程 y＝cedx，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；
（2）对 y＝cedx 两边取自然对数，得 lny＝lnc+dx，
令 z＝lny，a＝lnc，b＝d，得 z＝a+bx．
由于 ， ， ，
∵ 0.752，
．
∴z 关于 x 的回归方程为 ，
则 y 关于 x 的回归方程为 ；
（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：
A、甲与乙先赛；B、甲与丙先赛；C、丙与乙先赛．
由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 ，
则甲公司获胜的概率分别是：
P（A） ；
P（B） ；
0.752 0.060xy e −=
5
1
15i
i
x
=
=∑ 5
1
1 35 i
i
x x
=
= =∑ 5
1
1 2.1965 i
i
z z
=
= =∑
5
1
5 22 2
1
5 40.457 5 3 2.196
55 5 35
i ii
ii
x z x z
b
x x
=
=
− ⋅ − × ×= = ≈− ×−
∑
∑
2.196 0.752 3 0.060a z b x= − = − × = −
0.752 0.060z x= −
0.752 0.060xy e −=
1
3
3
5
1
2
1 3 1 3 1 1 1 1 3 1 131 1 13 5 3 5 2 3 3 2 5 3 45
= × + × − × × + − × − × × =
3 1 3 1 1 3 3 1 1 3 91 1 15 3 5 3 2 5 5 2 3 5 25
= × + × − × − × + − × × × = P（C） ．
由于 ，
∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大．
【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，互斥事件与相互独立事件概率的求法，还考查
了分析问题运算求解的能力，属于中档题．
22.已知椭圆 过点 ， 分别为椭圆 C 的左、右焦点且
.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过 P 点的直线 与椭圆 C 有且只有一个公共点，直线 平行于 OP（O 为原点），且与椭
圆 C 交于两点 A、B，与直线 交于点 M（M 介于 A、B 两点之间）.
（i）当 面积最大时，求 的方程；
（ii）求证： ，并判断 ， 的斜率是否可以按某种顺序构成等
比数列.
【答案】（1） ；（2）（i） ；（ii）证明见解析，不可能构成等比数
列.
【解析】
【分析】
（1）设 ， .求出 的坐标，根据 ，求出 .把点
代入椭圆方程，结合 ，求出 ，即得椭圆 C 的方程；
1 3 1 1 1 3 11 2 5 3 2 3 5 5
= − × × + × × =
9 13 1
25 45 5
＞ ＞
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > ( )2,1P 1 2,F F
1 2 1PF PF⋅ = −
1l 2l
2x =
PAB△ 2l
PA MB PB MA= 1 2,l l ,PA PB
2 2
18 2
x y+ = 1 22y x= ±
( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c 1 2,PF PF
1 2 1PF PF⋅ = − c ( )2,1P
2 2 2a b c= + 2 2,a b（2）（i）设 方程为 ， .把直线 的方程代入椭圆方程，由韦
达定理、弦长公式求出 .由点到直线的距离公式求出点 P 到 的距离 ，则
，根据基本不等式求面积的最大值，即求 的方程；（ii）要证结论成立，只
须证明 ，即证直线 为 的平分线，转化成证明 .
又 与 C 有一个公共点，即 为椭圆的切线，可求 ，又 .由题意 ，
， ， 四个数按某种顺序成等比数列，推出矛盾，故不可能构成等比数列.
【详解】（1）设 ， ，
则 ， .
， .
又 在椭圆上，故 ，
又 ，解得 ， ，
故所求方程为 .
（2）（i）由于 ，
设 方程为 ， .
由 ，消 y 整理得 ，
，
2l 1
2y x t= + ( )2 21 2, , , )(A x y B x y 2l
AB 2l d
1
2PABS AB d=
2l
| | | |
| | | |
PA PB
MA MB
= 2x = APB∠ 0PA PBk k+ =
1l 1l 1 2
1| 2xlk y =′ = −=
2
1
2lk = 1
2
−
1
2 PAk PAk−
( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c
( )1 2, 1PF c= − − − ( )2 2, 1PF c= − −
2
1 2 4 1 1PF PF c⋅ = − + + = −
6c∴ =
( )2,1P 2 2
4 1 1a b
+ =
2 2 6a b= + 2 8a = 2 2b =
2 2
18 2
x y+ =
1
2OPk =
2l 1
2y x t= + ( )2 21 2, , , )(A x y B x y
2 2
1
2
18 2
y x t
x y
= +
+ =
2 22 2 4 0x tx r+ + − =
( )
1 2
2
1 2
2 2
2
2 4
4 4 0 4
x x t
x x t
t t
+ = −∴ = −
∆ = − − > ⇒ 0y >
212 4y x= − 2
2
1
2
1 32 42 2 4
x xy
xx
− −′ = =
−−
2
1| 2xy =′ = −
1
1
2lk = −
1
2
− 1
2 PAk PAk−
1q = − 2 1q = − 3 1q = −
2 1q = − 1q = −
–1q = 1
2PAk = 1
2PBk = −
1l
1l 2l
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