浙江省2020届高三数学仿真模拟试题（Word版附答案）

绝密★考试结束前 杭高 2019 学年第二学期高三高考仿真模拟卷 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。本卷满分（150）分，考试时间（120）分钟。 2．答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定 的地方。 3．答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本 试题卷上答题一律无效。 4．考试结束后，只需上交答题卡。 参考公式： 如果事件 互斥那么 柱体的体积公式 . 如果事件 相互独立,那么 其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高 锥体的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率为 ,那么 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率为 其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高 球的表面积公式 台体的体积公式 球的体积公式 其中 分别表示台体的上、下底面积， 表示为台体的高 其中 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ， 时， A． B． C． D． 2．“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ,A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + V Sh= ,A B S h ( ) ( ) ( )P A B P A P B⋅ = ⋅ A p n 1 3 V Sh= A k S h ( ) ( )1 0,1,2) , ,(k k n k n nP k C p p k n−= = …－ 24S R= π 1 1 2 2 1 ( )3 hV S S S S= + + 1 2,S S 34 3 V R= π h R 2{ lg(4 )}A x y x= = − { 3 , 0}xB y y x= = > A B = { 2}x x > − { 1 2}x x< < { 1 2}x x≤ ≤ ∅ sin 0α = cos 1α =C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．二项式 的展开式的常数项为 A． B． C． D． 4．如下图，在矩形 中， ，沿 将矩形 折叠，连接 ，所得三 棱锥 正视图和俯视图如图，则三棱锥 侧视图的面积为 A． B． C． D． 5．函数 的图像大致是 A． B． C ． D． 6．一个箱子中装有形状完全相同的 5 个白球和 个黑球.现从中有放回地摸取 4 次， 每次都是随机摸取一球，设摸得白球的个数为 ，若 ，则 A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　 　 D．4 7．已知 ，函数 满足：存在 ，对任意的 ，恒有 .则 可以为 A． B． C． D． 8．已知等比数列 的前 项和为 ，则下列判断一定正确是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 9．如图，已知双曲线 的左右焦点分别为 , 为坐标原 点，以 为直径的圆 与双曲线 及其渐近线在第一象限的交点分 612x x （ ）- 20 20− 160 160− ABCD =2 =3AB BC， BD ABCD AC A BCD− A BCD− 6 13 18 13 2 13 3 13 22xy x= − ( )n n N ∗∈ X ( ) 1D X = ( )E X = a R∈ ( )f x 0 0x > 0x > 0( ) ( )f x a f x a− ≤ − ( )f x ( ) lgf x x= 2( ) 2f x x x= − + ( ) sinf x x= ( ) 2xf x = { }na n nS 3 0S > 2020 0a > 3 0S < 2020 0a < 2 1a a> 2021 2020a a> 2 1 1 1 a a > 2021 2020a a< 2 2 2 2: 1x yC a b − = 1 2,F F O 1 2F F O C别为 ，点 为圆 与 轴正半轴的交点，若 ，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D． 10．在三棱锥 中， 为正三角形，设二面角 ， ， 的平面角的大小分别为 ，则下面结论正确的是 A． 的值可能是负数 B． C． D． 的值恒为正数 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 7 小题，共 36 分，将答案填在答题纸上） 11．复数 满足： （其中 ， 为虚数单位）， ，则 = ▲ ；复数 的共轭复数 在复平面上对应的点在第 ▲ 象限. 12．若实数 满足 ， （1） 的最大值为 ▲ ； （2）若 恒成立，则实数 的取值范围是 ▲ . 13．在平面四边形 中， ， ， ， , ， 则 ▲ ， ▲ . 14．已知平行四边形 中， 为 中点，点 为线段 上的一点，且 ， 则 ▲ ， ▲ . 15 ． 从 这 6 个 数 中 随 机 抽 取 5 个 数 构 成 一 个 五 位 数 ， 则 满 足 条 件 的五位数的个数有 ▲ . 16．已知点 是抛物线 上动点， 是抛物线的焦点，点 的坐标为 ，则 的 最小值为 ▲ ． 17．设直线 与曲线 有三个不同的交点 ，且 ，则直线 的 方程为 ,Q P B O y 2POF QOB∠ = ∠ 1 5+ 1 5 2 + 3 5+ 3 5 2 + S ABC− ABC∆ S AB C− − S BC A− − S CA B− − , , , , 2 πα β γ α β γ ≠   1 1 1 tan tan tanα β γ+ + 3 2 πα β γ+ + < α β γ π+ + > 1 1 1 tan tan tanα β γ+ + z 1 z a ii = −+ 0a > i 10z = a z z ,x y 1 0 1 0 2 x y x y x − + ≥  + − ≥  ≤ 2x y− 1 5y ax− ≤ − ≤ a ABCD BC CD⊥ 135oB∠ = 3 2AB = 3 5AC = 5CD = sin ACB∠ = AD = ABCD E BC F DE 5 6AF AB ADλ= +   =λ AFD ABCD S S ∆ =  0,1,2,3,4,5 abcde " "a b c d e< < > > P 2 4y x= F A ( )1,0− PF PA l 3 1y x x= − + , ,A B C 2 10AB BC= = l ▲ . 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18．（本小题满分 14 分）已知函数 （Ⅰ）求函数 的单调递增区间及其图像的对称中心； （Ⅱ）当 时，求函数 的值域. 19．（本小题满分 15 分）在四棱锥 中，四边形 为 平行四边形，三角形 为等边三角形，已知 ， , ， . （1）求证： （2）求直线 与面 所成的角的正弦值. 20．（本小题满分 15 分）已知正项数列 ，其前 项和为 ，满足 ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式 ； （Ⅱ）如果对任意正整数 ，不等式 都成立，求实数 的最大值. 21．（本小题满分 15 分）已知椭圆 ： 的上下顶点分 别为 ，过点 斜率为 的直线与椭圆 自 2 1( ) 3sin cos cos 2f x x x x= ⋅ − − ( )f x 5,12 12x π π ∈ −   ( )f x P ABCD− ABCD APB 2AD = 2AB = PD AB⊥ 5PC = BD AD⊥ BD PDC { }na n nS 22 n n nS a a= + *n N∈ { }na na n 2 2 n n n ca a a+ + − > c C 2 2 18 4 x y+ = ,A B ( )0,4P ( )0k k− > C上而下交于 两点. （Ⅰ）证明：直线 与 的交点 在定直线 上. （Ⅱ）记 和 的面积分别为 和 ，求 的取值范围. 22．（本小题满分 15 分）已知函数 .（其中 为自然对数的底） （Ⅰ）当 时，是否存在唯一的 的值，使得 ？并说明理由； （Ⅱ）若存在 ，使得 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围. ,M N BM AN G 1y = AGM∆ BGN∆ 1S 2S 1 2 S S ( ) ( ) lnf x a e x x= − − e 2a e= 0x ( )0 2f x = a R∈ ( ) 0f x ka+ ≥ (0, )x∈ +∞ k杭高 2019 学年第二学期高三高考仿真模拟卷 数学参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D B A B C D B D 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11．2 四 12．4 13． 14． 15．21 16． 17． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．解： （1） 故 的单调递增区间是 ， 其图像的对称中心是 . （2）∵ ，∴ ， ∴ ，从而 则 的值域是 . 19．解析： （1 ）证明：设 的中点为 ，连接 与 ，因为 是等边 三 角 形 ， 所 以 ， 又 因 为 ， 所 以 平 面 ，则 ， , ,所以 是 等腰直角三角形，且 （2 ）由（1 ）可知 平面 ，即平面 平面 ，又因为 [ 1,1]− 5 5 2 10 1 3 1 6 2 2 3 1y x= + 3 1 cos2 1( ) sin 22 2 2 xf x x += − − 3 1sin 2 cos2 12 2x x= − − sin(2 ) 16x π= − − ( )f x [ , ],6 3k k k Z π ππ π− + ∈ 1( , 1),2 12k k Z ππ + − ∈ 5 12 12x π π− ≤ ≤ 223 6 3x π π π− ≤ − ≤ 3 sin(2 ) 12 6x π− ≤ − ≤ 31 sin(2 ) 1 02 6x π− − ≤ − − ≤ ( )f x 3[ 1 ,0]2 − − AB O PO BO PAB∆ PO AB⊥ AB PD⊥ AB ⊥ POD AB OD⊥ 2AD BD∴ = = 2AB = ABD∆ AD BD⊥ AB ⊥ POD POD ⊥ ABD， , 所以 以为 原点，过 在 所在平面内作 的垂线 为轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 则点 , 则平面 的法向量 ， 则 ，所以 20．解析 （1）当 时， ，解得 ，或 （舍） 由 得， ， ， 即 ， 也就是 ， ， 由于数列 各项均为正数，所以 ， 即 .所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， 所以数列 的通项公式为 . （2）由（1）得 ，即 ， ， 5PC = / / , , 1CD AB CD PD PD∴ ⊥ ∴ = 0120 ,PDO∠ = 030POD∠ = O O POD∆ OD z ,OD AB ,x y ( ) ( ) ( ) 3 30,1,0 , 1,0,0 , 1,1,0 , 0, ,2 2D B C P       ( )1,1,0BD = − 1 3 1 30, , , 1, ,2 2 2 2PD PC    = − − = − −            PCD ( ), ,n x y z= 1 3 02 2 0, 3, 1 1 3 02 2 y z x y z x y z − − = ⇒ = = − =  − − = ( )0, 3,1n = − 3 6sin cos , 42 2 BD nθ = = = ⋅   1n = 2 1 1 12S a a= + 1 1a = 1 0a = 22 n n nS a a= + 2 1 1 12 n n nS a a+ + += + 2 2 1 1 12 2 ( ) ( )n n n n n nS S a a a a+ + +− = + − + 2 2 1 1 12 ( ) ( )n n n n na a a a a+ + += − + − 2 2 1 1( ) ( ) 0n n n na a a a+ +− − + = 1 1( )( 1) 0n n n na a a a+ ++ − − = { }na 1 1 0n na a+ − − = 1 1n na a+ − = { }na { }na na n= 2 2 n n n ca a a+ + − > 2 2 cn n n + − > + *n N∈ ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 n n n n n c n n n n n + + − + + ∴ < + + − = + +，因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所有 ，即 的最大值为 1； 21．解： （1）① ,直线 ， ② ， 设 ，则 ③直线 ，削去 得到 （骗分？） ④分析法： 要证明交点 在定直线 上 综合法： ， ⑤ 2 2 2 2 2 21 1 12 2 n n n n n n += = = + + + + −+ + 1n ≥ 2 20 2 3n < ≤+ 3 21 13 2n ≤ − + − + 1c ≤ c ( ) ( )0,2 , 0, 2A B − : 4MN y kx= + ( ) ( )22 2 2 2 2 4 2 4 8, 1 2 16 24 0 2 8 y kx x kx k x kx x y = + ⇒ + + = + + + = + = ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2 1 22 2 16 24,1 2 1 2 kx x x xk k + = − =+ + 2 1 2 1 2 2: 2, : 2y yAN y x BM y xx x − += + = − x 1y = G 1y = 2 2 0 0 2 2 0 1 1 0 0 1 1 2 21= 2 1 , 2 21 2 3 y yx xx xx y yx xx x − − + = −  ⇔ ⇔ + + = − =   存在 使得 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 23 2 3 2 6 3 2y y y x x y kx x x kxx x  + −⇔ = − ⇔ + = − − ⇔ + = − +    ( )1 2 1 24 6 0kx x x x⇔ + + = ( )1 2 1 2 1 2 1 22 2 16 24, , 6 4 01 2 1 2 kx x x x x x kx xk k + = − = ∴ + + =+ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 22 2 2 22 2 2 2 2 62 2 y yy x y xx x x y x kxy y y y x y x kxy x y xx x − − = + − =  − +− ⇒ ⇒ = = + + + + + = − + =   ( )1 2 1 2 1 2 1 22 2 16 24, , 6 4 01 2 1 2 kx x x x x x kx xk k + = − = ∴ + + =+ + 1y∴ = 1 1 1 22 2 21 11 1 21 11 1 AMN AMN GMN GMN BMNBMN GMN GMN S yAN S S SS yNG S BM yS S S MG yS ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ −− −−− −= = = = +− − −− − ( )1 2 2 1 1 2 1 1 1 31 3 3 1 3 3 1 y y kx y kx y − − += = = − ⋅− + − ，即 22． ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 3 36 4 0, ,2 2 x x x xx x kx x kx kxx x + ++ + = ∴ = − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 22 1 2 2 2 3 3 33 32 2 21 1 1 1 3 3 33 3 3 33 32 2 2 x x x x x x S x x x x x x x x x xS x x x x + + −− + − ∴ = − = − = − = ⋅+ + −− + − ( )2 2 1 1 = , 0x x xx λ > >设 ( ) 2 2 2 2 2 1 1 22 1 1 2 1 2 2 16 48 21 1 2 1 2= 24 1 2 k x x x xx x k k x x x x k λ λ   − + − + + ∴ + + = = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 32 6 1 2 10 2 1 16 10 16 33 1 2 3 1 2 3 1 2 k k k k k k − + + − = = = − + + + 2 2 2 2 3256 96 192 0, 64 96, 2k k k k∆ = − − > ∴ > > ( )2 10 16 102,3 33 1 2k  ∴ − ∈ +   ( )1 102, 1,33 λ λλ  + ∈ ⇒ ∈   1 2 1,13 S S  ∴ ∈  