第 02 讲 常用逻辑用语
（讲义版）
一、 考情分析
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充
分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要
条件的关系；
2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；
3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.
二、 知识梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件
p 是 q 的充分不必要条件 p⇒q 且 q p
p 是 q 的必要不充分条件 p q 且 q⇒p
p 是 q 的充要条件 p⇔q
p 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符
号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部
分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
3.全称命题和存在性命题(命题 p 的否定记为 p，读作“非 p”)
名称
形式
全称命题 存在性命题
结构 对 M 中的所有 x，有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立
简记 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)
否定 ∃x0∈M， p(x0) ∀x∈M， p(x)
[方法技巧]
¬
¬ ¬1.区别 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B A)，与 A 的充分不必要条件是 B(B⇒A 且 A B)两
者的不同.
2.A 是 B 的充分不必要条件⇔綈 B 是綈 A 的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
三、 经典例题
考点一 充分条件与必要条件的判断
【例 1-1】（2020·天津市宁河区芦台第一中学高三一模）在 中，“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 余弦函数 在区间 上单调递减，且 ， ，
由 ，可得 ， ，由正弦定理可得 .
因此，“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：C.
【例 1-2】（2019·上海市七宝中学高一月考）已知函数 定义域是 ，那么“ 是增函数”是“不等式
恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数 为 上的增函数 不等式 恒成立，反之不成立，
“ 是增函数”是“不等式 恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
【例 1-3】（2020·全国高三月考）若数列 的前 项和为 ，则“ ”是“数列 是等差数
列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
ABC∆ cos cosA B< sin sinA B>
cosy x= ( )0,π 0 A π< < 0 B π< <
cos cosA B< A B> a b∴ > sin sinA B>
cos cosA B< sin sinA B>
( )f x R ( )f x
( ) ( 0.001)f x f x< +
( )f x R ⇒ ( ) ( 0.001)f x f x< +
∴ ( )f x ( ) ( 0.001)f x f x< +
{ }na n nS ( )1
2
n
n
n a aS
+= { }naC．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】必要性显然成立；下面来证明充分性，
若 ，所以当 时， ，
所以 ，化简得 ①，
所以当 时， ②，
① ②得 ，所以 ，即数列 是等差数列，充分性得证，
所以“ ”是“数列 是等差数列”的充要条件.
故选：C.
规律方法 充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断.
(2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
考点二 全称量词与存在量词
【例 2-1】（2019·江苏省高二期中）命题“ ， ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“ ， ”的否定为“ ， ”．
故选 A．
【例 2-2】（2019·辽宁省高二期中（理））设命题 ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
( )1
2
n
n
n a aS
+= 2n
( )1 1
1
( 1)
2
n
n
n a aS −
−
− +=
( ) ( )1 1 12 ( 1)n n na n a a n a a −= + − − + 1 1( 1) ( 2)n nn a a n a−− = + −
3n 2 1 1( 2) ( 3)n nn a a n a− −− = + −
− ( )1 22( 2) ( 2)n n nn a n a a− −− = − + 1 22 n n na a a− −= + { }na
( )1
2
n
n
n a aS
+= { }na
[ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + ≤
[ ]0 1,3x∃ ∈ − 2
0 03 2 0x x− + > [ ]1,3x∀ ∉ − 2 3 2 0x x− + >
[ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + > [ ]0 1,3x∃ ∉ − 2
0 03 2 0x x− + >
[ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + ≤ [ ]0 1,3x∃ ∈ − 2
0 03 2 0x x− + >
:p x R∃ ∈ 22x x> p¬
x R∀ ∈ 22x x> x R∃ ∈ 22x x<
x R∀ ∈ 22x x≤ x R∃ ∈ 22x x≤【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题， 即 ， .
规律方法 1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性
命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定
结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
考点三 充分条件、必要条件的应用
【例 3-1】（2020·山东省高二期末）已知命题 关于 的不等式 的解集为 ，
， ，试判断“ 为真命题”与“ 为真命题”的充分必要关系．
【答案】充分不必要
【解析】若 为真命题：当 时，对于任意 ，则有 恒成立；
当 时，根据题意，有 ，解得 .
所以 ；
若 为真命题： ， ．
，
当且仅当 时，等号成立，所以 .
，所以，“ 为真命题”是“ 为真命题”的充分不必要条件.
【例 3-2】（2019·浙江省宁波市鄞州中学高二月考）已知命题：“ ，使等式
成立”是真命题．
（Ⅰ）求实数 的取值集合 ；
（Ⅱ）设不等式 的解集为 ，若 是 的必要条件，求 的取值范围．
【答案】（1） （2） 或 .
【解析】（1）方程在 有解，转化为函数 在 上的值域，实数 的取值集合 可求；
x R∀ ∈ 22x x≤
:p x ( ) ( )21 1 2 0k x k x− − − + > R
: 2q x∃ > 22 7
2
x kx
−
1k ≠ ( ) ( )2
1 0
1 8 1 0
k
k k
− >∆ = − − −
22 7
2
x kx
− ≥−
( ) ( ) ( )
22 2 2 8 2 12 7 12 2 8 2 2 82 2 2
x xx xx x x
− + − +− = = − + + ≥ +− − −
22 2x = + 8 2 2k ≤ +
{ }1 9k k≤ 1a > 2 2 1 0ax x+ + >
1 : ( 1) 1 0l ax a y+ + + = 2 2: 0l x ay+ + = 2a = −
1 2l l⊥
=OA xOB yOC+ 1x y+ =
2 2
12 3
x y
m m
+ =+ − ( )
3 0m− < < 1 3m− < <
3 4m− < < 2 3m− < <
3
0 0: 2, 8 0p x x∃ > − > p¬A． B．
C． D．
7．（2020·高二月考）设 为实数，命题 ： ， ，则命题 的否定是
（ ）
A． ： ， B． ： ，
C． ： ， D． ： ，
8．（2019·陕西省高二期末（文））命题“任意 ”的否定是__________.
9．（2019·涟水县第一中学高三月考（文））命题“ ”是假命题，则 m
的取值范围为__________。
10．（2019·江苏省高二期末（文））若 ，则“ ”是“ ”的____条件．（从“充分不必要”、“必要不
充分”“充要”、“既不充分又不必要”中选填）
11．（2019·江苏省高三期中）若 ， 为实数，则“ ”是“ ”的______ 条件.（在“充分不必
要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”中选一个填写）
12．（2020·湖州市菱湖中学高二期中）已知 ： ； ： ．
（1）若 是 的必要条件，求 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
13．（2019·高三月考）记函数 的定义域、值域分别为集合 A，B.
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.
14．（2020·全国高三月考（理））设 为实数， ， ，不等式
恒成立.
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 为真命题，求实数 的取值范围.
3
00 2, 8 0x x∃ > − ≤ 32, 8 0x x∀ > − ≤
3
0 02, 8 0x x∃ ≤ − ≤ 32, 8 0x x∀ ≤ − ≤
x p x R∀ ∈ 2 2 1 0x x+ + ≥ p
p¬ x R∃ ∈ 2 2 1 0x x+ + < p¬ x R∃ ∈ 2 2 1 0x x+ + ≤
p¬ x R∀ ∈ 2 2 1 0x x+ + < p¬ x R∀ ∈ 2 2 1 0x x+ + ≤
2, 2 0x R x x∈ − ≥
2
0 0 0(1,2), +m 4 0x x x∃ ∈ + ≥满足不等式
x∈R 3x > 2 9x >
x y 0xy > x y x y+ = +
p 2 8 20 0x x− − ≤ q 2 21 1m x m− ≤ ≤ +
p q m
p¬ q¬ m
( )2( ) lg 1f x ax= −
1a = A B
x A∈ x B∈
a 1
2 1 2: 2 2 2 2 2 0aa ap
++− − + < : (0, )q x∀ ∈ +∞
2 1 0x ax− + ≥
P a
( )p q− ∧ a第 02 讲 常用逻辑用语
（解析版）
五、 考情分析
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充
分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要
条件的关系；
2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；
3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.
六、 知识梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件
p 是 q 的充分不必要条件 p⇒q 且 q p
p 是 q 的必要不充分条件 p q 且 q⇒p
p 是 q 的充要条件 p⇔q
p 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符
号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部
分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
3.全称命题和存在性命题(命题 p 的否定记为 p，读作“非 p”)
名称
形式
全称命题 存在性命题
结构 对 M 中的所有 x，有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立
简记 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)
否定 ∃x0∈M， p(x0) ∀x∈M， p(x)
[方法技巧]
¬
¬ ¬1.区别 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B A)，与 A 的充分不必要条件是 B(B⇒A 且 A B)两
者的不同.
2.A 是 B 的充分不必要条件⇔綈 B 是綈 A 的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
七、 经典例题
考点一 充分条件与必要条件的判断
【例 1-1】（2020·天津市宁河区芦台第一中学高三一模）在 中，“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 余弦函数 在区间 上单调递减，且 ， ，
由 ，可得 ， ，由正弦定理可得 .
因此，“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：C.
【例 1-2】（2019·上海市七宝中学高一月考）已知函数 定义域是 ，那么“ 是增函数”是“不等式
恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数 为 上的增函数 不等式 恒成立，反之不成立，
“ 是增函数”是“不等式 恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
【例 1-3】（2020·全国高三月考）若数列 的前 项和为 ，则“ ”是“数列 是等差数
列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
ABC∆ cos cosA B< sin sinA B>
cosy x= ( )0,π 0 A π< < 0 B π< <
cos cosA B< A B> a b∴ > sin sinA B>
cos cosA B< sin sinA B>
( )f x R ( )f x
( ) ( 0.001)f x f x< +
( )f x R ⇒ ( ) ( 0.001)f x f x< +
∴ ( )f x ( ) ( 0.001)f x f x< +
{ }na n nS ( )1
2
n
n
n a aS
+= { }naC．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】必要性显然成立；下面来证明充分性，
若 ，所以当 时， ，
所以 ，化简得 ①，
所以当 时， ②，
① ②得 ，所以 ，即数列 是等差数列，充分性得证，
所以“ ”是“数列 是等差数列”的充要条件.
故选：C.
规律方法 充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断.
(2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
考点二 全称量词与存在量词
【例 2-1】（2019·江苏省高二期中）命题“ ， ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“ ， ”的否定为“ ， ”．
故选 A．
【例 2-2】（2019·辽宁省高二期中（理））设命题 ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
( )1
2
n
n
n a aS
+= 2n
( )1 1
1
( 1)
2
n
n
n a aS −
−
− +=
( ) ( )1 1 12 ( 1)n n na n a a n a a −= + − − + 1 1( 1) ( 2)n nn a a n a−− = + −
3n 2 1 1( 2) ( 3)n nn a a n a− −− = + −
− ( )1 22( 2) ( 2)n n nn a n a a− −− = − + 1 22 n n na a a− −= + { }na
( )1
2
n
n
n a aS
+= { }na
[ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + ≤
[ ]0 1,3x∃ ∈ − 2
0 03 2 0x x− + > [ ]1,3x∀ ∉ − 2 3 2 0x x− + >
[ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + > [ ]0 1,3x∃ ∉ − 2
0 03 2 0x x− + >
[ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + ≤ [ ]0 1,3x∃ ∈ − 2
0 03 2 0x x− + >
:p x R∃ ∈ 22x x> p¬
x R∀ ∈ 22x x> x R∃ ∈ 22x x<
x R∀ ∈ 22x x≤ x R∃ ∈ 22x x≤【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题， 即 ， .
规律方法 1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性
命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定
结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
考点三 充分条件、必要条件的应用
【例 3-1】（2020·山东省高二期末）已知命题 关于 的不等式 的解集为 ，
， ，试判断“ 为真命题”与“ 为真命题”的充分必要关系．
【答案】充分不必要
【解析】若 为真命题：当 时，对于任意 ，则有 恒成立；
当 时，根据题意，有 ，解得 .
所以 ；
若 为真命题： ， ．
，
当且仅当 时，等号成立，所以 .
，所以，“ 为真命题”是“ 为真命题”的充分不必要条件.
【例 3-2】（2019·浙江省宁波市鄞州中学高二月考）已知命题：“ ，使等式
成立”是真命题．
（Ⅰ）求实数 的取值集合 ；
（Ⅱ）设不等式 的解集为 ，若 是 的必要条件，求 的取值范围．
【答案】（1） （2） 或 .
【解析】（1）方程在 有解，转化为函数 在 上的值域，实数 的取值集合 可求；
x R∀ ∈ 22x x≤
:p x ( ) ( )21 1 2 0k x k x− − − + > R
: 2q x∃ > 22 7
2
x kx
−
1k ≠ ( ) ( )2
1 0
1 8 1 0
k
k k
− >∆ = − − −
22 7
2
x kx
− ≥−
( ) ( ) ( )
22 2 2 8 2 12 7 12 2 8 2 2 82 2 2
x xx xx x x
− + − +− = = − + + ≥ +− − −
22 2x = + 8 2 2k ≤ +
{ }1 9k k≤ 1a > 2 2 1 0ax x+ + >
1a > 4 4 0a∆ = − < 2 2 1y ax x= + + 2 2 1 0ax x+ + >
2 2 1 0ax x+ + > 0a = 2 1 0x + >
0a ≠ 2 2 1 0ax x+ + > 0
4 4 0
a
a
>
∆ = −
1a > 2 2 1 0ax x+ + >
1 : ( 1) 1 0l ax a y+ + + = 2 2: 0l x ay+ + = 2a = −
1 2l l⊥C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵直线 ，
当“ ”时，直线 ，
满足 ，∴ .
如果 ，∴ ，解得 或 ，
∴直线 ，则“ ”是“ ”充分不必要条件.
4．（2019·陕西省高二期末（文））已知 O，A，B，C 是不同的四个点，且 ，则“ ”是
“A，B，C 共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若 得 ，
则由 得 ，即 ，
则 ，即 ，即 A，B，C 共线，即充分性成立
反之若 A，B，C 共线，则存在一个实数 x，满足 ，
即 ，则 ，令 ，
则 ，即必要性成立，
则“ ”是“A，B，C 共线”的充要条件，
故选 C．
5．（2020·辽宁省高三开学考试（理））方程 表示双曲线的一个充分不必要条件是
A． B．
C． D．
【答案】B
( )1 2: 1 1 0, : 2 0l ax a y l x ay+ + + = + + =
2a = − 1 2: 2 1 0, : 2 2 0l x y l x y− − + = − + =
1 2 1k k⋅ = − 1 2l l⊥
1 2l l⊥ ( )1 1 0a a a⋅ + + = 2a = − 0a =
( )1 2: 1 1 0, : 2 0l ax a y l x ay+ + + = + + = 2a = − 1 2l l⊥
=OA xOB yOC+ 1x y+ =
1x y+ = 1y x= −
OA xOB yOC= + ( )1OA xOB x OC xOB OC xOC= + − = + − ( )=OA OC x OB OC− −
CA xCB= CA xCB=
CA xCB=
( )=OA OC x OB OC− − ( ) ( )1OA OC x OB OC xOB x OC+ + − = + − 1y x= −
1x y+ =
1x y+ =
2 2
12 3
x y
m m
+ =+ − ( )
3 0m− < < 1 3m− < <
3 4m− < < 2 3m− < − > p¬
3
00 2, 8 0x x∃ > − ≤ 32, 8 0x x∀ > − ≤
3
0 02, 8 0x x∃ ≤ − ≤ 32, 8 0x x∀ ≤ − ≤
0: 2p x∃ > 3
0 8 0x − > p¬ 32, 8 0x x∀ > − ≤
B
x p x R∀ ∈ 2 2 1 0x x+ + ≥ p
p¬ x R∃ ∈ 2 2 1 0x x+ + < p¬ x R∃ ∈ 2 2 1 0x x+ + ≤
p¬ x R∀ ∈ 2 2 1 0x x+ + < p¬ x R∀ ∈ 2 2 1 0x x+ + ≤
p x R∀ ∈ 2 2 1 0x x+ + ≥
p x R∃ ∈ 2 2 1 0x x+ + <
2, 2 0x R x x∈ − ≥
2, 2 0x R x x∈ − <
2, 2 0x R x x∈ − ≥
2, 2 0x R x x∈ − <
2, 2 0x R x x∈ − <
2
0 0 0(1,2), +m 4 0x x x∃ ∈ + ≥满足不等式的取值范围为__________。
【答案】
【解析】∵命题“ ”是假命题，
∴ ，不等式 恒成立．
设 ，
则有 ，解得 ，
∴实数 的取值范围为 ．
10．（2019·江苏省高二期末（文））若 ，则“ ”是“ ”的____条件．（从“充分不必要”、“必要不
充分”“充要”、“既不充分又不必要”中选填）
【答案】充分不必要
【解析】“ ”则“ ”，但是“ ”可得“ 或 ”，所以“ ”是“ ”的充分不必要条
件．
11．（2019·江苏省高三期中）若 ， 为实数，则“ ”是“ ”的______ 条件.（在“充分不必
要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”中选一个填写）
【答案】充分不必要
【解析】“ ”
若“ ”成立，则“ ”成立，则“ ”
反之，若“ ”成立，不一定有“ ”
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
12．（2020·湖州市菱湖中学高二期中）已知 ： ； ： ．
（1）若 是 的必要条件，求 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ） .
5m ≤ −
( ) 2
0 0 01,2 , +m 4 0x x x∃ ∈ + ≥满足不等式
( )x 1,2∀ ∈ 2 4 0x mx+ + <
( )2( ) 4, 1,2f x x mx x= + + ∈
(1) 5 0
( ) 2 8 0
f m
f x m
= + ≤
= + ≤ 5m ≤ −
m ( , 5]−∞ −
x∈R 3x > 2 9x >
3x > 2 9x > 2 9x > 3x > 3x < − 3x > 2 9x >
x y 0xy > x y x y+ = +
| | | | | |x y x y+ = + | | 0xy xy xy⇔ = ⇔
0xy > 0xy | | | | | |x y x y+ = +
| | | | | |x y x y+ = + 0xy >
0xy > | | | | | |x y x y+ = +
p 2 8 20 0x x− − ≤ q 2 21 1m x m− ≤ ≤ +
p q m
p¬ q¬ m
3, 3 − ( , 3] [3, )−∞ − +∞【解析】由 x2﹣8x﹣20≤0 得﹣2≤x≤10，即 P：﹣2≤x≤10，
又 q：1﹣m2≤x≤1+m2．
（1）若 p 是 q 的必要条件，
则 ，即 ，即 m2≤3，解得 ，
即 m 的取值范围是 ．
（2）∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，
∴q 是 p 的必要不充分条件．
即 ，即 m2≥9，解得 m≥3 或 m≤﹣3
即 m 的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．
13．（2019·高三月考）记函数 的定义域、值域分别为集合 A，B.
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） 时， ，由 得 ，即 ，
由 得 ，
∴ ；
（2）“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 是 的真子集，若 ，
则由 得 ，即 ，与（1）类似得 ，不合题意，
若 ，则 ，即 ，满足题意，
若 ，则 ， ， ，满足题意．
综上 的取值范围是 ．
14．（2020·全国高三月考（理））设 为实数， ， ，不等式
恒成立.
2
2
1 2
1 10
m
m
− ≥ −
+ ≤
2
2
3
9
m
m
≤
≤ 3 3m− ≤ ≤
3 3 − ，
2
2
1 2
1 10
m
m
− ≤ −
+ ≥
( )2( ) lg 1f x ax= −
1a = A B
x A∈ x B∈
( 1,0]− ( ,0]−∞
1a = 2( ) lg(1 )f x x= − 21 0x− > 1 1x− < < ( 1,1)A = −
20 1 1x< − ≤ ( ,0]B = −∞
( 1,0]A B = −
x A∈ x B∈ B A 0a >
21 0ax− > 1 1xa a
− < < 1 1( , )A a a
= − ( ,0]B = −∞
0a = ( ) lg1 0f x = = , {0}A R B= =
0a < 21 1ax− ≥ A R= [0, )B = +∞
a ( ,0]−∞
a 1
2 1 2: 2 2 2 2 2 0aa ap
++− − + < : (0, )q x∀ ∈ +∞
2 1 0x ax− + ≥（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 为真命题，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由命题 为真命题，即 ，
解得 ，可得 ，即实数 的取值范围是 .
（2）若命题 为真命题，由 ，不等式 恒成立，
即 在 上恒成立，即 对 恒成立，
当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 为真命题时，可得 ，
又因为 为真命题，则 为假命题且 为真命题，
所以 ，解得 或 .
所以实数 的取值范围是 .
P a
( )p q− ∧ a
1 ,12
1, [1,2]2
−∞ ∪
P ( )( )1
2 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 0aa a a a++− − + = − − <
2 2 2a< < 1 12 a< < a 1 ,12
q (0, )x∀ ∈ +∞ 2 1 0x ax− + ≥
2 1x ax+ (0, )x∈ +∞ 1a x x
≤ + (0, )x∈ +∞
(0, )x∈ +∞ 1 12 2x xx x
+ ≥ ⋅ = 1x x
= 1x =
q 2a ≤
( )p q¬ ∧ p q
1 12
2
a a
a
≤ ≥
≤
或 1
2a 1 2a
a 1, [1,2]2
−∞ ∪
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