2021年高考数学（理 ）一轮复习单元滚动双测卷 第二单元 函数概念与基本初等函数 （A卷 基础过关检测）（解析版）

第二单元 函数概念与基本初等函数 A 卷 基础过关检查 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．（2020·河南省高三）已知：函数 是 上的增函数，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数 的对称轴为 ，且开口向上， 因为 在 上的增函数， 所以 ，解得： . 故选：B 2．（2020·江苏省响水中学高三月考）函数 的定义域为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 要使函数 有意义，则 ，则 ，故函数的定义域是 ，故选 B. 3．（2020·吉林省高一期末（理））函数 的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 ，可得函数 在 单调递减，在 单调递增， 又由函数 ，满足 ，解得 或 ， 根据复合函数的单调性，可得函数 的单调递增区间为 . ( ) ( )2 2f x x k x= + − [ )1,+∞ k ( ],0−∞ [ )0,+∞ ( ],1−∞ [ )1,+∞ ( ) ( )2 2f x x k x= + − 2 2 kx −= − ( )f x [ )1,+∞ 2 12 k −− ≤ 0k ≥ 1 2 ( ) log ( 1)f x x= − (1,2) (1,2] (1, )+∞ [2, )+∞ ( )f x ( )1 2 log 1 0x − ≥ 0 1 1, 1 2x x< − ≤ ∴ < ≤ ( ]1,2 ( )2lg 2 3y x x= − − ( ), 1−∞ − ( )1,+∞ ( )3,+∞ ( )1,3− ( ) 2 2 3g x x x= − − ( )g x ( ,1)−∞ (1, )+∞ ( )2lg 2 3y x x= − − 2 2 3 0x x− − > 1x < − 3x > ( )f x ( )3,+∞故选：C. 4．（2020·黑龙江省高三三模（理））设 是定义在 上的奇函数，且在区间 上单调递 增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，函数 在定义域 上单调递增，由 ， 可得 ， 故选:C. 5．（2020·辽宁省高三）已知函数 f（x）＝ 是奇函数，则实数 a＝（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】 因为 为奇函数，所以 ， 则 ， 所以 ，即 ，故 . 故选：A 6．（2020·黑龙江省高三（理））设 ， ， ，则 ， ， 的大小关 系是（ ） ( )f x R ( ],0−∞ ( ) ( )2 3 2 1log 3 log 2 log 3f f f  < <    ( ) ( )2 2 3 1log log 3 log 23f f f  < a c b> > c a b> > 2logy x= (0, )+∞ 2 3< 2 2log 2 log 3< 21 log 3< 1a > 1 3 logy x= (0, )+∞ 2 1> 1 1 3 3 log 2 log 1 0< = 0b < 0.4xy = R 2 0> 2 00 0.4 0.4 1< < = 0 1c< < a c b> > ( ) ( )2 2 4log log 44 xf x x= ⋅ 9 4 − 2− 3 2 − ( )f x (0, )+∞ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 4 2 2 4log log 4 log log 4 1 log4 xf x x x x= ⋅ = − ⋅ + ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 9 92 log 1 log log log 2 log 2 4 4f x x x x x x = − + + = − − = − − ≥ −   1ln 3a = lg3b = 1 22c = a b c< < a c b< < b c a< < b a c< < 1ln ln3 ln1 03 = − < − = 0 lg1 lg3 lg10 1= < < = 1 022 2 1> = a b c< ( ) 4 3f x x= − + 03 4 0 3e = − × + ( )y f x= R ( )y f x= R由 ，可得 ，即 ，解得 . 因此，实数 的取值范围是 . 故选：D. 11．（2020·黑龙江省高三）中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农 公式： .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 取决于信道带宽 ， 信道内信号的平均功率 ，信道内部的高斯噪声功率 的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比较大时， 公式中真数中的 1 可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽 ，而将信噪比 从 1000 提升至 4000， 则 大约增加了（ ）附： A．10% B．20% C．50% D．100% 【答案】B 【解析】 当 时， ，当 时， 因为 所以将信噪比 从 1000 提升至 4000，则 大约增加了 20% ( ) ( )2 3 2f a f a− ≥ − 2 3 2a a− ≤ − 2 2 3 0a a+ − ≤ 3 1a− ≤ ≤ a [ ]3,1− 2log 1 SC W N  = +   C W S N S N W S N C lg 2 0.3010≈ 1000S N = 2log 1000C W= 4000S N = 2log 0004C W= 2 2 log 4000 lg 4000 3 2lg 2 3.6020 1.2log 1000 lg1000 3 3 += = ≈ ≈ S N C故选：B 12．（2019·全国高三月考）已知函数 ，若方程 恰有三个不同的实 数根，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 画出函数 的图象,如图所示.当 时, .设 ,则方程 恰有 三个不同的实数根,即 和 的图象有三个交点.由图象可知, ,即 ,故实数 的 取值范围是 . 故选：A 二、填空题：本大题共 4 小题，共 20 分。 13．（2019·全国高三其他）函数 （ 且 ）的图象过定点 ，则点 的坐标 为______ 【答案】 【解析】由 得 ,此时 , 即函数 过定点 ， 故答案为: . 14．（2020·辽宁省高三其他（理））已知函数 ，则 的值是______． 2 4 , 0( ) ( 2) 1, 0 x xf x x x x  + >=   + − ≤ ( ) 2 0f x m− = m (2, )+∞ (4, )+∞ (2,4) (3,4) ( )f x 0x > 4( ) 4f x x x = +  ( ) 2g x m= ( ) 2 0f x m− = ( )f x ( ) 2g x m= 2 4m > 2m > m (2, )+∞ 2019( ) 2020xf x a −= + 0a > 1a ≠ A A ( )2019,2021 2019 0x − = =2019x 0(2019) 2020=2021f a= + ( )f x ( )2019,2021A ( )2019,2021 1 3 log , 0 2 , 0x x x f x x （ ） >=   ≤ [ ]9f f（ ）【答案】 【解析】解：因为 9＞0，所以 ， 又-2＜0， 所以 ． 故答案为 ． 15．（2020·内蒙古自治区高三二模（理））已知函数 ，关于函数 有下列结 论： ① ， ； ②函数 的图象是中心对称图形，且对称中心是 ； ③若 是 的极大值点，则 在区间 单调递减； ④若 是 的极小值点，且 ，则 有且仅有一个零点. 其中正确的结论有________（填写出所有正确结论的序号）. 【答案】①④ 【解析】易知 时， ， 时， ，因此 一定存在零点，①正确； ，所以 图象不一定关于点 对称，②错； 由题意 ，若 是 的极大值点，则 是 的一根，则它还有另一根 ， 据题意 ，只有在 上 ， 递减，在 时， ， 递增， ③错； 与上面讨论类似， 有两个不等实根 ， ，在 或 时， ， 在两个区间上都是递增， 时， ， 递减， 是极小值点， 是 极大值点， 则， ， 在 上无零点，在 上有唯一零点．④正确． 故答案为：①④ 16．（2020·海东市教育研究室高三其他（理））已知函数 ，若关于 x 的方程 1 4 ( ) 1 3 9 9 2f log= = − [ ] 2 19 2 2 4f f f −= − = =（ ） （ ） 1 4 3 2( ) 1f x x ax bx= + + + ( )y f x= 0x R∃ ∈ ( )0 0f x = ( )y f x= (0,1) 0x ( )f x ( )f x ( )0 ,x +∞ 0x ( )f x ( )0 0f x > ( )y f x= x → +∞ ( )f x → +∞ x → −∞ ( )f x → −∞ ( )f x 3 2 3 2 2( ) ( ) ( 1) ( 1) 2 2f x f x x ax bx x ax bx ax− + = − + − + + + + + = + ( )f x (0,1) 2( ) 3 2f x x ax b′ = + + 0x ( )f x 0x ( ) 0f x′ = 2x 0 2x x< 0 2( , )x x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 2( , )x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 2( ) 3 2 0f x x ax b′ = + + = 1 0,x x 1 0x x< 1x x< 0x x> ( ) 0f x′ > ( )f x 1 0x x x< < ( ) 0f x′ < ( )f x 0x 1x 0( ) 0f x > 1( ) 0>f x ( )f x 1( , )x +∞ 1( , )x−∞ ( ) e xf x −=在 上有解，则 m 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】关于 的方程 在 上有解 等价于函数 与 的图象在 上有交点. 因为函数 的图象就是函数 的图象向左或向右平移 个单位长度得到的， 如图所示， 当 向右平移（或没有平移），即 时， 函数 与 的图象在 上有交点， 当 向左平移至 的图象过点 ， 与函数 没有交点，此时 ，解得 ， 所以 ，函数 与 的图象在 上有交点， 所以 m 的取值范围为 . 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，其余每题 12 分共 70 分） 17．（2020·永昌县第四中学高三期末）已知 是定义域为 的奇函数，当 时， . (1)写出函数 的解析式； (2)若方程 恰 3 有个不同的解，求 的取值范围. ( ) ( )2 ln 0f x x m− + = ( )0, ∞+ ( )2,e−∞ x ( )2e ln 0x x m− − + = ( )0, ∞+ ln( )y x m= + 2 xy e−= ( )0, ∞+ ln( )y x m= + lny x= m lny x= 0m ≤ ln( )y x m= + 2 xy e−= ( )0, ∞+ lny x= ln( )y x m= + ( )0,2 2 xy e−= ln 2m = 2em = 20 m e< < ln( )y x m= + 2 xy e−= ( )0, ∞+ ( )2,e−∞ ( )2,e−∞ ( )y f x= R [ )0,x∈ +∞ ( ) 2 2f x x x= − ( )y f x= ( )f x a= a【答案】(1) (2) 【解析】 解：(1)当 时， ， 是奇函数， . (2)当 时， ，最小值为 ； 当 ， ，最大值为 . 据此可作出函数的图象，如图所示， 根据图象得，若方程 恰有 个不同的解， 则 的取值范围是 . 18．（2019·高三月考）已知函数 . (Ⅰ)若 的值域为 ，求 的值； (Ⅱ)巳 ，是否存在这祥的实数 ，使函数 在区间 内有且只有一个零点.若存 在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)存在， 【解析】 (Ⅰ)函数 的值域为 ，则 ，解得 . ( ) 2 2 2 , 0 2 , 0 x x xf x x x x  − ≥= − − 0=h(1)，g(2)=-1 + + [ ]1,1− 2 3 1m x x< − + ( ) 2 3 1g x x x= − + ( )g x [ ]1,1− ( )g x [ ]1,1− ( )1 1g = − 1m < − m ( ), 1−∞ − ( ) 4f x x x = − ( )f x ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x ( )0,+∞ ( ) 4f x x x = − 0x ≠ ( ) ( ) ( )4 4f x x x f xx x  − = − − = − − = − −   ( ) 4f x x x ∴ = − ( )1 2, 0,x x∀ ∈ +∞ 1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 4 4 4 41 f x f x x x x xx x x x x xx x x xx x x x      − = − − − = − + −            −  = − + = − +    ( )1 2 1 2, 0, ,x x x x∈ +∞ < 1 2 1 2 40,1 0x x x x ∴ − + ( )1 2 1 2 41 0x x x x  ∴ − + 1a ≠ ( )f x（2）求 的反函数 ； （3）若 ，解关于 x 的不等式 ． 【答案】(1)奇函数，当 时，单调递增，当 时，单调递减；(2) ；(3)见解 析.(1)由 ，解得 ，所以函数 的定义域为 ，关于原点对称. 因为 ， 所以函数 是奇函数. 对任意的 ，且 ，则 ， 因为 ， 所以 ，所以 ， ①当 时， ，所以 ，即 ， 此时函数 是 上的单调减函数； ②当 时， ，所以所以 ，即 ， 此时函数 是 上的单调增函数. (2)令 ， 所以 ， 所以 ，所以 . ( )f x 1( )f x− 1 1(1) 3f − = 1( ) ( )f x m m− < ∈R 1a > 0 1a< < 1 2( ) 1 1 - xf x a = − + 1 0 1 0 x x + >  − > 1 1x− < < ( )f x ( 1,1)− ( ) log (1 ) log (1 ) [log (1 ) log (1 )] ( )a a a af x x x x x f x− = − − + = − + − − = − ( )f x 1 2, ( 1,1)x x ∈ − 1 2x x< 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 (1 )(1 )( ) ( ) log log log1 1 (1 )(1 )a a a x x x xf x f x x x x x + + + −− = − =− − + − 1 2 2 1 1 2(1 )(1 ) (1 )(1 ) 2( ) 0x x x x x x+ − − + − = − < 1 2 2 10 (1 )(1 ) (1 )(1 )x x x x< + − < + − 1 2 2 1 (1 )(1 )0 1(1 )(1 ) x x x x + −< + − 1 2( ) ) 0(f x f x− > 1 2( ) ( )f x f x> ( )f x ( 1,1)− 1a > 1 2 2 1 (1 )(1 )log 0(1 )(1 )a x x x x + − 1a > ( )0, ∞+ 1a = ( ) ( )0,1 1,+∞ 0 1a< < ( ) ( )0,1 1 1 1 ,a a− − ∪ + − +∞ lg 2 a ( )2,+∞ 2 0ax x + − > 2 2 0x x a x − + > 1a > 2 2 0x x a− + > ( )0, ∞+ 1a = ( ) ( )0,1 1,+∞ 0 1a< < ( ) ( )0,1 1 1 1 ,a a− − ∪ + − +∞ ( ) 2ag x x x = + − ( )1,4a∈ [ )2,x∈ +∞ ( ) 2 2 2' 1 0a x ag x x x −= − = > ( ) 2ag x x x ∴ = + − [ )2,+∞ ( ) lg 2af x x x  ∴ = + −   [ )2,+∞在 上是增函数, 在 上的最小值为 . （3）对任意 恒有 ,即 对 恒成立. , 而 在 上是减函数, , 即 的取值范 围为 . ( ) lg 2af x x x  ∴ = + −   [ )2,+∞ ( ) lg 2af x x x  ∴ = + −   [ )2,+∞ ( )2 lg 2 af = [ )2,x∈ +∞ ( ) 0f x > 2 1ax x + − > [ )2,x∈ +∞ 23a x x∴ > − ( ) 2 2 3 93 2 4h x x x x = − = − − +   [ )2,x∈ +∞ ( ) ( )max 2 2. 2h x h a∴ = = ∴ > a ( )2,+∞