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单元质量评估(一)
第一章
(120 分钟 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1.(2016·宜昌高二检测)下列命题:
①面积相等的三角形是全等三角形;
②若 xy=0,则|x|+|y|=0;
③若 a>b,则 ac2>bc2;
④矩形的对角线互相垂直.
其中假命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选 D.①等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等;②当 x,y 中一个
为零,另一个不为零时,|x|+|y|≠0;③当 c=0 时不成立;④菱形的对角线互相垂直,矩形的对
角线不一定垂直.
【补偿训练】下列命题是真命题的是 ( )
A.y=tanx 的定义域是 R
B.y= 的值域为 R
C.y= 的递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞)
D.y=sin2x-cos2x 的最小正周期是π
【解析】选 D.当 x=kπ+ ,k∈Z 时,y=tanx 无意义,A 错;
函数 y= 的定义域为.
答案:
【拓展延伸】完美解决参数问题
通过已知条件,探索命题的真假,然后求解参数的取值范围,是逻辑用语部分常见的、基本的题型.解决此类问题要从三个方面入手:
(1)熟练掌握真值表,判断单个命题 p,q 的真假.
(2)具备丰富的基础知识储备,求解单个命题成立的参数范围.
(3)辅助应用集合的运算确定参数的最后范围.
15.(2016·徐州高二检测)已知命题 p: ≤1,命题 q:x2-2x+1-m20),若 p 是
q 的充分不必要条件,则实数 m 的范围是 .
【解析】命题 p 首先化简为-1≤x≤3,命题 q 是二次不等式,p 是 q 的充分不必要条件说明当
-1≤x≤3 时不等式 x2-2x+1-m20,故可解得 m>2.
答案:(2,+∞)
16.给出下列命题:
①数列 ,3, , ,3 …的一个通项公式是 ;
②当 k∈(-3,0)时,不等式 2kx2+kx- 0),求曲线 C
在 x 轴上所截的线段的长度为 1 的充要条件,证明你的结论.
【解题指南】先求出必要条件,再证明其充分性.
【解析】必要性:令 y=0,则 x2+Gx+F=0.
设 x1,x2 为此方程的根,
若|x1-x2|= =1,则 G2-4F=1.
充分性:若 G2-4F=1,x2+Gx+F=0
有两根为 x1,x2,且 x1+x2=-G,x1·x2=F,
|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1·x2=G2-4F=1.
故所求的充要条件是 G2-4F=1.
20.(12 分)(2016·汕头高二检测)已知 p:-2≤1- ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且 p 是 q
的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.
【解题指南】先解不等式求出 p 真和 q 真的条件.p 真:-2≤x≤10;q 真:1-m≤x≤1+m,然后
利用 p 是 q 的必要不充分条件,根据集合之间的包含关系建立关于 m 的不等式,求出 m 的取
值范围.
【解析】由 x2-2x+1-m2≤0,得 1-m≤x≤1+m,
所以 q:A={x|x>1+m 或 x0}.
由-2≤1- ≤2,得-2≤x≤10.
所以 p:B={x|x>10 或 x0,解得 x2,所以 p:a>2.
因为 g(x)=3x-9x=- + ≤ ,
所以要使 3x-9x ,即 q:a> .
要使 p 且 q 为假,则 p,q 至少有一个为假命题.
当 p,q 都为真命题时,满足 即 a>2,
所以 p,q 至少有一个为假命题时有 a≤2,
即实数 a 的取值范围是 a≤2.
22.(12 分)(2016·福州高二检测)已知 a>0,b>0,函数 f(x)=ax-bx2.
(1)求证:∀x∈R 均有 f(x)≤1 是 a≤2 的充分条件.
(2)当 b=1 时,求 f(x)≤1,x∈恒成立的充要条件.
【解析】(1)f(x)=ax-bx2=-b + ,
因为∀x∈R,f(x)≤1,
所以 ≤1,又 a>0,b>0,
所以 a≤2 ,
所以∀x∈R 均有 f(x)≤1 是 a≤2 的充分条件.
(2)因为 b=1,所以 f(x)=ax-x2,
当 x=0 时,f(x)=0≤1 成立,
当 x∈(0,1]时,f(x)≤1 恒成立,即 a≤x+ 在(0,1]上恒成立,又 =2,此时 x=1,
所以 0
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