学业分层测评
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.点 A(a,1)在椭圆x2
4
+y2
2
=1 的内部,则 a 的取值范围是( )
A.- 2<a< 2 B.a<- 2或 a> 2
C.-2<a<2 D.-1<a<1
【解析】 ∵点 A(a,1)在椭圆x2
4
+y2
2
=1 内部,
∴a2
4
+1
2
<1.∴a2
4
<1
2
.
则 a2<2,∴- 2<a< 2.
【答案】 A
2.已知直线 y=kx+1 和椭圆 x2+2y2=1 有公共点,则 k 的取值范
围是( )
A.k<- 2
2
或 k> 2
2
B.- 2
2
<k< 2
2
C.k≤- 2
2
或 k≥ 2
2
D.- 2
2
≤k≤ 2
2
【解析】 由Error!
得(2k2+1)x2+4kx+1=0.
∵直线与椭圆有公共点.
∴Δ=16k2-4(2k2+1)≥0,
则 k≥ 2
2
或 k≤- 2
2
.
【答案】 C
3.(2016·重庆高二检测)过椭圆 x2
4
+y2
3
=1 的一个焦点 F 作垂直于
长轴的弦,则此弦长为( )
A.3
4
B.3
C.2 3 D.8 3
3
【解析】 因为 F(±1,0),所以过椭圆的焦点 F 且垂直于长轴的弦
与椭圆的交点坐标为( ± 1, ±
3
2),所以弦长为 3.
【答案】 B
4.直线 y=x+1 被椭圆x2
4
+y2
2
=1 所截得线段的中点的坐标是( )
A.(2
3
,5
3) B.(4
3
,7
3)
C.(-2
3
,1
3) D.(-13
2
,-17
2 )
【解析】 联立方程Error!消去 y,得 3x2+4x-2=0.设交点 A(x1,
y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0).
∴x1+x2=-4
3
,x0=x1+x2
2
=-2
3
,y0=x0+1=1
3
,
∴中点坐标为(-2
3
,1
3).
【答案】 C
5.经过椭圆x2
2
+y2=1 的右焦点作倾斜角为 45°的直线 l,交椭圆
于 A 、 B 两 点 , O 为 坐 标 原 点 , 则OA→
·OB→
= ( ) 【 导 学 号 :
26160041】
A.-3 B.-1
3
C.-1
3
或-3 D.±1
3
【解析】 椭圆右焦点为(1,0),
设 l:y=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),
把 y=x-1 代入x2
2
+y2=1,
得 3x2-4x=0.
∴A(0,-1),B(4
3
,1
3),
∴OA→
·OB→
=-1
3
.
【答案】 B
二、填空题
6.直线 l 过定点 A(-3,0),则过点 A 的直线与椭圆x2
9
+y2
4
=1 的交
点个数为________.
【解析】 ∵A(-3,0)为椭圆长轴一个顶点,
∴当过点 A 作椭圆切线时,直线与椭圆有一个公共点(即切点);当
过点 A 作与椭圆相交的直线时,二者有两个交点,故填 1 或 2.
【答案】 1 或 2
7.已知动点 P(x,y)在椭圆x2
25
+y2
16
=1 上,若 A 点坐标为(3,0),|AM→
|=1,且 PM→
·A M→
=0,则|PM→
|的最小值是________.
【解析】 易知点 A(3,0)是椭圆的右焦点.
∵PM→
·A M→
=0,
∴AM→
⊥PM→
.
∴|PM→
|2=|A P→
|2-|AM→
|2=|A P→
|2-1,
∵椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小,故|A P→
|min=2,
∴|PM→
|min= 3.
【答案】 3
8.过椭圆x2
5
+y2
4
=1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,
B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为________.
【解析】 由题意知,右焦点坐标为(1,0),直线的方程为 y=2(x-
1),将其与x2
5
+y2
4
=1 联立,消去 y,得 3x2-5x=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=5
3
,x1x2=0,
所以|AB|= 1+k2·|x1-x2|= 1+22· (5
3 )2-4 × 0=5 5
3
.
设原点到直线的距离为 d,则 d= |2|
12+22
= 2
5
.
所以 S△OAB=1
2
|AB|·d=1
2
×5 5
3
× 2
5
=5
3
.
【答案】 5
3
三、解答题
9.已知椭圆x2
4
+y2
3
=1,直线 l:y=4x+1
2
,若椭圆上存在两点 P、
Q 关于直线 l 对称,求直线 PQ 的方程.
【解】 法一:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),
则 kPQ=-1
4
.
设 PQ 所在直线方程为 y=-x
4
+b.
由Error!消去 y,得
13x2-8bx+16b2-48=0.
∴Δ=(-8b)2-4×13×(16b2-48)>0.
解得 b2<13
4
,x1+x2=8b
13
,
设 PQ 中点为 M(x0,y0),则有
x0=x1+x2
2
=4b
13
,y0=-1
4
·4b
13
+b=12b
13
.
∵点 M (4b
13
,12b
13 )在直线 y=4x+1
2
上,
∴12b
13
=4·4b
13
+1
2
,∴b=-13
8
.
直线 PQ 的方程为 y=-1
4
x-13
8
,
即 2x+8y+13=0.
法二:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),
M(x0,y0)是 PQ 的中点.
则有Error!两式相减,得
3(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0.
∵x1≠x2,x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,
∴3x0
4y0
=-y1-y2
x1-x2
=-kPQ.
∵kPQ=-1
4
,∴y0=3x0.
代入直线 y=4x+1
2
,
得 x0=-1
2
,y0=-3
2
,
则直线 PQ 的方程为 y+3
2
=-1
4(x+1
2),
即 2x+8y+13=0.
10.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+y2
b2
=1(0<b<1)的左、右焦点,
过 F1 的直线 l 与 E 相交 A,B 两点,且|AF 2|,|AB|,|BF 2|成等差数
列.
(1)求|AB|;
(2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.
【解】 (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,
又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,所以|AB|=4
3
.
(2)直线 l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b2.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组Error!
化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.
则由根与系数的关系,得 x1+x2= -2c
1+b2
,x1x2=1-2b2
1+b2 .
因为直线 AB 的斜率为 1,
所以|AB|= 2|x1-x2|,
即4
3
= 2|x1-x2|.
所以(x1+x2)2-4x1x2=8
9
,
即4(1-b2)
(1+b2)2
-4(1-2b2)
1+b2
= 8b4
(1+b2)2
=8
9
,
解得 b2=1
2
或 b2=-1
4
(舍去),
又 b>0,∴b= 2
2
.
[能力提升]
1.已知椭圆x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点为 F,A(-a,0),B(0,b)为
椭圆的两个顶点,若点 F 到 AB 的距离为 b
7
,则椭圆的离心率为( )
A.7- 7
7
B.7-2 7
7
C.1
2
D.4
5
【解析】 直线 AB 的方程是 x
-a
+y
b
=1,即 bx-ay+ab=0.因为
点 F 的坐标为(-c,0),所以|-bc+ab|
a2+b2
= b
7
,化简,得 8c2-14ac+5a2
=0,两端同除以 a2,得 8e2-14e+5=0,解得 e=1
2(e=5
4
舍去).
【答案】 C
2.已知椭圆 C:x2
2
+y2=1 的右焦点为 F,直线 l:x=2,点 A∈l,
线段 AF 交椭圆 C 于点 B,若 F A→
=3F B→
,则|A F→
|=( )
A. 2 B.2
C. 3 D.3
【解析】 设点 A(2,n),B(x0,y0).
由椭圆 C:x2
2
+y2=1 知 a2=2,b2=1,
∴c2=1,即 c=1,∴右焦点 F(1,0).
由 F A→
=3F B→
,得(1,n)=3(x0-1,y0).
∴1=3(x0-1)且 n=3y0.
∴x0=4
3
,y0=1
3
n.
将 x0,y0 代入x2
2
+y2=1,得
1
2
×(4
3 )2+(1
3n )2=1.解得 n2=1,
∴|A F→
|= (2-1)2+n2= 1+1= 2.
【答案】 A
3.若直线 y=kx+1 与曲线 x= 1-4y2有两个不同的交点,则 k
的取值范围是________.
【解析】 由 x= 1-4y2,得 x2+4y2=1(x≥0),
又∵直线 y=kx+1 过定点(0,1),
故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在 y 轴右侧的部分有两个
公共点,当直线与椭圆(右侧部分)相切时,
k=- 3
2
,则相交时 k<- 3
2
.
【答案】 (-∞,- 3
2 )
4.设椭圆 C:x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为 F,过点 F 的直线 l 与
椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,A F→
=2F B→
.
(1)求椭圆 C 的离心率; 【导学号:26160042】
(2)如果|AB|=15
4
,求椭圆 C 的标准方程.
【解】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),其中 y10.
(1)直线 l 的方程为 y= 3(x-c),
其中 c= a2-b2.
联立,得Error!
消去 x,得(3a2+b2)y2+2 3b2cy-3b4=0.
解得 y1=- 3b2(c+2a)
3a2+b2
,y2=- 3b2(c-2a)
3a2+b2
因为 A F→
=2F B→
,所以-y1=2y2,
即 3b2(c+2a)
3a2+b2
=2·- 3b2(c-2a)
3a2+b2
,
得离心率 e=c
a
=2
3
.
(2)因为|AB|= 1+1
3
|y2-y1|,
所以 2
3
·4 3ab2
3a2+b2
=15
4
.
由c
a
=2
3
,得 b= 5
3
a,所以 5
4
a=15
4
,所以 a=3,b= 5.
所以椭圆 C 的标准方程为x2
9
+y2
5
=1.