（测试时间：120 分钟 满分：150 分）
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.用一个平面去截一个几何体,可以使截面是长方形,也可以使截面是圆,则这个几何体可以是
( )
A.棱柱 B.棱台
C.圆柱 D.球
答案:C
2.如图,是一个物体的三视图,则此物体的直观图是( )
解析:由三视图知几何体为圆锥与圆柱的组合体如图.故选 D.
答案:D
3.如图,△O'A'B'是水平放置的△OAB 的直观图,A'O'=6,B'O'=2,则△OAB 的面积是( )
A.6 B.3
C.6 D.12解析:△OAB 是直角三角形,其两条直角边分别是 4 和 6,则其面积是 12.
答案:D
4.(2016 山西高二月考)圆锥的高扩大到原来的 2 倍,底面半径缩短到原来的 ,则圆锥
的体积( )
A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的 2 倍
C.不变 D.缩小到原来的
解析:设原圆锥的高为 h,半径为 r,体积为 V,则 V= πr2h;变化后圆锥的体积为 V'= ·2h=
πr2h= V.
答案:A
5.一个几何体的三视图如图,其中正视图是边长为 2 的正三角形,俯视图是正方形,则该几何体
的侧视图的面积是 ( )
A.2 B. C.4 D.2
解析:由题意可知侧视图与正视图形状完全一样,是正三角形,面积 S= ×22= .
答案:B
6.(2016 河北唐山高二期中)已知圆台的上、下底面半径分别为 1 和 2,高为 1,则该圆台的全面积
为( )
A.3 π B.(5+3 )π
C. π D. π答案:B
7.(2015 陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.3π B.4π C.2π+4 D. 3π+4
解析:由三视图知,该几何体为半圆柱,故其表面积为 S 侧+S 上底+S 下底=(π+2)×2+π=3π+4.
答案:D
8.(2015 重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. +2π B. C. D.答案:B
9.(2016 河北唐山高二期中)如图是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边 BD
长为 2;侧视图为一直角三角形;俯视图为一直角梯形,且 AB=BC=1,则此几何体的体积是( )
A. B. C. D.1
解析:
答案:A
10.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB=AC= ,BB1=BC=6,E,F 为侧棱
AA1 上的两点,且 EF=3,则多面体 BB1C1CEF 的体积为 ( )
A.30 B.18
C.15 D.12
解析: -VE-ABC=S△ABC×6- S△ABC·A1F- S△ABC·AE
=S△ABC·
=5S△ABC.
∵AC=AB= ,BC=6,
∴S△ABC= ×6× =6.
∴ =5×6=30.
答案:A
11．如图所示，正四棱锥 S—ABCD 的所有棱长都等于 a，过不相邻的两条棱 SA，SC 作截面 SAC，
则截面的面积为( )
A．3
2a2 B．a2
C．1
2a2 D．1
3a2
12．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是( )
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
解析:A 当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的体对角线时可得④；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①．但无论如何都不能截得②．故选 A．
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径
相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.
解析：设球的半径为 r，放入 3 个球后，圆柱液面高度变为 6r.则有
πr2·6r＝8πr2＋3·4
3πr3，即 2r＝8，
∴r＝4.
答案：4
14. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 2 3，它的三视图中的俯视图如右图所示，
左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．
解析：设正三棱柱的底面边长为 a，利用体积为 2 3，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和
侧棱长都是 2，所以底面正三角形的高为 3，故所求矩形的面积为 2 3.
答案： 2 3
15．圆台的母线长扩大到原来的 n 倍，两底面半径都缩小为原来的1
n，那么它的侧面积为原来
的________倍．
解析：设改变之前圆台的母线长为 l，上底半径为 r，下底半径为 R，则侧面积为 π(r＋R)l，改
变后圆台的母线长为 nl，上底半径为r
n，下底半径为R
n，则侧面积为 π(r＋R
n )nl＝π(r＋R)l，故
它的侧面积为原来的 1 倍．
答案：1
16.一块正方形薄铁片的边长为 4 cm，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一
个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.答案： 15
3 π
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17.(本小题满分 12 分)
已知某几何体的俯视图是矩形(如图),正视图是一个底边长为 8,高为 4 的等腰三角形,侧视图是
一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积 V;
(2)求该几何体的侧面积 S.
解:故几何体的侧面积 S=2· =40+24 .
18.(本小题满分 12 分)(2016 山西高二月考)如图所示(单位:cm),四边形 ABCD 是直角
梯形,求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积.
解:由题意,知所成几何体的表面积等于圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和.
又 S 半球面= ×4π×22=8π(cm2),
S 圆台侧=π(2+5) =35π(cm2),
S 圆台下底=π×52=25π(cm2),
所以所成几何体的表面积为
8π+35π+25π=68π(cm2).
又 V 圆台= ×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),
V 半球= ×23= (cm3).
所以所成几何体的体积为V 圆台-V 半球=52π- (cm3).
19．(本小题满分 12 分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是 1∶4，母线
长为 10 cm.求圆锥的母线长．
故圆锥的母线长为40
3 cm.
20．(本小题满分 12 分)如下图，在底面半径为 2、母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3的圆柱，
求圆柱的表面积．
解：设圆柱的底面半径为 r，高为 h′.
圆锥的高 h＝ 42－22＝2 3，
又∵h′＝ 3，
∴h′＝1
2h.∴r
2＝2 3－ 3
2 3
，∴r＝1.
∴S 表面积＝2S 底＋S 侧＝2πr2＋2πrh′
＝2π＋2π× 3＝2(1＋ 3)π.
21．(12 分)如图所示，一个封闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度为
h1，且水面高是锥体高的1
3，即 h1＝1
3h，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为 h2，求 h2 的大
小．即所求 h2 的值为
3 19
3 h．
22．(12 分)如图所示，有一块扇形铁皮 OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形
环 ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形 OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好
作圆台形容器的下底面(大底面)．
试求：(1)AD 应取多长？(2)容器的容积．
解 (1)设圆台上、下底面半径分别为 r、R，
AD＝x，则 OD＝72－x，由题意得
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