2016-2020年高考数学（理）真题命题轨迹专题24 不等关系与基本不等式（解析版）

1 / 4 五年高考+命题轨迹            第七章 不等式、推理与证明 专题 24 不等关系与基本不等式 考点 1 不等式的性质以及解法 年 份 考 向 题型 难度 分值 2019 年高考全国 II 卷理数 对数函数性质、指数函数性质、幂 函数性质及绝对值意义 选择题 简单 5 分 2018 年高考全国 I 卷理数 一元二次不等式的解法 选择题 简单 5 分 2016 高考新课标 1 卷 比较大小 选择题 简单 5 分 1. 【2019 年高考全国 II 卷理数】若 a>b，则（ ） A．ln(a−b)>0 B．3a0 D．│a│>│b│ 【答案】C 【解析】取 ，满足 ， ，知 A 错，排除 A；因为 ，知 B 错，排 除 B；取 ，满足 ， ，知 D 错，排除 D，因为幂函数 是增函数， ，所以 ，故选 C． 2. 【2019 年高考天津卷理数】设 ，则“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】化简不等式，可知 推不出 ， 由 能推出 ， 故“ ”是“ ”的必要不充分条件， 故选 B. 2, 1a b= = a b> ln( ) 0a b− = 9 3 3 3a b= > = 1, 2a b= = − a b> 1 2a b= < = 3y x= a b> 3 3a b> x∈R 2 5 0x x− < | 1| 1x − < 0 5x< < 1 1x − < 1 1x − < 0 5x< < 2 5 0x x− < | 1| 1x − 0得푥 < ―1或푥 > 2，所以퐴 = {푥|푥 < ―1 或푥 > 2}，所以可以求得 ，故选 B． 4. 【2016 高考新课标 1 卷】若 ,则( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】用特殊值法,令 , , 得 ,选项 A 错误, ,选项 B 错误, ,选项 C 正确, ,选项 D 错误,故选 C． 5. 【2019 年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销： 一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%． ①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为 __________． 【答案】①130 ；②15. 【解析】（1） ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元. （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为 元, 元时,李明得到的金额为 ,符合要求. 元时,有 恒成立,即 ,即 元. 所以 的最大值为 . { }2 2 0A x x x= − − > A =R { }1 2x x− < < { }1 2x x− ≤ ≤ }{ }{| 1 | 2x x x x< − > }{ }{| 1 | 2x x x x≤ − ≥ { }| 1 2A x x= − ≤ ≤R 1 0 1a b c> > < 1 1 2 23 2 2 3× > × 2 3 13log 2log 22 < 3 2 1 1log log2 2 > 10x = ( )60 80 10 130+ − = y 120y < 80%y× 120y ≥ ( ) 80% 70%y x y− × ≥ × ( )8 7 , 8 yy x y x− ≥ ≤ min 158 yx  ≤ =   x 15 3 / 4 五年高考+命题轨迹 考点 2 基本不等式 1. 【2019 年高考浙江卷】若 ，则“ ”是 “ ”的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 时， 当且仅当 时取等号，则当 时，有 ， 解得 ，充分性成立； 当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述，“ ”是“ ”的充 分不必要条件. 2. 【2019 年高考天津卷理数】设 ，则 的最小值为__________． 【答案】 【解析】方法一： . 因为 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号成立. 又因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，结合 可知， 可以取到 3，故 的最小值为 . 方法二： . 当且仅当 时等号成立， 0, 0a b> > 4a b+ ≤ 4ab ≤ 0, 0a > b > 2a b ab+ ≥ a b= 4a b+ ≤ 2 4ab a b≤ + ≤ 4ab ≤ =1, =4a b 4ab ≤ =5>4a+b 4a b+ ≤ 4ab ≤ 0, 0, 2 5x y x y> > + = ( 1)(2 1)x y xy + + 4 3 ( 1)(2 1) 2 2 1 2 6 62x y xy y x xy xy xy xy xy xy + + + + + += = = + 0, 0, 2 5x y x y> > + = 2 5 2 2x y x y+ = ≥ ⋅ 5 252 ,02 8xy xy≤ < ≤ 52 2x y= = 6 62 2 2 4 3xy xy xy xy + ≥ ⋅ = 62 xy xy = =3xy 25 8xy ≤ xy ( 1)(2 1)x y xy + + 4 3 0, 0, 2 5,x y x y> > + = 0,xy∴ > ( 1)(2 1) 2 2 1 2 6 62 2 12=4 3x y xy y x xy xy xy xy xy xy + + + + + += = = + ≥ 3xy = 4 / 4 五年高考+命题轨迹 故 的最小值为 . 3. 【2018 年高考天津卷理数】已知 ，且 ，则 的最小值为 . 【答案】1 4 【解析】由푎 ― 3푏 +6 = 0可知푎 ― 3푏 = ―6，且2푎 + 1 8푏 = 2푎 + 2―3푏， 因为对于任意 x，2푥 > 0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2푎 + 2―3푏 ≥ 2 × 2푎 × 2―3푏 = 2 × 2―6 = 1 4.当 且仅当{ 2푎 = 2―3푏 푎 ― 3푏 = 6 ，即{ 푎 = 3 푏 = ―1 时等号成立. 综上可得2푎 + 1 8푏的最小值为1 4. 4. 【2018 年高考江苏卷】在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线 交 于点 D，且 ，则 的最小值为___________． 【答案】9 【解析】由题意可知，푆△퐴퐵퐶 = 푆△퐴퐵퐷 + 푆△퐵퐶퐷,由角平分线性质和三角形面积公式得1 2푎푐sin120° = 1 2푎 × 1 × sin 60° + 1 2푐 × 1 × sin60°，化简得푎푐 = 푎 + 푐,1 푎 + 1 푐 = 1， 因此4푎 + 푐 = (4푎 + 푐)(1 푎 + 1 푐) = 5 + 푐 푎 + 4푎 푐 ≥ 5 + 2 푐 푎 ⋅ 4푎 푐 = 9, 当且仅当푐 = 2푎 = 3时取等号，则4푎 + 푐的最小值为9. 5. 【2017 年高考天津卷理数】若 ， ，则 的最小值为___________． 【答案】 【解析】 ，（前一个等号成立的条件是 ，后 一个等号成立的条件是 ，两个等号可以同时成立，当且仅当 时取等号）． ( 1)(2 1)x y xy + + 4 3 ,a b∈R 3 6 0a b− + = 12 8 a b + ABC△ , ,A B C , ,a b c 120ABC∠ = ° ABC∠ AC 1BD = 4a c+ ,a b∈R 0ab > 4 44 1a b ab + + 4 4 4 2 24 1 4 1 1 14 2 4 4a b a b ab abab ab ab ab + + +≥ = + ≥ ⋅ = 2 22a b= 1 2ab = 2 22 2,2 4a b= =