2016-2020年高考数学（理）真题命题轨迹专题25 简单的线性规划（解析版）

1 / 15 五年高考+命题轨迹            第七章 不等式、推理与证明 专题 25 简单的线性规划 考点 1 线性规划 年 份 考 向 题型 难度 分值 2020 年高考全国Ⅰ卷文理数 13 线性目标函数的最优解 填空题 简单 5 分 2020 年高考全国Ⅲ卷文理数 13 线性目标函数的最优解 填空题 简单 5 分 2017 年高考全国 II 卷理数 线性目标函数的最值 选择题 简单 5 分 2018 年高考全国 I 卷理数 线性目标函数的最值 填空题 简单 5 分 2018 年高考全国 II 卷理数 线性目标函数的最值 填空题 简单 5 分 2017 年高考全国 I 卷理数 线性目标函数的最值 填空题 简单 5 分 2017 年高考全国 III 卷理数 线性目标函数的最值 填空题 简单 5 分 2016 高考新课标 3 理数 线性目标函数的最值 填空题 简单 5 分 1.【2020 年高考浙江卷 3】若实数 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先作出不等式表示的平面区域， ,x y 3 1 0 , 3 0 x y x y − + ≤  + − ≥ 2z x y= + ( ], 4−∞ [ )4 , + ∞ [ )5 , + ∞ ( ),−∞ + ∞ 2 / 15 五年高考+命题轨迹 令 ，画出初始目标函数表示的直线 ，由图象可知不等式表示的平面区域是两条直线相交形成 的开放区域，∴ 的取值范围是 ，故选 D． 2. 【2019 年高考北京卷理数】若 x，y 满足 ，且 y≥−1，则 3x+y 的最大值为 A．−7 B．1 C．5 D．7 【答案】C 【解析】由题意 作出可行域如图阴影部分所示. 设 , 当直线 经过点 时, 取最大值 5.故选 C． 3. 【 2019 年高考天津卷理数】设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值 为 A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距， 故目标函数在点 处取得最大值. 0z = 2y x= − 2z x y= + ( ),−∞ +∞ | 1|x y≤ − 1 ,1 1 y y x y − ≤  − ≤ ≤ − 3 , 3z x y y z x= + = − 0 : 3l y z x= − ( )2, 1− z ,x y 2 0, 2 0, 1, 1, x y x y x y + − ≤  − + ≥ −  −   4z x y= − + 4y x z= + y A 3 / 15 五年高考+命题轨迹 由 ，得 ， 所以 . 故选 C. 4. 【2019 年高考浙江卷】若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是 A． B． 1 C． 10 D． 12 【答案】C 【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。 因为 ，所以 . 平移直线 可知，当该直线经过点 A 时，z 取得最大值. 2 0, 1 x y x − + =  = − ( 1,1)A − max 4 ( 1) 1 5z = − × − + = ,x y 3 4 0 3 4 0 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  + ≥ 3 2z x y= + 1− 3 2z x y= + 3 1 2 2y x z= − + 3 1 2 2y x z= − + 4 / 15 五年高考+命题轨迹 联立两直线方程可得 ，解得 . 即点 A 坐标为 ， 所以 .故选 C. 5. 【2018 年高考天津卷理数】设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 A．6 B．19 C．21 D．45 【答案】C 【解析】绘制不等式组 表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程得 ，可得点 A 的坐标为 ，据此可知目标函数的最大值 为： .本题选择 C 选项. 6. 【2017 年高考全国 II 卷理数】设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是 A． B． C． D． 3 4 0 3 4 0 x y x y − + =  − − = 2 2 x y =  = (2,2)A max 3 2 2 2 10z = × + × = ,x y 5 2 4 1 0 x y x y x y y + ≤  − ≤− + ≤  ≥ ， ， ， ， 3 5z x y= + 5 2 4 1 0 x y x y x y y + ≤  − ≤− + ≤  ≥ ， ， ， 5 1 x y x y + = − + = ( )2,3A max 3 5 3 2 5 3 21z x y= + = × + × = x y 2 3 3 0 2 3 3 0 3 0 x y x y y + − ≤  − + ≥  + ≥ 2z x y= + 15− 9− 1 9 5 / 15 五年高考+命题轨迹 【答案】A 【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即： ，其中 表示斜 率为 的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点 处取得最小 值， ，故选 A． 7. 【2017 年高考北京卷理数】若 x，y 满足 则 x + 2y 的最大值为 A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】D 【解析】如图，画出可行域， 表 示 斜 率 为 的 一 组 平 行 线 ， 当 过 点 时 ， 目 标 函 数 取 得 最 大 值 ，故选 D. 2y x z= − + z 2k = − ( 6, 3)B − − min 2 ( ) 3) 56 ( 1z − −= × + = − 3 2 x x y y x ≤  + ≥  ≤ ， ， ， 2z x y= + 1 2 − 2z x y= + ( )3,3C max 3 2 3 9z = + × = 6 / 15 五年高考+命题轨迹 8. 【2017 年高考天津卷理数】设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 A． B．1 C． D．3 【答案】D 【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由 得 ，作出直线 ， 平移使之经过可行域，观察可知，最优解在 处取得，故 ，选 D. 9. 【2017 年高考浙江卷】若 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是 A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4， 【答案】D 【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点 时取最小值 4，无最大值，选 D． 10. 【2016 年高考北京理数】若 ， 满足 ，则 的最大值为（ ） ,x y 2 0, 2 2 0, 0, 3, x y x y x y + ≥  + − ≥ ≤  ≤ z x y= + 2 3 3 2 z x y= + y x z= − + y x= − (0,3)B max 0 3 3z = + = x y 0 3 0 2 0 x x y x y ≥  + − ≥  − ≤ 2z x y= + )+∞ )+∞ (2,1) x y 2 0 3 0 x y x y x − ≤  + ≤  ≥ 2x y+ 7 / 15 五年高考+命题轨迹 A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】作出如图可行域，则当 经过点 时，取最大值，而 ，∴所求最大值为 4，故选 C. 11. .【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件 则目标函数 的最小值为（ ） （A） （B）6 （C）10 （D）17 【答案】B 【解析】可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中 ，直线 过点 B 时取最 小值 6，选 B. 12. 【2020 年高考上海卷 5】已知 满足 ，则 的最大值为 . 【答案】-1 【解析】首先画出可行域，和初始目标函数 ，当直线 平移至点 时，取得最大值， 故答案为：-1。 yxz += 2 P )2,1(P x y O P 2 0, 2 3 6 0, 3 2 9 0. x y x y x y − + ≥  + − ≥  + − ≤ 2 5z x y= + 4− (0,2), (3,0), (1,3)A B C z 2 5x y= + ,x y 2 0 2 3 0 0 x y x y y + − ≥  + − ≤  ≥ 2z y x= − 2y x= 2y x= ( )1,1A max 1 2 1 1z = − × = − 8 / 15 五年高考+命题轨迹 13. 【2020 年高考全国Ⅰ卷文理数 13】若 满足约束条件 则 的最大值为 __________． 【答案】1 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数 即： ，其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最 大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值， 联立直线方程： ，可得点 A 的坐标为： ，据此可知目标函数的最大值为： ，故答案为：1． 14. 【2020 年高考全国Ⅲ卷文理数 13】若 满足约束条件 则 的最大值为 __________． 【答案】7 【解析】不等式组所表示的可行域如图，因为 ，所以 ，易知截距 越大，则 越 大，平移直线 ，当 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大，由 ，得 ， ，所以 ，故答案为：7. , yx , , , 2 2 0 1 0 1 0 x y x y y + − ≤  − − ≥  + ≥ 7z x y= + 7z x y= + 1 1 7 7y x z= − + 2 2 0 1 0 x y x y + − =  − − = ( )1,0A max 1 7 0 1z = + × = ,x y 0 , 2 0 , 1, x y x y x + ≥  − ≥  ≤ 3 2z x y= + 3 2z x y= + 3 2 2 x zy = − + 2 z z 3 2 xy = − 3 2 2 x zy = − + 2 1 y x x =  = 1 2 x y =  = (1,2)A max 3 1 2 2 7z = × + × = 9 / 15 五年高考+命题轨迹 15. 【2018 年高考全国 I 卷理数】若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 _____________． 【答案】6 【解析】根据题中所给的约束条件 ，画出其对应的可行域，如图所示： 由 可得 ，画出直线 ，将其上下移动，结合 的几何意义，可知当直 线过点 B 时，z 取得最大值， 由 ，解得 ，此时 ，故答案为 6. x y 2 2 0 1 0 0 x y x y y − − ≤  − + ≥  ≤ 3 2z x y= + 2 2 0 1 0 0 x y x y y − − ≤  − + ≥  ≤ 3 2z x y= + 3 1 2 2y x z= − + 3 2y x= − 2 z 2 2 0 0 x y y − − =  = ( )2,0B max 3 2 0 6z = × + = 10 / 15 五年高考+命题轨迹 16. 【 2018 年 高 考 全 国 II 卷 理 数 】若 满 足 约 束 条 件 则 的 最 大 值 为 __________． 【答案】9 【解析】不等式组 表示的可行域是以 为顶点的三角形区域，如下 图所示，目标函数 的最大值必在顶点处取得，易知当 时， . 17. 【2018 年高考浙江卷】若 满足约束条件 则 的最小值是___________，最大值 是___________． 【答案】-2,8 【解析】由题可得，该约束条件表示的平面区域是以（2，2），（1，1），（4，−2）为顶点的三角形及其 内部区域，如图所示.由线性规划的知识可知，目标函数 在点（2，2）处取得最大值，在点（4， −2）处取得最小值，则最小值 ，最大值 . ,x y 2 5 0 2 3 0 5 0 x y x y x + − ≥  − + ≥  − ≤ ， ， ， z x y= + 2 5 0 2 3 0 5 0 x y x y x + − ≥  − + ≥  − ≤ ， ， ( ) ( ) ( )5,4 , 1,2 , 5,0A B C z x y= + 5, 4x y= = max 9z = ,x y 0, 2 6, 2, x y x y x y − ≥  + ≤  + ≥ 3z x y= + 3z x y= + min 4 6 2z = − = − max 2 6 8z = + = 11 / 15 五年高考+命题轨迹 18. 【2018 年高考北京卷理数】若푥,y 满足 ，则 2y−푥的最小值是_________. 【答案】3 【解析】作出可行域，如图，则直线 过点 A(1,2)时， 取最小值 3. 19. 【2017 年高考全国 I 卷理数】设 x，y 满足约束条件 则 的最小值为 . 【答案】 【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 1 2x y x+ ≤ ≤ 2z y x= − z 2 1 2 1 0 x y x y x y + ≤  + ≥ −  − ≤ ， ， ， 3 2z x y= − 5− 12 / 15 五年高考+命题轨迹 易求得 ， 由 得 在 轴上的截距越大， 就越小， 所以，当直线 过点 时， 取得最小值， 所以 的最小值为 . 20. 【2017 年高考全国 III 卷理数】若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为 __________. 【答案】 【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示. 目标函数即 ，易知直线 在 轴上的截距最大时，目标函数 取得最小 值，数形结合可得目标函数 在点 处取得最小值，为 . 21. 【2016高考新课标3理数】若 满足约束条件 则 的最大值为_____________. 【答案】 【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数 经过点 时取得最 大值，即 ． 1 1 1 1( 1,1), ( , ), ( , )3 3 3 3A B C− − − 3 2z x y= − 3 2 2 zy x= − y z 3 2z x y= − A z z 3 ( 1) 2 1 5× − − × = − x y 0 2 0 0 x y x y y − ≥  + − ≤  ≥ 3 4z x y= − 1− 3 1 4 4y x z= − 3 1 4 4y x z= − y 3 4z x y= − 3 4z x y= − ( )1,1A min 3 1 4 1 1z = × − × = − ,x y 1 0 2 0 2 2 0 x y x y x y − + ≥  − ≤  + − ≤ z x y= + 3 2 z x y= + 1(1, )2A max 1 31 2 2z = + = 13 / 15 五年高考+命题轨迹 考点 2 以可行域为载体与其他知识交汇问题 年 份 考 向 题型 难度 分值 2016 高考新课标 1 卷 线性规划的应用 填空题 一般 5 分 1. 【2018 年高考北京卷理数】设集合 则 A．对任意实数 a， B．对任意实数 a，（2，1） C．当且仅当 a − ≤ (2,1) A∈ A∉ A∉ 3 2a ≤ A∉ 1x y− = 4ax y+ = a− 0a ≠ 2x ay− = 1 a 2x ay− ≤ 4ax y+ > 4ax y+ = 2x ay− = 4ax y+ = 0a− > 4ax y+ > 3 2 − 3 2a− < − 3 2a > 4ax y+ > 2x ay− < 4ax y+ = 3 2a− = − 3 2a = 4ax y+ > 2 0 0 3 4 0 x x y x y − ≤  + ≥  − + ≥ − 2 2 6 14 / 15 五年高考+命题轨迹 【答案】C 【解析】如图 为线性区域，区域内的点在直线 上的投影构成了线段 ，即 ，而 ，由 得 ，由 得 ， ．故选 C． 3. 【2016 高考新课标 1 卷】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时．生 产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则 在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】 【解析】 试题分析：设生产产品 、产品 分别为 、 件,利润之和为 元,那么 ① 目标函数 . 二元一次不等式组①等价于 ∆PQR 2 0x y+ − = ′ ′R Q AB ′ ′ =R Q PQ 3 4 0 0 − + =  + = x y x y ( 1,1)−Q 2 0 =  + = x x y (2, 2)−R 2 2( 1 2) (1 2) 3 2= = − − + + =AB QR 216000 A B x y z 1.5 0.5 150, 0.3 90, 5 3 600, 0, 0. x y x y x y x y +  + +         2100 900z x y= + 15 / 15 五年高考+命题轨迹 ② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域. 将 变形,得 ,平行直线 ,当直线 经过点 时, 取得最大值. 解方程组 ,得 的坐标 . 所以当 , 时, . 故生产产品 、产品 的利润之和的最大值为 元. 3 300, 10 3 900, 5 3 600, 0, 0. x y x y x y x y +  + +    3     2100 900z x y= + 7 3 900 zy x= − + 7 3y x= − 7 3 900 zy x= − + M z 10 3 900 5 3 600 x y x y + =  + = M (60,100) 60x = 100y = max 2100 60 900 100 216000z = × + × = A B 216000