2016-2020年高考数学（理）真题命题轨迹专题33 椭圆（解析版）

1 / 24 五年高考+命题轨迹 第九章 解析几何 专题 33 椭圆 考点 1 椭圆的定义与标准方程 年 份 考 向 题型 难度 分值 2019 年高考全国Ⅰ卷理数 椭圆标准方程及其简单性质 选择题 简单 5 分 2017 年高考全国 II 理数 椭圆标准方程 解答题 一般 12 分 1. 【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两 点．若 ， ，则 C 的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设 ，则 ， 由椭圆的定义有 ． 在 中，由余弦定理推论得 ． 在 中，由余弦定理得 ，解得 ． 所求椭圆方程为 ，故选 B． 1 21,0 1,0F F−( ) ， ( ) 2 2| | 2 | |AF F B= 1| | | |AB BF= 2 2 12 x y+ = 2 2 13 2 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 15 4 x y+ = 2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = = 1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1AF B△ 2 2 2 1 4 9 9 1cos 2 2 3 3 n n nF AB n n + −∠ = =⋅ ⋅ 1 2AF F△ 2 2 14 4 2 2 2 43n n n n+ − ⋅ ⋅ ⋅ = 3 2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴ 2 2 13 2 x y+ = 2 / 24 五年高考+命题轨迹 法二：由已知可设 ，则 ， 由椭圆的定义有 ． 在 和 中，由余弦定理得 ， 又 互补， ，两式消去 ，得 ，解得 ． 所求椭圆方 程为 ，故选 B． 2. 【2019 年高考北京卷理数】已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，则 A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b 【答案】B 【解析】椭圆的离心率 ，化简得 ， 故选 B. 3. 【2017 年高考浙江卷】椭圆 的离心率是 A． B． C． D． 【答案】B 2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = = 1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1 2AF F△ 1 2BF F△ 2 2 2 1 2 2 2 1 4 4 2 2 2 cos 4 4 2 2 cos 9 n n AF F n n n BF F n  + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ =  + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = 2 1 2 1,AF F BF F∠ ∠ 2 1 2 1cos cos 0AF F BF F∴ ∠ + ∠ = 2 1 2 1cos cosAF F BF F∠ ∠, 2 23 6 11n n+ = 3 2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴ 2 2 13 2 x y+ = 2 2 2 2 1x y a b + = 1 2 2 2 21 ,2 ce c a ba = = = − 2 23 4a b= 2 2 19 4 x y+ = 13 3 5 3 2 3 5 9 3 / 24 五年高考+命题轨迹 【解析】椭圆 的离心率 ，故选 B． 4.【2020 年高考山东卷】 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ． （1）求 的方程； （2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定 值． 【答案】（1） ；（2）详见解析． 【解析】（1）根据题意，把点 代入椭圆得到 ①，设 ，又 ，∴ ，代入①式，求得 ，∴椭圆 的方程为 ． （2）解法一：由题意知 的直线方程为 ，设直线 与椭圆相切于点 ， ，联立方程组得 ， ，得 ， 由 题 意 可 知 时 ， 面 积 最 大 ， 直 线 与 直 线 距 离 ， ，∴ ． 解法三：设点 ．因为 AM⊥AN，所以 ． 整理可得： ① 设 MN 的方程为 y=kx+m，联立直线与椭圆方程可得： ， 韦达定理可得： ， ， ， 2 2 19 4 x y+ = 9 4 5 3 3e −= = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 ( )2 ,1A C M N C AM AN⊥ AD MN⊥ D Q DQ 2 2 16 3 x y+ = (2,3)M 2 2 4 9 1a b + = ( ,0)A a− 3 1 2 2AMk a = =+ 4a = 2 12b = C 2 2 116 12 x y+ = AM 2 4 0x y− + = 2 0x y m− + = N 2 2 2 0 116 12 m x x y y+ − + = =   2 216 12 3 48 0y my m− + − = 2 2144 64(3 48) 0m m∆ = − − = 8m = ± 8m = − AMN∆ 2 4 0x y− + = 2 8 0x y− − = 2 2 | 4 ( 8) | 12 5 51 ( 2) d − −= = + − | | 3 5AM = 1 12 53 5 182 5AMNS∆ = × × = ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2 1 2 1 1 12 2 y y x x − −⋅ = −− − ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21 2 4y y y y x x x x− + + = − + + − ( )2 2 22 1 4 2 6 0k x kmx m+ + + − = 2 1 2 1 22 2 4 2 6,2 1 2 1 km mx x x xk k −+ = − =+ + ( ) ( )1 2 1 2 2 2 2 1 my y kx m kx m k + = + + + = + ( )( ) 2 2 1 2 1 2 2 6 2 1 m ky y kx m kx m k −+ + = += 4 / 24 五年高考+命题轨迹 代入①式有： ， 化简可得： ，即 ， 据此可得： 或 ，所以直线 MN 的方程为 或 ， 即 或 ，所以直线过定点 或 ． 又因为 和 A 点重合，所以舍去，则直线过定点 ． 由于 AE 为定值，且△AED 为直角三角形，AE 为斜边， 所以 AE 中点 Q 满足 为定值（AE 长度的一半 ）． 由于 ，故由中点坐标公式可得 ． 5. 【2017 年高考全国 II 理数】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 作 x 轴的垂线， 垂足为 N，点 P 满足 ． （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 Q 在直线 上，且 ．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F． 【答案】（1） ；（2）见解析. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 26 2 2 6 2 4 5 2 01m k m m km k− − + − − + +× − = ( )( )24 8 1 3 1 0k km m m+ + − + = ( )( )2 1 2 3 1 0k m k m+ − + + = 2 1k m= − 2 1 3k m= − − 1 2y kx k= + − 1 2 3 ky kx − −= + ( )2 1y k x= − + 2 1 3 3y k x = − −   ( )2,1 2 1,3 3  −   ( )2,1 2 1,3 3E −   QD 2 21 2 1 4 22 12 3 3 3    − + + =       ( ) 2 1,32,1 3,A E  −   4 1,3 3Q     2 2 12 x y+ = 2NP NM=  3x = − 1OP PQ⋅ =  2 2 2x y+ = 5 / 24 五年高考+命题轨迹 【解析】（1）设 ， ，则 ． 由 得 ． 因为 在 C 上，所以 ． 因此点 P 的轨迹方程为 ． （2）由题意知 ．设 ， 则 ， ． 由 得 ， 又由（1）知 ，故 ． 所以 ，即 ． 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ， 所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 过 C 的左焦点 F． 考点 2 椭圆的几何性质 年 份 考 向 题型 难度 分值 2018 年高考全国Ⅱ理数 椭圆的离心率的求值及范围问题 选择题 一般 5 分 2017 年高考全国Ⅲ理数 椭圆的离心率 选择题 一般 5 分 2019 年高考全国Ⅲ卷理数 椭圆标准方程及其简单性质 填空题 简单 5 分 2018 年高考全国Ⅰ卷理数 椭圆的几何性质 解答题 一般 12 分 2017 年高考全国 I 理数 椭圆的几何性质 解答题 一般 12 分 2016 高考新课标 3 理数 椭圆方程与几何性质 选择题 一般 5 分 1. 【2018 年高考全国Ⅱ理数】已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是 的左 顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为 0 0( , ), ( , )P x y M x y 0( ,0)N x 0 0( , ), (0, )NP x x y NM y= − =  2NP NM=  0 0 2, 2x x y y= = 0 0( , )M x y 2 2 12 2 x y+ = 2 2 2x y+ = ( 1,0)F − ( 3, ), ( , )Q t P m n− ( 3, ), ( 1 , ), 3 3OQ t PF m n OQ PF m tn= − = − − − ⋅ = + −    ( , ), ( 3 , )OP m n PQ m t n= = − − −  1OP PQ⋅ =  2 23 1m m tn n− − + − = 2 2 2m n+ = 3 3 0m tn+ − = 0OQ PF⋅ =  OQ PF ⊥ l 1F 2F 2 2 2 2 1( 0)x yC a ba b + = > >： A C P A 3 6 1 2PF F△ 1 2 120F F P∠ = ° C 6 / 24 五年高考+命题轨迹 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 为等腰三角形， ，所以 ， 由 的斜率为 可得 ， 所以 ， ， 由正弦定理得 ， 所以 ， 所以 ， ，故选 D． 2. 【2017 年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 相切，则 C 的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以线段 为直径的圆的圆心为坐标原点 ，半径为 ，圆的方程为 ， 直线 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，整理可得 ，即 即 ， 2 3 1 2 1 3 1 4 1 2PF F△ 1 2 120F F P∠ = ° 2 1 2| | 2| |PF F F c= = AP 3 6 2 3tan 6PAF∠ = 2 1sin 13 PAF∠ = 2 12cos 13 PAF∠ = 2 2 2 2 sin sin PF PAF AF APF ∠= ∠ 2 1 1 2 213 13=π 53 12 1 1sin( )3 2 213 13 c a c PAF = =+ − ∠ × − × 4a c= 1 4e = 2 2 2 2 0)1(x y a b a b+ = > > 2 0bx ay ab− + = 6 3 3 3 2 3 1 3 1 2A A (0,0) r a= 2 2 2x y a+ = 2 0bx ay ab− + = 2 2 2abd a a b = = + 2 23a b= 2 2 23( )a a c= − 2 22 3a c= 7 / 24 五年高考+命题轨迹 从而 ，则椭圆的离心率 ，故选 A． 3. 【2018 年高考浙江卷】双曲线 的焦点坐标是 A．(− ，0)，( ，0) B．(−2，0)，(2，0) C．(0，− )，(0， ) D．(0，−2)，(0，2) 【答案】B 【解析】设 的焦点坐标为 ，因为 ， ， 所以焦点坐标为 ，故选 B． 4. 【2016 高考新课标 3 理数】已知 为坐标原点， 是椭圆 ： 的左焦点， 分别为 的左，右顶点. 为 上一点，且 轴.过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交 于 点 .若直线 经过 的中点，则 的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意设直线 的方程为 ，分别令 与 得点 ， ，由 ，得 ，即 ，整理，得 ，所以椭 圆离心率为 ，故选 A． 5. 【2019 年高考浙江卷】已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段 的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是___________． O F C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ,A B C P C PF x⊥ A l PF M y E BM OE C 1 3 1 2 2 3 3 4 l ( )y k x a= + x c= − 0x = | | ( )FM k a c= − | |OE ka= OBE CBM∆ ∆ 1 | | | |2 | | | | OE OB FM BC = 2 ( c) ka a k a a c =− + 1 3 c a = 1 3e = 2 2 2 2 3 ce a = = 2 6 3 3 ce a = = = 2 2 13 x y− = 2 2 2 2 2 2 13 x y− = ( ,0)c± 2 2 2 3 1 4c a b= + = + = 2c = ( 2,0)± 2 2 19 5 x y+ = F P x PF O OF PF 8 / 24 五年高考+命题轨迹 【答案】 【解析】方法 1：如图，设 F1 为椭圆右焦点.由题意可知 ， 由中位线定理可得 ，设 ，可得 ， 与方程 联立，可解得 （舍）， 又点 在椭圆上且在 轴的上方，求得 ，所以 . 方法 2：（焦半径公式应用）由题意可知 ， 由中位线定理可得 ，即 ， 从而可求得 ，所以 . 6. 【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】设 为椭圆 C: 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限. 若 为等腰三角形，则 M 的坐标为___________. 【答案】 【解析】由已知可得 ， ，∴ ． 15 | |=| 2OF OM |= c= 1 2 | | 4PF OM= = ( , )P x y 2 2( 2) 16x y− + = 2 2 19 5 x y+ = 3 21,2 2x x= − = P x 3 15,2 2P  −    15 2 151 2 PFk = = | 2OF |=|OM |= c= 1 2 | | 4PF OM= = 34 2p pa ex x− = ⇒ = − 3 15,2 2P  −    15 2 151 2 PFk = = 1 2F F， 2 2 + 136 20 x y = 1 2MF F△ ( )3, 15 2 2 2 2 236 , 20 , 16 , 4a b c a b c= = ∴ = − = ∴ = 1 1 2 2 8MF F F c∴ = = = 2 4MF = 9 / 24 五年高考+命题轨迹 设点 的坐标为 ，则 ， 又 ，解得 ， ，解得 （ 舍去）， 的坐标为 ． 7. 【2018 年高考浙江卷】已知点 P(0，1)，椭圆 +y 2=m(m>1)上两点 A，B 满足 =2 ，则当 m=___________时，点 B 横坐标的绝对值最大． 【答案】 【解析】设 ， ， 由 得 ， ， 所以 ， 因为 ， 在椭圆上，所以 ， ， 所以 ， 所以 ， 与 对应相减得 ， ， 当且仅当 时取最大值． 8. 【2019 年高考天津卷理数】设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的短 轴长为 4，离心率为 ． （1）求椭圆的方程； （2）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负 半轴上．若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率． 【答案】（1） ；（2） 或 ． M ( )( )0 0 0 0, 0 , 0x y x y> > 1 2 1 2 0 0 1 42MF FS F F y y= ⋅ ⋅ =△ 1 2 2 2 0 1 4 8 2 4 15 , 4 4 152MF FS y= × × − = ∴ =△ 0 15y = ( )2 2 0 15 136 20 x∴ + = 0 3x = 0 3x = − M\ ( )3, 15 2 4 x AP PB 5 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2AP PB=  1 22x x− = 1 21 2( 1)y y− = − 1 22 3y y− = − A B 2 21 14 x y m+ = 2 22 24 x y m+ = 2 22 2 4 (2 3)4 x y m+ − = 2 2 4 x + 2 2 3 2 4( ) my − = 2 22 24 x y m+ = 2 3 4 my += 2 2 2 1 ( 10 9) 44x m m= − − + ≤ 5m = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F B 5 5 P M PB x N y | | | |ON OF= O OP MN⊥ PB 2 2 15 4 x y+ = 2 30 5 2 30 5 − 10 / 24 五年高考+命题轨迹 【解析】（1）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ， ． 所以，椭圆的方程为 ． （2）由题意，设 ．设直线 的斜率为 ， 又 ，则直线 的方程为 ， 与椭圆方程联立 整理得 ， 可得 ，代入 得 ， 进而直线 的斜率 ． 在 中，令 ，得 ． 由题意得 ，所以直线 的斜率为 ． 由 ，得 ，化简得 ，从而 ． 所以，直线 的斜率为 或 ． 9. 【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点， 点 的坐标为 ． （1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2）设 为坐标原点，证明： ． 【答案】（1） 或 ；（2）见解析. 【解析】（1）由已知得 ，l 的方程为 x=1． c 52 4, 5 cb a = = 2 2 2a b c= + 5a = 2,b = 1c = 2 2 15 4 x y+ = ( )( ) ( )0 , ,0P P p MP x y x M x≠， PB ( )0k k ≠ ( )0,2B PB 2y kx= + 2 2 2, 1,5 4 y kx x y = + + = ( )2 24 5 20 0k x kx+ + = 2 20 4 5P kx k = − + 2y kx= + 2 2 8 10 4 5P ky k −= + OP 24 5 10 P p y k x k −= − 2y kx= + 0y = 2 Mx k = − ( )0, 1N − MN 2 k− OP MN⊥ 24 5 110 2 k k k −  ⋅ − = − −   2 24 5k = 2 30 5k = ± PB 2 30 5 2 30 5 − 2 2: 12 xC y+ = F F l C ,A B M (2,0) l x AM O OMA OMB∠ = ∠ 2 22y x= − + 2 22y x= − (1,0)F 11 / 24 五年高考+命题轨迹 由已知可得，点 A 的坐标为 或 ， 所以 AM 的方程为 或 ． （2）当 l 与 x 轴重合时， ． 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 ． 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 ， ， 则 ，直线 MA，MB 的斜率之和为 ． 由 得 ． 将 代入 得 ． 所以 ， 则 ． 从而 ，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以 ． 综上， ． 10. 【2018 年高考天津卷理数】设椭圆 (a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B．已知椭圆的离心率 为 ，点 A 的坐标为 ，且 ． （1）求椭圆的方程； （2）设直线 l： 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q． 若 (O 为原点)，求 k 的值． 2(1, )2 2(1, )2 − 2 22y x= − + 2 22y x= − 0OMA OMB∠ = ∠ = ° OMA OMB∠ = ∠ ( 1)( 0)y k x k= − ≠ 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B 1 22, 2x x< < 2 1 2 1 2 2MA MB x x y yk k+ = +− − 11 22,y k k xy kx k= − = − 1 2 1 2 1 2( 2 3 ( ) 4 2)( 2)MA MB x x x xk k x x kk k − + ++ = − − ( 1)y k x= − 2 2 12 x y+ = 2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k+ − + − = 2 1 22 1 2 22 4 2 2,2 1 2 1x x xk k k x k −+ = =+ + 3 1 3 1 3 2 2 2 4 4 12 8 42 3 ( ) 4 02 1 k k k k kk k k kx x x x − − + +− + + = =+ 0MA MBk k+ = OMA OMB∠ = ∠ OMA OMB∠ = ∠ 2 2 2 2 1x y a b + = 5 3 ( ,0)b 6 2FB AB⋅ = ( 0)y kx k= > 5 2 sin4 AQ AOQPQ = ∠ 12 / 24 五年高考+命题轨迹 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ， 又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b． 由已知可得， ， ， 由 ，可得 ab=6， 从而 a=3，b=2， 所以椭圆的方程为 ． （2）设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2）． 由已知有 y1>y2>0，故 ． 又因为 ，而∠OAB= ，故 ． 由 ，可得 5y1=9y2． 由方程组 消去 x，可得 ． 易知直线 AB 的方程为 x+y–2=0，由方程组 消去 x，可得 ． 由 5y1=9y2，可得 5（k+1）= ，两边平方，整理得 ，解得 ，或 ． 所以 k 的值为 11. 【2017 年高考全国 I 理数】已知椭圆 C： ，四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆 C 上． 2 2 19 4 x y+ = 1 11 2 28 或 ． 2 2 5 9 c a = FB a= 2AB b= 6 2FB AB⋅ = 2 2 19 4 x y+ = 1 2sinPQ AOQ y y∠ = − 2 sin yAQ OAB = ∠ π 4 22AQ y= 5 2 sin4 AQ AOQPQ = ∠ 2 2 19 4 y kx x y = + = ， ， 1 2 6 9 4 ky k = + 2 0 y kx x y =  + − = ， ， 2 2 1 ky k = + 23 9 4k + 256 50 11 0k k− + = 1 2k = 11 28k = 1 11 2 28 或 ． 2 2 2 2 1( )0x y a b a b+ = > > 3 2 3 2 13 / 24 五年高考+命题轨迹 （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点． 【答案】（1） ；（2）见解析. 【解析】（1）由于 ， 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 ， 两点． 又由 知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上． 因此 ，解得 ， 故 C 的方程为 ． （2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t， 由题设知 ，且 ，可得 A，B 的坐标分别为（t， ），（t， ）． 则 ， 得 ， 不 符 合 题 设 ， 从 而 可 设 l ： （ ）． 将 代 入 得 ， 由 题 设 可 知 ． 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2= ，x1x2= ． 而 ． 由题设 ，故 ， 2 2 14 x y+ = 3P 4P 3P 4P 2 2 2 2 1 1 1 3 4a b a b + > + 2 2 2 1 1 1 3 14 b a b  =  + = 2 2 4 1 a b  = = 2 2 14 x y+ = 0t ≠ | | 2t < 24 2 t− 24 2 t−− 2 2 1 2 4 2 4 2 12 2 t tk k t t − − − ++ = − = − 2t = y kx m= + 1m ≠ y kx m= + 2 2 14 x y+ = 2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = 2 216(4 1) 0k m∆ = − + > 2 8 4 1 km k − + 2 2 4 4 4 1 m k − + 1 2 1 2 1 2 1 1y yk k x x − −+ = + 1 2 1 2 1 1kx m kx m x x + − + −= + 1 2 1 2 1 2 2 ( 1)( )kx x m x x x x + − += 1 2 1k k+ = − 1 2 1 2(2 1) ( 1)( ) 0k x x m x x+ + − + = 14 / 24 五年高考+命题轨迹 即 ，解得 ， 当且仅当 时 ，于是 l： ，即 ， 所以 l 过定点（2， ）． 12. 【2016 高考天津理数】（本小题满分 14 分） 设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右顶点为 ，已知 ，其中 为原点， 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，且 ，求直线的 斜率的取值范围. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 试题解析：（1）解：设 ，由 ，即 ，可得 ， 又 ，所以 ，因此 ，所以椭圆的方程为 . （2）（Ⅱ）解：设直线 的斜率为 （ ），则直线 的方程为 .设 ，由方程组 ，消去 ，整理得 . 解得 ，或 ，由题意得 ，从而 . 由（Ⅰ）知， ，设 ，有 ， .由 ，得 ， 所 以 ， 解 得 . 因 此 直 线 的 方 程 为 13 2 2 2 =+ y a x 3>a F A || 3 || 1 || 1 FA e OAOF =+ O e A l B B x l l M y H HFBF ⊥ MOA MAO∠ ≤ ∠ l 2 2 14 3 x y+ = ),4 6[]4 6,( +∞−−∞  ( ,0)F c 1 1 3 | | | | | | c OF OA FA + = 1 1 3 ( ) c c a a a c + = − 2 2 23a c c− = 2 2 2 3a c b− = = 2 1c = 2 4a = 2 2 14 3 x y+ = l k 0≠k l )2( −= xky ),( BB yxB    −= =+ )2( 134 22 xky yx y 0121616)34( 2222 =−+−+ kxkxk 2=x 34 68 2 2 + −= k kx 34 68 2 2 + −= k kxB 34 12 2 + −= k kyB )0,1(F ),0( HyH ),1( HyFH −= )34 12,34 49( 22 2 ++ −= k k k kBF HFBF ⊥ 0=⋅ HFBF 034 12 34 49 22 2 =+++ − k ky k k H k kyH 12 49 2−= MH 2 2 2 4 4 8(2 1) ( 1) 04 1 4 1 m kmk mk k − −+ ⋅ + − ⋅ =+ + 1 2 mk += − 1m > − 0∆ > 1 2 my x m += − + 11 ( 2)2 my x ++ = − − 1− 15 / 24 五年高考+命题轨迹 . 设 ， 由 方 程 组 消 去 ， 解 得 . 在 中 ， ，即 ，化简得 ，即 ，解 得 或 . 所以，直线 的斜率的取值范围为 . 13. 【2016 高考浙江理数】（本题满分 15 分）如图，设椭圆 （a＞1）. （I）求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长（用 a、k 表示）； （II）若任意以点 A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值 范围. 【答案】（I） ；（II） ． 【解析】：（I）设直线 被椭圆截得的线段为 ，由 得 ， 故 k kxky 12 491 2−+−= ),( MM yxM    −= −+−= )2( 12 491 2 xky k kxky y )1(12 920 2 2 + += k kxM MAO∆ |||| MOMAMAOMOA ≤⇔∠≤∠ 2222)2( MMMM yxyx +≤+− 1≥Mx 1)1(12 920 2 2 ≥+ + k k 4 6−≤k 4 6≥k l ),4 6[]4 6,( +∞−−∞  2 2 2 1x ya + = 2 2 2 2 2 11 a k ka k ⋅ ++ 20 2e< ≤ 1y kx= + ΑΡ 2 2 2 1 1 y kx x ya = + + = ( )2 2 2 21 2 0a k x a kx+ + = 16 / 24 五年高考+命题轨迹 ， ． 因此 ． （II）假设圆与椭圆的公共点有 个，由对称性可设 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ， ，满足 ． 记直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ， ， ． 由（I）知， ， ， 故 ， 所以 ． 由于 ， ， 得 ， 因此 ， ① 因为①式关于 ， 的方程有解的充要条件是 ，所以 ． 因此，任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有 个公共点的充要条件为 ， 由 得，所求离心率的取值范围为 ． 1 0x = 2 2 2 2 2 1 a kx a k = − + 2 2 2 1 2 2 2 21 11 a kk x x ka k ΑΡ = + − = ⋅ ++ 4 y Ρ Q QΑΡ = Α ΑΡ QΑ 1k 2k 1k 2 0k > 1 2k k≠ 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 a k k a k +ΑΡ = + 2 2 2 2 2 2 2 2 1Q 1 a k k a k +Α = + 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 a k k a k k a k a k + +=+ + ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 21 2 0k k k k a a k k − + + + − =  1 2k k≠ 1k 2 0k > ( )2 2 2 2 2 2 1 2 1 21 2 0k k a a k k+ + + − = ( )2 2 2 2 1 2 1 11 1 1 2a ak k   + + = + −      1k 2k ( )2 21 2 1a a+ − > 2a > ( )0,1Α 3 1 2a< ≤ 2 1c ae a a −= = 20 2e< ≤ 17 / 24 五年高考+命题轨迹 考点 3 直线与椭圆的位置关系 年 份 考 向 题型 难度 分值 2020 年高考全国Ⅰ卷理数 20 直线与椭圆的位置关系 解答题 一般 12 分 2019 年高考全国Ⅱ卷理数 求椭圆的标准方程，以及利用直线 与椭圆的位置关系 解答题 一般 12 分 2018 年高考全国Ⅲ卷理数 求椭圆的标准方程，以及利用直线 与椭圆的位置关系 解答题 一般 12 分 2016 高考新课标 2 理数 直线与椭圆的位置关系 解答题 一般 12 分 1. 【2020 年高考上海卷 10】已知椭圆 ，直线 经过椭圆右焦点 ，交椭圆 于 两 点（点 在第二象限），若 关于 轴对称的点为 ，且满足 ，则直线 的方程 为 ． 【答案】 【解析】由条件可知 是等腰直角三角形，所以直线 的倾斜角是 ，所以直线 的斜率是 ， 且 过 点 ， 得 到 直 线 的 方 程 为 ， 即 ． 故 答 案 为 ： ． 2. 【2020 年高考全国Ⅰ卷理数 20】已知 分别为椭圆 的左、右顶点， 为 的 上顶点， ， 为直线 上的动点， 与 的另一交点为 与 的另一交点为 ． （1）求 的方程； （2）证明：直线 过定点． 【答案】（1） ；（2）证明详见解析． 【解析】（1）依据题意作出如下图像： 2 2 : 14 3 x yC + = l F C ,P Q P Q x 'Q 'PQ FQ⊥ l 1y x= − + FQQ′ l 135 l tan135 1= − ( )1,0F l ( )1y x= − − 1y x= − + 1y x= − + ,A B ( )2 2 2: 1 1xE y aa + = > G E 8AG GB⋅ =  P 6x = PA E ,C PB E D E CD 2 2 19 x y+ = 18 / 24 五年高考+命题轨迹 由椭圆方程 可得： ， ， ， ， ， ， ， 椭圆方程为： ． （2）证明：设 ，则直线 的方程为： ，即： ， 联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得： ，解得： 或 ， 将 代入直线 可得： ，∴点 的坐标为 ， 同理可得：点 的坐标为 ， 直线 的方程为： ， 整理可得： ， 整理得： ，故直线 过定点 ． 2 2 2: 1( 1)xE y aa + = > ( ),0A a− ( ),0B a ( )0,1G ∴ ( ),1AG a= ( ), 1GB a= − ∴ 2 1 8AG GB a⋅ = − =  ∴ 2 9a = ∴ 2 2 19 x y+ = ( )06,P y AP ( ) ( )0 0 36 3 yy x −= +− − ( )0 39 yy x= + AP ( ) 2 2 0 19 39 x y yy x  + =  = + ( )2 2 2 2 0 0 09 6 9 81 0y x y x y+ + + − = 3x = − 2 0 2 0 3 27 9 yx y − += + 2 0 2 0 3 27 9 yx y − += + ( )0 39 yy x= + 0 2 0 6 9 yy y = + C 2 0 0 2 2 0 0 3 27 6,9 9 y y y y  − +  + +  D 2 0 0 2 2 0 0 3 3 2,1 1 y y y y  − −  + +  ∴ CD 0 0 2 2 2 0 00 0 2 22 2 0 00 0 2 2 0 0 6 2 9 12 3 3 3 27 3 31 1 9 1 y y y yy yy xy yy y y y  −− + +   − − − = −   − + −+ +   −+ + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 00 0 0 0 2 2 24 2 0 0 00 0 8 32 3 3 8 3 3 1 1 16 9 6 3 y yy y y yy x xy y yy y +    − −+ = − = −   + + +− −    ( ) ( )0 0 0 22 2 00 0 4 2 4 3 3 23 3 3 3 y y yy x xyy y  = + = − −− −   CD 3 ,02      19 / 24 五年高考+命题轨迹 3. 【2020 年高考天津卷 18】已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且 ，其中 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点 满足 ，点 在椭圆上（ 异于椭圆的顶点），直线 与以 为圆心的圆相切 于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ，或 ． 【解析】（Ⅰ） 椭圆 的一个顶点为 ， ， 由 ，得 ，又由 ，得 ，所以椭圆的方程为 ． （Ⅱ） 直线 与以 为圆心的圆相切于点 ，所以 ， 根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在， 设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，即 ， ，消去 ，可得 ，解得 或 ． 将 代入 ，得 ，所以点 的坐标为 ， 因为 为线段 的中点，点 的坐标为 ，所以点 的坐标为 ， 由 ，得点 的坐标为 ，所以直线 的斜率为 ， 又因为 ，所以 ，整理得 ，解得 或 ． 所以，直线 的方程为 或 ． 4. 【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知点 A(−2，0)，B(2，0)，动点 M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > (0, 3)A − F | | | |OA OF= O C 3OC OF=  B B AB C P P AB AB 2 2 118 9 x y+ = 1 32y x= − 3y x= −  ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )0, 3A − ∴ 3b = OA OF= 3c b= = 2 2 2a b c= + 2 2 2 83 13a = + = 2 2 118 9 x y+ =  AB C P CP AB⊥ AB CP AB k AB 3y kx+ = 3y kx= − 2 2 3 118 9 y kx x y = − + = y ( )2 22 1 12 0k x kx+ − = 0x = 2 12 2 1 kx k = + 2 12 2 1 kx k = + 3y kx= − 2 2 2 12 6 3 2 1 2 13 ky k k kk= ⋅ − −=+ + B 2 2 2 12 6 3,2 1 2 1 k k k k  −  + +  P AB A ( )0, 3− P 2 2 6 3,2 1 2 1 k k k −   + +  3OC OF=  C ( )1,0 CP 2 2 2 3 0 32 1 6 2 6 112 1 CP k k k k k k − −+ = − +−+ = CP AB⊥ 2 3 12 6 1k k k ⋅ = −− + 22 3 1 0k k− + = 1 2k = 1k = AB 1 32y x= − 3y x= − 20 / 24 五年高考+命题轨迹 为− .记 M 的轨迹为曲线 C. （1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G. （i）证明： 是直角三角形； （ii）求 面积的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii） . 【解析】（1）由题设得 ，化简得 ，所以 C 为中心在坐标原点， 焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 ． 由 得 ． 记 ，则 ． 于是直线 的斜率为 ，方程为 ． 由 得 ．① 设 ，则 和 是方程①的解，故 ，由此得 ． 从而直线 的斜率为 ． 所以 ，即 是直角三角形． 1 2 PQG△ PQG△ 16 9 1 2 2 2 y y x x ⋅ = −+ − 2 2 1(| | 2)4 2 x y x+ = ≠ ( 0)y kx k= > 2 2 14 2 y kx x y = + = 2 2 1 2 x k = ± + 2 2 1 2 u k = + ( , ), ( , ), ( ,0)P u uk Q u uk E u− − QG 2 k ( )2 ky x u= − 2 2 ( ),2 14 2 ky x u x y  = −  + = 2 2 22 2(2 ) 2 8 0k x uk x k u+ − + − = ( , )G GG x y u− Gx 2 2 (3 2) 2G u kx k += + 3 22G uky k = + PG 3 2 2 2 12 (3 2) 2 uk ukk u k kuk −+ = −+ −+ PQ PG⊥ PQG△ 21 / 24 五年高考+命题轨迹 （ii）由（i）得 ， ，所以△PQG 的面积 ． 设 t=k+ ，则由 k>0 得 t≥2，当且仅当 k=1 时取等号． 因为 在[2，+∞）单调递减，所以当 t=2，即 k=1 时，S 取得最大值，最大值为 ． 因此，△PQG 面积的最大值为 ． 5. 【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的 中点为 ． （1）证明： ； （2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ．证明： ， ， 成等差数列， 并求该数列的公差． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1）设 ，则 ． 两式相减，并由 得 ． 由题设知 ，于是 ． 由题设得 ，故 ． （2）由题意得 ，设 ，则 ． 由（1）及题设得 ． 又点 P 在 C 上，所以 ，从而 ， ． 于是 ，同理 ， 2| | 2 1PQ u k= + 2 2 2 1| | 2 uk kPG k += + 2 2 2 2 18( )1 8 (1 )| | 12 (1 2 )(2 ) 1 2( ) kk k kS PQ PG k k kk ++= = =+ + + + ‖ 1 k 2 8 1 2 tS t = + 16 9 16 9 k l 2 2 14 3 x yC + =： A B AB ( )( )1 0M m m >， 1 2k < − F C P C FP FA FB+ + = 0   FA FP FB 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B 2 2 2 2 1 21 21, 14 3 4 3 y x yx + = + = 1 2 2 1y x y kx − =− 11 2 2 04 3 yx y kx+ ++ ⋅ = 1 2 1 21,2 2 x yx y m + += = 3 4k m = − 30 2m< < 1 2k < − (1,0)F 3 3( , )P x y 3 3 1 1 2 2( 1, ) ( 1, ) ( 1, ) (0,0)y x x yx y− + − + − = 3 32 1 213 ( ) 1, ( ) 2 0y yx x yx m= − + = = − + = − < 3 4m = 3(1, )2P − 3| | 2FP = 2 2 2 2 1 1 1 1 1| | ( 1) ( 1) 3(1 ) 24 2 x xFA x xy= − + = − + − = − 2| | 2 2 xFB = − 22 / 24 五年高考+命题轨迹 所以 ，故 ，即 成等差数列． 设该数列的公差为 d，则 ．① 将 代入 得 ，所以 l 的方程为 ， 代入 C 的方程，并整理得 ，故 ， 代入①解得 ，所以该数列的公差为 或 ． 6. 【2016 高考新课标 2 理数】已知椭圆 的焦点在 轴上， 是 的左顶点，斜率为 的直线交 于 两点，点 在 上， ． （Ⅰ）当 时，求 的面积； （Ⅱ）当 时，求 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】：（I）设 ，则由题意知 ，当 时， 的方程为 ， . 由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 .因此直线 的方程为 . 将 代入 得 .解得 或 ，所以 . 因此 的面积 . （II）由题意 ， ， . 将直线 的方程 代入 得 . 由 得 ，故 . 由题设，直线 的方程为 ，故同理可得 ， :E 2 2 13 x y t + = x A E ( 0)k k > E ,A M N E MA NA⊥ 4,| | | |t AM AN= = AMN∆ 2 AM AN= k 144 49 ( )3 2,2 ( )1 1,M x y 1 0y > 4t = E 2 2 14 3 x y+ = ( )2,0A − AM 4 π AM 2y x= + 2x y= − 2 2 14 3 x y+ = 27 12 0y y− = 0y = 12 7y = 1 12 7y = AMN∆ 1 12 12 1442 2 7 7 49 = × × × = 3t > 0k > ( ),0A t− AM ( )y k x t= + 2 2 13 x y t + = ( )2 2 2 2 23 2 3 0tk x ttk x t k t+ + + − = ( ) 2 2 1 23 t kx t tk ⋅ − = + ( )2 1 2 3 3 t tk x tk − = + ( )2 2 1 2 6 2 1 3 t k AM x t k tk + = + + = + AN ( )1y x tk = − + ( )2 2 6 1 3 k t k AN k t + == + 1 2 1| | | | 4 ( ) 32FA FB x x+ = − + =  2 | | | | | |FP FA FB= +   | |,| |,| |FA FP FB   1 1 2 2 2 1 2 1 12 | | || | | || | | ( ) 42 2FB FA x x x x x xd = − = − = + −  3 4m = 3 4k m = − 1k = − 7 4y x= − + 2 17 14 04x x− + = 1 2 1 2 12, 28x x x x+ = = 3 21| | 28d = 3 21 28 3 21 28 − 23 / 24 五年高考+命题轨迹 由 得 ，即 . 当 时上式不成立， 因此 . 等价于 ， 即 .由此得 ，或 ，解得 . 因此 的取值范围是 . 7. 【2016 年高考北京理数】（本小题 14 分） 已知椭圆 C： （ ）的离心率为 ， ， ， ， 的面 积为 1. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 的椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 M，直线 PB 与 轴交于点 N. 求证： 为定值. 【答案】（1） ；（2）详见解析. 【解析】：（1）由题意得 解得 . 所以椭圆 的方程为 . （2）由（Ⅰ）知， ， 设 ，则 . 当 时，直线 的方程为 . 2 AM AN= 2 2 2 3 3 k tk k t =+ + ( ) ( )3 2 3 2 1k t k k− = − 3 2k = ( ) 3 3 2 1 2 k kt k −= − 3t > ( )( )23 2 3 3 2 13 2 02 2 k kk k k k k − +− + − = 3 2 ( ,0)A a (0, )B b (0,0)O OAB∆ P C PA y x BMAN ⋅ 2 2 14 x y+ =         += = = , ,12 1 ,2 3 222 cba ab a c 1,2 == ba C 14 2 2 =+ yx )1,0(),0,2( BA ),( 00 yxP 44 2 0 2 0 =+ yx 00 ≠x PA )2(20 0 −−= xx yy 24 / 24 五年高考+命题轨迹 令 ，得 .从而 . 直线 的方程为 . 令 ，得 .从而 . 所以 . 当 时， ， 所以 . 综上， 为定值. 0=x 2 2 0 0 −−= x yyM 2 211 0 0 −+=−= x yyBM M PB 11 0 0 +−= xx yy 0=y 10 0 −−= y xxN 122 0 0 −+=−= y xxAN N 2 2112 0 0 0 0 −+⋅−+=⋅ x y y xBMAN 22 8844 22 48444 0000 0000 0000 0000 2 0 2 0 +−− +−−=+−− +−−++= yxyx yxyx yxyx yxyxyx 4= 00 =x 10 −=y ,2,2 == ANBM 4=⋅ BMAN BMAN ⋅