2016-2020年高考数学（理）真题命题轨迹专题34 双曲线（解析版）

五年高考+命题轨迹 第九章 解析几何 专题 34 双曲线 考点 1 双曲线的定义与标准方程 年 份 考 向 题型 难度 分值 2020 年高考全国Ⅱ卷理数 8 双曲线的定义、标准方程及其几何 性质 选择题 简单 5 分 2020 年高考全国Ⅲ卷理数 11 双曲线焦点三角形的计算 选择题 简单 5 分 2020 年高考全国Ⅰ卷理数 15 双曲线的离心率 填空题 简单 5 分 2019 年高考全国Ⅱ卷理数 双曲线的离心率 选择题 简单 5 分 1. 【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 8】设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两 条渐近线分别交于 两点，若 的面积为 8，则 的焦距的最小值为 （ ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解析】∵ ， 双曲线的渐近线方程是 ， 直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点， 不妨设 为在第一象限， 在第四象限，联立 ，解得 ，故 ， 联立 ，解得 ，故 ， ， 面积为： ． 双曲线 ， 其焦距为 ，当且仅当 取等号， 的焦距的最小值： ，故选 B． O ax = ( )2 2 2 2: 1 0 , 0x yC a ba b − = > > ,D E ODE C 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ∴ by xa = ±  x a= 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > D E D E x a by xa = = x a y b =  = ( , )D a b x a by xa = = − x a y b =  = − ( , )E a b− ∴| | 2ED b= ∴ ODE∆ 1 2 82ODES a b ab= × = =△  2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ∴ 2 22 2 2 2 2 16 8c a b ab= + ≥ = = 2 2a b= = ∴ C 8 五年高考+命题轨迹 2. 【2020 年高考全国Ⅲ卷理数 11】已知双曲线 的左、右焦点 ，离心 率为 ． 是 上的一点，且 ．若 的面积为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一： ， ，根据双曲线的定义可得 ， ，即 ， ， ， ， 即 ， 解得 ，故选 A． 解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为 ．∴ =4，则 ， 又∵ ，∴ ． 解 法 三 ： 设 ， 则 ， ， ， 求 的 ． 3. 【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设 F 为双曲线 C： 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆与圆 交于 P，Q 两点．若 ，则 C 的离心率为 A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设 与 轴交于点 ，由对称性可知 轴， 又 ， 为以 为直径的圆的半径， ∴ ， ， ( )2 2 2 2: 1 0 , 0x yC a ba b − = > > 1 2,F F 5 P C PFPF 21 ⊥ 21FPF∆ 4 =a 1 2 4 8 5c a = 5c a∴ = 1 2 2PF PF a− = 1 2 1 2 1 | | 42PF F PF FS P= ⋅ =△ 1 2| | 8PF PF⋅ = 1 2F P F P⊥ ( )2 22 1 2| | 2PF PF c∴ + = ( )2 2 1 2 1 22 4PF PF PF PF c∴ − + ⋅ = 2 25 4 0a a− + = 1a = 2tan 2 21 θ bS FPF = °45tan 2b 2=b 5== a ce 1=a nPFmPF == 21 , 421 == mnS FPF anm 2=− 5,4 222 ===+ a cecnm 1=a 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > O OF 2 2 2x y a+ = PQ OF= 2 3 5 PQ x A PQ x⊥ | |PQ OF c= = | | ,2 cPA PA∴ = ∴ OF | | 2 cOA = ,2 2 c cP ∴    五年高考+命题轨迹 又 点在圆 上， ，即 ． ，故选 A． 4. 【2019 年高考浙江卷】渐近线方程为 x±y=0 的双曲线的离心率是 A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，则 ，所以双曲线的离心 率 .故选 C. 5. 【2017 年高考天津卷理数】已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 ．若经过 和 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得 ， P 2 2 2x y a+ = 2 2 2 4 4 c c a∴ + = 2 2 2 2 2, 22 c ca e a = ∴ = = 2e∴ = 2 2 2 0x y± = a b= 2 2 2c a b a= + = 2ce a = = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F 2 F (0,4)P 2 2 14 4 x y− = 2 2 18 8 x y− = 2 2 14 8 x y− = 2 2 18 4 x y− = 2 24 0, 1 4, 2 2 10 ( ) 8 8 x ya b c a bc −= = ⇒ = = = ⇒ − =− − 五年高考+命题轨迹 故选 B． 6. 【2018 年高考天津卷理数】已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴 的直线与双曲线交于 A，B 两点. 设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ， 则双曲线的方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的右焦点坐标为 （c>0），则 ， 由 可得： ， 不妨设： ， 双曲线的一条渐近线方程为： ， 据此可得： ， ， 则 ，则 ， 双曲线的离心率： ， 据此可得： ，则双曲线的方程为 . 本题选择 C 选项. 7. 【2020 年高考全国Ⅰ卷理数 15】已知 为双曲线 的右焦点， 为 的右顶点， 为 上的点，且 垂直于 轴．若 的斜率为 ，则 的离心率为 ． 【答案】2 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1d 2d 1 2 6d d+ = 2 2 14 12 x y− = 2 2 112 4 x y− = 2 2 13 9 x y− = 2 2 19 3 x y− = ( ),0F c A Bx x c= = 2 2 2 2 1c y a b − = 2by a = ± 2 2 , , ,b bA c B ca a    −       0bx ay− = 2 2 1 2 2 bc b bc bd ca b − −= = + 2 2 2 2 2 bc b bc bd ca b + += = + 1 2 2 2 6bcd d bc + = = = 23, 9b b= = 2 2 2 91 1 2c be a a a = = + = + = 2 3a = 2 2 13 9 x y− = F ( )2 2 2 2: 1 0 , 0x yC a ba b − = > > A C B C BF x AB 3 C 五年高考+命题轨迹 【解析】依题可得， ，而 ， ，即 ，变形得 ， 化简可得， ，解得 或 （舍去）．故答案为： ． 8. 【2020 年高考北京卷 12】已知双曲线 ，则 的右焦点的坐标为________； 的焦点到其 渐近线的距离是__________． 【答案】 ， 【解析】∵双曲线 ，∴ ， ， ，∴ ，∴右焦点坐标为 ，∵双曲线中焦点到渐近线距离为 ，∴ ． 考点 2 双曲线的几何性质 年 份 考 向 题型 难度 分值 2019 年高考全国Ⅲ卷理数 以双曲线为载体求三角形面积 选择题 简单 5 分 2018 年高考全国Ⅱ理数 离心率、渐近线方程 选择题 简单 5 分 2017 年高考全国Ⅱ理数 离心率 选择题 简单 5 分 2017 年高考全国 III 理数 离心率、渐近线方程 选择题 简单 5 分 2018 年高考全国 III 理数 离心率、渐近线方程 选择题 简单 5 分 2018 年高考全国 I 理数 渐近线方程 选择题 简单 5 分 2019 年高考全国Ⅰ卷理数 双曲线的渐近线和离心率 填空题 一般 5 分 2017 年高考全国 I 理数 双曲线的渐近线 填空题 一般 5 分 2016 高考新课标 1 卷 双曲线的性质 选择题 简单 5 分 2016 高考新课标 2 理数 双曲线的性质.离心率 选择题 简单 5 分 3BF AF = 2bBF a = AF c a= − 2 3 b a c a =− 2 2 23 3c a ac a− = − 2 3 2 0e e− + = 2e = 1e = 2 2 2 : 16 3 x yC − = C C (3,0) 3 2 2 16 3 x y− = 2 6a = 2 3b = 2 2 2 6 3 9c a b= + = + = 3c = (3,0) b 3b = 五年高考+命题轨迹 1. 【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线 C： =1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐 标原点，若 ，则△PFO 的面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ， 又 P 在 C 的一条渐近线上，不妨设为在 上，则 ， ，故选 A． 2. 【2018 年高考全国Ⅱ理数】双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，所以 ， 因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，故选 A． 3. 【2018 年高考全国 III 理数】设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是坐标 原点．过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为 A． B． C． D． 2 2 4 2 x y− =PO PF 3 2 4 3 2 2 2 2 3 2 2 22 , 2 , 6 ,a b c a b= = = + = 6, 2PPO PF x= ∴ = by xa = 2 6 3 2 2 2P P by xa = ⋅ = × = 1 1 3 3 262 2 2 4PFO PS OF y∴ = ⋅ = × × =△ 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3 2y x= ± 3y x= ± 2 2y x= ± 3 2y x= ± 3ce a = = 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2b c a ea a −= = − = − = 2b a = by xa = ± 2y x= ± 1F 2F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > O 2F C P 1| 6 || |PF OP= C 5 2 3 2 五年高考+命题轨迹 【答案】C 【解析】由题可知 ， ， ， 在 中， ， 在 中， ， ，即 ， ，故选 C． 4. 【2018 年高考全国 I 理数】已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线 与 的两条渐近线的交点分别为 ， ．若 为直角三角形，则 A． B．3 C． D．4 【答案】B 【解析】由题可知双曲线 的渐近线的斜率为 ，且右焦点为 ，从而可得 ，所以 直线 的倾斜角为 或 ，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ，可以得出直线 的方程为 ，分别与两条渐近线 和 联立，求得 ， ，所以 ，故选 B． 5. 【 2017 年 高 考 全 国 Ⅱ 理 数 】 若 双 曲 线 （ ， ） 的 一 条 渐 近 线 被 圆 所截得的弦长为 2，则 的离心率为 A．2 B． 2PF b= 2OF c= PO a∴ = 2Rt POF△ 2 2 2 cos PF bPF O OF c ∠ = =  1 2Rt PF F△ 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 cos 2 PF F F PF bPF O PF F F c ∠ + −= = 2 2 24 ( 6 ) 2 2 b c a b b c c + −∴ =⋅ 2 23c a= 3e∴ = 2 2: 13 xC y− = O F C F C M N OMN△ | |MN = 3 2 2 3 C 3 3 ± (2,0)F 30FON∠ = ° MN 60° 120° 60° MN 3( 2)y x= − 3 3y x= 3 3y x= − (3, 3)M 3 3( , )2 2N − 2 23 3| | (3 ) ( 3 ) 32 2MN = − + + = :C 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > ( )2 22 4x y− + = C 3 五年高考+命题轨迹 C． D． 【答案】A 【解析】由几何关系可得，双曲线 的渐近线方程为 ， 圆心 到渐近线的距离为 ， 则点 到直线 的距离为 ，即 ， 整理可得 ，则双曲线的离心率 ． 故选 A． 6. 【2017 年高考全国 III 理数】已知双曲线 C： (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 ， 且与椭圆 有公共焦点，则 C 的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线 C： (a＞0，b＞0)的渐近线方程为 ， 在椭圆中： ， ，故双曲线 C 的焦点坐标为 ， 据此可得双曲线中的方程组： ，解得 ， 则双曲线 的方程为 ．故选 B． 2 2 3 3 ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 0bx ay± = ( )2,0 2 22 1 3d = − = ( )2,0 0bx ay+ = 2 2 2 0 2 3b a bd ca b + ×= = = + 2 2 2 4( ) 3c a c − = 2 24c a= 2 2 4 2ce a = = = 2 2 2 2 1x y a b − = 5 2y x= 2 2 112 3 x y+ = 2 2 18 10 x y− = 2 2 14 5 x y− = 2 2 15 4 x y− = 2 2 14 3 x y− = 2 2 2 2 1x y a b − = by xa = ± 2 212, 3a b= = 2 2 2 9, 3c a b c∴ = − = = ( 3,0)± 2 2 25 , 3,2 b c c a ba = = = + 2 24, 5a b= = C 2 14 5 x y2 − = 五年高考+命题轨迹 7. 【2016 高考新课标 1 卷】已知方程 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】： 表示双曲线,则 ∴ ,由双曲线性质知： ,其中 是半焦距 ∴焦距 ,解得 ,∴ ,故选 A． 8. 【2016 高考新课标 2 理数】已知 是双曲线 的左，右焦点，点 在 上， 与 轴垂直， ,则 的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D）2 【答案】A 【 解 析 】 ： 因 为 垂 直 于 轴 ， 所 以 ， 因 为 ， 即 ，化简得 ，故双曲线离心率 .选 A. 9. 【2016 高考天津理数】已知双曲线 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长 的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A、B、C、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 2 2 2 2 13 x y m n m n − =+ − ( )1,3− ( )1, 3− ( )0,3 ( )0, 3 2 2 2 2 13 x y m n m n − =+ − ( )( )2 23 0m n m n+ − > 2 23m n m− < < ( ) ( )2 2 2 23 4c m n m n m= + + − = c 2 2 2 4c m= ⋅ = 1m = 1 3n− < < 1 2,F F 2 2 2 2: 1x yE a b − = M E 1MF x 2 1 1sin 3MF F∠ = E 2 3 2 3 1MF x 2 2 1 2, 2b bMF MF aa a = = + 2 1 1sin 3MF F∠ = 2 1 2 2 1 32 b MF a bMF a a = = + b a= 1 2be a = + = 2 2 2 4 =1x y b − 22 44 3 =1yx − 22 34 4 =1yx − 2 2 2 4 =1x y b − 22 24 =11 x y− 五年高考+命题轨迹 【解析】：根据对称性，不妨设 A 在第一象限， ，∴ ， ∴ ，故双曲线的方程为 ，故选 D. 10. 【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2， 过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若 ， ，则 C 的离心率为 ____________． 【答案】2 【解析】如图， 由 得 又 得 OA 是三角形 的中位线，即 由 ，得 ∴ ， ， 又 OA 与 OB 都是渐近线，∴ 又 ，∴ 又渐近线 OB 的斜率为 ，∴该双曲线的离心率为 ． 11. 【2017 年高考北京卷理数】若双曲线 的离心率为 ，则实数 m=_______________． 【答案】2 【解析】 ，所以 ，解得 ． ( , )A x y 2 2 2 2 4 4 4 4 2 24 xx y b b by x y b  = + =  + ⇒ =  = ⋅  + 2 2 16 124 2 2 b bxy bb = ⋅ = ⇒ =+ 2 2 14 12 x y− = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F A AB=  1 2 0F B F B⋅ =  1 ,F A AB=  1 .F A AB= 1 2 ,OF OF= 1 2F F B 2 2, 2 .BF OA BF OA=∥ 1 2 0F B F B⋅ =  1 2 1, ,F B F B OA F A⊥ ∴ ⊥ 1OB OF= 1AOB AOF∠ = ∠ 2 1,BOF AOF∠ = ∠ 2 1 πBOF AOB AOF∠ + ∠ + ∠ = 2 1 60 ,BOF AOF BOA∠ = ∠ = ∠ =  tan 60 3b a = ° = 2 21 ( ) 1 ( 3) 2c be a a = = + = + = 2 2 1yx m − = 3 2 21,a b m= = 1 31 c m a += = 2m = 五年高考+命题轨迹 12. 【2017 年高考全国 I 理数】已知双曲线 C： 的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为 半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ，N 两点．若∠MAN=60° ，则 C 的离心率为 _______________． 【答案】 【解析】如图所示，作 ， 因为圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点， 则 为双曲线的渐近线 上的点，且 ， ， 而 ，所以 ， 点 到直线 的距离 ， 在 中， ，代入计算得 ，即 ， 由 得 ，所以 ． 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 3 3 AP MN⊥ MN by xa = ( ,0)A a | | | |AM AN b= = AP MN⊥ 30PAN∠ =  ( ,0)A a by xa = 2 2 | || | 1 bAP b a = + Rt PAN△ | |cos | | PAPAN NA ∠ = 2 23a b= 3a b= 2 2 2c a b= + 2c b= 2 2 3 33 c be a b = = =