2016-2020年高考数学（理）真题命题轨迹专题36 圆锥曲线的综合应用（解析版）

1 / 11 五年高考+命题轨迹 第九章 解析几何 专题 36 圆锥曲线的综合应用 考点 1 轨迹与轨迹方程 年 份 考 向 题型 难度 分值 2020 年高考天津卷 7 双曲线、抛物线标准方程及其几何 性质 选择题 简单 5 分 2019 年高考全国Ⅱ卷理数 抛物线与椭圆的几何性质 选择题 简单 5 分 1. 【2020 年高考天津卷 7】设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ， 又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ． 故选 ． 2. 【2020 年高考山东卷 9】已知曲线 （ ） A．若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上 B．若 ，则 是圆，其半径为 C．若 ，则 是双曲线，其渐进线方程为 D．若 ， ，则 是两条直线 【答案】ACD 【解析】对于 A，若 ，则 可化为 ， C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 4y x= (0, )b l C l l C 2 2 14 4 x y− = 2 2 14 yx − = 2 2 14 x y− = 2 2 1x y− = ( )1,0 l 1yx b + = b− by xa = ± bb a − = − 1bb a − × = − 0, 0a b> > 1, 1a b= = D 2 2: 1C mx ny+ = 0m n> > C y 0m n= > C n 0mn < C my xn = ± − 0m = 0n > C 0m n> > 2 2 1mx ny+ = 2 2 11 1 x y m n + = 2 / 11 五年高考+命题轨迹 因为 ，所以 ，即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 A 正确； 对于 B，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的 圆，故 B 不正确； 对于 C，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示双曲线， 由 可得 ，故 C 正确； 对于 D，若 ，则 可化为 ， ，此时曲线 表示平行于 轴的两条 直线，故 D 正确．故选：ACD． 3. 【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p= A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解析】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以 ， 解得 ，故选 D． 4. 【 2019 年 高 考 天 津 卷 理 数 】 已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 ， 准 线 为 ， 若 与 双 曲 线 的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线 的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 0m n> > 1 1 m n < C y 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 2 1x y n + = C n n 0mn < 2 2 1mx ny+ = 2 2 11 1 x y m n + = C 2 2 0mx ny+ = my xn = ± − 0, 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 1y n = ny n = ± C x 2 2 3 1x y p p + = 2 2 ( 0)y px p= > ( ,0)2 p 2 2 3 1x y p p + = 23 ( )2 pp p− = 8p = 2 4y x= F l l 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > A B | | 4 | |AB OF= O 2 3 2 5 3 / 11 五年高考+命题轨迹 【解析】抛物线 的准线 的方程为 ， 双曲线的渐近线方程为 ， 则有 ， ∴ ， ， ， ∴ . 故选 D. 5. 【2018 年高考北京卷理数】已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线 的两条渐近线与椭圆 的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 的离心率为 ________________；双曲线 的离心率为________________． 【答案】 【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，所 以椭圆 的离心率为 ．双曲线 的渐近线方程为 ，由题意得双曲线 的 一条渐近线的倾斜角为 ，所以 ，所以 ，所以 ． 6. 【2017 年高考天津卷理数】设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 ．已 知 是抛物线 的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 ． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程； （2）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ），直线 与 轴相交 于点 ．若 的面积为 ，求直线 的方程． 【 答 案 】（ 1 ） 椭 圆 的 方 程 为 ， 抛 物 线 的 方 程 为 ； （ 2 ） 或 2 4y x= l 1x = − by xa = ± ( 1, ), ( 1, )b bA Ba a − − − 2bAB a = 2 4b a = 2b a= 2 2 5c a be a a += = = 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b + = > > 2 2 2 2: 1x yN m n − = N M M M N 3 1− 2 3c c+ 3 2c c a+ = M 2 3 1 1 3 c a = = − + N ny xm = ± N π 3 2 2 2 πtan 33 n m = = 2 2 2 2 2 2 2 3 4m n m me m m + += = = 2e = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F A 1 2 A 2 2 ( 0)y px p= > F l 1 2 l P Q x AP B B A BQ x D APD△ 6 2 AP 2 2 4 13 yx + = 2 4y x= 3 6 3 0x y+ − = 4 / 11 五年高考+命题轨迹 ． 【解析】（1）设 的坐标为 ． 依题意， ， ， ，解得 ， ， ，于是 ． 所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 ． （2）设直线 的方程为 ， 与直线 的方程 联立，可得点 ，故 ． 将 与 联立，消去 ，整理得 ， 解得 或 ． 由点 异于点 ，可得点 ． 由 ，可得直线 的方程为 ， 令 ，解得 ，故 ，所以 ． 又因为 的面积为 ，故 ， 整理得 ，解得 ，所以 ． 所以，直线 的方程为 或 ． 考点 2 圆锥曲线中的范围、最值问题 年 份 考 向 题型 难度 分值 2016 高考新课标 1 卷 圆锥曲线中的范围 解答题 一般 12 分 1. 【2016 高考浙江理数】已知椭圆 C1： +y2=1(m>1)与双曲线 C2： –y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2 分 2 2 x m 2 2 x n 3 6 3 0x y− − = F ( ,0)c− 1 2 c a = 2 p a= 1 2a c− = 1a = 1 2c = 2p = 2 2 2 3 4b a c= − = 2 2 4 13 yx + = 2 4y x= AP 1( 0)x my m= + ≠ l 1x = − 2( 1, )P m − − 2( 1, )Q m − 1x my= + 2 2 4 13 yx + = x 2 2(3 4) 6 0m y my+ + = 0y = 2 6 3 4 my m −= + B A 2 2 2 3 4 6( , )3 4 3 4 m mB m m − + − + + 2( 1, )Q m − BQ 2 2 2 6 2 3 4 2( )( 1) ( 1)( ) 03 4 3 4 m mx ym m m m − − +− + − + − =+ + 0y = 2 2 2 3 3 2 mx m −= + 2 2 2 3( ,0)3 2 mD m − + 2 2 2 2 2 3 6| | 1 3 2 3 2 m mAD m m −= − =+ + APD△ 6 2 2 2 1 6 2 6 2 3 2 | | 2 m m m × × =+ 23 2 6 | | 2 0m m− + = 6| | 3m = 6 3m = ± AP 3 6 3 0x y+ − = 3 6 3 0x y− − = 5 / 11 五年高考+命题轨迹 别为 C1，C2 的离心率，则（ ） A．m>n 且 e1e2>1 B．m>n 且 e1e2 1C 2C 1C 2C 1 16 =p 2C 1( ,0)32 10 40 1 16 =p 2C 2 1 8y x= 2C 1( ,0)32 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0 0, , , , , , :A x y B x y M mlx y x yλ= + ( )2 2 2 2 22 2 2 2 2 0x y y my m x y m λ λ λ  + = ⇒ + + + − = = + 1 2 0 0 02 2 2 2 2, ,2 2 2 m m my y y x y m λ λ λλ λ λ − −∴ + = = = + =+ + + ( ) 2 2 2 2 2 22 4 42 22 m pm m p λ λ λ λλ = ⇒ =+ ++ 6 / 11 五年高考+命题轨迹 由 即 ∴ ， ， ， ∴ 的最大值为 ，此时 ． 3. 【2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 12 分）设圆 的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0） 且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. （I）证明 为定值,并写出点 E 的轨迹方程； （II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边 形 MPNQ 面积的取值范围. 【答案】（Ⅰ） （ ）（II） 【解析】：（Ⅰ）因为 , ,故 , 所以 ,故 . 又圆 的标准方程为 ,从而 ,所以 . 由题设得 , , ,由椭圆定义可得点 的轨迹方程为： 2 2 2 15 0x y x+ + − = EA EB+ 134 22 =+ yx 0≠y )38,12[ |||| ACAD = ACEB// ADCACDEBD ∠=∠=∠ |||| EDEB = |||||||||| ADEDEAEBEA =+=+ A 16)1( 22 =++ yx 4|| =AD 4|||| =+ EBEA )0,1(−A )0,1(B 2|| =AB E 2 2 22 2 ( ) 2 2 0y px y p y m y p y pm x y m λ λ λ  = ⇒ = + ⇒ − − = = + 1 2 1 0 1 0 2 1 2 0 2 2 2 22 2 2 y y p x x y m y m p m mx p m λ λ λ λ λ λ ∴ + = ∴ + = + + + = + ∴ = + − + 2 2 2 2 1{ 4 2,2 2 x y x px y px + = ⇒ + = = 2 4 2 0x px+ − = 2 2 1 4 16 8 2 4 22 p px p p − + +⇒ = = − + + 2 2 2 2 2 2 1 82 4 2 2 2 2 8 162 pp p p m p p p λλ λλ λ +⇒ − + + = + ⋅ = + + ≥+ 24 2 18p p+ ≥ 2 1 160p ≤ 10 40p ≤ p 10 40 2 10 5( , )5 5A 7 / 11 五年高考+命题轨迹 （ ）. （Ⅱ）当 与 轴不垂直时,设 的方程为 , , . 由 得 . 则 , . 所以 . 过点 且与 垂直的直线 ： , 到 的距离为 ,所以 .故四边形 的面积 . 可得当 与 轴不垂直时,四边形 面积的取值范围为 . 当 与 轴垂直时,其方程为 , , ,四边形 的面积为 12. 综上,四边形 面积的取值范围为 . 考点 3 圆锥曲线中的定值、定点、存在性等综合问题 年 份 考 向 题型 难度 分值 2020 年高考全国Ⅱ卷理数 19 直线与椭圆、抛物线位置关系 解答题 一般 12 分 2019 年高考全国Ⅲ卷理数 圆锥曲线中的定点问题，求面积 解答题 一般 12 分 1. 【2019 年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： 就是 其中之一（如图）．给出下列三个结论： 134 22 =+ yx 0≠y l x l )0)(1( ≠−= kxky ),( 11 yxM ),( 22 yxN    =+ −= 134 )1( 22 yx xky 01248)34( 2222 =−+−+ kxkxk 34 8 2 2 21 +=+ k kxx 34 124 2 2 21 + −= k kxx 34 )1(12||1|| 2 2 21 2 + +=−+= k kMN )0,1(B l m )1(1 −−= xky A m 1 2 2 +k 1 344) 1 2(42|| 2 2 2 2 2 + += + −= k k k PQ MPNQ 34 1112||||2 1 2 ++== kPQMNS l x MPNQ )38,12[ l x 1=x 3|| =MN 8|| =PQ MPNQ MPNQ )38,12[ 2 2 1 | |x y x y+ = + 8 / 11 五年高考+命题轨迹 ①曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 ； ③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3． 其中，所有正确结论的序号是 A．① B．② C．①② D．①②③ 【答案】C 【解析】由 得， ， ， 所以 可取的整数有 0，−1，1，从而曲线 恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共 6 个整点，结论①正确. 由 得， ，解得 ，所以曲线 上任意一点到原点的距离都 不超过 . 结论②正确. 如图所示，易知 ， 四边形 的面积 ，很明显“心形”区域的面积大于 ，即“心形” 区域的面积大于 3，说法③错误. 2 2 2 1x y x y+ = + 2 21y x y x− = − 2 2 2 2| | 3 3 41 ,1 0,2 4 4 3 x x xy x − = − −     x 2 2: 1C x y x y+ = + 2 2 1x y x y+ = + 2 2 2 2 1 2 x yx y ++ + 2 2 2x y+ ≤ C 2 ( ) ( ) ( ) ( )0, 1 , 1,0 , 1,1, , 0,1A B C D− ABCD 1 31 1 1 12 2ABCDS = × × + × =四边形 2 ABCDS四边形 9 / 11 五年高考+命题轨迹 故选 C. 2. 【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 19】已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合， 的中心与 的顶点重合．过 且与 轴垂直的直线交 于 两点，交 于 两点，且 ． （1）求 的离心率； （2）设 是 与 的公共点，若 ，求 与 的标准方程． 【答案】（1） ；（2） ， ． 【解析】 （1） ， 轴且与椭圆 相交于 、 两点， 则直线 的方程为 ， 联立 ，解得 ，则 ， 抛物线 的方程为 ，联立 ， 解得 ， ， ，即 ， ， 即 ，即 ， 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > F 2C 1C 2C F x 1C ,A B 2C ,C D 4 3CD AB= 1C M 1C 2C 5=MF 1C 2C 1 2 2 2 1 : 136 27 x yC + = 2 2 : 12C y x= ( ),0F c AB x⊥ 1C A B AB x c= 2 2 2 2 2 2 2 1 x c x y a b a b c =  + =  = + 2 x c by a = = ± 22bAB a = 2C 2 4y cx= 2 4 x c y cx =  = 2 x c y c =  = ± 4CD c∴ = 4 3CD AB= 284 3 bc a = 22 3b ac= 2 22 3 2 0c ac a+ − = 22 3 2 0e e+ − = 10 / 11 五年高考+命题轨迹 ，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ； （2）由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ， 联立 ，消去 并整理得 ，解得 或 （舍去）， 由抛物线的定义可得 ，解得 ． 因此曲线 的标准方程为 ，曲线 的标准方程为 ． 3. 【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线 C：y= ，D 为直线 y= 上的动点，过 D 作 C 的两条切线， 切点分别为 A，B. （1）证明：直线 AB 过定点： （2）若以 E(0， )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积. 【答案】（1）见详解；（2）3 或 . 【解析】（1）设 ，则 . 由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 . 整理得 设 ，同理可得 . 故直线AB的方程为 . 所以直线AB过定点 . （2）由（1）得直线AB的方程为 . 0 1e<