2016-2020年高考数学（文）真题命题轨迹专题24 不等关系与基本不等式（解析版）

五年高考+命题轨迹            第七章 不等式、推理与证明 专题 24 不等关系与基本不等式 考点 1 不等式的性质以及解法 1. 【 2017 年 高 考 天 津 卷 文 数 】 已 知 奇 函 数 在 上 是 增 函 数 ． 若 ，则 ， ， 的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得 ，且 ， ，所以 ， 考点 2 基本不等式 1. 【2019 年高考浙江卷】若 ，则“ ”是 “ ”的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 时， 当且仅当 时取等号，则当 时，有 ， 解得 ，充分性成立； 当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述，“ ”是“ ”的充 分不必要条件. 2. 【2019 年高考天津卷文数】设 ，则 的最小值为__________. 【答案】 【解析】 . 因为 ， a b c ( )f x R 0.8 2 2 1(log ), (log 4.1), (2 )5a f b f c f= − = = a b c< < b a c< < c b a< < c a b< < 2 2 1( log ) (log 5)5a f f= − = 2 2log 5 log 4.1 2> > 0.81 2 2< < 0.8 2 2log 5 log 4.1 2> > 0, 0a b> > 4a b+ ≤ 4ab ≤ 0, 0a > b > 2a b ab+ ≥ a b= 4a b+ ≤ 2 4ab a b≤ + ≤ 4ab ≤ =1, =4a b 4ab ≤ =5>4a+b 4a b+ ≤ 4ab ≤ 0, 0, 2 4x y x y> > + = ( 1)(2 1)x y xy + + 9 2 ( 1)(2 1) 2 2 1 2 5 2 5x y xy y x xy xy xy xy xy + + + + + += = = + 0, 0, 2 4x y x y> > + = 五年高考+命题轨迹 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号成立. 又因为 所以 的最小值为 . 3. 【2019 年高考北京卷文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销： 一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%． ①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为 __________． 【答案】①130 ；②15. 【解析】① ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为 元, 元时,李明得到的金额为 ,符合要求. 元时,有 恒成立,即 ,即 元. 所以 的最大值为 . 4. 【2018 年高考天津卷文数】（2018 天津文科）已知 ，且 ，则 的最小值 为 . 【答案】1 4 【解析】由푎 ― 3푏 +6 = 0可知푎 ― 3푏 = ―6，且2푎 + 1 8푏 = 2푎 + 2―3푏， 因为对于任意 x，2푥 > 0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2푎 + 2―3푏 ≥ 2 × 2푎 × 2―3푏 = 2 × 2―6 = 1 4.当 且仅当{ 2푎 = 2―3푏 푎 ― 3푏 = 6 ，即{ 푎 = 3 푏 = ―1 时等号成立. 2 4 2 2x y x y+ = ≥ ⋅ 2 2,0 2xy xy≤ < ≤ 2 2x y= = 1 92 2 55 =2 2xy + ≥ + × ， ( 1)(2 1)x y xy + + 9 2 10x = ( )60 80 10 130+ − = y 120y < 80%y× 120y ≥ ( ) 80% 70%y x y− × ≥ × ( )8 7 , 8 yy x y x− ≥ ≤ min 158 yx  ≤ =   x 15 ,a b∈R 3 6 0a b− + = 12 8 a b + 五年高考+命题轨迹 综上可得2푎 + 1 8푏的最小值为1 4. 5. 【2017 年高考天津卷文数】若 ， ，则 的最小值为___________． 【答案】 【解析】 ，（前一个等号成立的条件是 ，后 一个等号成立的条件是 ，两个等号可以同时成立，当且仅当 时取等号）． 6. 【2017 年高考山东卷文数】若直线 过点 ,则 2a+b 的最小值为 ___________． 【答案】 【解析】由直线 过点 可得 , 所以 .当且仅当 ，即 时等号成 立. 7. 【2017 年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存 储费用为 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 的值是___________． 【答案】30 【解析】总费用为 ，当且仅当 ，即 时等号成 立． ,a b∈R 0ab > 4 44 1a b ab + + 4 4 4 2 24 1 4 1 1 14 2 4 4a b a b ab abab ab ab ab + + +≥ = + ≥ ⋅ = 2 22a b= 1 2ab = 2 22 2,2 4a b= = 1( 0 0)x y a ba b + = ＞ ， ＞ (1,2) 8 1( 0 0)x y a ba b + = ＞ ， ＞ (1,2) 1 2 1a b + = 1 2 4 42 (2 )( ) 4 4 2 8b a b aa b a b a b a b a b + = + + = + + ≥ + ⋅ = 4b a a b = 4, 2b a= = x 4x x 600 9004 6 4( ) 4 2 900 240x xx x + × = + ≥ × = 900x x = 30x =