2016-2020年高考数学（文）真题命题轨迹专题25 简单的线性规划（解析版）

1 / 20 五年高考+命题轨迹            第七章 不等式、推理与证明 专题 25 简单的线性规划 考点 1 线性规划 年 份 考 向 题型 难度 分值 2020 年高考全国Ⅱ卷文数 15 线性目标函数的最优解 填空题 简单 5 分 2020 年高考全国Ⅲ卷文理数 13 线性目标函数的最优解 填空题 简单 5 分 2020 年高考全国Ⅰ卷文理数 13 线性目标函数的最优解 填空题 简单 5 分 2017 年高考全国 I 卷文数 线性目标函数的最值 选择题 简单 5 分 2017 年高考全国 II 卷文数 线性目标函数的最值 选择题 简单 5 分 2019 年高考全国 II 卷文数 线性目标函数的最值 填空题 简单 5 分 2018 年高考全国 I 卷文数 线性目标函数的最值 填空题 简单 5 分 2018 年高考全国 III 卷文数 线性目标函数的最值 填空题 简单 5 分 2018 年高考全国 II 卷文数 线性目标函数的最值 填空题 简单 5 分 2016 高考新课标 2 文数 线性目标函数的最值 填空题 简单 5 分 2016 高考新课标Ⅲ文数 线性目标函数的最值 填空题 简单 5 分 1. 【2020 年高考浙江卷 3】若实数 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先作出不等式表示的平面区域， ,x y 3 1 0 , 3 0 x y x y − + ≤  + − ≥ 2z x y= + ( ], 4−∞ [ )4 , + ∞ [ )5 , + ∞ ( ),−∞ + ∞ 2 / 20 五年高考+命题轨迹 令 ，画出初始目标函数表示的直线 ，由图象可知不等式表示的平面区域是两条直线相交形成 的开放区域，∴ 的取值范围是 ，故选 D． 2. 【2019 年高考天津卷文数】设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值 为 A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距， 故目标函数在点 处取得最大值. 由 ，得 ， 所以 . 故选 C. 0z = 2y x= − 2z x y= + ( ),−∞ +∞ ,x y 2 0, 2 0, 1, 1, x y x y x y + − ≤  − + ≥ −  −   4z x y= − + 4y x z= + y A 2 0, 1 x y x − + =  = − ( 1,1)A − max 4 ( 1) 1 5z = − × − + = 3 / 20 五年高考+命题轨迹 3. 【2019 年高考浙江卷】若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是 A． B． 1 C． 10 D． 12 【答案】C 【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示. 因为 ，所以 . 平移直线 可知，当该直线经过点 A 时，z 取得最大值. 联立两直线方程可得 ，解得 . 即点 A 坐标为 ， 所以 .故选 C. 4. 【2018 年高考天津卷文数】设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 A．6 B．19 C．21 D．45 【答案】C ,x y 3 4 0 3 4 0 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  + ≥ 3 2z x y= + 1− 3 2z x y= + 3 1 2 2y x z= − + 3 1 2 2y x z= − + 3 4 0 3 4 0 x y x y − + =  − − = 2 2 x y =  = (2,2)A max 3 2 2 2 10z = × + × = ,x y 5 2 4 1 0 x y x y x y y + ≤  − ≤− + ≤  ≥ ， ， ， ， 3 5z x y= + 4 / 20 五年高考+命题轨迹 【解析】绘制不等式组 表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程得 ，可得点 A 的坐标为 ，据此可知目标函数的最大值为： .本题选择 C 选项. 5. 【2017 年高考全国 I 卷文数】设 x，y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数 经过 时 z 取得最大值，故 ，故选 D． 5 2 4 1 0 x y x y x y y + ≤  − ≤− + ≤  ≥ ， ， ， 5 1 x y x y + = − + = ( )2,3A max 3 5 3 2 5 3 21z x y= + = × + × = 3 3, 1, 0, x y x y y + ≤  − ≥  ≥ z x y= + (3,0)A max 3 0 3z = + = 5 / 20 五年高考+命题轨迹 6. 【2017 年高考浙江卷】若 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是 A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4， 【答案】D 【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点 时取最小值 4，无最大值，选 D． 7. 【2017 年高考全国 II 卷文数】设 满足约束条件 则 的最小值是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小值，最小值为 ．故选 A. 8. 【2017 年高考北京卷文数】若 满足 则 的最大值为 x y 0 3 0 2 0 x x y x y ≥  + − ≥  − ≤ 2z x y= + )+∞ )+∞ (2,1) ,x y 2 +3 3 0, 2 3 3 0, 3 0, x y x y y − ≤  − + ≥  + ≥ 2z x y= + 15− 9− 1 9 ( )6, 3B − − min 12 3 15z = − − = − ,x y 3, 2, , x x y y x ≤  + ≥  ≤ 2x y+ 6 / 20 五年高考+命题轨迹 A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】D 【解析】如图，画出可行域， 表 示 斜 率 为 的 一 组 平 行 线 ， 当 过 点 时 ， 目 标 函 数 取 得 最 大 值 ，故选 D. 9. 【2020 年高考全国Ⅰ卷文理数 13】若 满足约束条件 则 的最大值为 __________． 【答案】1 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数 即： ，其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最 大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值， 2z x y= + 1 2 − 2z x y= + ( )3,3C max 3 2 3 9z = + × = , yx , , , 2 2 0 1 0 1 0 x y x y y + − ≤  − − ≥  + ≥ 7z x y= + 7z x y= + 1 1 7 7y x z= − + 7 / 20 五年高考+命题轨迹 联立直线方程： ，可得点 A 的坐标为： ，据此可知目标函数的最大值为： ，故答案为：1． 10. 【 2020 年 高 考 全 国 Ⅱ 卷 文 数 15 】 若 满 足 约 束 条 件 则 的 最 大 值 是 ． 【答案】 【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示，平移直线 ，当直线经过点 时，直线 在纵轴上的截距最大，此时点 的坐标是方程组 的解，解得： ，因此 的最大值为： ．故答案为： ． 11. 【2020 年高考全国Ⅲ卷文理数 13】若 满足约束条件 则 的最大值为 __________． 【答案】7 【解析】不等式组所表示的可行域如图，因为 ，所以 ，易知截距 越大，则 越 大，平移直线 ，当 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大，由 ，得 ， ，所以 ，故答案为：7. 2 2 0 1 0 x y x y + − =  − − = ( )1,0A max 1 7 0 1z = + × = ,x y 1, 1, 2 1, x y x y x y + ≥−  − ≥−  − ≤ yxz 2+= 8 1 2y x= − A 1 1 2 2y x z= − + A 1 2 1 x y x y − = −  − = 2 3 x y =  = 2z x y= + 2 2 3 8+ × = 8 ,x y 0 , 2 0 , 1, x y x y x + ≥  − ≥  ≤ 3 2z x y= + 3 2z x y= + 3 2 2 x zy = − + 2 z z 3 2 xy = − 3 2 2 x zy = − + 2 1 y x x =  = 1 2 x y =  = (1,2)A max 3 1 2 2 7z = × + × = 8 / 20 五年高考+命题轨迹 12. 【2020 年高考上海卷 5】已知 满足 ，则 的最大值为 . 【答案】-1 【解析】首先画出可行域，和初始目标函数 ，当直线 平移至点 时，取得最大值， 故答案为：-1。 13. 【2019 年高考全国 II 卷文数】若变量 x，y 满足约束条件 则 z=3x–y 的最大值是 ____________. 【答案】9 【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示， ,x y 2 0 2 3 0 0 x y x y y + − ≥  + − ≤  ≥ 2z y x= − 2y x= 2y x= ( )1,1A max 1 2 1 1z = − × = − 2 3 6 0 3 0 2 0 x y x y y    + − ≥ + − ≤ − ≤ ， ， ， 9 / 20 五年高考+命题轨迹 阴影部分表示的三角形 ABC 区域，根据直线 中的 表示纵截距的相反数，当直线 过点 时， 取最大值为 9． 14. 【2019 年高考北京卷文数】若 x，y 满足 则 的最小值为__________，最大值为 __________． 【答案】 ；1 【解析】根据题中所给约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示. 设 ，则 ，求出满足在可行域范围内 z 的最大值、最小值即可， 即在可行域内，当直线 的纵截距最大时，z 有最大值，当直线 的纵截距最小时，z 有最小值. 由图可知，当直线 过点 A 时,z 有最大值， 联立 ， 可得 ，即 ， 所以 ； 当直线 过点 时，z 有最小值， 所以 . 3 0x y z− − = z 3z x y= − 3,0C（ ） z 2, 1, 4 3 1 0, x y x y ≤  ≥ −  − + ≥ y x− 3− zy x− = = +y x z = +y x z = +y x z = +y x z 2 4 3 1 0 x x y =  − + = 2 3 x y =  = (2,3)A max 3 2 1z = − = = +y x z (2, 1)B − min 1 2 3z = − − = − 10 / 20 五年高考+命题轨迹 15. 【2018 年高考浙江卷】若 满足约束条件 则 的最小值是___________，最大值 是___________． 【答案】−2 8 【解析】作 表示的可行域，如图中阴影部分所示，则直线 过点 A(2,2)时 取最大值 8，过点 B(4,−2)时 取最小值−2. 16. 【2018 年高考北京卷文数】若푥,y 满足 ，则 2y−푥的最小值是_________. 【答案】3 【解析】作出可行域，如图，则直线 过点 A(1,2)时， 取最小值 3. ,x y 0, 2 6, 2, x y x y x y − ≥  + ≤  + ≥ 3z x y= + 0, 2 6, 2 x y x y x y − ≥  + ≤  + ≥ 3z x y= + z z 1 2x y x+ ≤ ≤ 2z y x= − z 11 / 20 五年高考+命题轨迹 17. 【2018 年高考全国 I 卷文数】若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 _____________． 【答案】6 【解析】根据题中所给的约束条件 ，画出其对应的可行域，如图所示： 由 可得 ，画出直线 ，将其上下移动，结合 的几何意义，可知当直 线过点 B 时，z 取得最大值， 由 ，解得 ，此时 ，故答案为 6. x y 2 2 0 1 0 0 x y x y y − − ≤  − + ≥  ≤ 3 2z x y= + 2 2 0 1 0 0 x y x y y − − ≤  − + ≥  ≤ 3 2z x y= + 3 1 2 2y x z= − + 3 2y x= − 2 z 2 2 0 0 x y y − − =  = ( )2,0B max 3 2 0 6z = × + = 12 / 20 五年高考+命题轨迹 18. 【2018 年高考全国 III 卷文数】（2018 新课标Ⅲ文科）若变量 满足约束条件 则 的最大值是________． 【答案】3 【解析】作出约束条件 表示的可行域如下图所示. 由图可知目标函数在直线 与 的交点（2，3）处取得最大值 3. 故答案为 3. 19. ．【2018 年 高 考 全 国 II 卷 文 数 】 若 满 足 约 束 条 件 则 的 最 大 值 为 __________． 【答案】9 【解析】不等式组 表示的可行域是以 为顶点的三角形区域，如下 图所示，目标函数 的最大值必在顶点处取得，易知当 时， . x y， 2 3 0 2 4 0 2 0. x y x y x + + ≥  − + ≥  − ≤ ， ， 1 3z x y= + 2 3 0 2 4 0 2 0 x y x y x + + ≥  − + ≥  − ≤ ， ， 2 4 0x y− + = 2x = ,x y 2 5 0 2 3 0 5 0 x y x y x + − ≥  − + ≥  − ≤ ， ， ， z x y= + 2 5 0 2 3 0 5 0 x y x y x + − ≥  − + ≥  − ≤ ， ， ( ) ( ) ( )5,4 , 1,2 , 5,0A B C z x y= + 5, 4x y= = max 9z = 13 / 20 五年高考+命题轨迹 20. 【2016 高考新课标 2 文数】若 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为__________ 【答案】 【解析】 试 题 分 析 ： 由 得 ， 点 ， 由 得 ， 点 ， 由 得 ， 点 ， 分 别 将 ， ， 代 入 得 ： ， ， ，所以 的最小值为 ． 21. [2016 高 考 新 课 标 Ⅲ 文 数 ] 若 满 足 约 束 条 件 则 的 最 大 值 为 _____________. 【答案】 【解析】 试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数 经过点 时取得最小值，即 ． 1 0 3 0 3 0 x y x y x − + ≥  + − ≥  − ≤ 2z x y= − 5− 1 0 3 0 x y x y − + =  + − = 1 2 x y =  = ( )1,2Α 1 0 3 0 x y x − + =  − = 3 4 x y =  = ( )3,4Β 3 0 3 0 x x y − =  + − = 3 0 x y =  = ( )C 3,0 Α Β C 2z x y= − 1 2 2 3zΑ = − × = − 3 2 4 5zΒ = − × = − C 3 2 0 3z = − × = 2z x y= − 5− ,x y 2 1 0, 2 1 0, 1, x y x y x − + ≥  − − ≤  ≤ 2 3 5z x y= + − 10− 2 3 5z x y= + − ( 1, 1)A − − min 2 ( 1) 3 ( 1) 5 10z = × − + × − − = − 14 / 20 五年高考+命题轨迹 考点 2 以可行域为载体与其他知识交汇问题 年 份 考 向 题型 难度 分值 2019 年高考全国 III 卷文数 线性规划和不等式 选择题 一般 5 分 2016 高考新课标 1 文数 线性规划的应用 填空题 一般 5 分 1. 【 2019 年 高 考 全 国 III 卷 文 数 】 记 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 为 D ． 命 题 ；命题 ．下面给出了四个命题 ① ② ③ ④ 这四个命题中，所有真命题的编号是 A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】A 【解析】根据题中的不等式组可作出可行域，如图中阴影部分所示， 记直线 ， 由图可知， ， 所以 p 为真命题，q 为假命题， 所以 为假命题， 为真命题， 所以 为真命题， 为假命题， 为真命题， 为假命题， 所以所有真命题的编号是①③.故选 A. 6, 2 0 x y x y + ≥  − ≥ : ( , ) ,2 9p x y D x y∃ ∈ + ≥ : ( , ) ,2 12q x y D x y∀ ∈ + ≤ p q∨ p q¬ ∨ p q∧ ¬ p q¬ ∧ ¬ 1: 2 +9,l y x= − 2: = 2 +12l y x− ( , ) ,2 9, ( , ) ,2 12x y D x y x y D x y∃ ∈ + ∃ ∈ + > p¬ q¬ p q∨ p q¬ ∨ p q∧ ¬ p q¬ ∧ ¬ 15 / 20 五年高考+命题轨迹 2. 【2018 年高考北京卷文数】设集合 则 A．对任意实数 a， B．对任意实数 a，（2，1） C．当且仅当 a − ≤ (2,1) A∈ A∉ A∉ 3 2a ≤ A∉ 1x y− = 4ax y+ = a− 0a ≠ 2x ay− = 1 a 2x ay− ≤ 4ax y+ > 4ax y+ = 2x ay− = 4ax y+ = 0a− > 4ax y+ > 3 2 − 3 2a− < − 3 2a > 4ax y+ > 2x ay− < 4ax y+ = 3 2a− = − 3 2a = 4ax y+ > x y 16 / 20 五年高考+命题轨迹 （Ⅰ）用 ， 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？ 【答案】（I）见解析；（II）见解析. 【解析】（Ⅰ）由已知， 满足的数学关系式为 ，即 ． 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中阴影部分内的整点（包括边界）： （图 1） （图 2） （Ⅱ）设总收视人次为 万，则目标函数为 ． 考虑 ，将它变形为 ，这是斜率为 ，随 变化的一族平行直线． 为直线在 轴上的截距，当 取得最大值时， 的值最大． 又因为 满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线 经过可行域上的点 M 时，截距 最大， 即 最大． 解方程组 得点 M 的坐标为 ， 所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多． 4. 【2016 高考浙江文数】若平面区域 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直 线间的距离的最 x y ,x y 70 60 600 5 5 30 2 x y x y x y x y + ≤  + ≥ ≤  ∈ ∈ N N 7 6 60 6 2 0 x y x y x y x y + ≤  + ≥ − ≤  ∈ ∈ N N z 60 25z x y= + 60 25z x y= + 12 5 25 zy x= − + 12 5 − z 25 z y 25 z z ,x y 60 25z x y= + 25 z z 7 6 60, 2 0, x y x y + =  − = (6,3) 3 0, 2 3 0, 2 3 0 x y x y x y + − ≥  − − ≤  − + ≥ 17 / 20 五年高考+命题轨迹 小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】画出不等式组的平面区域如题所示，由 得 ，由 得 ， 由题意可知,当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时，两直线的距离最小，即 ．故选 B． 5. 【2016 高考新课标 1 文数】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产 一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不 超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】 【解析】 试题分析：设生产产品 、产品 分别为 、 件,利润之和为 元,那么 ① 3 5 5 2 3 2 2 5 2 3 0 3 0 − + =  + − = x y x y (1,2)A 2 3 0 3 0 − − =  + − = x y x y (2,1)B 2 2(1 2) (2 1) 2= − + − =AB 216000 A B x y z 1.5 0.5 150, 0.3 90, 5 3 600, 0, 0. x y x y x y x y +  + +         18 / 20 五年高考+命题轨迹 目标函数 . 二元一次不等式组①等价于 ② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域. 将 变形,得 ,平行直线 ,当直线 经过点 时, 取得最大值.解方程组 ,得 的坐标 . 所以当 , 时, . 故生产产品 、产品 的利润之和的最大值为 元. 6. 【2016 高考天津文数】(本小题满分 13 分) 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A,B,C 三种主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙中肥料 所需三种原料的吨数如下表所示： 现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产 1 车皮 甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元.分别用 x,y 表示生产甲、乙 两种肥料的车皮数. 2100 900z x y= + 3 300, 10 3 900, 5 3 600, 0, 0. x y x y x y x y +  + +    3     2100 900z x y= + 7 3 900 zy x= − + 7 3y x= − 7 3 900 zy x= − + M z 10 3 900 5 3 600 x y x y + =  + = M (60,100) 60x = 100y = max 2100 60 900 100 216000z = × + × = A B 216000 19 / 20 五年高考+命题轨迹 (Ⅰ)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）生产甲种肥料 车皮，乙种肥料 车皮时利润最大，且最大利润为 万 元 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据生产原料不能超过 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，列不等关 系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（Ⅱ）目标函数为利润 ，根据直线平移及截距 变化规律确定最大利润 试题解析：（Ⅰ）解：由已知 满足的数学关系式为 ，该二元一次不等式组所表示的区 域为图 1 中的阴影部分. （Ⅱ）解：设利润为 万元，则目标函数 ，这是斜率为 ，随 变化的一族平行直线. 为直 20 24 112 yxz 32 += yx,         ≥ ≥ ≤+ ≤+ ≤+ 0 0 300103 36058 20054 y x yx yx yx z yxz 32 += 3 2− z 3 z 20 / 20 五年高考+命题轨迹 线在 轴上的截距，当 取最大值时， 的值最大.又因为 满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线 经过可行域中的点 时，截距 的值最大，即 的值最大.解方程组 得点 的坐标为 ，所以 . 答：生产甲种肥料 车皮，乙种肥料 车皮时利润最大，且最大利润为 万元. y 3 z z yx, yxz 32 += M 3 z z    =+ =+ 300103 20054 yx yx M )24,20(M 112243202max =×+×=z 20 24 112