2020-2021学年高三数学（文）上学期开学考试模拟试卷02（解析版）

… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 绝密★启用前 2020-2021 学年高三数学（文）上学期开学考试模 拟试卷 02 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 卷 I（选择题） 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计 60 分 ， ） 1. 设集合푀 = {푚 ∈ Z| ― 3 < 푚 < 2}，푁 = {푛 ∈ Z| ― 1 ≤ 푛 ≤ 3}，则푀 ∩ 푁 等于( ) A.{0, 1} B.{ ― 1, 0, 1} C.{0, 1, 2} D.{ ― 1, 0, 1, 2} 【答案】B 【解答】解：∵ 푀 = { ― 2, ― 1, 0, 1}，푁 = { ― 1, 0, 1, 2, 3}， ∴ 푀 ∩ 푁 = { ― 1, 0, 1}.故选퐵． 2. 若复数푧(1 + 2푖) = ― 푖（푖为虚数单位），则复数 ¯ 푧对应的点在复平面 内位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答 案】B 【解答】解：푧 = ―푖 1 + 2푖 = ―푖(1 ― 2푖) 5 = ― 2 5 ― 1 5푖，则 ¯ 푧 = ― 2 5 + 1 5푖， ∴ 复数 ¯ 푧对应的点在复平面内位于第二象限.故选퐵． 3. 函数푦 = 푓(푥)的图象向右平移휋 3单位后与函数푦 = sin2푥的图象重合， 则푦 = 푓(푥)的解析式是（ ） A.푓(푥) = cos(2푥 ― 휋 3) B.푓(푥) = cos(2푥 + 휋 6) C.푓(푥) = cos(2푥 ― 휋 6) D.푓(푥) = cos(2푥 + 휋 3) 【答案】B 【解答】解：函数푦 = 푓(푥)的图象向右平移휋 3单位后与函数푦 = sin2푥的 图象重合，则函数푦 = sin2푥的图象向左平移휋 3单位后与函数푦 = 푓(푥)的 图象重合，故푓(푥) = sin2(푥 + 휋 3) = sin(2푥 + 2휋 3 ) = sin(2푥 + 휋 2 + 휋 6) = cos (2푥 + 휋 6)， 故选：퐵． 4. 已知平面向量 → 퐴퐵 = (2, 1)， → 퐴퐶 = ( ― 3푡, 3)，若 → 퐴퐵 // → 퐴퐶，则| → 퐵퐶| = ( ) A.2 5 B.20 C. 5 D.2 【答案】A 【解答】解：平面向量 → 퐴퐵 = (2, 1)， → 퐴퐶 = ( ― 3푡, 3)， 若 → 퐴퐵 // → 퐴퐶，2 × 3 ― 1 × ( ― 3푡) = 0，解得푡 = ―2， 则 → 퐵퐶 = → 퐴퐶 ― → 퐴퐵 = (4, 2)，所以| → 퐵퐶| = 42 +22 = 2 5．故选퐴. 5. 已知双曲线푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎 > 0, 푏 > 0)的离心率为푒，若푒 = 3푎 ― 푏 푎 ，则该 双曲线的渐近线方程为（ ） A.2푥 ± 3푦＝0 B.3푥 ± 2푦＝0 C.4푥 ± 3푦＝0 D.3푥 ± 4푦＝0 【答案】C 【解答】双曲线푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎 > 0, 푏 > 0)的离心率为푒，可得푒 = 푐 푎 = 3푎 ― 푏 푎 ， 可得：푎2 + 푏2＝9푎2 ― 6푎푏 + 푏2，化简可得푏 푎 = 4 3， 则该双曲线的渐近线方程为：4푥 ± 3푦＝0． 6. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由直角 三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接直角三角形构成，根据图中的 数据可得此几何体体积为（ ） A. 4 2휋 3 + 4 3 B. 8 2휋 3 + 4 3 C. 4 2휋 3 +2 D. 8 2휋 3 +2 【答案】A 【解答】解：由三视图知，原几何体是一个三棱锥和一个半球的组合 体，其中三棱锥的一个侧棱垂直于底面等腰直角三角形，且高为2，底 面等腰直角三角形的腰为2，球的直径为2 2，半径为 2 ∴ 原几何体的体积为1 3 × 1 2 × 2 × 2 × 2 + 1 2 × 4 3휋 × ( 2)3 = 4 3 + 4 2 3 휋．故选： 퐴． 7. 已知实数푥，푦满足约束条件{푥 ― 2푦 + 3 ≥ 0， 2푥 ― 푦 ― 3 ≤ 0， 푥 + 푦 ≥ 0， 则2푥 +3푦的取值范围 是( ) A.[ ―1,15] B.[1,15] C.[ ―1,16] D.[1,16] 【答案】A 【解答】解：作出约束条件{푥 ― 2푦 + 3 ≥ 0 2푥 ― 푦 ― 3 ≤ 0 푥 + 푦 ≥ 0 对应的平面区域， 由푧 = 2푥 +3푦得푦 = ― 2 3푥 + 푧 3， 由{ 푥 + 푦 = 0， 2푥 ― 푦 ― 3 = 0，得{ 푥 = 1， 푦 = ―1，即퐴(1, ― 1)， 由{푥 ― 2푦 + 3 = 0， 2푥 ― 푦 ― 3 = 0，得{푥 = 3， 푦 = 3，即퐵(3,3)， 由图知当直线푦 = ― 2 3푥 + 푧 3过퐴(1, ― 1)时，푧最小， 푧min = 2 × 1 + 3 × ( ― 1) = ―1，过퐵(3,3)时，푧最大， 푧max = 2 × 3 + 3 × 3 = 15． ∴ 푧的范围[ ― 1,15]．故选퐴． 8. 函数푓(푥) = log2(4 ― 푥2)的单调递增区间为( ) A.(0, 2) B.( ― 2, 0) C.(2,  + ∞) D.( ― ∞,  ― 2)[来源:Z&xx&k.Com] 【答案】B 【解答】解：函数푓(푥) = log2(4 ― 푥2)的定义域为： ― 2 < 푥 < 2，푦 = log2푥是增函数，푦 = ― 푥2 +4，开口向下，对称轴是푦 轴， ― 2 < 푥 < 0时，二次函数是增函数，由复合函数的单调性可知， 函数푓(푥) = log2(4 ― 푥2)的单调递增区间为( ― 2, 0)．故选퐵． 9. 已知命题푝：“若 △ 퐴퐵퐶为锐角三角形，则sin퐴 < cos퐵”；命题푞:“∃푥0 ∈ R，使得푎sin푥0 + cos푥0 ≥ 3 成立”.若命题푝与命题푞的真假相同，则实 数푎的取值范围是( ) A.( ― ∞, ― 2 2) ∪ (2 2, + ∞) B. ( ― ∞, ― 3) ∪ ( 3, + ∞) C.( ― 2 2,2 2) D. ( ― 3, 3) 【答案】C 【解答】解：若 △ 퐴퐵퐶为锐角三角形，则0 < 퐶 < 휋 2，则휋 2 < 퐴 + 퐵 < 휋， ∴ 0 < 휋 2 ― 퐵 < 퐴 < 휋 2，∴ sin(휋 2 ― 퐵) < sin퐴，即sin퐴 > cos퐵，[来源:学。科。网 Z。X。X。K] ∴ 푝为假命题， 故푞也为假命题，即“∃푥0 ∈ R，使得푎sin푥0 + cos푥0 ≥ 3 成立”是假命题， ∴ ¬푝：∀푥0 ∈ R，푎sin푥0 + cos푥0 < 3 恒成立为真命题. ∵ 푎sin푥 + cos푥 ≤ 푎2 + 1，∴ 푎2 + 1 < 3，解得 ― 2 2 < 푎 < 2 2， 即实数푎的取值范围是( ― 2 2, 2 2).故选퐶. 10. 数学猜想是推动数学理论发展的强大动力．1927年德国汉堡大学 的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对 它乘3再加1；如果它是偶数，对它 除以2．这样循环，最终结果都能得 到1．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的푖为（ ） … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解答】解：푎 = 5，푎 = 1不满足，푎是奇数满足，푎 = 16，푖 = 2， 푎 = 16，푎 = 1不满足，푎是奇数不满足，푎 = 8，푖 = 3， 푎 = 8，푎 = 1不满足，푎是奇数不满足，푎 = 4，푖 = 4， 푎 = 4，푎 = 1不满足，푎是奇数不满足，푎 = 2，푖 = 5， 푎 = 2，푎 = 1不满足，푎是奇数不满足，푎 = 1，푖 = 6， 푎 = 1，푎 = 1满足，输出푖 = 6．故选퐵． 11. 将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是（ ） A. 1 9 B. 1 4 C. 1 36 D.97 【答案】A 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， ∵ 试验发生包含的所有事件由分步计数原理知有6 × 6 = 36种结果， 满足条件的事件是向上点数之和是5，列举出结果包括 (1, 4)(2, 3)(3, 2)(4, 1)共有4种结果，∴ 由古典概型公式得到푃 = 4 36 = 1 9， 故选퐴． 12. 已知离心率为2的双曲线푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎 > 0, 푏 > 0)的右焦点퐹2是抛物 线푦2 = 8푥的焦点，过点퐹2作一直线푙与双曲线交于푃，푄，퐹1为双曲线的 左焦点，若푃퐹1 ⊥ 푄퐹1，则直线푙的斜率为（ ） A. ± 7 3 B. ± 7 2 C. ± 3 3 D. ± 3 7 7 【答案】D 【解答】解：由题意可得： 1 + 푏2 푎2 = 2，可得푏 = 3푎． 由푦2 = 8푥，可得焦点퐹2(2, 0)，∴ 푐 = 2. 又푐2 = 푎2 + 푏2，可得푎 = 1，푏 = 3，∴ 双曲线方程为푥2 ― 푦2 3 = 1. 设直线푙的方程为푡푦 = 푥 ― 2(푡 ≠± 3 3 )，푃(푥1, 푦1)，푄(푥2, 푦2)，퐹1 ( ― 2, 0)， 联立{푡푦 = 푥 ― 2， 푥2 ― 푦2 3 = 1， 化为(3푡2 ― 1)푦2 +12푡푦 +9 = 0， ∴ 푦1 + 푦2 = ―12푡 3푡2 ― 1，푦1푦2 = 9 3푡2 ― 1． ∵ 푃퐹1 ⊥ 푄퐹1， ∴ → 푃퐹1 ⋅ → 푄퐹1 = ( ― 2 ― 푥1,  ― 푦1) ⋅ ( ― 2 ― 푥2,  ― 푦2) = (2 + 푥1)(2 + 푥2 ) + 푦1푦2 = (푡푦1 +4)(푡푦2 +4) + 푦1푦2 = (푡2 +1)푦1푦2 +4푡(푦1 + 푦2) + 16 = (푡2 +1) 9 3푡2 ― 1 +4푡 × ―12푡 3푡2 ― 1 +16 = 0， 解得푡 =± 7 3 ，∴ 直线푙的斜率푘 =± 3 7 7 ．故选퐷. 卷 II（非选择题） 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计 20 分 ， ） 13. 函数 푓(푥) = 2cos푥 + sin푥 的最大值为________． 【答案】 5 【解答】 解：函数푓(푥) = 2cos푥 + sin푥 = 5(2 5 5 cos푥 + 5 5 sin푥) = 5sin(푥 + 휃)， 其中tan휃 = 2可知函数的最大值为： 5，故答案为： 5． 14. 已知函数푓(푥)＝푥3，若实数푎，푏满足푓(푎 +2) + 푓(푏)＝0，则푎 + 푏 等于________． 【答案】 ― 2 【解答】푓(푥)是奇函数，且在푅上单调递增； ∴ 由푓(푎 +2) + 푓(푏)＝0得，푓(푎 +2)＝푓( ― 푏)；∴ 푎 +2＝ ― 푏；∴ 푎 + 푏 ＝ ― 2． 15. 从一个正方形中截去部分几何体，得到一个以原正方形的部分顶点 的多面体，其三视图如图，则该几何体的体积为________，表面积为 ________． 【答案】9, 27 + 18 2 + 9 3 2 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 原几何体是把正方体截去三棱柱퐴1퐴퐵 ― 퐷1퐷퐶， 再把剩余的三棱柱퐴1퐵1퐵 ― 퐷1퐶1퐶截去三棱锥퐶1 ― 퐷1퐵1퐶得到． 其体积为푉 = 2 3 × 1 2 × 3 × 3 × 3 = 9； 表面积푆 = 3 × 1 2 × 3 × 3 + 3 × 3 2 + 1 2 × 3 2 × (3 2)2 ― (3 2 2 )2 = 27 + 18 2 + 9 3 2 ． 故答案为：9，27 + 18 2 + 9 3 2 ． 16. 在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，角퐴,퐵,퐶所对的边分别为푎，푏，푐，푆表示 △ 퐴퐵퐶的 面积，若푆 = 3 4 (푏2 + 푎2 ― 푐2),푏cos퐴 + 푎cos퐵 = 푐2,则 △ 퐴퐵퐶的周长最大 值为________. 【答案】3 【解答】解：由题得：푆 = 3 4 (푏2 + 푎2 ― 푐2)，所以1 2푎푏sin퐶 = 3 4 2푎푏cos퐶， 所以tan퐶 = 3，所以∠퐶 = 휋 3, 又푏cos퐴 + 푎cos퐵 = 푐2，即sin퐵cos퐴 + sin퐴cos퐵 = 푐sin퐶， 化简得sin(퐴 + 퐵) = 푐sin퐶，即푐 = 1. 由余弦定理得：푐2 = 푎2 + 푏2 ― 2푎푏cos퐶，所以푎2 + 푏2 ― 푎푏 ≥ 2푎푏 ― 푎푏， 即푎푏 ≤ 1.；푐 + 푎 + 푏 ≥ 2 푎푏 + 푐 ≥ 3.故答案为：3. 三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计 70 分 ， ） 17. 已知数列{푎푛}的前푛项和푆푛 = 푛2 +4푛(푛 ∈ 푁∗)，数列{푏푛}满足푏1 = 1， 푏푛+1 = 2푏푛 +1 （1）求数列{푎푛}，{푏푛}的通项公式； （2）设푐푛 = (푎푛 ― 3) ⋅ (푏푛 + 1) 4 ，求数列{푐푛}的前푛项和푇푛． 【答案】解：（1）由푆푛 = 푛2 +4푛， 当푛 = 1时，푎1 = 푆1 = 12 +4 = 5； 当푛 ≥ 2时，푎푛 = 푆푛 ― 푆푛―1 = 푛2 +4푛 ― (푛 ― 1)2 ― 4(푛 ― 1) = 2푛 +3． ∴ 当푛 ∈ 푁∗时，푎푛 = 2푛 +3． 又푏푛+1 = 2푏푛 +1，푏1 = 1，即푏푛+1 +1 = 2(푏푛 +1)，可得푏푛+1 + 1 푏푛 + 1 = 2， ∴ 数列{푏푛 +1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴ 푏푛 +1 = 2 × 2푛―1 = 2푛，푏푛 = 2푛 ― 1． （2）由（1）得푐푛 = (푎푛 ― 3) ⋅ (푏푛 + 1) 4 = 푛 ⋅ 2푛―1． 푇푛 = 1 × 20 +2 × 2 + 3 × 22 +... + 푛 ⋅ 2푛―1，…①． 2푇푛 = 1 × 21 +2 × 22 +3 × 23 +... + 푛 ⋅ 2푛，…②． 由①-②得 ― 푇푛 = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +... + 2푛―1 ― 푛 ⋅ 2푛 = 1(1 ― 2푛) 1 ― 2 ― 푛 ⋅ 2푛， ∴ 푇푛 = (푛 ― 1) ⋅ 2푛 +1． 18. 如图，已知三棱柱퐴퐵퐶 ― 퐴1퐵1퐶1的底面是正三角形，侧面퐵퐵1퐶1퐶 是矩形，푀，푁分别为퐵퐶，퐵1퐶1的中点，푃为퐴푀上一点，过퐵1퐶1和푃的 平面交퐴퐵于퐸，交퐴퐶于퐹. (1)证明：퐴퐴1//푀푁，且平面퐴1퐴푀푁 ⊥ 平面퐸퐵1퐶1퐹； … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … (2)设푂为 △ 퐴1퐵1퐶1的中心，若퐴푂 = 퐴퐵 = 6，퐴푂//平面퐸퐵1퐶1퐹，∠ 푀푃푁 = 휋 3，求四棱锥퐵 ― 퐸퐵1퐶1퐹的体积． 【答案】(1)证明：由题意知퐴퐴1//퐵퐵1//퐶퐶1. 又因为侧面퐵퐵1퐶1퐶是矩形，且푀，푁分别是퐵퐶，퐵1퐶1的中点， 所以푀푁//퐵퐵1，퐵퐵1 ⊥ 퐵퐶，所以퐴퐴1//푀푁，푀푁 ⊥ 퐵1퐶1. 又因为底面是正三角形，所以퐴푀 ⊥ 퐵퐶，퐴푁 ⊥ 퐵1퐶1. 又因为푀푁 ∩ 퐴푀 = 푀，所以퐵1퐶1 ⊥ 平面퐴1퐴푀푁. 又因为平面퐸퐵1퐶1퐹 ∩ 平面퐴1퐵1퐶1 = 퐵1퐶1，平面퐸퐵1퐶1퐹 ∩ 平面퐴퐵퐶 = 퐸퐹，平面퐴퐵퐶//平面퐴1퐵1퐶1，所以퐸퐹//퐵1퐶1，所以퐸퐹 ⊥ 平面퐴1퐴푀푁. 又因为퐸퐹 ⊂ 平面퐸퐵1퐶1퐹，所以平面퐴1퐴푀푁 ⊥ 平面퐸퐵1퐶1퐹. (2)解：因为퐴푂//平面퐸퐵1퐶1퐹，퐴푂 ⊂ 平面퐴1푁푀퐴， 平面퐴1푁푀퐴 ∩ 平面퐸퐵1퐶1퐹 = 푁푃，所以퐴푂//푁푃. 又因为푁푂//퐴푃，所以四边形퐴푃푁푂是平行四边形， 所以퐴푂 = 푁푃 = 6，푂푁 = 퐴푃 = 3. 过푀做푀퐻垂直푁푃于퐻. 因为平面퐸퐵1퐶1퐹 ⊥ 平面퐴1퐴푀푁，平面퐸퐵1퐶1퐹 ∩ 平面퐴1퐴푀푁 = 푁푃， 푀퐻 ⊂ 平面퐴1퐴푀푁，所以푀퐻 ⊥ 平面퐸퐵1퐶1퐹. 因为∠푀푃푁 = 휋 3， 所以푀퐻 = 푀푃 ⋅ sin 휋 3 = 3，푆퐸퐵1퐶1퐹 = 1 2(퐵1퐶1 + 퐸퐹) ⋅ 푁푃 = 24. 因为퐵퐶//平面퐸퐵1퐶1퐹，所以푉퐵―퐸퐵1퐶1퐹 = 푉푀―퐸퐵1퐶1퐹 = 1 3 ⋅ 푆퐸퐵1퐶1퐹 ⋅ 푀퐻 = 24. 19. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160, 180), [180, 200),[200, 220),[220, 240)[240, 260),[260, 280),[280, 300]分组的 频率分布直方图如图： (1)求直方图中푥的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数； (3)在月平均用电量[220,240),[240, 260),[260, 280),[280, 300]的四组用 户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220, 240) 的用户中应抽取多少户？ 【答案】解：(1)由直方图的性质可得 (0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + 푥 +0.005 + 0.0025) × 20 = 1， 解方程可得푥 = 0.0075，∴ 直方图中푥的值为0.0075； (2)月平均用电量的众数是220 + 240 2 = 230， ∵ (0.002 + 0.0095 + 0.011) × 20 = 0.45 < 0.5， ∴ 月平均用电量的中位数在[220, 240)内， 设中位数为푎，由(0.002 + 0.0095 + 0.011) × 20 + 0.0125 × (푎 ― 220) = 0.5可得푎 = 224，∴ 月平均用电量的中位数为224. (3)月平均用电量为[220, 240)的用户有0.0125 × 20 × 100 = 25， 月平均用电量为[240, 260)的用户有0.0075 × 20 × 100 = 15， 月平均用电量为[260, 280)的用户有0.005 × 20 × 100 = 10， 月平均用电量为[280, 300)的用户有0.0025 × 20 × 100 = 5， ∴ 抽取比例为 11 25 + 15 + 10 + 5 = 1 5， ∴ 月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽取25 × 1 5 = 5户 20. 已知椭圆퐶1:푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的左、右焦点分别为퐹1，퐹2，퐹2 也为抛物线퐶2:푦2＝4푥的焦点，点푃为퐶1，퐶2在第一象限的交点，且|푃퐹2 | = 5 3． (퐼)求椭圆퐶1的方程； (퐼퐼)延长푃퐹2，交椭圆퐶1于点푄，交抛物线퐶2于点푅，求三角形퐹1푄푅的面 积． 【答案】（I）∵ 퐹2也为抛物线抛物线퐶2:푦2＝4푥的焦点，∴ 푐＝1， 由线段|푃퐹2| = 5 3，得푥푃 +1 = 5 3， ∴ 푃的坐标为(2 3, 2 6 3 )，代入椭圆方程得 4 9푎2 + 8 3푏2 = 1 又푎2 ― 푏2＝1，联立可解得푎2＝4，푏2＝3，所以 椭圆퐶的方程为푥2 4 + 푦2 3 = 1， （2）由(Ⅰ)知푃(2 3, 2 6 3 )，所以直线푃퐹2方程为：푦＝ ― 2 6(푥 ― 1)， 联立直线方程和椭圆方程可得33푥2 ― 64푥 +28＝0， ∴ 푄(14 11,  ― 6 6 11 )，∴ |푃푄| = 1 + 24 ⋅ |2 3 ― 14 11| = 100 33 ， 联立直线方程相抛物线方程可得6푥2 ― 13푥 +6＝0， ∴ |푃푅| = 13 6 +2 = 25 6 ∴ |푄푅| = 25 6 ― 100 33 = 25 22， ∵ 퐹1到直线푃퐹2的距离为4 6 5 ， ∴ 三角形퐹1푄푅的面积为1 2 × 25 22 × 4 6 5 = 5 6 11 ． 21. 已知函数푓(푥) = 푎푒푥 ― 푒푥 ― 푎(푎 < 푒)，其中푒为自然对数的底数． (1)若푎 = 2，求函数푓(푥)在点(1,푓(1))处的切线方程； (2)若函数푓(푥)的极小值为 ― 1，求푎的值． 【答案】解：(1) ∵ 푎 = 2， ∴ 푓(푥) = 2푒푥 ― 푒푥 ― 2， ∴ 푓′(푥) = 2푒푥 ― 푒， ∴ 푓′(1) = 2푒 ― 푒 = 푒 ， 又푓(1) = 2푒 ― 푒 ― 2 = 푒 ― 2， ∴ 函数푓(푥)在点(1,푓(1))处的切线方程为： 푦 ― (푒 ― 2) = 푒(푥 ― 1)，即푦 = 푒푥 ― 2． [来源:学§科§网](2)函数푓(푥)的定义域为( ―∞, + ∞)，푓′(푥) = 푎푒푥 ― 푒， 当푎 ≤ 0时，푓′(푥) < 0对于푥 ∈ ( ―∞, + ∞)恒成立， ∴ 푓(푥)在( ―∞, + ∞)单调递减， ∴ 푓(푥)在( ―∞, + ∞)上无极值. 当0 < 푎 < 푒时，令푓′(푥) > 0，得푥 > ln 푒 푎， ∴ 当푥 ∈ (ln 푒 푎, + ∞)时，푓′(푥) > 0，当푥 ∈ ( ―∞,ln 푒 푎)时，푓′(푥) < 0， ∴ 푓(푥)在( ―∞,ln 푒 푎)单调递减，在(ln 푒 푎, + ∞)单调递增， ∴ 当푥 = ln 푒 푎时，푓(푥)取得极小值 ― 1， ∴ 푓(ln 푒 푎) = 푎푒ln 푒 푎 ― 푒ln 푒 푎 ― 푎 = ―1，即푒ln푎 ― 푎 +1 = 0， 令푚(푥) = 푒ln푥 ― 푥 +1(0 < 푥 < 푒)， 则푚′(푥) = 푒 푥 ― 1 = 푒 ― 푥 푥 ， ∵ 0 < 푥 < 푒， ∴ 푚′(푥) > 0， ∴ 푚(푥)在(0,푒)上单调递增， 又 ∵ 푚(1) = 0， ∴ 푎 = 1． 四、 选做题 （任选一题 ，每题 10 分 ，共计 10 分 ） 22. 在平面直角坐标系푥푂푦中，曲线퐶1的方程为푥2 + 푦2＝4，直线푙的参 数方程{ 푥 = ―2 ― 푡 푦 = 3 3 + 3푡 （푡为参数），若将曲线퐶1上的点的横坐标不变， 纵坐标变为原来的3 2倍，得曲线퐶2． （1）写出曲线퐶2的参数方程； （2）设点푃( ― 2,3 3)，直线푙与曲线퐶2的两个交点分别为퐴，퐵，求 1 |푃퐴| + 1 |푃퐵|的值． 【答案】（1）∵ 曲线퐶1的方程为푥2 + 푦2＝4，直线푙的参数方程 { 푥 = ―2 ― 푡 푦 = 3 3 + 3푡 （푡为参数）， 若将曲线퐶1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3 2倍，得曲线퐶2． ∴ 曲线퐶2的直角坐标方程为푥2 +(2 3푦)2 = 4，整理得푥 4 2 + 푦 9 2 = 1， ∴ 曲线퐶2的参数方程{푥 = 2cos휃 푦 = 3sin휃 （휃为参数）． （2）将直线푙的参数方程化为标准形式为{ 푥 = ―2 ― 1 2푡′ 푦 = 3 3 + 3 2 푡′ （푡′为参数）， … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 将参数方程代入푥 4 2 + 푦 9 2 = 1，得 ( ― 2 ― 1 2푡′) 4 2 + (3 3 + 3 2 푡′) 9 2 = 1， 整理得7 4(푡′)2 +18푡′ +36 = 0． ∴ |푃퐴| + |푃퐵| = |푡′1 + 푡′2| = 72 7 ，|푃퐴||푃퐵| = 푡′1푡′2 = 144 7 ， ∴ 1 |푃퐴| + 1 |푃퐵| = |푃퐴| + |푃퐵| |푃퐴||푃퐵| = 72 7 144 7 = 1 2． 23. （1）设푎，푏 ∈ 푅+，푎 + 푏＝1，求证1 푎 + 1 푏 ≥ 4． （2）已知푥 +2푦 +3푧＝1，求푥2 + 푦2 + 푧2的最小值． 【答案】（1）证明：由柯西不等式， 可得(푎 + 푏)(1 푎 + 1 푏) ≥ ( 푎 × 1 푎 + 푏 × 1 푏)2 = 4．푎 + 푏 = 1,1 푎 + 1 푏 ≥ 4． （2）由柯西不等式可知：(푥 +2푦 +3푧)2 ≤ (푥2 + 푦2 + 푧2)(12 + 22 + 32)， ∴ 푥2 + 푦2 + 푧2 ≥ 1 14 当且仅当푥 1 = 푦 2 = 푧 3时取等号．即푥2 + 푦2 + 푧2的最小值为 1 14．