2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破专题6.1 数列的概念与简单表示法（解析版）

2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题 6.1 数列的概念与简单表示法 目录 一、题型全归纳 ...........................................................................................................................................................2 题型一 知数列前几项求通项公式 .....................................................................................................................2 题型二 an 与 Sn 关系的应用 ................................................................................................................................3 类型一 利用 an 与 Sn 的关系求通项公式 an ...............................................................................................3 类型二　利用 an 与 Sn 的关系求 Sn .............................................................................................................4 题型三 由数列的递推关系求通项公式 .............................................................................................................5 类型一　形如 an+1＝anf(n)，求 an ..............................................................................................................5 类型二 形如 an＋1＝an＋f(n)，求 an .......................................................................................................6 类型三　形如 an＋1＝pan＋q(p≠0 且 p≠1)，求 an ....................................................................................7 类型四 形如 an＋1＝ (A，B，C 为常数)，求 an ......................................................................8 题型四 数列的函数特征 .....................................................................................................................................9 类型一　数列的单调性 ...............................................................................................................................9 类型二　求最大(小)项...............................................................................................................................10 类型三　数列的周期性 .............................................................................................................................11 二、高效训练突破 .....................................................................................................................................................12 一、题型全归纳 题型一 知数列前几项求通项公式 【题型要点】由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列) 等方法． (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； CBa Aa n n +③各项的符号特征和绝对值特征； ④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系． ⑤对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k＋1，k∈N*处理 【例 1】数列{an}的前 4 项是3 2，1，7 10，9 17，则这个数列的一个通项公式是 an＝________． 【答案】：2n＋1 n2＋1 【解析】：数列{an}的前 4 项可变形为2 × 1＋1 12＋1 ，2 × 2＋1 22＋1 ，2 × 3＋1 32＋1 ，2 × 4＋1 42＋1 ，故 an＝2n＋1 n2＋1. 【例 2】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)1,0，1 3，0，1 5，0，1 7，0，…； (4)3 2，1，7 10，9 17，…. 【答案】 (1)an＝(－1)n(6n－5)．(2)an＝8 9 .(3)an＝1＋(－1)n＋1 2n 或 an＝ |sinnπ 2 | n .(4)an＝2n＋1 n2＋1. 【解析】 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总 比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an＝(－1)n(6n－5)． (2)将数列变形为8 9(1－0.1)，8 9(1－0.01)，8 9(1－0.001)，…，∴an＝8 9 . (3)把数列改写成1 1，0 2，1 3，0 4，1 5，0 6，1 7，0 8，…，分母依次为 1,2,3，…，而分子 1,0,1,0，…周期性出现，因此数列的 通项可表示为 an＝1＋(－1)n＋1 2n 或 an＝ |sinnπ 2 | n . (4)将数列统一为3 2，5 5，7 10，9 17，…，对于分子 3,5,7,9，…，是序号的 2 倍加 1，可得分子的通项公式为 bn＝2n ＋1，对于分母 2,5,10,17，…联想到数列 1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1，所 以可得它的一个通项公式为 an＝2n＋1 n2＋1.      n10 1-1      n10 1-1题型二 an 与 Sn 关系的应用 类型一 利用 an 与 Sn 的关系求通项公式 an 【题型要点】已知 Sn 求 an 的三个步骤 ①先利用 a1＝S1 求出 a1； ②用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式； ③注意检验 n＝1 时的表达式是否可以与 n≥2 的表达式合并． 【例 1】(2020·河北衡水中学调研)已知 Sn＝3n＋2n＋1，则 an＝________. 【答案】 Error! 【解析】 因为当 n＝1 时，a1＝S1＝6；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－ 1＋2，由于 a1 不适合此式，所以 an＝Error! 【例 2】已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式 an＝________． 【答案】：{－1，n＝1， 2n－1，n ≥ 2 【解析】：当 n＝1 时，a1＝S1＝－1；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1，a1 不 适合此等式．所以 an＝{－1，n＝1， 2n－1，n ≥ 2. 类型二　利用 an 与 Sn 的关系求 Sn 【题型要点】Sn 与 an 关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． ①利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn－1 的关系式，再求解； ②利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含 an，an－1 的关系式，再求解．　 【例 3】设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，Sn≠0，且 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则 Sn＝________． 【答案】－1 n 【解析】　因为 an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， 所以 Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. 因为 Sn≠0，所以 1 Sn－ 1 Sn＋1＝1，即 1 Sn＋1－ 1 Sn＝－1. 又 1 S1＝－1，所以 { 1 Sn}是首项为－1，公差为－1 的等差数列． 所以 1 Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以 Sn＝－1 n.【例 4】已知数列{an}中，a1＝1，Sn 为数列{an}的前 n 项和，Sn≠0，且当 n≥2 时，有 2an anSn－S＝1 成立，则 S2 017＝________． 【答案】： 1 1 009 【解析】：当 n≥2 时，由 2an anSn－S＝1，得 2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)Sn－S2n＝－SnSn－1，所以 2 Sn－ 2 Sn－1＝1，又 2 S1 ＝2，所以 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，所以 2 Sn＝n＋1，故 Sn＝ 2 n＋1，则 S2 017＝ 1 1 009. 题型三 由数列的递推关系求通项公式 类型一　形如 an+1＝anf(n)，求 an 【题型要点】根据形如 an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出an a1与 n 的 关系式，进而得到 an 的通项公式．　 累乘法求通项公式的四步骤 【例 1】已知数列{an}中，a1＝1，an＝n－1 n an－1(n≥2)，求通项公式 an. 【答案】an＝1 n 【解析】 ∵an＝n－1 n an－1(n≥2)，∴an－1＝n－2 n－1an－2，…，a2＝1 2a1. 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1·1 2·2 3·…· n－1 n ＝a1 n ＝1 n.当 n＝1 时也满足此等式，∴an＝1 n. 【例 2】(2020·开封一模)在数列{an}中，a1＝3，(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an(n≥1)，则 an＝________. 【答案】 6 3n－1 【解析】 ∵(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an，∴an＋1＝3n－1 3n＋2an，∴an＝3(n－1)－1 3(n－1)＋2·3(n－2)－1 3(n－2)＋2·…· 3 × 2－1 3 × 2＋2·3－1 3＋2·a1＝ 3n－4 3n－1×3n－7 3n－4×…×5 8×2 5×3＝ 6 3n－1，当 n＝1 时，满足此等式，∴an＝ 6 3n－1.       nS 2类型二 形如 an＋1＝an＋f(n)，求 an 【题型要点】根据形如 an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出 an－a1 与 n 的关系式，进而得到 an 的通项公式．　 累加法求通项公式的四步骤 【例 3】设数列{an}满足 a1＝1，且 an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 【答案】an＝n2＋n 2 (n∈N*) 【解析】　由题意有 a2－a1＝2，a3－a2＝3，…， an－an－1＝n(n≥2)． 以上各式相加，得 an－a1＝2＋3＋…＋n＝ （n－1）（2＋n） 2 ＝n2＋n－2 2 . 又因为 a1＝1，所以 an＝n2＋n 2 (n≥2)． 因为当 n＝1 时也满足上式， 所以 an＝n2＋n 2 (n∈N*)． 【例 4】已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，求通项公式 an. 【答案】an＝2＋ln n(n∈N*) 【解析】 ∵an＋1＝an＋ln ， ∴an－an－1＝ln ＝ln n n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln n n－1＋ln n－1 n－2＋…＋ln 3 2＋ln 2＋2 ＝2＋ln ＝2＋ln n(n≥2)．又 a1＝2 适合上式，故 an＝2＋ln n(n∈N*)．      + n 11      + n 11      + 1- 11 n      ⋅⋅⋅⋅− −⋅− 22 3 2 1 1 n n n n类型三　形如 an＋1＝pan＋q(p≠0 且 p≠1)，求 an 【题型要点】根据形如 an＋1＝pan＋q 的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为 p 的等比数列{an＋x}， 即将原递推关系式化为 an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出数列{an＋x}的通项公式，最后求{an}的通项公 式．　 构造法求通项公式的三步骤 【例 5】已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式． 【答案】an＝2·3n－1－1(n∈N*) 【解析】　因为 an＋1＝3an＋2，所以 an＋1＋1＝3(an＋1)，所以an＋1＋1 an＋1 ＝3，所以数列{an＋1}为等比数列且 公比 q＝3，又 a1＋1＝2，所以 an＋1＝2·3n－1，所以 an＝2·3n－1－1(n∈N*)． 【例 6】已知数列{an}中，a1＝3，且点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线 4x－y＋1＝0 上，则数列{an}的通项公式 为________． 【答案】：an＝10 3 ×4n－1－1 3 【解析】：因为点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线 4x－y＋1＝0 上， 所以 4an－an＋1＋1＝0. 所以 an＋1＋1 3＝4 . 因为 a1＝3，所以 a1＋1 3＝10 3 . 故数列 是首项为10 3 ，公比为 4 的等比数列． 所以 an＋1 3＝10 3 ×4n－1，故数列{an }的通项公式为 an＝10 3 ×4n－1－1 3. 类型四 形如 an＋1＝ (A，B，C 为常数)，求 an 【题型要点】根据形如 an＋1＝ Aan Ban＋C(A，B，C 为常数)的递推关系式求通项公式时，一般对递推式两边同      + 3 1 na      + 3 1 na CBa Aa n n +时取倒数，当 A≠C 时，化为 1 an＋1＋x＝C A 的形式，可构造公比为C A的等比数列 ，其中用待 定系数法求 x 是关键，当 A＝C 时，可构成一个等差数列．　 【例 7】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ 2an an＋2，求数列{an}的通项公式． 【答案】an＝ 2 n＋1(n∈N*) 【解析】　因为 an＋1＝ 2an an＋2，a1＝1，所以 an≠0， 所以 1 an＋1＝ 1 an＋1 2，即 1 an＋1－ 1 an＝1 2. 又 a1＝1，则 1 a1＝1，所以 是以 1 为首项，1 2为公差的等差数列． 所以 1 an＝ 1 a1＋(n－1)×1 2＝n 2＋1 2.所以 an＝ 2 n＋1(n∈N*)． 题型四 数列的函数特征 类型一　数列的单调性 【题型要点】判断数列的单调性的方法 (1)作差比较法：an＋1－an＞0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－an＜0⇔数列{an}是递减数列；an＋1－an＝0⇔数 列{an}是常数列． (2)作商比较法：ⅰ.当 an＞0 时，则an＋1 an ＞1⇔数列{an}是递增数列；an＋1 an ＜1⇔数列{an}是递减数列；an＋1 an ＝1⇔ 数列{an}是常数列；ⅱ.当 an＜0 时，则an＋1 an ＞1⇔数列{an}是递减数列；an＋1 an ＜1⇔数列{an}是递增数列；an＋1 an ＝1⇔数列{an}是常数列． (3)结合相应函数的图象直观判断．　 【例 1】已知{a n}是递增数列，且对于任意的 n∈N * ，a n ＝n 2 ＋λn 恒成立，则实数 λ 的取值范围是 ________． 【答案】　(－3，＋∞) 【解析】　法一(定义法)：因为{an}是递增数列，所以对任意的 n∈N*，都有 an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞ n2＋λn，整理，得 2n＋1＋λ＞0，即 λ＞－(2n＋1)　(*)．因为 n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成 立，只需 λ＞－3. 法二(函数法)：设 f(n)＝an＝n2＋λn，其图象的对称轴为直线 n＝－λ 2，要使数列{an}为递增数列，只需使定       + xan 1       + xan 1       na 1义在正整数集上的函数 f(n)为增函数，故只需满足 f(1)＜f(2)，即 λ＞－3. 【例 2】 已知 an＝n＋0.99 n－0.99，那么数列{an}是( ) A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】 A 【解析】 an＝n＋0.99 n－0.99＝n－0.99＋1.98 n－0.99 ＝1＋ 1.98 n－0.99，因为函数 y＝1＋ 1.98 x－0.99在(0.99，＋∞)上是减函数，所 以数列{an}是递减数列． 类型二　求最大(小)项 【题型要点】求数列最大(小)项的方法 (1)构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． (2)利用{an ≥ an＋1， an ≥ an－1 求数列中的最大项 an；利用{an ≤ an＋1， an ≤ an－1 求数列中的最小项 an.当解不唯一时，比较各解大 小即可确定．　 【例 3】已知数列{an}的通项公式为 an＝9n（n＋1） 10n ，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最 大项是多少？若没有，说明理由． 【答案】见解析 【解析】　法一：an＋1－an＝9n＋1（n＋2） 10n＋1 －9n（n＋1） 10n ＝ 9n 10n·8－n 10 ， 当 n＜8 时，an＋1－an＞0，即 an＋1＞an； 当 n＝8 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n＞8 时，an＋1－an＜0，即 an＋1＜an. 则 a1＜a2＜a3＜…＜a8＝a9＞a10＞a11＞…，故数列{an}有最大项，为第 8 项和第 9 项，且 a8＝a9＝98 × 9 108 ＝ 99 108. 法二：设数列{an}的第 n 项最大，则{an ≥ an－1， an ≥ an＋1， 即{9n（n＋1） 10n ≥ 9n－1n 10n－1， 9n（n＋1） 10n ≥ 9n＋1（n＋2） 10n＋1 ， 解得 8≤n≤9，又 n∈N*，则 n＝8 或 n＝9.故数列{an}有最大项，为第 8 项和 第 9 项，且 a8＝a9＝ 99 108.【例 4】(2020·大庆模拟)已知数列{a n}的通项公式 a n ＝(n＋2) ，则数列{a n}的项取最大值时，n＝ ________. 【答案】 4 或 5 【解析】 因为 an＋1－an＝(n＋3) －(n＋2) ＝ [6(n＋3) 7 －(n＋2)]＝ ·4－n 7 . 当 n0，即 an＋1>an； 当 n＝4 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n>4 时，an＋1－an0，所以 an＝ n2＋1－n，n∈N*. (2)证明：an＋1 an ＝ (n＋1)2＋1－(n＋1) n2＋1－n ＝ n2＋1＋n (n＋1)2＋1＋(n＋1)0，所以 an＋1