2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破专题6.5 高考解答题热点题型---数列的综合应用（解析版）

1 / 13 2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题 6.5 高考解答题热点题型---数列的综合应用 目录 一、题型全归纳 ...........................................................................................................................................................1 热点题型一 等差数列与等比数列的综合问题 .................................................................................................1 热点题型二 数列求和 .........................................................................................................................................4 热点题型三 数列与不等式的综合问题 .............................................................................................................8 热点题型四 数列与函数的综合问题 ...............................................................................................................12 一、题型全归纳 热点题型一 等差数列与等比数列的综合问题 【解题指导】等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如求和需要先求出通项、求出 通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序． (2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨 大的． 【易错提醒】在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后要注意结论的整 合． 【例 1】设数列{an}的前 n 项和为 Sn，n∈N*.已知 a1＝1，a2＝3 2，a3＝5 4，且当 n≥2 时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋ Sn－1. (1)求 a4 的值； (2)证明： 为等比数列； (3)求数列{an}的通项公式． 【解题思路】　(1)当 n＝2 时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，   −+ nn aa 2 1 1 2 / 13 由此推出 a4 与 a1，a2，a3 的关系，求 a4. (2)用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)及 4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1 推出数列{an}的递推公式→求证 an＋2－1 2an＋1 an＋1－1 2an 为常数，其 中 n∈N*. (3)由(2)求出 an＋1－1 2an→构造等差数列，并求通项公式→求{an}的通项公式． 【规范解答】　(1)当 n＝2 时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即 4(a1＋a2＋a3＋a4)＋5(a1＋a2)＝8(a1＋a2＋a3)＋a1，整 理得 a4＝4a3－a2 4 ，又 a2＝3 2，a3＝5 4，所以 a4＝7 8. (2)证明：当 n≥2 时，有 4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1， 即 4Sn＋2＋4Sn＋Sn＝4Sn＋1＋4Sn＋1＋Sn－1， 所以 4(Sn＋2－Sn＋1)＝4(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)， 即 an＋2＝an＋1－1 4an(n≥2)． 经检验，当 n＝1 时，上式成立． 因为 an＋2－1 2an＋1 an＋1－1 2an ＝ (an＋1－1 4an)－1 2an＋1 an＋1－1 2an ＝ 1 2(an＋1－1 2an) an＋1－1 2an ＝1 2为常数，且 a2－1 2a1＝1， 所以数列 是以 1 为首项，1 2为公比的等比数列． (3)由(2)知，an＋1－1 2an＝ 1 2n－1(n∈N*)，等式两边同乘 2n，得 2nan＋1－2n－1an＝2(n∈N*)． 又 20a1＝1，所以数列{2n－1an}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 2n－1an＝2n－1，即 an＝2n－1 2n－1 (n∈N*)． 则数列{an}的通项公式为 an＝2n－1 2n－1 (n∈N*)． 【训练 1】(2020·吉林第一次调研测试)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a2＝3，an＋1＝2an＋1. (1)证明：{an＋1}为等比数列； (2)求{an}的通项公式，并判断 n，an，Sn 是否成等差数列？说明理由． 【答案】见解析 【解析】：(1)证明：因为 a2＝3，a2＝2a1＋1，所以 a1＝1，   −+ nn aa 2 1 1 3 / 13 因为 an＋1＝2an＋1，所以 an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以{an＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． (2)由(1)知，an＋1＝2n，所以 an＝2n－1， 所以 Sn＝2－2n＋1 1－2 －n＝2n＋1－n－2， 所以 n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0， 所以 n＋Sn＝2an，即 n，an，Sn 成等差数列． 【训练 2】已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S1＋1，S3，S4 成等差数列，且 a1，a2，a5 成等 比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 S4，S6，Sn 成等比数列，求 n 及此等比数列的公比. 【答案】见解析 【解析】　(1)设数列{an}的公差为 d 由题意可知Error!整理得Error!即Error! ∴an＝2n－1. (2)由(1)知 an＝2n－1，∴Sn＝n2， ∴S4＝16，S6＝36， 又 S4Sn＝S26，∴n2＝362 16 ＝81， ∴n＝9，公比 q＝S6 S4＝9 4. 热点题型二 数列求和 【解题指导】　(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息. (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等. 【例 1】已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n＋1－2，记 bn＝anSn(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【解题思路】　(1)利用 an＝Error!求 an. (2)先由 bn＝anSn，求 bn 并整理，再依据 bn 的结构形式选择求和方法． 【规范解答】　(1)∵Sn＝2n＋1－2， 4 / 13 ∴当 n＝1 时，a1＝S1＝21＋1－2＝2， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n， 又 a1＝2＝21，∴an＝2n. (2)由(1)知，bn＝anSn＝2·4n－2n＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2(41＋42＋…＋4n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝2×4(1－4n) 1－4 －4(1－2n) 1－2 ＝2 3·4n＋1－2n＋2＋4 3. 【例 2】(2019·河北邯郸一模)已知数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，bn－an＝2n＋1，且 Sn＋Tn＝2n＋ 1＋n2－2. (1)求 Tn－Sn； (2)求数列 的前 n 项和 Rn. 【解题思路】　(1)Tn－Sn 转化为数列{bn－an}的前 n 项和→分组求和． (2)求 Sn→求 an→求 bn→求bn 2n→用错位相减法求和． 【规范解答】　(1)依题意可得 b1－a1＝3，b2－a2＝5，…， bn－an＝2n＋1， ∴Tn－Sn＝(b1＋b2＋…＋bn)－(a1＋a2＋…＋an) ＝(b1－a1)＋(b2－a2)＋…＋(bn－an)＝n＋(2＋22＋…＋2n)＝2n＋1＋n－2. (2)∵2Sn＝Sn＋Tn－(Tn－Sn)＝n2－n， ∴Sn＝n2－n 2 ，∴an＝n－1. 又 bn－an＝2n＋1，∴bn＝2n＋n，∴bn 2n＝1＋ n 2n， ∴Rn＝n＋(1 2＋ 2 22＋…＋ n 2n)， 则 1 2Rn＝1 2n＋( 1 22＋ 2 23＋…＋ n 2n＋1)， ∴1 2Rn＝1 2n＋(1 2＋ 1 22＋…＋ 1 2n)－ n 2n＋1， 故 Rn＝n＋2× 1 2－ 1 2n＋1 1－1 2 － n 2n＝n＋2－n＋2 2n . 【训练 1】已知数列{an}满足 an≠0，a1＝1 3，an－an＋1＝2anan＋1，n∈N＋.   n nb 2 5 / 13 (1)求证： 是等差数列，并求出数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 bn＝2n an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【解】　(1)由已知可得， 1 an＋1－ 1 an＝2， ∴ 是首项为 3，公差为 2 的等差数列， ∴ 1 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， ∴an＝ 1 2n＋1. (2)由(1)知 bn＝(2n＋1)2n， ∴Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)2n－1＋(2n＋1)2n， 2Tn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)2n＋(2n＋1)·2n＋1， 两式相减得，－Tn＝6＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)2n＋1. ＝6＋8－2 × 2n × 2 1－2 －(2n＋1)2n＋1 ＝－2－(2n－1)2n＋1， ∴Tn＝2＋(2n－1)2n＋1. 【训练 2】已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝a2n＋3an＋2(t∈R). ①求数列{an}的通项公式； ②若数列{bn}满足 b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列 的前 n 项和 Tn. 【解】　①因为 a1＝1，且(t＋1)Sn＝a2n＋3an＋2， 所以(t＋1)S1＝a21＋3a1＋2， 所以 t＝5. 所以 6Sn＝a2n＋3an＋2.(ⅰ) 当 n≥2 时，有 6Sn－1＝a 2n－1＋3an－1＋2，(ⅱ) (ⅰ)－(ⅱ)得 6an＝a2n＋3an－a 2n－1－3an－1， 所以(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0，       na 1       na 1       + nbn 72 1 6 / 13 因为 an>0，所以 an－an－1＝3， 又因为 a1＝1， 所以{an}是首项 a1＝1，公差 d＝3 的等差数列， 所以 an＝3n－2(n∈N＋). ②因为 bn＋1－bn＝an＋1，b1＝1， 所以 bn－bn－1＝an(n≥2，n∈N＋)， 所以当 n≥2 时， bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1 ＝an＋an－1＋…＋a2＋b1＝3n2－n 2 . 又 b1＝1 也适合上式， 所以 bn＝3n2－n 2 (n∈N＋). 所以 1 2bn＋7n＝ 1 3n2－n＋7n ＝1 3· ＝1 6· ， 所以 Tn＝1 6·(1－1 3＋1 2－1 4＋…＋1 n－ 1 n＋2) ＝1 6·(3 2－ 1 n＋1－ 1 n＋2)， ＝ 热点题型三 数列与不等式的综合问题 【解题指导】 数列与不等式的交汇问题 (1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不 等式特殊赋值得出数列中的不等式； (2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到. 【例 1】(2020·山西大学附中模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2Sn＝nan＋2an－1. (1)求数列{an}的通项公式； ( )2 1 +nn      +− 2 11 nn ( )( )2112 53 2 ++ + nn nn 7 / 13 (2)若数列 的前 n 项和为 Tn，求证：Tn2n＋n＋2λ，得 λ>2n＋n 2n＋1 ＝1 2＋ n 2n＋1. 又n＋1 2n＋2－ n 2n＋1＝1－n 2n＋2≤0，所以，当 n＝1,2 时，2n＋n 2n＋1 取得最大值3 4，故 λ 的取值范围为(3 4，＋∞). 【训练 1】已知数列{an}中，a1＝1 2，其前 n 项的和为 Sn，且满足 an＝ 2S2n 2Sn－1(n≥2). (1)求证：数列 是等差数列； (2)证明：S1＋1 2S2＋1 3S3＋…＋1 nSn