2021年高考数学（文）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破专题6.2 等差数列及其前n项和（解析版）

2021 年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题 6.2 等差数列及其前 n 项和 目录 一、题型全归纳 ...........................................................................................................................................................1 题型一 等差数列基本量的计算 .........................................................................................................................1 题型二 等差数列的判定与证明 .........................................................................................................................4 题型三 等差数列性质的应用 .............................................................................................................................6 类型一　等差数列项的性质的应用 ...........................................................................................................7 类型二 等差数列前 n 项和性质的应用 ...................................................................................................8 题型四 等差数列前 n 项和的最值问题 ...........................................................................................................10 二、高效训练突破 .....................................................................................................................................................12 一、题型全归纳 题型一 等差数列基本量的计算 【题型要点】1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 差数列．符号表示为 an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)． (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A＝a＋b 2 ，其中 A 叫做 a，b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前 n 项和公式：Sn＝na1＋n（n－1） 2 d＝ （a1＋an）n 2 ． 3.等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差 d，然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程(组)求 解． (2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体 现了用方程的思想解决问题．　 4.等差数列设项技巧 若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为 a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值 时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元(注意此时数列的公差为2d)． 【例 1】已知等差数列{an}中，a1＋a4＝7 6，a3＋a6＝5 6，则公差 d＝(　　) A.1 6　　　 B． 1 12　　　　 C．－1 6　　　 D．－ 1 12 【答案】D 【解析】解法一：由{a1＋a4＝7 6， a3＋a6＝5 6， 得{2a1＋3d＝7 6， 2a1＋7d＝5 6， 解得{a1＝17 24， d＝－ 1 12， 故选 D. 解法二：由等差数列的性质知，a3＋a6＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＝(a1＋a4)＋4d＝5 6，又 a1＋a4＝7 6，所以 d＝－ 1 12.故选 D. 【例 2】在公差不为 0 的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则 1 5a4＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C. 【解析】：法一：设{an}的公差为 d(d≠0)，由 4a3＋a11－3a5＝10，得 4(a1＋2d)＋(a1＋10d)－3(a1＋4d)＝10， 即 2a1＋6d＝10，即 a1＋3d＝5，故 a4＝5，所以 1 5a4＝1，故选 C. 法二：设{an}的公差为 d(d≠0)，因为 an＝am＋(n－m)d，所以由 4a3＋a11－3a5＝10，得 4(a4－d)＋(a4＋7d)－ 3(a4＋d)＝10，整理得 a4＝5，所以 1 5a4＝1，故选 C. 法三：由等差数列的性质，得 2a7＋3a3－3a5＝10，得 4a5＋a3－3a5＝10，即 a5＋a3＝10，则 2a4＝10，即 a4 ＝5，所以 1 5a4＝1，故选 C. 【例 3】记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝1 2n2－2n 【答案】A 【解析】　法一：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 因为{S4＝0， a5＝5，所以{4a1＋4 × 3 2 d＝0， a1＋4d＝5， 解得{a1＝－3， d＝2， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋ n（n－1） 2 d＝n2－4n.故选 A. 法二：设等差数列{an}的公差为 d， 因为{S4＝0， a5＝5，所以{4a1＋4 × 3 2 d＝0， a1＋4d＝5， 解得{a1＝－3， d＝2. 选项 A，a1＝2×1－5＝－3； 选项 B，a1＝3×1－10＝－7，排除 B； 选项 C，S1＝2－8＝－6，排除 C； 选项 D，S1＝1 2－2＝－3 2，排除 D.故选 A. 题型二 等差数列的判定与证明 【题型要点】判定数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意 n∈N*，an＋1－an 是同一个常数．见举例说明． (2)等差中项法：对任意 n≥2，n∈N*，满足 2an＝an＋1＋an－1. (3)通项公式法：数列的通项公式 an 是 n 的一次函数． (4)前 n 项和公式法：数列的前 n 项和公式 Sn 是 n 的二次函数，且常数项为 0. 【易错提醒】：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断． 【例 1】(2020·河北衡水中学调研)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2n－1.数列{bn}满足 b1＝2，bn＋1－2bn ＝8an. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列 为等差数列，并求{bn}的通项公式． 【答案】见解析 【解析】　(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝21－1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1. 因为 a1＝1 适合通项公式 an＝2n－1， 所以 an＝2n－1. (2)证明：因为 bn＋1－2bn＝8an，   n nb 2 所以 bn＋1－2bn＝2n＋2， 即bn＋1 2n＋1－bn 2n＝2. 又b1 21＝1， 所以 是首项为 1，公差为 2 的等差数列． 所以bn 2n＝1＋2(n－1)＝2n－1. 所以 bn＝(2n－1)×2n. 【例 2】(2020·贵州适应性考试)已知数列{an}满足 a1＝1，且 nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n. (1)求 a2，a3； (2)证明数列 是等差数列，并求{an}的通项公式． 【答案】见解析 【解析】 (1)由已知，得 a2－2a1＝4， 则 a2＝2a1＋4，又 a1＝1，所以 a2＝6. 由 2a3－3a2＝12，得 2a3＝12＋3a2，所以 a3＝15. (2)由已知 nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n， 得nan＋1－(n＋1)an n(n＋1) ＝2，即an＋1 n＋1－an n ＝2， 所以数列 是首项为a1 1 ＝1，公差为 d＝2 的等差数列．则an n ＝1＋2(n－1)＝2n－1， 所以 an＝2n2－n. 【例 3】(2020·沈阳模拟)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，S2＝2，S3＝－6. (1)求数列{an}的通项公式和前 n 项和 Sn； (2)是否存在正整数 n，使 Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3 成等差数列？若存在，求出 n；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】 (1)设数列{an}的公差为 d， 则Error! ∴Error!∴an＝4－6(n－1)＝10－6n，   n nb 2   n an   n an Sn＝na1＋n(n－1) 2 d＝7n－3n2. (2)由(1)知 Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2＝－6n2－4n－6， 2(Sn＋2＋2n)＝2(－3n2－5n＋2＋2n)＝－6n2－6n＋4， 若存在正整数 n 使得 Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3 成等差数列， 则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得 n＝5， ∴存在 n＝5，使 Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3 成等差数列． 题型三 等差数列性质的应用 【题型要点】1.等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an． (3)若{an}的公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2d． (4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 2.应用等差数列的性质解题的三个注意点 (1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现 am－n，am，am＋ n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与 am(或其他项)有关的条件；若求 am 项，可由 am＝1 2(am－n＋am ＋n)转化为求 am－n，am＋n 或 am＋n＋am－n 的值． (2)要注意等差数列通项公式及前 n 项和公式的灵活应用，如 an＝am＋(n－m)d，d＝ an－am n－m ，S2n－1＝(2n－ 1)an，Sn＝n(a1＋an) 2 ＝n(a2＋an－1) 2 (n，m∈N*)等． (3)当项数为偶数 2n 时，S 偶－S 奇＝nd；项数为奇数 2n－1 时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n∶(n－1)． 类型一　等差数列项的性质的应用 【例 1】在公差不为 0 的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则 1 5a4＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C　 【解析】通解：设数列{an}的公差为 d(d≠0)，由 4a3＋a11－3a5＝10，得 4(a1＋2d)＋(a1＋10d)－3(a1＋4d)＝ 10，即 2a1＋6d＝10，即 a1＋3d＝5，故 a4＝5，所以 1 5a4＝1，故选 C. 优解一：设数列{an}的公差为 d(d≠0)，因为 an＝am＋(n－m)d，所以由 4a3＋a11－3a5＝10，得 4(a4－d)＋(a4＋ 7d)－3(a4＋d)＝10，整理得 a4＝5，所以 1 5a4＝1，故选 C. 优解二：由等差数列的性质，得 2a7＋3a3－3a5＝10，得 4a5＋a3－3a5＝10，即 a5＋a3＝10，则 2a4＝10，即 a4＝5，所以 1 5a4＝1，故选 C. 【例 2】等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则 2a9－a10 的值是(　　) A．20 B．22 C．24 D．－8 【答案】C 【解析】　因为 a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以 a8＝24，所以 2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. 【题后反思】项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－an m－n ＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)， (m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差． 类型二 等差数列前 n 项和性质的应用 【例 3】在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前 n 项和为 Sn，若S12 12－S10 10＝2，则 S2 018 的值等于(　　) A．－2 018 B．－2 016 C．－2 019 D．－2 017 【答案】A 【解析】　(1)由题意知，数列 为等差数列，其公差为 1，所以S2 018 2 018＝S1 1 ＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017 ＝－1.　所以 S2 018＝－2 018. 【例 4】已知等差数列{an}的前 10 项和为 30，它的前 30 项和为 210，则前 20 项和为(　　) A．100 B．120 C．390 D．540 【答案】A 【解析】设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则 S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列， 所以 2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， 又等差数列{an}的前 10 项和为 30，前 30 项和为 210，   n Sn 所以 2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得 S20＝100. 【例 5】(2020·太原模拟)一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 32∶27，则该数列的公差 d 为_______。 【答案】5 【解析】 设等差数列的前 12 项中奇数项的和为 S 奇，偶数项的和为 S 偶，等差数列的公差为 d.由已知条件， 得 Error!解得Error! 又 S 偶－S 奇＝6d，所以 d＝192－162 6 ＝5. 【例 6】等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，若Sn Tn＝3n－2 2n＋1，则a7 b7等于(　　) A.37 27 B．38 28 C.39 29 D．40 30 【答案】A 【解析】：.a7 b7＝2a7 2b7＝a1＋a13 b1＋b13＝ 13 2 （a1＋a13） 13 2 （b1＋b13） ＝S13 T13＝3 × 13－2 2 × 13＋1＝37 27. 【题后反思】和的性质：(1)在等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an； ③ 是首项为 a1，公差为d 2的等差数列．　 (2)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝nd，S 奇 S 偶＝ an an＋1； ②若项数为 2n－1，则 S 偶＝(n－1)an，S 奇＝nan，S 奇－S 偶＝an，S 奇 S 偶＝ n n－1. (3)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和 Sn，Tn 之间的关系为S2n－1 T2n－1＝an bn. 题型四 等差数列前 n 项和的最值问题 【题型要点】(1)等差数列前 n 项和的性质   n Sn 在等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an； ③当项数为偶数 2n 时，S 偶－S 奇＝nd；项数为奇数 2n－1 时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n∶(n－1)． (2)求数列前 n 项和的最值的方法 ①通项法：〈1〉若 a1＞0，d＜0，则 Sn 必有最大值，其 n 可用不等式组{an ≥ 0， an＋1 ≤ 0来确定；〈2〉若 a1＜0，d ＞0，则 Sn 必有最小值，其 n 可用不等式组{an ≤ 0， an＋1 ≥ 0来确定． ②二次函数法：等差数列{an}中，由于 Sn＝na1＋n（n－1） 2 d＝d 2n2＋ n，故可用二次函数求最值的 方法来求前 n 项和的最值，这里应由 n∈N*及二次函数图象的对称性来确定 n 的值． ③不等式组法：借助 Sn 最大时，有{Sn ≥ Sn－1， Sn ≥ Sn＋1 (n≥2，n∈N*)，解此不等式组确定 n 的范围，进而确定 n 的 值和对应 Sn 的值(即 Sn 的最值)． 【例 1】(2020·广东省七校联考)已知等差数列{a n}的前 n 项和为 Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，则 Sn 取得最大 值时 n 的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】　法一：设数列{an}的公差为 d，则由题意得，{a1＋5d＋a1＋7d＝6， a1＋6d＋a1＋7d＋a1＋8d＝3，解得{a1＝15， d＝－2. 所以 an ＝－2n＋17，由于 a8＞0，a9＜0，所以 Sn 取得最大值时 n 的值是 8，故选 D. 法二：设数列{an}的公差为 d，则由题意得， {a1＋5d＋a1＋7d＝6， a1＋6d＋a1＋7d＋a1＋8d＝3，解得{a1＝15， d＝－2，则 Sn＝15n＋ n（n－1） 2 ×(－2)＝－(n－8)2＋64，所以当 n＝8 时，Sn 取得最大值，故选 D. 【例 2】 (2019·北京高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＝－3，S5＝－10，则 a5＝________，Sn 的 最小值为________． 【答案】 0 －10 【解析】 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d.由 S5＝5 2(a1＋a5)＝5 2×2a3＝－10，得 a3＝－2，∴d＝a3－a2 ＝－2－(－3)＝1，∴a1＝－3－1＝－4，∴a5＝a1＋4d＝－4＋4＝0.      − 21 da 解法一：∵a1＝－4，d＝1，∴Sn＝－4n＋n(n－1) 2 ×1＝1 2(n2－9n)＝1 2 －81 8 . ∵n∈N*，∴当 n＝4 或 5 时，Sn 取最小值，为 S4＝S5＝－10. 解法二：∵a1＝－4，d＝1，∴an＝－4＋(n－1)×1＝n－5.由 an≤0 得 n≤5，且 n＝5 时，a5＝0，故当 n＝4 或 5 时，Sn 取最小值，为 S4＝S5＝5 × (－4＋0) 2 ＝－10. 【例 3】(2020·华中师范大学附中模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn＝3·2n(n∈N＋)，数列{bn}为等差数列，其 前 n 项和为 Tn，若 b2＝a5，b10＝S3，则 Tn 取最大值时 n＝________. 【答案】 17 或 18 【解析】 由已知得 b2＝a5＝S5－S4＝3×25－3×24＝48， b10＝S3＝3×23＝24. 设等差数列{bn}的公差为 d， 则 8d＝b10－b2＝－24，d＝－3， 所以 bn＝b2＋(n－2)d＝48－3(n－2)＝54－3n， 所以当 1≤n≤18 时，bn≥0， 当 n≥19 时，bn