2021 高考数学一轮复习：函数解析式讲与练
01 待定系数法求函数的解析式
【典例讲解】
【例 1】已知 是一次函数，且有 ，则 的解析式为______．
【答案】 或
【解析】
【分析】运用待定系数法设 ，由已知条件和恒等式思想，得出关于 的方程组，可
得出 的解析式.
【详解】由题意设 ， ———————————————————————设
则有 ，因为 ，
则 ， ——————————————————————列
解得 或 ， ——————————————————————解
或 ， ——————————————————————答
【点睛】本题考查运用待定系数法求函数的解析式，关键在于恒等式的思想，对照系数相等，属于中档题.
【例 2】已知二次函数 ，其图象过点 ，且满足 ，则 的解析式
为______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件可得 ，再根据 恒相等可得 满足的方程组，
求出 的值后可得 的解析式.
【详解】设 ， ——————————————————————设
所以 ，
又已知 ，又 ，
( )y f x= [ ( )] 16 15f f x x= − ( )f x
( ) 4 3f x x= − ( ) 4 5f x x= − +
( ) ( 0)f x ax b a= + ≠ ,a b
( )f x
( ) ( 0)f x ax b a= + ≠
2( ( )) ( )= + + = + +f f x a ax b b a x ab b [ ( )] 16 15f f x x= −
2 16
15
a
ab b
=
+ = −
4
5
a
b
= −
=
4
3
a
b
=
= −
( ) 4 3f x x∴ = − ( ) 4 5f x x= − +
( )f x ( )1, 1− ( ) ( )2 4 4f x f x x+ = + + ( )f x
( ) 2 2f x x= -
1a b c+ + = − ( ) ( )2 4 4f x f x x+ = + + , ,a b c
, ,a b c ( )f x
( ) ( )2 0f x ax bx c a= + + ≠
( ) ( )2( 2) 2 2+ = + + + +f x a x b x c
(1) 1= −f ( ) ( )2 4 4f x f x x+ = + +化简得到 恒相等，
所以 ， ——————————————————————列
解得 ， ， ， ——————————————————————解
所以 的解析式为 . ——————————————————————答
【小结】用待定系数法求函数的解析式的基本步骤：
1、 设：根据函数类型设出函数的解析式； 2、列：根据条件列出不等式；
3、 解：解方程； 4、答：写出解析式，回答问题。
一、单选题
1．已知二次函数的图象的顶点坐标为 ，且过点 ，则该二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设二次函数的解析式为 ，将 代入上式， 得 ，
所以 .
2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物.已知该动物的数量 （只）
与引入时间 （年）的关系为 ，若该动物在引入一年后的数量为 100，则到第 7 年它们的
数量为（ ）
A．300 B．400 C．600 D．700
【答案】A
【解析】将 ， 代入 中，所得 ，解得 ，则
，所以当 时， .
3．已知函数 且 的图象恒过定点 ，点 在幂函数 的图象上，则
（ ）
A． B．-1 C．1 D．2
( ) ( )4 4 2 4 4a b x a b c b x c+ + + + = + + +
4 4
4 2 4
1
a b b
a b c c
a b c
+ = +
+ + = +
+ + = −
1a = 0b = 2c = −
( )f x ( ) 2 2f x x= -
(11)， (2 )2，
2 1y x= + ( )21 1y x= − − +
( )21 1y x= − + ( )21 1y x= − −
( )21 1y a x= − + (2 )2， ( )22 2 1 1a= − + 1a =
( )21 1y x= − +
y
x ( )2log 1y a x= +
1x = 100y = ( )2log 1y a x= + ( )2100 log 1 1a= + 100a =
( )2100log 1y x= + 7x = ( )2100log 7 1 300y = + =
2 3( 0xy a a−= + > 1)a ≠ P P ( )y f x=
( )3log 3f =
2−【答案】D
【解析】 函数 且 的图象恒过定点 ，点 在幂函数 的图象上，
，
设幂函数 ，则 ，解得 ， ， ，则
．
4．已知函数 f(x)＝x2＋px＋q 满足 f(1)＝f(2)＝0，则 f(－1)的值是( )
A．5 B．－5
C．6 D．－6
【答案】C
【解析】 满足 f
将①②联立成方程组并解之得 ， 故选 C
5．如图，函数 的图象是两条线段 其中点 的坐标分别为 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数图象可知 ，则 ，所以
由函数图象可知当 时, ，设直线 的解析式为 ，代入可得
,解得 ，则当 时 ,则 .
6．设 为一次函数，若 ，且 ， ， 成等比数列，则
2 3( 0xy a a−= + > 1)a ≠ P P ( )y f x=
(2,4)P∴
( ) ay f x x= = 2 4a = 2a = 2( )f x x∴ = ( ) 23 3 9f∴ = =
( )3 3log 3 log 9 2f = =
2f x x px q= + + （ ） 1 2 0f= =（） （ ） 1 1 0 2 4 2 0f p q f p q∴ = + + = = + + =（） ①（ ） ②
3 2p q= − =， 2 3 2 1 6f x x x f∴ = − + ∴ − =（ ） （ ）
( )f x ,AB BC , ,A B C (0,1),(2,2),(3,0)
( ( (3)))f f f
0 1 2 3
2
( )3 0f = ( )( ) ( )3 0 1f f f= = ( ( (3))) ( (0)) (1)f f f f f f= =
0 2x≤ ≤ ( ) ( )0,1 , 2,2A B AB y kx b= +
1
2 2
b
k b
=
= +
1
2
1
k
b
=
=
0 2x≤ ≤ 1( ) 12f x x= + 1 3(1) 1 12 2f = × + =
( )f x (0) 1f = (1)f (4)f (13)f的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 为一次函数且 ，可设 ，又 ， ， 成等比数列，
得 ，解得： ，所以 ，
.
7．已知函数 的图象过点 ，令 .记数列 的前 n 项和为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，可得 ，解得 ，则 .∴ ，
。
8．若函数 是幂函数，且图象过点 ，则函数 的单调增区间为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 是幂函数，且图象过点 ，所以 ，解得
所以 ，则 解得 ，令 ，
因为 在 上单调递增， 上单调递减，且 在定义域上单调递增，故
在 上单调递增， 上单调递减，
(2) (4) (6) (2 )f f f f n+ + +…+
(2 3)n n + ( 4)n n + 2 (2 3)n n + 2 (2 4)n n +
( )f x (0) 1f = ( ) ( )1 0f x kx k= + ≠ (1)f (4)f (13)f
( ) ( )( )24 1 1 13 1k k k+ = + + 2k = ( ) 2 1f x x= +
( ) ( ) ( )(2) (4) (6) (2 )= 2 2 1 2 4 1 2 2 1f f f f n n+ + + + × + + × + + + × +∴ … …
( ) ( ) 22 22 2 4 2 2 2 32
n nn n n n n
+= + + + + = × + = +…
( ) af x x= ( )4,2 *1 ,( 1) ( )na nf n f n
= ∈+ + N { }na nS
2021S =
2021 1− 2021 2022 2022 1−
( )4 2f = 4 2a = 1
2a = 1
2( )f x x=
1 1 1( 1) ( ) 1na n nf n f n n n
= = = + −+ + + +
2021 2 1 3 2 4 3 2022 2021 2022 1S∴ = − + − + − +…+ − = −
( ) ( )3 af x m x= − ( )2,4 ( ) ( )2logag x m x= −
( )2,0− ( ),0−∞ ( )0, ∞+ ( )0,2
( ) ( )3 af x m x= − ( )2,4 3 1
2 4a
m − =
=
4
2
m
a
=
=
( ) ( ) ( )2 2
2log log 4ag x m x x= − = − 24 0x− > 2 2x− < < ( ) 24t x x= − ( ) 2logg t t=
( )t x ( )2,0− ( )0,2 ( ) 2logg t t=
( ) ( ) ( )2 2
2log log 4ag x m x x= − = − ( )2,0− ( )0,29．已知 是一次函数，且 ， ，则 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，由题意 ，解得 ，∴ ．
10．已知 为二次函数,且满足 , ,则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ,因为 ,所以 .又 ,所以有
,解得 .
11．设某种蜡烛所剩长度 P 与点燃时间 t 的函数关系式是 .若点燃 6 分钟后，蜡烛的长为 17.4 cm；
点燃 21 分钟后，蜡烛的长为 8.4 cm，则这支蜡烛燃尽的时间为( )
A．21 分钟 B．25 分钟 C．30 分钟 D．35 分钟
【答案】D
【解析】由题 ,故 .当蜡烛燃尽时
12．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及
时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发
性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进
而腐败）.已知某种鱼失去的新鲜度 与其出海后时间 （分）满足的函数关系式为 .若出海后 10 分
钟，这种鱼失去的新鲜度为 10%，出海后 20 分钟，这种鱼失去的新鲜度为 20%，那么若不及时处理，打上
来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知 ，结果取整数）（ ）
A．33 分钟 B．43 分钟 C．50 分钟 D．56 分钟
【答案】B
( )f x ( )2 1f − = − ( ) ( )0 2 10f f+ = ( )f x
( ) 3 5f x x= + ( ) 3 2f x x= + ( ) 2 3f x x= + ( ) 2 3f x x= −
( )f x ax b= + ( 2) 2 1
(0) (2) 2 10
f a b
f f b a b
− = − + = −
+ = + + =
2
3
a
b
=
= ( ) 2 3f x x= +
( )f x ( )0 1f = ( ) ( )1 4f x f x x− − = ( )f x
( ) 22 2 1f x x x= − − + ( ) 22 2 1f x x x= − + +
( ) 22 2 1f x x x= − − − ( ) 22 2 1f x x x= − +
( ) 2 ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ ( )0 1f = 1c = ( ) ( )1 4f x f x x− − =
2 2 2 4( 1) ( 1) 1 ( 1) 4 2 4 0
aa x b x ax bx x ax a b x a b
− =− + − + − + + = ⇒ − + − = ⇒ − = 2a b= = −
P kt b＝ ＋
17.4 6 0.6
8.4 21 21
k b k
k b b
= + = − ⇒ = + = 0.6 21P t= − ＋ 0.6 21 0 35P t t= − = ⇒ =＋
h t th m a= ⋅
lg 2 0.3≈【解析】依题设有 解得 ， ，故 .
令 ，得 ，故 (分钟).
13．已知函数 ， ，则 _______．
【答案】3
【解析】由题意，得 ，即 ，解
得 ， ，因此 ，
14．若幂函数 f(x)的图象经过点(4， )，则 的值等于________.
【答案】
【解析】因为 f(x)为幂函数，所以设 ，因为 f(x)的图象经过点(4， )，所以
因此
15．已知二次函数 ，满足 ， .
（1）求函数 的解析式；
（2）求 在区间 上的最大值；
（3）若函数 在区间 上单调，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）5；（3） .
【解析】（1）由 ，得 ，由 ，得 ，
故 ，解得 ，所以 .
（2）由（1）得： ，则 的图象的对称轴方程为 ，
又 ， ，所以当 时 在区间 上取最大值为 5.
( )
( )
10
20
10 0.1,
20 0.2,
h ma
h ma
= = = =
1
102a = 0.05m = ( ) 1
100.05 2
t
h t
= ×
( ) 1
100.05 2 1
t
h t
= × =
1
102 20
t =
( )
1
10
10 1 0.3lg 20 1 lg 2 431 0.3lg 2lg 2 10
t
× ++= = = ≈
( ) ( 0)f x ax b a= − > ( ( )) 4 3f f x x= − (2)f =
2( ( )) ( ) ( ) ( ) 4 3f f x f ax b a ax b b a x ab b x= − = ⋅ − − = − + = −
2 4
3
0
a
ab b
a
=
+ =
>
2
1
a
b
=
= ( ) 2 1f x x∴ = − (2) 3f =
1
4
( )21 log 32f −
3
2
( )f x xα= 1
4
14 = 14
α α∴ = −
( )2 2
2
1 log 3 1 log 3 1 1 1
log 3
2 2 32 (2 ) ( ) ( )2 3 2f − − − − −= = = =
( ) 2f x ax bx c= + + ( )0 2f = ( ) ( )1 2 1f x f x x+ − = −
( )f x
( )f x [ ]1,2−
( )f x [ ], 1a a + a
( ) 2 2 2f x x x= − + ( ] [ ),0 1,−∞ ∪ +∞
( )0 2f = 2c = ( ) ( )1 2 1f x f x x+ − = − 2 2 1ax a b x+ + = −
2 2
1
a
a b
=
+ = −
1
2
a
b
=
= −
( ) 2 2 2f x x x= − +
( ) ( )22 2 2 1 1f x x x x= − + = − + ( )f x 1x =
( )1 5f − = ( )2 2f = 1x = − ( )f x [ ]1,2−（3）由于函数 在区间 上单调，因为 的图象的对称轴方程为 ，
所以 或 ，解得： 或 ，因此 的取值范围为： .
16．二次函数 满足条件：
①当 时， 的图象关于直线 对称；② ；③ 在 上的最小值为 .
求函数 的解析式．
【答案】
【解析】因为函数 图象的对称轴为直线 ， ，即 .
， .由条件③知， 且 ，即 .
所以 ，解得 ， .因此， .
17．已知函数 为常数)， 是函数 图象上的点.
（1）求实数 的值；
（2）将 的图象向右平移 3 个单位得到函数 的图象，若关于 的不等式
在区间 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ； （2） .
【解析】（1）由 是函数 图象上的点，则 ，可得 ，得 .
（2）由函数 ，将函数 的图象向右平移 3 个单位得到函数 的图象，
即 ，若关于 的不等式 在区间 上恒成立，
即 ，即 ，
即 在区间 上恒成立，即 ，得 ，
设 ，则 ，即 ，则 ，因为 ，所以当 时，函数
( )f x [ ], 1a a + ( )f x 1x =
1a ≥ 1 1a + ≤ 0a ≤ 1a ≥ a ( ] [ ),0 1,−∞ ∪ +∞
( ) ( )2 , , 0f x ax bx c a b R a= + + ∈ ≠
x∈R ( )f x 1x = − ( )1 1f = ( )f x R 0
( )f x
( ) 21 1 1
4 2 4f x x x= + +
( )y f x= 1x = − 12
b
a
∴− = − 2b a=
( )1 1f = 1a b c∴ + + = 0a >
24 04
ac b
a
− = 2 4 0b ac− =
2
2
1
4 0
0
b a
a b c
b ac
a
=
+ + = − =
>
1
4a c= = 1
2b = ( ) 21 1 1
4 2 4f x x x= + +
( ) 3log ( ),(f x x k k= + (2 ,2)A k ( )y f x=
k
( )y f x= ( )y g x= x
( )2 ( 3) 1f x m g x+ − − ≥ (0, )+∞ m
3k = 9[ , )16
+∞
(2 ,2)A k ( )y f x= 32 log (3 )k= 3 9k = 3k =
( ) 3log ( 3)f x x= + ( )y f x= ( )y g x=
( ) 3 3log ( 3 3) logg x x x= − + = x ( )2 ( 3) 1f x m g x+ − − ≥ (0, )+∞
3 32log ( ) log 1x m x+ − ≥ 3 3 32log ( ) log 1 log (3 )x m x x+ ≥ + =
3 3 3
12log ( ) log (3 ) log 32x m x x+ ≥ = (0, )+∞ 3x m x+ ≥ 3m x x≥ −
3x t= 23x t= 21 ,( 0)3x t t= > 213 3y x x t t= − = − 0t > 3
2t =求得最大值 ，即 ，所以 ，即实数 的取值范围是 .
18．一次函数 是 R 上的增函数， ， .
（1）求 ；
（2）对任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）∵一次函数 是 上的增函数，∴设 ，
，∴ ，解得 ， ∴ .
（2）对任意 ，恒有 等价于 在 上的最大值与最小值之差 ，
由（1）知 ， 的对称轴为 且开口向上，
在 上单调递增， ， ，
,解得 ，综上可知， .
3
4
3
4m ≥ 9
16m ≥ t 9[ , )16
+∞
( )f x [ ( )] 4 3f f x x= + 4 1( ) ( )( ) ( 0)2
mg x f x x m
−= + >
( )f x
1 2 [1,3]x x ∈， 1 2( ) ( ) 24g x g x− ≤ m
( ) 2 1f x x= + (0,1]
( )f x R ( ) ( 0)f x ax b a= + >
2([ ( )] 4 3)a ax b b a x ab bf f x x= + + =+ + +=
2 4
3
a
ab b
=
+ =
2
1
a
b
=
= ( ) 2 1f x x= +
1 2 [1,3]x x ∈， 1 2( ) ( ) 24g x g x− ≤ ( )g x [1,3] 24M ≤
24 1 4 1( ) ( )( ) 2 42 2
m mg x f x x x mx
− −= + = + + ( )g x 0x m= − <
( )g x∴ [1,3] max
4 1( ) (3) 12 18 2
mg x g m
−∴ = = + + min
4 1( ) (1) 4 2 2
mg x g m
−∴ = = + +
(3) (1) 8 16 24M g g m= − = + ≤ 1m £ (0,1]m∈
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