2021年高考数学一轮复习讲与练专题02 换元法求解析式（解析版）

2021 高考数学一轮复习：函数解析式讲与练 02 换元法求函数的解析式 【典例讲解】 例．已知 ＝ ＋ ，则 f（x）的解析式为________． 【答案】f（x）＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) 【分析】令 t＝ ＝ ＋1，换元后代入原解析式，即可求出 f（x）的解析式. 【解析】令 t＝ ＝ ＋1，则 t≠1. --------------------------------------------------设元 则 x＝ ， --------------------------------------------------转化 把 x＝ 代入 f ，得 f（t）＝ ＋ ----------------------------------------代入 整理得 f(t)＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. ----------------------------------------整理 所以所求函数的解析式为 f（x）＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)． 【点睛】本题主要考查了换元法求函数解析式，属于中档题. 【小结】利用换元法解决已知 求 解析式的基本步骤： （1）设元：即令 ，注意 t 的取值范围； （2）转化：根据 ，用 t 把 x 表示出来，即求出 ； （3）代入：即把 代入 ，也就是说把 中的 x 换成 ； （4）整理：即对 进行整理，最后把 t 换成 x. 【跟踪练习】 1．已知 ，则 的解析式为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 的定义域为 ，令 ，则 ， 且 ， 所以 . 1 xf x +     2 2 1 x x + 1 x 1 x x + 1 x 1 x x + 1 x 1 1t − 1 1t − 1 x x +     2 2 11 1 1 1 t t  +  −    −  1 1 1t − ( ( ))=F(x)f g x ( )f x ( )=g x t ( )=g x t ( )=x h t ( )=x h t F(x) F(x) ( )h t F(h(t)) ( ) 1 1f x x − = + ( )f x ( ) 1 1f x x = + ( ) 1xf x x += ( ) 1 1f x x = − ( ) 1 1f x x = − + ( )f x− { }| 1x x ≠ − t x= − 1,t x t≠ = − ( ) 1 , 11f t tt = ≠− + ( ) 1 , 11f x xx = ≠−2．已知 ，那么 f（8）等于( ) A．1 B．3 C．8 D． 【答案】A 【解析】对已知函数令 ，有 ，所以 3．已知函数 ，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ，则 且 ， ， 4．设 ，则 的值是（ ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【解析】设 log2x＝t，则 x＝2t，所以 f（t）＝ ，即 f（x）＝ ，则 f（3）＝ ． 5．若函数 满足 ，则 的解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ，则 .所以有 ，所以 6．已知函数 ，若 ，则实数 之值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】令 ，则 ，所以 ，由 ，解得 . 3 2( ) log=f x x 1 3 ( )3 0, 0t x x t= > > 1 23 2 log( ) log 3 tf t t= = 2log 8(8) 13f = = ( )1 2f x x+ = + ( ) 2 2 1f x x x= + + ( ) ( )2 2 3 1f x x x x= − + ≥ ( ) 2 2 1f x x x= − + ( ) ( )2 2 3 1f x x x x= + + ≥ 1t x= + 1t ≥ ( )21x t= − ( ) ( )2 21 2 2 3f t t t t∴ = − + = − + ( ) ( )2 2 3 1f x x x x∴ = − + ≥ ( ) ( )2log 2 0xf x x= > ( )3f 22 t 22 x 32 82 2 256= = ( )f x ( )3 2 9 8f x x+ = + ( )f x ( ) 9 8f x x= + ( ) 3 2f x x= − ( ) 3 4f x x= − − ( ) 3 2f x x= + 3 2x t+ = 2 3 tx −= ( ) 29 8 3 23 tf t t −= × + = + ( ) 3 2f x x= + (2 1) 4 3( R)f x x x− = + ∈ ( ) 15f a = a 2 1x a− = 1 2 ax += 1( ) 4 3 2 52 af a a += × + = + 2 5 15a + = 5a =7．若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，化简变形可得 ，令 ， 所以 ， ，所以 ， 8．已知 ，那么 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 ，则 ， ， . 9．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数 ，令 ，则 ，所以 ，则 ， 由导数除法运算法则可得 ， 10．已知 ，则 的解析式为（） A． （ ，且 ） B． （ ，且 ） C． （ ，且 ） D． （ ，且 ） 【答案】C (cos ) cos2f x x= (sin 60 )f ° 3 2 − 3 2 1 2 1 2 − (cos ) cos2f x x= 2(cos ) 2cos 1f x x= − [ ]cos , 1,1t x t= ∈ − 2( ) 2 1f t t= − [ ]1,1t ∈ − ( ) 2 3 3 1sin 60 2 12 2 2f f    ° = = × − =          ( ) 21 4f x x x− = − ( )f x = 2 4 1x x− + 2 4x − 2 2 3x x− − 2 6 5x x− + 1t x= − 1x t= + 2 2( ) ( 1) 4( 1) 2 3f t t t t t= + − + = − − 2( ) 2 3f x x x∴ = − − 1( ) 1 xf x x = − ( )f x′ = 1 1 x− 1 1x − 2 1 (1 )x− 2 1 (1 )x − − 1 1 xf x x   =  −  1t x = 1x t = 1 1( ) 1 11 tf t t t = = −− 1( ) 1f x x = − ( ) ( ) ( )2 2 0 11 1) 1 1 1 f x x x x − − ′ = ′ = = −  − − 1 1 xf x x   =  −  ( )f x ( ) 1 xf x x −= 0x ≠ 1x ≠ ( ) 1 xf x x = − 0x ≠ 1x ≠ ( ) 1 1f x x = − 0x ≠ 1x ≠ ( ) 1 xf x x = − 0x ≠ 1x ≠【解析】令 ，则 ， ， 且 11．已知 ，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ，反解得： ，回代得： ，即： ，故 . 12．已知 ，则 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ，则 ， ， ， ， ，因此，函数 的值域为 . 13．已知 ，则函数 的解析式为_____. 【答案】 【解析】令 ，则 ，因为 ，所以 ， 即 ， 14．若函数 ，求 __________. 【答案】 【解析】 ，设 ，则 ， ， ，故答案为 . 15．设函数 f (x)在(0,＋∞)内可导，且 f (ex)＝x＋ex，则 ＝__________． 【答案】 ( )1 0t tx = ≠ 1x t = ( ) ( ) 1 1 0, 11 11 tf t t tt t ∴ = = ≠ ≠ −−− ( ) (1 01f x xx ∴ = ≠− )1x ≠ ( 1) 3f x x+ = + ( 1)f x + 4( 0)x x+ ≥ 2 3( 0)x x+ ≥ 2 2 4( 1)x x x− + ≥ 2 3( 1)x x+ ≥ ( )1 1x t t+ = ≥ ( )21x t= − ( ) ( )21 3f t t= − + ( ) ( ) ( )21 3 1f x x x= − + ≥ ( ) ( )21 3 0f x x x+ = + ≥ ( ) 2 3f x x x= − − + ( )f x ( ],4−∞ ( ],3−∞ [ ]0,3 [ ]0,4 0t x= ≥ 2x t= ( ) 2 2 3f t t t∴ = − − + ( ) 2 2 3f x x x∴ = − − + 0x ≥ ( ) ( )21 4 3f x x∴ = − + + ≤ ( )y f x= ( ],3−∞ ( ) 2f x x x= - ( )f x ( ) ( )2 4 0f x x x x= - ³ t x= ( )2 0x t t= ³ ( ) 2f x x x= - ( ) ( )2 4 0f t t t t= - ³ ( ) ( )2 4 0f x x x x= - ³ 2(2 1) 2f x x x+ = − ( )f x = ( ) 21 3 5 4 2 4f x x x= − + ( ) 22 1 2f x x x+ = − 2 1x t+ = 1 2 tx −= ( ) 2 21 1 1 3 522 2 4 2 4 t tf t t t − − ∴ = − ⋅ = − +   ( ) 2 21 3 5 4 2 4f x x x∴ = − + ( ) 21 3 5 4 2 4f x x x= − + ( )1f ′ 2【解析】令 ， ，所以 ， ， 。 16．已知 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为___________． 【答案】 【解析】已知 ，令 ，则 ，所以 ， 则 ，∵求得导函数可得 ，∴ .由导数几何意义可知在点 处的切线的斜率为 。 17．已知 ， . （1）求 的解析式； （2）设 ，当 时，任意 ， ，使 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1） ，设 ，则 ， ，则 . （2） ，设 ， ，则 ， 当 时，函数在 上递增，故 ，解得 ，不成立； 当 时， ，函数在 上单调递增，故 ， 解得 ，不成立； xt e= ( ) ln ( 0)f t t t t= + > ( ) ln ,( 0)f x x x x= + > 1( ) 1+f x x =′ ( )1 2f ′ = 2 2 1 1 1 1 x xf x x − −  = + +  ( )y f x= ( )( )2, 2f 2 9 − 2 2 1 1 1 1 x xf x x − −  = + +  1 1 xt x −= + 1 1 tx t −= + ( ) 2 2 2 11 21 111 1 t ttf t tt t − − + = = +− +  +  ( ) 2 2 1 xf x x = + ( ) ( ) 2 22 2 2 1 xf x x −′ = + ( ) 22 9f ′ = − ( )( )2, 2f 2 9 − ( ) 2 2log 2 1f x ax x a= − + − a R∈ ( )f x ( ) ( )2 xh x f x−= 0a > 1x [ ]2 1,1x ∈ − ( ) ( )1 2 1 2 ah x h x +− ≤ a ( ) 22 2 2 1x xf x a a= ⋅ − ⋅ + − 5 7 4,8 5a  −∈    ( ) 2 2log 2 1f x ax x a= − + − 2log x t= 2tx = ( ) ( )2 22 2 2 1 2 2 2 1t t t tf t a a a a= − ⋅ + − = ⋅ − ⋅ + − ( ) 22 2 2 1x xf x a a= ⋅ − ⋅ + − ( ) ( ) ( )2 2 2 1 2x x xh x f x a a− −= = ⋅ − + − 2x t= 1 ,22t  ∈   ( ) 1 2ah t at t −= + − 1a > 1 ,22      ( ) ( ) ( )1 2 max 1 6 3 12 2 2 2 a ah x h x h h − + − = − = ≤   4 5a ≤ 1a = ( ) 2h t t= − 1 ,22      ( ) ( ) ( )1 2 max 1 6 3 12 2 2 2 a ah x h x h h − + − = − = ≤   4 5a ≤当 时，根据双勾函数性质知： 在 上单调递减， 在 上单调递增.若 ， ，故函数在 上单调递减， 故 ， ，不成立；若 ， ， 且 ，故 ， 解得 ；若 ， ，且 ， ，解得 ； 若 ， ，故 ，无解. 综上所述： . 18．已知函数 (1)求函数 的解析式; (2)解关于 的不等式 ． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）令 ，则 ， ，由题意知 ，即 ，则 ． 所以 ，故 ． （2）由 ，得 ．由 ，得 ， 因为 ，所以 ，由 ，得 ， 即 ， ，解得 或 .又 ， ， 0 1a< < ( ) 1 2ah t at t −= + − 10, a a  −    1 ,a a  − +∞    10 5a< < 1 2a a − > 1 ,22      ( ) ( ) ( )1 2 max 1 3 6 122 2 2 a ah x h x h h − + − = − = ≤   2 7a ≥ 1 1 5 2a≤ ≤ 1 1 22 a a −≤ ≤ ( )1 22h h  ≥   ( ) ( ) ( )1 2 max 1 1 3 12 1 22 2 2 a a ah x h x h h a aa  − + − = − = − − − + ≤        5 7 1 8 2a − ≤ ≤ 1 4 2 5a< ≤ 1 1 22 a a −≤ ≤ ( )1 22h h  − 0 2x< < 1 1t− < < ( ) ( ) 1 1lg lg2 1 1 t tf t t t + += =− + − ( ) 1lg ( 1 1)1 xf x xx += − < − − 3 1 0x + > 1 3x > − 1 1x− < < 1 0x− > 1 3 11 x xx + +−  ( )( )1 3 1 1x x x+ + − 23 0x x−  ( )3 1 0x x −  1 3x 0x 1 3x > − 1 1x− < 3( ) logf t a t= 3( ) logf x a x= 3(2) log 2 1f a= = 2 3 1 log 3log 2a = = 3 2 3 2( ) log log 3 log logf x a x x x= = × = ( )f x [2, )+∞ 4 1 2x + ≥ 0x ( )4 1xf + [0, )+∞ 0, 2 2,x x k k   ⋅ +   2 2 1xk + [0, )+∞ 2 2 1xy = + [0, )+∞ 2 2 1xy = + 1k ( ) ( )4 1 2x xf f k k x+ − ⋅ + = ( ) ( )2 2log 4 1 log 2x xk k x+ − ⋅ + = ( )2 ( 1) 2 2 1 0x xk k− ⋅ + ⋅ − = 2 ( 1)x t t=  2( 1) 1 0k t k t− ⋅ + ⋅ − = [1, )+∞ 2( ) ( 1) 1, [1, )g t k t k t t= − + ⋅ − ∈ +∞ 1k = ( ) 0g t = 1t = 2 1x = 0x = 1k = 1k > 2 4 4 0k k∆ = + − > (1) 2 2 0g k= −  1k 1k > 1k =