2021年高考数学一轮复习讲与练专题03 方程组法求解析式（解析版）

2021 高考数学一轮复习：函数解析式讲与练 03 方程组法求函数的解析式 【典例讲解】 【例】已知函数 满足对任意 有 ，求 . 【答案】 . 【解析】 【分析】用 代换 ，得 ，解方程组求出 . 【详解】由已知得 ① 用 代换 ，得 ② ————————————————代换 由①＋② 得 ，————————————————消元 即 ， . ————————————————求解 【点睛】本题考查方程组法求函数解析式，是基础题. 【例 2】已知 满足 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】将 换成 ，建立方程组，即可得出 的解析式. 【详解】已知 ① 把 换成 ，得 ② ————————————————代换 由① ②得 . ————————————————消元 所以 。 ————————————————求解 【点睛】本题主要考查求函数的解析式，属于中档题. ( )f x x∈R 2( ) 2 ( )f x f x x x− − = − ( )f x 2 1( ) 3f x x x= − − x− x 2( ) 2 ( )f x f x x x− − = + ( )f x 2( ) 2 ( )f x f x x x− − = − x− x 2( ) 2 ( )f x f x x x− − = + 2× ( )2 2( ) 4 ( ) 2f x f x x x x x− = − + + 23 ( ) 3f x x x− = + 2 1( ) 3f x x x∴ = − − ( )f x ( ) 12 ( ) 3f x f xx + = ( )f x 12x x − − 12x x − + 12x x + 12x x − x 1 x ( )f x ( ) 12 ( ) 3f x f xx + = x 1 x ( )1 32 ( )f f xx x + = 2× − ( ) 33 6= −f x x x ( ) 12= −f x x x【跟踪练习】 一、单选题 1．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意： ①，可得： ②， ② ①，可得： ，可得： ， 2．已知函数 对任意 ，都有 ，将曲线 向左平 移 个单位长度后得到曲线 ，则曲线 的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ，①×2+②×3，得 ，即 ，则 ，令 ， ，则对称轴方程为 ， ， 3．已知函数 的定义域为 ，且 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ ，①，∴ ，②，由①②联立解得 ． 4．若函数 满足 ，则 ___________． ( ) ( )2 3 1f x f x x+ − = + ( )f x = 13 3x− + 3x− 3 1x− + 1 3x− + ( ) ( )2 3 1f x f x x+ − = + ( ) ( )2 3 1f x f x x− + = − + 2× − ( ) 9 13 f x x= − + ( ) 13 3f x x= − + ( )y f x= x∈R 2 ( ) 3 ( ) 5sin 2 cos2f x f x x x− − = + ( )y f x= 4 π ( )y g x= ( )y g x= 8x π= − 4 πx = − 8x π= 4x π= 2 ( ) 3 ( ) 5sin 2 cos2 2 ( ) 3 ( ) 5sin 2 cos2 f x f x x x f x f x x x − − = +  − − = − + ① ② 5 ( ) 5sin 2 5cos2f x x x− = − + ( ) sin 2 cos2 2 sin 2 4f x x x x π = − = −   ( ) 2 sin 2 2 sin 24 4 4g x x x π π π    = + − = +         2 4 2x k π π π+ = + k Z∈ 8 2 kx π π= + k Z∈ ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 12 1f x f xx  = ⋅ −   ( )f x = ( )1 2 03 3x x+ > ( )2 1 03 3x x+ > ( )1 0x x+ > ( )1 0x x− > ( ) 12 1f x f xx  = ⋅ −   1 1( ) 2 ( ) 1f f xx x = ⋅ − 2 1( ) ,( 0)3 3f x x x= + > ( )f x 1( ) 2 3f x f xx  + =   (2)f =【答案】 【解析】在关系式 中，用 代换掉 得 ，两式构成方程组，解方 程组可得 ,所以 . 5．已知 ，则 _____________. 【答案】 【解析】 ，①；令 ，得 ，②；再由① ②，得： ， ． 6．已知 ，则 ________. 【答案】 【解析】 ，以 代替 得 ， 所以， ，解得 . 7．已知函数 满足 ，其中 且 ，则函数 的解析式为 __________ 【答案】 【解析】由题意，用 代换解析式中的 ，可得 ，…….（1）与已知方程 ，……（2）联立（1）（2）的方程组，可得 ， 令 ，则 ，所以 ，所以 . 8．已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则 ______. 【答案】 1− 1( ) 2 3f x f xx  + =   1 x x 1 32 ( )f f xx x   + =   2( )f x xx = − (2) 1f = − ( ) ( ) 32 f x f x x + − = ( )f x = 3 x ( ) ( ) 32 f x f x x + − = x x= − 32 ( ) ( )f x f x x − + = − 2× − 93 ( )f x x = 3( )f x x ∴ = ( ) ( )3 2 1f x f x x− − = − ( )f x = ( ) 1 1 2 2f x x= + ( ) ( )3 2 1f x f x x− − = − x− x ( ) ( )3 2 1f x f x x− − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 1 f x f x x f x f x x  − − = − − − = − − ( ) 1 1 2 2f x x= + ( )f x 1 12 1 − +   + = +       x xf f xx x x∈R 0x ≠ ( )f x ( ) 1 1 ( 1)3 1f x xx = − ≠ −− x− x 1 12 1x xf f xx x + −   + = −       1 12 1 − +   + = +       x xf f xx x 1 1 3 xf xx +  = −   1, 1xt tx += ≠ 1 1x t= - ( ) 1 1 3 1f t t = − − ( ) 1 1 ( 1)3 1f x xx = − ≠ −− ( )f x ( )g x R ( ) ( ) 2xf x g x x+ = + ( )2log 3f = 5 3【解析】函数 , 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，则 , 因为 ，则 ,即 ，则 所以 . 9．若 对于任意实数 都有 ，则 __________. 【答案】3 【解析】 对于任意实数 都有 ， ， 解得 ， ． 10．已知函数 满足 ，则 ______________ 【答案】 【解析】由 ，可得 ，故 ， ， . 11．对 的所有实数 ，函数 满足 ，求 的解析式． 【答案】 【解析】由已知 ①，用 代换 得到 ② 由① ②得到 ③，设 ，则 ，则代入③得到 ，所以 ． ( )f x ( )g x R ( ) ( )f x f x= − ( ) ( )g x g x= − − ( ) ( ) 2xf x g x x+ = + ( ) ( ) 2 xf x g x x−− + − = − ( ) ( ) 2 xf x g x x−− = − ( ) 2 2 2 x x f x −+= ( ) 2 2log 3 log 3 2 132 2 53 2 2 3log 3f − ++ = == ( )f x x 12 ( ) 2 1f x f xx  − = +   1 2f   =   ( )f x x 12 ( ) 2 1f x f xx  − = +   ∴ 12 ( ) 2 1 1 22 ( ) 1 f x f xx f f xx x   − = +      − = +    4 2( ) 13 3f x x x = + + ∴ 1 4 1 2 1 312 3 2 3 2 f   = × + + =   × ( )f x 1 1 ( ) 2 ( 0)f f x x xx x   + − = ≠   ( 2)f − = 7 2 1 1 ( ) 2f f x xx x   + − =   1 2( )f x xf x x  − − = −   2 22 ( ) 2f x x x − = − 2 1( )f x x x ∴ − = − 2 1 7( 2) 2 2 2f∴ − = − = 1x ≠ ± x ( )f x 1 221 1 1 x xf fx x x +   − =   + + −    ( )f x ( ) 2 1 xf x x = − 1 221 1 1 x xf fx x x +   − =   + + −    1 x x 1 1 221 1 1 x xf fx x x +   − =   + + −    2× + 1 1 1 1f x x   = + −  1 1t x = + 1 1x t = − ( ) 2 1 tf t t = − ( ) 2 1 xf x x = −12．已知函数 的定义域是一切非零实数，且满足 ．求 的解析式． 【答案】 【解析】因为 ①；所以 ②；即 ③； 将③代入①整理得 13．(1)已知 ，求 ; (2)已知 ，求 的解析式. 【答案】(1) ， ;(2) ， 【解析】（1） ， ， . （2） ， ， 得 ，所以 . 14．(1)已知函数 为二次函数，且 ，求 的解析式； (2)已知 满足 ，求 的解析式． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）设 ( )f x 13 ( ) 2 4f x f xx  + =   ( )f x 12 8( ) 5 5f x x x = − 13 ( ) 2 4f x f xx  + =   ( )1 43 2f f xx x   + =   ( )1 1 4 23f f xx x    = −       ( ) 12 8 5 5f x x x = − ( ) 1 xf x x = + 1(2 ) 2f x f x  +    1( ) 2 3 2f x f xx  + = −   ( )f x 1(2 ) 12f x f x  + =   1 1, ,2 2x    ∈ −∞ − ∪ − +∞       2 2( ) 3f x xx = − − ( ,0) (0, )x∈ −∞ ∪ +∞ ( ) 1 xf x x = + 1 1 2 2 1 2 12(2 ) 112 2 1 2 1 2 1 2 112 x x xxf x f x x x x x x + ∴ + = + = + = =  + + + +  + 1 1, ,2 2x    ∈ −∞ − ∪ − +∞       1( ) 2 3 2f x f xx  + = −   1( ) 2 3 2, 1 32 ( ) 2, f x f xx f f xx x   + = −   ∴   + = −    ① ② 2− ×① ② ( ) 6 63 3 2 4 3 2f x x xx x − = − − + = − + ( ) ( ) ( )2 2 , ,0 0,3f x x xx = − − ∈ −∞ +∞ ( )f x 2( 1) ( ) 2 4f x f x x− + = + ( )f x ( )f x 12 ( ) ( ) 3f x f xx + = ( )f x ( ) 2 2f x x x= + + 1( ) 2 ( 0)f x x xx = − ≠ ( ) ( )2 0f x ax bx c a= + + ≠ ( ) ( ) ( )21 1 1f x a x b x c∴ − = − + − +，解得： （2）由题意得： ，则 ，解得： 15．设函数 对 的任意实数，恒有 成立. （I）求函数 的解析式； （II）用函数单调性的定义证明函数 在 上是增函数 【答案】（I） ；（II）证明见详解 【解析】（I）由 ,①得 ② 将① ②得 , （II）任取 而 即 故函数 在 上是增函数. 16．（1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 . ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 2 2 2 2 2 4a x b x c ax bx c ax b a x a b c x∴ − + − + + + + = + − + − + = + 2 2 2 2 0 2 4 a b a a b c = ∴ − =  − + = 1 1 2 a b c =  =  = ( ) 2 2f x x x∴ = + + ( )1 32 f f xx x   + =   ( ) ( ) 12 3 1 32 f x f xx f f xx x   + =      + =    ( ) ( )12 0f x x xx = − ≠ ( )f x 0x ≠ 21( ) 2 ( ) 1f x f xx − = + ( )f x ( )f x 4(0, 2] 2 2 1 2( ) ( ) 13f x x x = − + − 21( ) 2 ( ) 1f x f xx − = + 2 1 1( ) 2 ( ) 1.f f xx x − = + 2+ × 2 2 23 ( ) 3f x x x − = + + 2 2 1 2( ) ( ) 1.3f x x x ∴ = − + − 4 1 20 2,x x< < ≤ 2 2 1 2 1 22 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )3 3f x f x x xx x − = − + + + 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 12 2 2 2 2 1 1 2 2( )1 2 2 1[( ) ( )] [( ) ]3 3 x xx x x xx x x x −= − + − = − + 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 12 2 2 2 1 2 1 2 21 2 1[( )(1 )] ( )3 3 x xx x x xx x x x −= − − = − 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ( 2)( 2)1 ( )3 x x x xx x x x + −= − 2 24 1 2 1 2 1 20 2, ,0 2,x x x x x x< < ≤ ∴ < < ≤ 2 2 1 2 1 22 0, 0,x x x x+ > > 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ( 2)( 2)1 ( ) 03 x x x xx x x x + −∴ − < 1 2( ) ( ) 0,f x f x∴ − < 1 2( ) ( )f x f x< ( )f x 4(0, 2] 2 1 12f x xx x  + = +   ( )f x ( ) ( ) 23 4 3f x f x x x+ − = − + ( )f x【答案】（1） （2） 【解析】（1） ，所以 . 因为函数 的增区间为 ，减区间为 ， 所以 ，所以 （2）由题得 ①，所以 ②， 解①②得 . 2( ) 2, ( , 2] [2, )f x x x= − ∈ −∞ − +∞ 21 3( ) 24 4f x x x= + + 2 11 12 2 f x x xx x x  + = + = +       − 2 ( ) 2 2f x x= - 1y x x = + (1, ),( , 1)+∞ −∞ − ( 1,0),(0,1)− 1 ( , 2] [2, )y x x = + ∈ −∞ − +∞ 2( ) 2, ( , 2] [2, )f x x x= − ∈ −∞ − +∞ ( ) ( ) 23 4 3f x f x x x+ − = − + ( ) ( ) 23 4 3f x f x x x− + = + + 21 3( ) 24 4f x x x= + +