2021年高考数学一轮复习讲与练专题05 利用奇偶性求解析式（解析版）

2021 高考数学一轮复习：函数解析式讲与练 05 利用奇偶性求函数的解析式 【典例讲解】 【例 1】若 是定义在 上的奇函数，当 时， ，求 的解析式。 解：法一：设点 为 时， 的图象上的任意一点，--------------------------------------------------设点 则其关于原点对称的点为 因为奇函数的图象关于原点对称，所以点 在 的图象上， 所以 ，即 ----------------------------------------------------------------代点 故求 的解析式为 点评：图象是由点构成的，故图象的对称问题可以转化为点的对称问题。 【小结】根据函数奇偶性求解析式的步骤： （1）设点：设点 为所求区间对应图象上的任意一点，并求出其关于原点对称的点 ； （2）代点：把点 的坐标代入已知区间的解析式，整理即可。 法二：设 ，则 ，-----------------------------------------------------------------设 由已知得 - ------------------------------------------------------代 又 所以 ，即 ---------------------------------------- 转 故求 的解析式为 点评：利用奇偶性求解析式时不要忽略定义域，特别是 的情况。 【小结】根据函数奇偶性求解析式的步骤： （1）设：要求哪个区间的解析式， 就设在哪个区间； （2）代：利用已知区间的解析式代入进行推导； （3）转：根据 的奇偶性，把 写成 或 ，从而解出 。 【跟踪练习】 一、单选题 1．已知 是 上的奇函数，且当 时， ，则当 时， （ ） A． B． )(xf ),( yxP −−′ P′ xxxf 2)( 2 −= )(2)( 2 xxy −−−=− xxy 22 −−= )(xf P′ )(2)()( 2 xxxf −−−=− xxxf 2)( 2 −−= )(xf    >−− ≤−= )0(,2 )0(,2)( 2 2 xxx xxxxf )(xf )(xfy = R 0≤x xxxf 2)( 2 −= )(xf ),( yxP 0>x    >−− ≤−= )0(,2 )0(,2)( 2 2 xxx xxxxf P P′ 0>x 0 2( ) 3 2 1f x x x= + − 0x < ( )f x = 23 2 1x x− − − 23 2 +1x x− +C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设 ，则 ，则 ，因为函数 为 上的奇函数，则 ，得 ， 即当 时， . 2．已知 是 上的偶函数，且当 时， ，则当 时， （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当 时， ，则 . 3．设 f（x）为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f（x）=2x+2x+m，则 f（﹣1）=_______. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，因为函数 是 上的奇函数，则 ，解得 ，即当 时，函数 ，又由 . 4．若函数 为奇函数，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵函数 为奇函数，∴ ，当 时， ，则 故 ，∴ ． 5．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若实数 满足 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 123 2 −+ xx 23 2 1x x− − 0x < 0x− > 2( ) 3 2 1f x x x− = − − ( )f x R ( ) ( )f x f x− = − ( ) ( )f x f x= − − = 23 2 +1x x− + 0x < ( ) 23 2 +1x xf x − += ( )f x R 0x ≤ ( ) 23 2 1f x x x= + − 0x > ( )f x = 23 2 1x x− + − 23 2 1x x− − − 123 2 −+ xx 23 2 1x x− − 0x > 0x− < ( ) ( ) ( ) ( )2 23 2 1 3 2 1f x f x x x x x= − = − + − − = − − 3 2 3− -2 ( )f x R ( ) 00 2 2 0 0f m= + × + = 1m = − 0x ≥ ( ) 2 2 1xf x x= + − ( ) ( ) 11 1 (2 2 1 1) 3f f− = − = − + × − = − ( ) ( ), 0 2 3, 0x g x xf x x   ( )( )1f g − = 5 2 − 5 2 1− 1 ( )f x ( ) ( )f x f x− = − 0x < 0x− > ( ) ( ) 1 32xf x f x= − − = − + ( ) 1 3, 02 2 3, 0 x x xf x x − +  ( )( ) ( )( ) ( )1 1 = 1 2 3 1f g f f f− = − = − = − ( )f x R ( ],0x∈ −∞ ( ) 2 2f x x x= − + m ( )2log 3f m ≤ m ( ]0,2 1[ ,2]2 ( ]0,8 1[ ,8]8【答案】A 【解析】当 时， ， ，因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 .因此， 做出 的图象如下： 在 上单调递增，又 ，由 得： ，解得： . 6．已知函数 为奇函数，当 时， ，且曲线 在点 处的切 线的斜率是 1，则实数 （ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】当 时， ， ， 为奇函数， ， ， ，解得： . 7．已知定义在 上的偶函数 的最小值为 2，则 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由题意，函数 为偶函数，即 ，解得 ，所以函 数 ，又由指数函数的性质，可得 ，所以函数的最小值为 ( )0,x∈ +∞ ( ),0x− ∈ −∞ ( ) ( ) ( )2 22 2f x x x x x− = − − + − = − − ( )f x R ( ) ( ) 2 2f x f x x x− = − = − − ( ) 2 2f x x x= + ( ) 2 2 2 , 0, 2 , 0. x x xf x x x x − + ≤=  + > ( )f x ( )f x R ( )1 3f = ( ) ( )2log 3 1f m f≤ = 2log 1m ≤ 0 2m< ≤ ( )f x 0x < ( ) ( )3 lnf x x a x= + − ( )y f x= ( )( )1, 1f a = 1− 2− 0x > 0x− < ( ) 3 lnf x x a x∴ − =− + ( )f x ( ) ( ) ( )3 ln 0f x f x x a x x∴ =− − = − > ( ) 23 af x x x ′∴ = − ( )1 3 1f a′∴ = − = 2a = R | |( ) 2 ( , )x af x b a b R−= + ∈ ( ) ( )f a f b+ = | |( ) 2 ( , )x af x b a b R−= + ∈ | | | |2 2x a x ab b− − −+ = + 0a = | |( ) 2 xf x b= + | |( ) 2 1xf x b b= + ≥ +，解得 ，即 ，所以 . 8．若奇函数 与偶函数 满足 ，则函数 的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由 f(x)＋g(x)＝2x，得 f(－x)＋g(－x)＝2－x，由 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴－f(x)＋g(x)＝2－x，∴g(x)＝ (2x＋2－x)，∴g(x)≥1. 9．若定义域为 的偶函数 满足 ，且当 时， ，则函数 在 上的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ，则 ， ， 当 时， ．又 为偶函数， 当 时， ， 当 时， ，当 时， ， 在 上递增，在 上递减， 在 上的最大值为 ， 10．已知函数 是 上的奇函数，当 时， ．若 ， 则 （ ） A． 或 B．1 或 C． D． 【答案】C 【解析】当 时， ，∴此时方程无解；当 时， ， ，因为函数 是奇函数，所以 ， 令 ，则 ，解得 或 （舍去）；当 时， . min( ) 1 2f x b= + = 1b = | |( ) 2 1xf x = + 0 1( ) ( ) ( 2 1 2 1 50) (1)f a f b f f = + ++ += =+ ( )f x ( )g x ( ) ( ) 2xf x g x+ = ( )g x 1 2 R ( )f x ( ) ( )2f x f x= − − 0 1x≤ ≤ ( ) 1f x x= − ( ) ( ) xg x f x e= [ ]2 2− , e 2e e− ( ]1,2x∈ ( ) [ )2 0,1x− ∈ ( ) ( )2 1 2 1f x x x∴ − = − − = − ∴ ( ]1,2x∈ ( ) ( )2 1f x f x x= − − = − ( )f x ∴ [ )2,0x∈ − ( ) 1f x x= + ( ) ( ) ( ) 1 e , 2 0, 1 e ,0 2, x x x xg x x x  + ⋅ − ≤ ( ) ( ) 2 2 3 5[log 1 ] 2 2f x x= − + + < 0x < 0x− > ( ) ( ) 2 2 3[log 1 ] 2f x x− = − − + + ( )f x ( ) ( ) 2 2 3( ) [log 1 ] 2f x f x x= − − = − + − ( ) 2 2 3 5[log 1 ] 2 2x− + − = 2log (1 ) 2x− = ± 3x = − 3 4x = 0x = 5(0) 0 2f = ≠综上， . 11．（1）若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则 _________．； （2）已知函数 f(x)＝ax2＋2x 是奇函数，则 _________．． 【答案】 【解析】（1）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a－1＝－2a，解得 a＝ ．又因为函数 f(x)＝ x2＋ bx＋b＋1 为偶函数，所以 f(－x)= f(x)，即 ，解得 b＝0． （2）由奇函数定义有 f(－x)＋f(x)＝0，得 a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故 a＝0． 12．已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则不等式 的 解集为________. 【答案】 【解析】由于函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ， 当 时， ， ，此时， . 综上所述， . ①当 时，由 ，得 ，解得 ，此时， ； ②当 时，即当 时，由 得 ，整理得 ，解得 ，此时 ； ③当 时，即当 时，由 得 ，解得 ，此时 . 综上所述，不等式 的解集为 . 13．若函数 定义域为 R，且其图像关于原点成中心对称，当 时， ，则当 时， _________． 0 3x = − ( )f x = ( )f x = 21( ) 13 = +f x x ( ) 2=f x x 1 3 1 3 2 21 1( ) ( ) 1 13 3x b x b x bx b− + − + + = + + + ( )f x R 0x ≥ ( ) 2 5f x x x= − ( ) ( )2f x f x− > 3 7,2 2  −   ( )y f x= R 0x ≥ ( ) 2 5f x x x= − 0x < 0x− > ( ) ( ) ( ) ( )2 25 5f x x x x x f x− = − − × − = + = − ( ) 2 5f x x x= − − ( ) 2 2 5 , 0 5 , 0 x x xf x x x x − − ( ) ( )2 22 5 2 5x x x x− − − − > − − 3 2x > − 3 02 x− < ≤ 2 0 0 x x −  0 2x< < ( ) ( )2f x f x− > ( ) ( )2 22 5 2 5x x x x− − − − > − 2 2 3 0x x− − < 1 3x- < < 0 2x< < 2 0x − ≥ 2x ≥ ( ) ( )2f x f x− > ( ) ( )2 22 5 2 5x x x x− − − > − 7 2x < 72 2x≤ < ( ) ( )2f x f x− > 3 7,2 2  −   ( )f x 0x < 3( ) 1f x x x= − + + 0x ( )f x =【答案】 【解析】函数 定义域为 R，且其图像关于原点成中心对称，所以该函数是奇函数， 当 时， ；当 时， ， ，又 为奇函数，所以 ，所以当 时， 14．已知函数 是定义域为 R 的奇函数，当 时， ，那么当 时， 的单调 递增区间是_________． 【答案】 【解析】设 ，则 ，由当 时， ，所以 ， 即 ，所以当 时， ，二次函数的对称轴： ，开口向下， 所以当 时， 的单调递增区间是 . 15．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 的解析式为 _________． 【答案】 【解析】由于函数 是 上的奇函数，则 .当 时， ， 设 ，则 ， ，此时， . 综上所述， . 16．已知函数 为奇函数，且当 时， ． （1）求当 时，函数 的表达式；（2）解不等式 ． 3 0 ( 0) 1 ( 0) x x x x = − + − > ( )f x 0x = 0y = 0x > 0x− < 3( ) ( ) 1f x x x− = − − − + ( )f x 3( ) ( ) 1f x f x x x= − − = − + − 0x ≥ 3 0 ( 0)( ) 1 ( 0) xf x x x x == − + − > ( )f x 0x > 2( ) 1f x x x= − + 0x < ( )f x 1, 2  −∞ −   0x < 0x− > 0x > 2( ) 1f x x x= − + ( ) ( ) ( )2 21 1f x x x x x− = − − − + = + + ( ) 2 1f x x x− = + + 0x < ( ) 2 1f x x x= − − − 1 2x = − 0x < ( )f x 1, 2  −∞ −   ( )f x R 0x > ( ) 2 4 3f x x x= − + − ( )f x ( ) 2 2 4 3, 0 0, 0 4 3, 0 x x x f x x x x x − + − > = =  + + ( ) 2 4 3f x x x= − + − 0x < 0x− > ( ) ( )2 24 3 4 3f x x x x x− = − − − − = − − − ( ) ( ) 2 4 3f x f x x x= − − = + + ( ) 2 2 4 3, 0 0, 0 4 3, 0 x x x f x x x x x − + − > = =  + + ( ) 1 3 log 2f x x= 0x < ( )f x ( ) 3f x ≤【答案】（1） （2） 或 【解析】（1）解：函数 为奇函数，当 时， ，所以，当 时， ， ，所以 ， （2）解：由题意：当 时有 ，解得 ； 当 时，有 ，即 ，解得 ； 综上，原不等式的解集为 或 17．已知定义在 R 上奇函数 f(x)在 时的图象是如图所示的抛物线的一部分. （1）请补全函数 f(x)的图象；（2）写出函数 f(x)的表达式；（3）讨论方程|f(x)|=a 的解的个数. 【答案】（1）答案见解析；（2） ；（3）答案见解析. 【解析】（1）补全 f(x)的图象如图所示： （2）当 时，设 ，由 f(0)=0 得，a=2，所以此时， . ( ) ( ) 1 3 1 3 log 2 0 log 2 0 x x f x x x > = − − ( ) 1 3 log 2f x x= 0x < 0x >- ( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 3 log 2 log 2f x f x x x= − − = − − = − − ( ) ( ) 1 3 1 3 log 2 0 log 2 0 x x f x x x > = − − 1 3 log 2 3x ≤ 1 54x ≥ 0x < ( )1 3 log 2 3x− − ≤ ( )1 3 log 2 3x− ≥ − 27 02 x− ≤ < 27{ 02x x− ≤ < 1 }54x ≥ 0x ≥ 2 2 2 4 , 0( ) 2 4 , 0 x x xf x x x x  − ≥= − − 2 12 2 0x x> > ( ) ( )2 1 0g x g x− > ( )g x ( ),−∞ +∞ 2 22 2 2 2( ) 0( )x x x xa− −+− ≥− 2 2x xt −= − 1 ,12x  ∈   2 3,2 2t  ∈    2 2 22 2 2x x t−+ = + 2 3,2 2t  ∈    ( )22 0t a t− + ≥ 2 1 22 ta t t t ≤ =+ + max 1 2a t t    ≤    +  2 3 2 2t≤ ≤ min 2 2 2t t  + =   max 1 2 2 4t t     =   +  a 2, 4  −∞  