2020 南通名师高考数学原创押题卷
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题）、解答题（共 6 题），满分为 160 分，考试时间为 120 分钟.考试结
東后，请将答题卡交回.
2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡上.
3.作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.如
有作图需要，须用 2B 铅笔绘写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
参考公式：
球的体积 ，其中 R 为球的半径.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合 ， ，则 ___________.
2.已知复数 z 的实部为 0，且满足 ，其中 为虚数单位，则实数 a 的值是________.
3.下图是根据某学校 1000 位学生的身高（单位：厘米）制成的频率分布直方图，则所调查的学生中身高在
内的学生人数是______________.
4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 的值是______________.
34
3V Rπ=求
{ }2, 1,0,1,2A = − − { }0,B x x x R= < ∈ A B =
( )1 4i z a i+ = − i
[ )165,185
I
5.函数 的定义域是_____________.
6.在区间 中任取一个数 x.则能使 2，3，x 是某个三角形三边长的概率是_____________.
7.在平面直角坐标系 中，曲线 在点 处的切线方程为 （e 是自然对数的
底数），则实数 a 的值是_____________.
8.在正方体内有一个球，该球与正方体的六个面均相切.记正方体的体积为 ，球 O 体积为 ，则 的值
是____________.
9. 设 三 个 等 差 数 列 ， ， 的 前 n 项 和 分 别 为 ， ， . 已 知 ，
，则 的值是____________.
10.已知函数 ， ，则不等式 的解集是___________.
11.已知 是单位向量，向量 满足 ，且 对任意实数 t 恒成立，则 的取值范围是
______________.
12.在平面直角坐标系 中，椭圆 与为双曲线 有公共焦点 ， .设 P
是椭圆与双曲线的一个交点，则 的面积是_____________.
13.已知 ， ，则 的值是_____________.
14.已知二次函数 ，当 时， ，则 的最大值是__________.
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步驟.
15.（本小题满分 14 分）
( )11 ln 2y xx
= − + −
( )0,6
xOy ( )3 xy x ax e= + ( )0,0 3 0x y− =
1V 2V 1
2
V
V
{ }na { }nb { }nc nS nT nU 2 2 2 98a b c+ + = −
7 7 7 88a b c+ + = − 101 101 101S T U+ +
( ) 2 2f x x x= + ( ) 2, 1
, 1
x xg x x x
+ ≥ −= − < −
( ) ( )3f x g x≤
e a 4a e⋅ = 2
10a a te≤ + a
xOy ( )2 2
2 1 39
x y aa
+ = >
2 2
2 14
x y
m
− = 1F 2F
1 2PF F△
( ) ( )sin 2 3sin 2a aβ β+ = − ( )tan 3 3α β− = tanα
( ) 2f x x bx c= + + [ ],x α β∈ ( ) 1f x ≤ β α−
在平面直角坐标系中，设向量 ， ，其中 A，B 分别是 的两个内
角.
（1）若 ，求 C 的值；
（2）若 ， ，求 的面积的最大值.
16.（本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 的中点，E 为 中
点，求证：
（1） ；
（2） 平面 .
17.（本小题满分 14 分）
为防止新冠肺炎病毒的传播，净化空气，确保医务人员的安全，某医院决定喷洒一种消毒剂，每天 2 次.根
据实验知，每喷洒该消毒剂 1 个单位，空气中释放出有效杀毒成份浓度 y（毫克/立方米）随时间 x（小时）
的变化近似为 .当空气中的有效杀毒浓度不少于 4（毫克/立方米）时，才能起
到杀死新冠肺炎病毒的作用.若第一次喷洒时间为 6:00，且喷洒 4 个单位的消毒剂.
（1）问第一次喷洒后多少小时内有效杀毒？
（2）若第二次喷洒时间为当日 22:00，则第二次至少喷洒多少个单位的消毒剂，使一天内（6:00 到次日
6:00）都能有效杀毒.
18.（本小题满分 16 分）
如图在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ， ，椭圆 的右
顶点和上顶点分别为 A 和 B，过 A，B 分别引椭圆 的切线 ， ，切点为 C，D.
( )cos ,sinp A A= ( )sin ,cosq B B= ABC△
//p q
sin 2p q C⋅ = 2AB = ABC△
P ABC− PA ⊥ ABC AB BC= 2AF FP= D AC BC
BD PC⊥
//PE FBD
4 1, 0 12
6 , 12 244
x x
y x x
+ − < ≤= − < ≤
xOy
2 2
1 2 2: 1x yC a b
+ = ( )2 2
2 2 2: 1 04 4
x yC a ba b
+ = > > 2C
1C 1l 2l
（1）若 ， ，求直线 的方程；
（2）若直线 与 的斜率之积为 ，求椭圆 的离心率.
19.（本小题满分 16 分）
已知函数 ， .
（1）求 的单调区间；
（2）证明： ；
（3）若关于 x 的方程 有唯一解，求 k 的值.
20.（本小题满分 16 分）
数列 满足： ， ， .
（1）当 时，求 的值；
（2）设 ， .证明：
①数列 是等比数列；
②数列 是等差数列.
数学Ⅱ（附加题）
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 2 页，均为解答题（第 21~23 题）.满分为 40 分，考试时间为 30 分钟.考试结束后，请将答题卡
交回.
2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡上.
3.作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.如
2a = 1b = 1l
1l 2l 9
16
− 1C
( ) ln xf x x
= ( ) ( )( )1 0g x k x k= − >
( )f x
1 1f gk k
≤
( ) ( )f x g x=
{ }na 1 1a = 2 2a = ( ) ( )2
1 1 1 1,2,3,n
n n na a a n+ − = + − =
3n ≥
1
2n n
n
a a
a −
− −
( )1 2 1n n nb a a+= − + 2 2
1 2 1n n n nc a a a+ += + −
{ }nb
{ }nc
有作图需要，须用 2B 铅笔绘写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
21.【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，每小题 10 分.请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，
若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.【选修 4-2：矩阵与变换】（本小题满分 10 分）
已知矩阵 .
（1）求 的逆矩阵 ；
（2）求矩阵 的特征值.
B.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
在极坐标系中，已知点 ， ， .
（1）求直线 的极坐标方程；
（2）求 的面积.
C.【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）
已知 a，b，c 是非负实数，满足 .
求 的最小值.
【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
22.（本小题满分 10 分）
如图，在正四棱柱 中， ， ，E，F 分别是 ， 的中点.
（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；
4 3
2 1A
=
A 1A−
A
2, 6A
π
1, 3B
π
2, 3C
π
BC
ABC△
1a b c+ + =
( )2 3 2 3
b ca b c a + + + +
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 4AA = 2AB = BC 1BB
AF 1C DE
（2）求二面角 的余弦值.
23.（本小题满分 10 分）
设 的值分别独立地从集合 中随机选取，记由 组成的数集的元素个数为X.
（1）当 时，求 的概率；
（2）求 X 的数学期望 .
2020 南通名师高考数学原创押题卷参考答案
数学Ⅰ
1.【答案】 .
【解析】 .
2.【答案】4.
【解析】法一：由 ，得 .再由 的实部
为 0，得 .
法二：设 ， .由 ，得 .
3.【答案】650.
【解析】在 的学生数为 .
4.【答案】5.
【解析】 的值分别为 1，3，7，5，最后输出的值为 5.
5.【答案】 ， .
【解析】原函数的定义域是 ，解得 .或
6.【答案】 .
【解析】要使 2，3， 能构成一个三角形，则 ，即 ，故其概率为 .
7.【答案】3.
【解析】由 ， ，故 .
8.【答案】 .
1A A F D− −
1 2, , , na a a { }1,2, ,n… 1 2, , , na a a
3n = 2X =
EX
{ }2, 1− −
{ } { } { }2 1,01,2 0, 2, 1A B x x x R= − − < ∈ = − − ，
( )1 4i z a i+ = − ( )( ) ( ) ( )4 14 1 4 41 2 2
a i ia iz a a ii
− −−= = = − − + + z
4a =
z bi= b R∈ ( )1 4i bi a i+ = − 4a b= − =
[ )165,185 ( )0.03 0.035 10 1000 650+ × × =
I
( ),0−∞ ( )1,2
11 0
2 0
x
x
− ≥
− >
1 2x≤ < 0x <
2
3
x 3 2 3 2x− < < + 1 5x< < 4 2
6 3
=
( )3 23 xy x x ax a e′ = + + +
0xy a=
′ = 3a =
6
π
【解析】设球的半径为 R，则正方体的棱长为 ， ， ，故 .
9.【答案】0.
【 解 析 】 因 为 ， ， 都 是 等 差 数 列 ， 所 以 数 列 也 是 等 差 数 列 ， 且 公 差
，故 ， .
10.【答案】 .
【解析】法一：因为 ，所以不等式 等价于 ，这等价于
，于是， ，解得 .
法二：原不等式等价于
或 ，解得 或 ，即 .
11.【答案】
【解析】在平面直角坐标系中，不妨设 ，由 ，得 ，则
对任意实数 t 恒成立，所以 ，解得 ，故 ， .
12.【答案】6.
【解析】根据对称性，不妨设 P 在第一象限.由题设可知 .
即 ， ， .
根据椭圆与双曲线的定义得
，
在 中，由余弦定理得
.
所以， ， .
2R 3
1 8V R= 3
2
4
3V R
π= 1
2
6V
V π=
{ }na { }nb { }nc { }n n na b c+ +
88 98 27 2d
− += =− 1 1 1 100a b c+ + = − 101 101 101
100 101100 101 2 02S T U
×+ + = − × + × =
{ }5 3x x− ≤ ≤
( ) 1 1g x x= + + ( ) ( )3f x g x≤ 2 2 3 1 3x x x+ ≤ + +
2 1 01 43 xx + −− ≤+ 1 4x + ≤ 5 3x− ≤ ≤
2 2 3 6
1
x x x
x
+ ≤ +
≥ −
2 2 3
1
x x x
x
+ ≤ −
< −
1 3x− ≤ ≤ 5 1x− ≤ < − 5 3x− ≤ ≤
2 5,4 5
( )1,0e = 4a e⋅ = ( )4,a s= ( )22 216 10 4s t s≤+ + +
216 10s s+ ≤ 2 8s≤ ≤ 24 64s≤ ≤ 2 5 4 5a≤ ≤
( ) ( )2 2 2 2
1 2 4 9 4 4 4F F a m c= − = + =
2 2 13a m− = 2 2 9a c− = 2 2 4c m− =
1 2 1
1 2 2
2
2
PF PF a PF a m
PF PF m PF a m
+ = = + ⇒ − = = −
1 2PF F△
( ) ( )
( )( )
2 2 22 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
4cos 2 2
a m a m cPF PF F FF PF PF PF a m a m
+ + − −+ −∠ = =× + −
( ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 5
13
a m c a c c m
a m a m
+ − − − −
= = =− −
1 2
12sin 13F PF∠ = ( )
1 2
2 2
1 2 1 2
1 1 12sin 62 2 13PF FS PF PF F PF a m= × ∠ = × − × =△
13.【答案】 .
【解析】由 得 ，
则 ， .
而 .
所以， ，即 .
14.【答案】 .
【解析】（方法 1）由 时， 得
由 得 ，故 .
而当 ， 时， ，此时 .
（方法 2）由条件和设问知，该问题与对称轴的位置无关，不失一般性，可设 .
因是求 的最大值，由二次函数图象特征知， ，且 .下略.
15.【解析】（1）由 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，故 .
（2）由 得 ，即 ，
因为 ， ，所以 .即 .
因为 ， ，所以 ，即 .
由余弦定理 得 ，（a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边）
由基本不等式 得 ，当且仅当 时，取得等号.
3−
( ) ( )sin 2 3sin 2α β α β+ = − sin 2 cos cos2 sin 3sin 2 cos 3cos2 sinα β α β α β α β+ = −
tan 2 2tanα β= 2
1 tantan tan 22 1 tan
αβ α α= = −
( ) 2 3
2
tantantan tan 1 tantan tantan1 tan tan 1 tan 1 tan
ααα β αα β ααα β α α
−− −− = = = −+ + ⋅ −
( )3tan tan 3 3α α β= − − = − tan 3α = −
2 2
[ ],x α β∈ ( ) 1f x ≤
( )
( )
2
2
1
1
12 2 2
f b c
f b c
f b c
α α α
β β β
α β α β α β
= + + ≤ = + + ≤
+ + + = + ⋅ + ≥ −
①
②
③
2+ − ×① ② ③
( ) ( ) ( )
2
2 42 2f f f
α β α βα β− + = + − ≤ 2 2β α− ≤
( ) 2 1f x x= − 2 2x ∈ − ， ( ) 1f x ≤ 2 2β α− =
0b =
β α− β α= − 1c = −
//p q cos cos sin sinA B A B= ( )cos 0A B+ =
0 A B π< + <
2A B
π+ =
2C
π=
sin 2p q C⋅ = cos sin sin cos sin 2A B A B C+ = ( )sin sin 2A B C+ =
A B C π+ + = ( )C A Bπ= − + ( )sin sin sin 2C A B C= + = sin 2sin cosCC C=
( )0,C π∈ sin 0C ≠ 1cos 2C =
3C
π=
2 2 22 cosa b ab C c+ − = 2 2 4a b ab+ − =
2 2 2a b ab+ ≥ 4ab ≤ 2a b= =
所以 ，当且仅当 时，取得等号.
所以 面积的最大值为 .
16.【证明】（1）因为 D 是 中点， ，所以 .
又因为 平面 ， 平面 ，所以 .
又 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）连 交 于 G，连 .
因为 D，E 分别为 边 ， 的中点，
所以 G 是 的重心，于是 .
又由已知得 ，即 ，所以 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
17.【解析】（1）设早上六点为 0 时，设过 小时后，空气中有效杀毒浓度为 （毫克/立方米），则
.
当 时， .
当 时，由 ，得 .
答：第一次喷洒 4 个单位消毒剂后 20 个小时内有效杀毒.
（2）晚上 10 点时，距离早上第一次喷洒已 16 个小时，若第二次喷洒剂量为 单位，则第
时小后，空气中有效杀毒浓度 （毫克/立方米），
则 ，
令 ，则 ， .
，
要使一天内都有效杀毒，则 在区间 上恒成立.
即 .
1 3sin 32 4ABCS ab C ab= = ≤△ 2a b= =
ABC△ 3
AC AB BC= BD AC⊥
PA ⊥ ABC BD ⊂ ABC PA BD⊥
PA AC ⊂ PAC PA AC A= BD ⊥ PAC
PC ⊂ PAC BD PC⊥
AE BD FG
ABC△ AC BC
ABC△ : 2:1AG GE =
2AF FP= : 2:1AF FP = AG AF
GE FP
= //FG PE
FG ⊂ FBD PE ⊄ FBD //PE FBD
x ( )f x
( ) ( )4 4 1 , 0 124
24 , 12 24
x xf x y
x x
+ − < ≤= =
− < ≤
0 12x< ≤ ( ) ( ) ( )4 4 1 4 2 1 4f x x= + − > − =
12 24x< ≤ 24 4x− ≥ 20x ≤
a ( )16 24x x< ≤
( )g x
( ) ( )12 1 24g x a x x= − − + − ( )16 24x< ≤
12x t− = 2 2 3t< ≤ 2 12x t= +
( ) ( ) 2 12g x h t t at a= = − + − +
( ) 4h t ≥ (2,2 3
( )
( )
2 4 4
2 3 4 2 3 1
h
ah
≥ ⇒ ≥ ≥ −
答：第二次至少喷漆 个单位的消毒剂，使一天内都有效杀毒.
18.【解析】（1）当 ， ， ， . ，
设过 处的切线方程为 ，代入 ，得 .
令 ， 得 ， ， 所 以 的 方 程 为 ：
.
（2）设 ， 的斜率分别为 ， ，则 ， ， 的方程分别： ， .
联立 ，消去 ，得 .
由 ，得 .
联立 ，消去 ，得 .
由 ，得 .
①×②得 ， .
19.【解析】（1）因为 ，令 ，得 ，列表如下：
0
极大值
所以 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
（2） .
令 ，则 ，得 .
( )4 2 3 1
11
+
2a = 1b =
2
2
1 : 14
xC y+ =
2 2
2 : 116 4
x yC + = ( )4,0A
( )4,0A ( )4y k x= − 1C ( )2 2 2 21 4 32 64 4 0k x k x k+ − + − =
( ) ( )( )22 2 232 4 1 4 64 4 0k k k∆ = − + − = 2 1
12k = 3
6k = ± 1l
( )3 46y x= ± −
1l 2l 1k 2k 1 2
9
16k k = − 1l 2l ( )1 2y k x a= − 22y b k x− =
( )1
2 2
2 2
2
1
y k x a
x y
a b
= − + =
y ( )2 2 2 2 3 2 4 2 2 2
1 1 14 4 0b a k x a k x a k a b+ − + − =
( )( )6 4 2 2 2 4 2 2 2
1 1 116 4 4 0a k b a k a k a b∆ = − + − = 2 2 2
13a k b=
2
2 2
2 2
2
1
y b k x
x y
a b
− = + =
y ( )2 2 2 2 2 2 2
2 24 3 0b a k x a bk x a b+ + + =
( )4 2 2 2 2 2 2 2
2 216 12 0a b k b a k a b′∆ = − + = 2 2 2
2 3a k b=
4 2 2 4
1 2a k k b= 73 4 4a b e⇒ = ⇒ =
( ) 2
1 ln xf x x
−′ = ( ) 0f x′ = x e=
x ( )0,e e ( ),e +∞
( )f x′ + −
( )f x
( )f x ( ),e +∞ ( )0,e
1 1 1 1ln 1f gk k k k
≤ ⇔ ≤ −
( ) ln 1h x x x= − − ( ) 1 0xh x x
−′ = = 1x =
所以当 时， ， 在区间 单调减；
当 时， ， 在区间 单调增.
所以 .故当 时， ，即 ，所以 .
（3）方程 ，且 是原方程的一个根.
令 ， .令 ，即 .（*）
下面证明，只有 时，函数 有唯一零点.
①当 时， ，且 .
所以 在 为单调增函数，在 上为单调减函数.故函数 有唯一零点.
②当 时，令 ，
因 ， ，
又因为 为增函数，所以方程（*）在 有唯一根，记为 ，
当 ， ，
所以 在 单调增，故 ，
而由（2）可知 ，即 ，
所以，函数 在区间 至少再有一个零点，所以函数 至少有两个零点.
③当 时，同理可证函数 在区间 还有一个零点.
综上所述，若方程 有唯一的解，则 .
20.【解析】（1）由 ， ，得 ，
( )0,1x∈ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,1
( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x ( )1,+∞
( ) ( )1 0h x h≥ = 0k > 1 0h k
≥
1 1ln 1k k
≤ − 1 1f gk k
≤
( ) ( ) ( )ln 1xf x g x k xx
= ⇔ = − 1x =
( ) ( )ln 1xm x k xx
= − − ( ) 2
1 ln xm x kx
−′ = − ( ) 0m x′ = 2 ln 1 0kx x+ − =
1k = ( )m x
1k = ( ) 2
1 ln 1xm x x
−′ = − ( )1 0m′ =
( )m x ( )0,1 ( )1, 10+ ( )m x
0 1k< < ( ) 2 ln 1n x kx x= + −
( )1 1 0n k= − < 1 1 ln 1 ln 0n k kk k
= − − > − >
( )n x 11, k
0x
( )00,x x∈ ( ) ( )
2 0n xm x x
−′ = >
( )m x ( )00, x ( ) ( )0 1 0m x m> =
1 0m k
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