2020 届镇江市高三教学情况调研（三）
数学第Ⅰ卷
一、填空题
1．已知集合 ， ，若 ，则实数 ______.
2．若复数 满足 ，其中 是虚数单位， ______.
3．已知 ， 是某个平行四边形的两个内角，命题 ： ；命题 ： ，则命题 是命
题 的______条件（在“充要”、“充分不必要”、“必有不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的
填空）.
4．为了研究疫情病毒和人的血型间关系，在被感染的 600 人中， 型血有 200 人 型血有 150 人， 型
血有 150 人， 型血有 100 人.在这 600 人中，为抽取一个容量为 60 人的样本，则应从 型血中抽取的人
数为______.
5．已知直线 ： ， ： ，且 ，则直线 ， 间的距离为______.
6．一周后的 6 月 25 日为端午节，国家规定调休放假 3 天.甲、乙、丙三人端午节值班，每人值班一天，每
天一人值班，则甲在乙前面值班的概率为______.
7．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤棉花，赠分八子作盘缠，次第每人多
十七，要将第八数来言”.意思是把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次排列分绵，
每个弟弟都比前面的哥哥多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵的斤数为______.
8．已知抛物线 的准线是双曲线 的左准线，则 ______.
9．《算数书》竹简于 20 世纪 80 年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我们现存最早的成系统的数学典籍，
其中记载要求“困盖”术：“置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的
底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式 .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 取近似
值______.
10．已知圆 ： 与圆 ： 外切，则 的最大值为______.
11．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：
“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形 ，勾（短直角边） 长 5
步，股（长直角边） 长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形 边长为多少？在如图所示中，
求得正方形 的边长后，可求得 ______.
{ }1,2A = { }21,B a= − { }A B a= a =
z ( )1 3 3i z i− = + i z =
α β P α β= Q sin sinα β= P
Q
O A B
AB O
1l 2 3 0x y− + = 2l 2 0x ky k+ + = 1 2l l 1l 2l
2 4y x= ( )2 2
2 1 02
x y aa
− = > a =
L h V 21
36V L h= π
1C ( ) ( )2 22 4x a y− + + = 2C ( ) ( )2 21 1x b y+ + + = ab
ABC BC
AB DEBF
DEBF tan ACE∠ =
12 ． 已 知 在 中 ， ， ， ， 为 平 面 上 一 点 ， 且
，当 最小时，向量 与 的夹角为______.
13．已知函数 若函数 有三个零点，则实数 的取
值范围是______.
14．在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ，且 ，则
的最大值为______.
二、解答题
15．如图，在直三棱柱 中， 为 中点， ， .求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 .
16．在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积.
17．在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为
OAB△ 2OA = 2OB = 135AOB∠ = ° P OAB
( )OP OA OB Rλ λ= + ∈ OP OP OB
( )
2
,
4 3,
xe
f x
x x
=
− + −
1,
1 3,
x
x
≤
< < ( ) ( ) 2g x f x k x= − + k
ABC△ , ,A B C , ,a b c ( )sin cos sin cosb C A A C− = 2a =
tan
tan tan
A
B C
1 1 1ABC A B C− D AC AB BC= 1 1A D AC⊥
1B C 1A BD
1A BD ⊥ 1 1AB C
ABC△ A B C a b c 5cos 5A = sin 5 cosB C=
tanC
2 2a = ABC△
xOy C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1F 2F
，两准线间距离为 8.圆 的直径为 ，直线 与圆 相切于第四象限点 ，与 轴交于 点，与椭
圆 交于点 （ 点在 点上方），且 ，
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求直线 的方程；
（3）求直线 上满足 ， 距离之和 的所有点的坐标.
18．镇江市长江路江边春江潮广场要设计一尊鼎型塑像（如图 1），塑像总高度为 12 米，塑像由两部分组成，
上半部分由四根垂直于水平地面的等高垂直立柱组成（立柱上凸起部分忽略不计），下半部分由正四棱台的
上底面四根水平横柱和正四棱台的四根侧棱斜柱组成，如图 2 所示设计要求正棱台的水平横柱长度为 4 米，
下底面边长为 8 米，设斜柱与地面的所成的角为 .
（1）用 表示塑像上半部分立柱的高度，并求 的取值范围？
（2）若该塑像上半部分立柱的造价为 千米/米（立柱上凸起部分忽略不计），下半部分横柱和斜柱的造
价都为 2 千元/米，问当 为何值时，塑像总造价最低？
19．各项为正数的数列 如果满足：存在实数 ，对任意正整数 ， 恒成立，且存在正
整数 ，使得 或 成立，则称数列 为“紧密数列”， 称为“紧密数列” 的“紧
2
2 O 1 2F F l O T y M
C N N T OM ON=
C
l
l 1F 2F 4 2
θ
θ sinθ
3
θ
{ }na 1k ≥ n 11 n
n
a kk a
+≤ ≤
n 1n
n
a ka
+ = 1 1n
n
a
a k
+ = { }na k { }na
密度”.
已知数列 的各项为正数，前 项和为 ，且对任意正整数 ， （ ， ， 为
常数）恒成立.
（1）当 ， ， 时，
①求数列 的通项公式；
②证明数列 是“紧密度”为 3 的“紧密数列”；
（ 2 ） 当 时 ， 已 知 数 列 和 数 列 都 为 “ 紧 密 数 列 ”，“ 紧 密 度 ” 分 别 为 ， ， 且
，求实数 的取值范围.
20．已知函数 ， 其中 是自然对数的底数.
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）如果对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）讨论函数 的零点个数.
2020 届镇江市高三教学情况调研（三）
第Ⅱ卷（附加卷）
21．已知 ，向量 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量，求 与 .
22．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程是 （ 是参数， 是常数）.以 为极点，
轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，若直线 与曲线 相交于 ，
两点，且 ，求实数 的值.
23．已知 ， ， 是实数，且 ，求 的最小值.
24．如图，在四棱锥 中，已知 ， ， 是正三角形，且平面 平
面 ， ， 为 的中点.
（1）求异面直线 与 所成角的大小；
{ }na n nS n 2
n n nS Aa Ba C= + + A B C
1
4A = 1
2B = 1
4C =
{ }na
{ }na
0A = { }na { }nS 1k 2k
[ ]1 2, 1,2k k ∈ B
( ) xf x e ax= − ( )a R∈ e
1a = ( )y f x= 1x =
x R∈ ( ) 0f x ≥ a
( ) ( ) xg x f x e−= −
x R∈ 1
1
α =
1
0 2
xA
=
λ λ 1A−
xOy l
2 ,2
2
2
x m t
y t
= +
=
t m O
x C 6cosρ θ= l C P Q
2 7PQ = m
a b c 9a b c+ + = 2 2 24a b c+ +
S ABCD− AB DC AB AD⊥ SAD△ SAD ⊥
ABCD 2 2AD AB DC= = = F SB
SA FC
（2）在棱 上是否存在点 ，使平面 与平面 所成的锐二面角的 ？若存在，求出 的大小；
若不存在，请说明理由.
25．随机将 个连续正整数 1，2，3，…， 分成 ， 两组，每组 个数， 组最小
数为 ，最大数为 ； 组最小数为 ，最大数为 ，记 ， ，设 表示“ 与 的
取值恰好相等”的事件， 表示事件 发生的概率.
（1）当 时，求 的分布列和数学期望；
（2）当 时，求 ；
（3）请判断 与 的大小，并证明你的结论.
参考答案
1．1 2．1 3．充分不必要
4．20 5．
6． 7．184 8． 9．3
10．2【解析】圆心 ， ，距离 .由于两圆外切，有 ，化
简得 .要求 最大值，可设 同号，即 ，则有 .最后，取等条件为
或 ，此时 取最大值 2.
11． 【解析】法一：以 以原点，分别从 ， 为 ， 轴建系.
， ， ，
为正方形
∴ ，即
SB Q SAC QAC 3
π SQ
SB
( )*2 , 2n n N n∈ ≥ 2n A B n A
1a 2a B 1b 2b 2 1a aξ = − 2 1b bη = − D ξ η
( )P D D
2n = ξ
3n = ( )P D
( )P D 1
2
5
1
2 2
( )1 , 2C a − ( )2 , 1C b− − ( )2 1l a b= + + 1 2 3l r r= + =
( )2 8a b+ = ab ,a b 0ab > ( )2
24
a bab
+≤ =
2a b= = 2a b= = − ab
144
229 B BC BA x y
5BC = ( )5,0C 12BA = ( )0,12A
DEBF
DE DF= D Dx y=
：
∴ ，∴
，
.
法 二 ： 设 正 方 形 边 长 为 ， 由 ， 可 知 ， 解 得 . 于 是 有
，
.于是 .
12． 【解析】法一：
∴
当 时 最小
，故夹角为 .
法二：过点 作直线 ，根据 ，可知点 为 上任意一点.易知当且仅当 时
长度取最小值.此时 与 垂直，夹角为 .
13． 【解析】法一： 过 作 切线，切点
，
，过
BC 15 12
x y+ =
15 12
D Dx x+ = 60 60,17 17D
600,17E
12tan 17BCE∠ = 12tan 5ACB∠ =
( )
12 12
1445 17tan tan 12 12 2291 5 17
ACB ACB BCE
−
∠ = ∠ − ∠ = =
+ ⋅
l AE l
l CF
= ( )( )2 12 5l l l= − − 60
17l =
12tan 17
BEBCE BC
∠ = =
12tan 5
ABACB BC
∠ = =
12 12
tan tan 1445 17tan 12 121 tan tan 2291 5 17
ACB BCEACE ACB BCE
−∠ − ∠∠ = = =+ ∠ ∠ + ⋅
2
π
OP OA OBλ= +
2 2 22 2 222 2 2 2 2 4 4 4 22OP OA OA OB OBλ λ λ λ λ λ = + ⋅ + = + ⋅ − + = − +
1
2
λ = OP
2OB =
21 1 2 12 2 4 02 2 2 2OP OB OA OB OB OA OB OB
⋅ = + = ⋅ + = − ⋅ + × =
2
π
A l OB OP OA OBλ= + P l OP l⊥ OP
OP OB 2
π
15 10, ,15 3
e
e
1° ( )2,0− xy e= ( )0
0 , xx e
xy e′ = 0
1
xk e=
( )0 0
0
x xy e e x x− = − ( )2,0−
∴
，
过 的直线的斜率
∴ 时，满足条件.
则 ，
∴ 时也满足条件
综上： .
法 二 ： 当 时 ， ， 表 示 上 半 个 圆
有三个零点
即 有三个零点
即 与 有三个交点
为顶点为 的“ 型”正数
显然 ，当 经过 时，
当 与 相切时，设切点为
( )0 0
02x xe e x− = − −
0 1x = − 1
1k e
=
( )2,0− ( )1,e 3
e
1
3
eke
< ≤
2° ( )2 4 3 2x x k x− + − = +
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 24 3 4 4 1 4 4 4 3 0x x k x x k x k x k− + − = + + ⇒ + + − + + =
0=△ ( ) ( )( )22 2 24 4 4 1 4 3 0k k k− − + + = 1
15
k =
150 15k< <
1 15, 0,3 15
ek e
∈
1 3x< < 2 2 24 3 4 3 0y x x x x y= − + − ⇒ − + + = ( )2 22 1x y− + =
( ) 2f x k x= +
2y k x= +
2y k x= + ( )y f x=
2y k x= + ( )2,0P − V
0k > 2y k x= + ( )1,A e 3 3
ek e k= ⇒ =
( )2y k x= + ( ) xf x e= ( )0 0,M x y
∴ ， ，此时 时，满足题意.
当 与半圆相切时， ，此时 也符合.
综上： .
法三：直接手绘 的图像，去考虑 .易知 .而 时显然有且仅有一个 满足
， .故我们只需要考虑当 时 有两个解.
情况 1： 与 有两个交点.此时极端情况为相切，设切点横坐标为 ，有：
且
解得 ， ，故当 .极端情况 2 为焦点在边界上，即 过点 ，此时有
即 ，这种情况可以取到.故当 时满足条件.
情况 2： 与 有一个交点（即相切），此时易知 与 无交点，
不满足.
情况 3： 与 有两个交点.此时极端情况为相切，设切点横坐标为 ，有：
且
解得 ， ，故当 时满足条件.
( )
0
0 0
0
1
2
x
x
e k x
k x e
= ⇒ = − + =
1k e
= 1
3
eke
< ≤
( )2y k x= +
2
4 151 151
k
k
= ⇒=
+
150 15k< <
1 15, 0,3 15
ek e
∈
( )f x ( ) 2f x k x= + 0k > 0k > 1x
1 2x < − ( )1 0g x = 2 3x− < < ( ) ( )2f x k x= +
( )2y k x= + xy e= 0x ( )0
0 2xe k x= +
0xe k=
0 1x = − 1k e
= 1k e
> ( )2y k x= + ( )1,e
( )2 1k e+ =
3
ek = 1
3
eke
< ≤
( )2y k x= + xy e= ( )2y k x= + 2 4 3y x x= − + −
( )2y k x= + 2 4 3y x x= − + − 2x
( )2
2 2 24 3 2x x k x− + − = + 2
2
2 2
2 4
2 4 3
x k
x x
− + =
− + −
2
7
4x = 15
15k = 150 15k< − −
( ) ( )2
2
2 2 1tan 2 2 4 2 02tan tan 2
2 1
tAP Pt P ttB C t tt t
−= = = ⇔ + − + =+ +⋅ −
( )22 4 8 0 3 5P P P= − − ≥ ⇒ ≤ −△
( )cos sin sinb A A C B= + = sin sin sincos 2
B A AA b a
= = =
tan 2A = A ( ) 5cos cos 5B C A+ = − = −
( )
( ) ( )
costan 2cos cos 4 5 12 1 2tan tan sin sin sin sin 5 cos cos
B CA B C
B C B C B C B C B C
+ = = + = − − − +
4 5 1 10 2 52 3 55 5 5 515
−≤ − = = −
++
B C= 3 5−
法四：
.
法五：
.
15．证明：（1）记 ， 的交点为 ，并连接
∵直三棱柱
∴ ，
∴四边形 为平行四边形
∵ ， 的交点为
∴ 为 的中点
又∵在 中， 为 中点
∴
1cos sin cos sin cos sin sin cos
bb A A C C A B B A
= + = ⇒ =
2 1 tan 2sin sin sin cos
a b AA B A A
= ⇒ = ⇒ =
tan 2 tan tan tan tan tan tan tan tanA B C A B C A B C+ ≤ + + =
3 5tan tan tan tan 1 0 tan tan 2B C B C B C
+⇔ − − ≥ ⇒ ≥
tan 2 2 3 5tan tan tan tan 3 5
2
A
B C B C
= ≤ = −
+
1cos sin cos sin cos sin sin cos
bb A A C C A B B A
= + = ⇒ =
2 1 2 tan 2 1tan 2 tan tansin sin sin cos 2tan 1 2 1 2
a b B tA C t BA B A A B t
+ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = = > − −
( )
2 2
2 2 1tan 2 8 8 8 3 52 5tan tan 2 6 5 2 5 662 1
tA u
tB C t t u ut ut u
−= = = = ≤ = −+ + + + +⋅ + +−
1AB 1A B O OD
1 1 1ABC A B C−
1 1A A B B 1 1A A B B=
1 1A ABB
1AB 1A B O
O 1AB
1AB C△ D AC
1OD B C
∵ 平面 ， 平面
∴ 平面
（2）∵直三棱柱
∴ 平面
∵ 平面
∴
∵在 中，
且 为 中点
∴
∵
， 平面
∴ 平面
∵ 平面
∴
∵
， 平面
∴ 平面
∵ 平面
∴平面 平面
16．解：（1）∵在 中， ，且
∴
∵在 中，
OD ⊂ 1A BD 1B C ⊄ 1A BD
1B C 1A BD
1 1 1ABC A B C−
1AA ⊥ ABC
BD ⊂ ABC
1AA BD⊥
ABC△ AB BC=
D AC
BD AC⊥
1AA AC A=
1AA AC ⊂ 1 1A ACC
BD ⊥ 1 1A ACC
1AC ⊂ 1 1A ACC
1BD AC⊥
1 1A D AC⊥
1BD A D D=
BD 1A D ⊂ 1A BD
1AC ⊥ 1A BD
1AC ⊂ 1 1AB C
1A BD ⊥ 1 1AB C
ABC△ ( )0,A π∈ 5cos 5A =
2 2 5sin 1 cos 5A A= − =
ABC△ A B C π+ + =
∴由 可得：
∴
则
∴
∵
∴
∵在 中，
∴ ，则
∴
（2）∵ ，且
∴
正弦定理 ，且
∴ ，则
∴ 的面积为 .
17．解：（1） ，∴ ，椭圆 .
（2）设 ，
∵ ，则 在 垂直平分线上
∴ 与圆相切
sin 5 cosB C= ( )sin 5 cosA C C+ =
sin cos cos sin 5 cosA C A C C+ =
2 5 5cos sin 5 cos5 5C C C+ =
sin 3cosC C=
2 2sin cos 1C C+ =
2 21sin sin 19C C+ =
ABC△ ( )0,C π∈
3 10sin 10C = 10cos 10C =
sintan 3cos
CC C
= =
sin 5 cosB C= 10cos 10C =
2sin 2B =
sin sin sin
a b c
A B C
= = 2 2a =
2 2
2 5 2
5 2
b= 5b =
ABC△ 1 1 3 10sin 2 2 5 32 2 10S ab C= = × × × =
2
2 2 2
2
2
2 8
c
a
a
c
a b c
=
=
= +
2 2
2
2
a
b
c
=
=
=
2 2
18 4
x y+ =
( ),M O M ( )0 0N x y
OM ON= O MN
MN
∴切点 为 中点，
∴ ，解得
∴ ，
∴ .
（3）联立 ，解得 或
∴直线 与椭圆交点 和 .
18．解：（1）设 在底面的射影点为 ，
∴
∴
∴上半部分立柱的高度为
由
∴ .
T MN 0 0,2 2
x m yT
+
( )22
00
2 2
0
44 4
18 4
m yx
x y
++ =
+ =
0
0
2 2
0
2 2
x
y
m
=
=
= −
0 0 0 0, , 02 2 2 2
x m y x y m+ − =
( )2 2,0N ( )0, 2 2M −
: 2 2l y x= −
2 2
2 2
18 4
y x
x y
= − + =
2 2
3
4 2
3
x
y
−=
= −
2 2
0
x
y
= =
l 2 2 4 2,3 3
( )2 2,0
B M
8 2 4 2 2 22MF
−= =
tan 2 2 tanBM BMMF
θ θ= ⇒ =
12 2 2 tanθ−
12 0 tan 3 2BM θ< ⇒ < <
3 2 3 380 sin 1919
θ< < =
（2）
塑像总造价为
令
∴ ，当且仅当 时取“=”
∴ 时，塑像总造价最低为： .
19．解：（1）①当 ， ， 时， ①
时， ②
①－②得
∵ ，∴
为等差数列且在①式中令
，∴
②证明
2 2
cosBF θ=
( ) 2 2 8 6 sin 16 23 12 2 2 tan 4 4 4 2 4 2 48 3 32cos cos cos
θθ θ θ θ− × + × × + × × = − + +
( )8 2 2 3sin16 2 8 6 sin48 3 32 48 3 32cos cos
θθ
θ θ
−−= + + = + +
( )22 3sin 3sin cos 2 3 sin 2cos m m m
θ θ θ θ ϕθ
− = ⇒ + = ⇒ + + =
2
2 1 1
3
m
m
≤ ⇒ ≥
+ 3
πθ =
3
πθ = 48 3 32 8 2+ +
1
4A = 1
2B = 1
4C = 21 1 1
4 2 4n n nS a a= + +
2n ≥ 2
1 1 1
1 1 1
4 2 4n n nS a a− − −= + +
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 2 2 04 4 2 2n n n n n n n n na a a a a a a a a− − − −= − + − ⇒ − − − = ⇒
( )( ) ( )1 1 12 0n n n n n na a a a a a− − −+ − − + =
0na > 1 2n na a −− =
{ }na 2
1 1
1 1 11 04 2 4n a a= ⇒ − + =
1 1a = ( )1 2 1 2 1na n n= + − = −
1 2 1 2 1 2 212 1 2 1 2 1
n
n
a n n
a n n n
+ + − += = = +− − −
显然 ，另一方面
∴ 且当 时， 成立
故 是“紧密度”为 3 的“紧密数列”.
（2）当 时， ①
当 时， ②
①－②得
∴ ，若 时， 与 矛盾，若 ，则 也与 矛盾
∴ 且
∴ 或
∵ 为等比数列
∴在①式中令 ，
∴ ，
∴ 或
而
∴
①若 时，
1 11 3
n
n
a
a
+ > > 1 21 32 1
n
n
a
a
+ ≤ + =−
11 33
n
n
a
a
+≤ ≤ 1n = 1 3n
n
a
a
+ =
{ }na
0A = n nS Ba C= +
2n ≥ 1 1n nS Ba C− −= +
( )1n n na B a a −= −
( ) 11 n nB a Ba −− = 0B = ( )0 2na n= ≥ 0na > 1B = 0na = 0na >
0B ≠ 1B ≠
1
0 01
n
n
a B Ba B−
= > ⇒
{ }na
( ) 11 1n B a C= ⇒ − = − 1 01
Ca B
= − >−
1
1 1
n
n
C Ba B B
− = − ⋅ − −
1
1
n
n
a B
a B
+ = −
1
1
1 1 2 11 2 1
B Bk Bk B B
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ −− − 2B ≥
1
1
21
2
11 1 1 1
11 1 1
n n
n
n n
n
C B BB CS B B B kk S C B BB CB B B
+
+
−
⋅ − ⋅ + − + − − − ≤ = = ≤
⋅ − ⋅ + − + − − −
11 1 22 1 1 1
n
B
B B
B B
B
− −≤ + ≤− − −
1B ≤ − 1 10 1 1 1 2
B
B B
< − = ≤− −
故只需 成立
②若 时，只需 显然不成立（舍去）
∴
综上：实数 的取值范围为 .
20．解：（1）当 时， ，
，切点为
此时 在 处的切线方程为 .
（2） 恒成立，
当 时， ， 在 上单调递增，注意到 ，
∴不可能恒成立舍去
当 时，令 且当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
∴ ，此时
故 的取值范围为 .
（3） ，
①当 时， ， 在 上单调递增，故至多有一个零点
注意到 ，∴ 的唯一零点为 .
②当 时， ，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
111 1 2
1 1 22 1
B B
B B
B
B
+ − ≥ − −
≤ + ≤ −
2B ≥
1
1 2
1 21
B
B
B
B
≥ −
+ ≤ −
1B ≤ −
B ( ],1−∞
1a = ( ) xf x e x= − ( ) 1xf x e′ = −
( )1 1k f e′= = − ( )1, 1e −
( )f x 1x = ( )( ) ( )1 1 1 1y e x e e x= − − + − = −
0xe ax− ≥ ( ) xf x e a′ = −
0a < ( ) 0f x′ > ( )f x R
11 1 0af ea
= − ( ) 0 lnf x x a′ = ⇒ = lnx a< ( ) 0f x′ < ( )f x
lnx a> ( ) 0f x′ > ( )f x
( ) ( )min ln ln 0f x f a a a a a e= = − ≥ ⇒ ≤ 0 a e< ≤
a ( ]0,e
( ) x xg x e ax e−= − − ( ) 2x xg x e e a a−′ = + − ≥ −
2a ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x R
( )0 0g = ( )g x 0x =
2a > ( ) 2 1x
x x
x
eg x e e e
− −′′ = − = 0x < ( ) 0g x′′ < ( )g x′
0x > ( ) 0g x′′ > ( )g x′
∴ ，且 ，
，∴ 在 和 上各有一个零点 ， ，
且当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，注意到 ，∴ ，
∴ 在 ， 上各有一个零点而另一个零点为 0，此时
21．解：
∴
∴ ，∴ ，即
.
22．解：直线的一般方程：
曲线 的直角坐标方程：
即
∴
∴ 或 .
23．
24．解：取 中点 ，取 中点 ，连 ，
( ) ( )min 0 2 0g x g a′ ′= = − < ( ) 0a ag a e e a a a−′ − = + − > − =
( ) 0a ag a e e a a a−′ = + − > − = ( )g x′ ( ),0a− ( )0,a 1x 2x
1x x< ( ) 0g x′ > ( )g x 1 2x x x< < ( ) 0g x′ < ( )g x
2x x> ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0 0g = ( ) ( )1 0 0g x g> =
( ) ( )2 0 0g x g< =
( ) ( )21 2 1 2 2 21 1 1 2 1 0a ag a e a a e a a a a a a a a− − +− − = + + − + + − + < + + − − − = − <
( ) ( ) ( )211 2 21 1 1 0aag a e a a e a a a a− +++ = − − − > + − − − = >
( )g x ( )11,a x− − ( )2 , 1x a +
1 1
1 1A λ =
1 1
0 2 1
x λ
λ
=
1
2
x λ
λ
+ =
=
2
1x
λ =
=
1 1
0 2A
=
1
11 2
10 2
A−
−
=
0x y m− − =
C 2 2 6x y x+ =
( )2 23 9x y− + =
3
2
md
−=
( )232 7 2 9 2
m−= −
1m = 5
AO O BC M SO OM
∵平面 平面 ，
∴平面 平面
∵ 为正三角形
∴
平面
∴ 平面
， 分别为 ， 中点
∴ 梯形 中位线，∴
又∵
∵
平面
∴ 平面
∴ ， ， 两两垂直
以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系.
（1）
∴ ， ，
，
为 中点， ，
设 与 所成角
∴ ，即 与 所成角为 .
（2）令 ，∴
∴
平面 的法向量设为
则 ∴
SAD ⊥ ABCD
SAD ABCD AD=
SAD
SO AD⊥
SOC SAD
SO ⊥ ABCD
M O BC AD
MO ABCD MO AB
AB AD⊥
MO AD⊥
MOC ABCD
MO ⊥ SAD
MO OD SO
O OM OD OS x y z
2AD SA SD= = =
( )0, 1,0A − ( )0,0, 3S ( )0, 1, 3SA = − −
( )1,1,0C ( )2, 1,0B − −
F SB 1 31, ,2 2F
− −
3 32, ,2 2FC
−
FC SA α
3 3
2 2cos cos 0SA FC
SA FC
α
− +
= ⋅ = =
2
πα = SA FC 2
π
SQ
SB
λ= SQ SBλ=
( )2 , , 3 3Q λ λ λ− − −
SAC ( )1 1 1 1, ,n x y z=
1
1
0
0
n AC
n SA
=
=
1 1
1 1
2 0
3 0
x y
y Z
+ =− − =
不妨设 ，则 ，
∴
平面 的法向量设为
∴ ，∴
不妨设 ，则 ，
平面 与平面 所成角为
∴ 解得： ，
故 .
25．解：（1）当 时，将 1，2，3，4 分成 ， 两组
∴ 的可能取值为 1，2，3
， ，
的分布列如下：
1 2 3
.
（2） 时，将 1，2，3，4，5，6 分布 ， 两组，
当 时， ：1，2，3， ：4，5，6 或 ：4，5，6， ：1，2，3.
当 时， ：1，2，4， ：3，5，6 或 ：3，5，6， ：1，2，4.
当 时， ：1，3，5， ：2，4，6 或 ：2，4，6， ：1，3，5.
1 3y = − 1 2 3x = 1 1Z =
( )1 2 3, 3,1n = −
QAC ( )2 0 2 2, ,n x y Z=
2
2
0
0
n AC
n QA
=
=
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 0
2 1 3 1 0
x y
x y Zλ λ λ
+ = + − + − =
2 1y = 2 2x = − ( )2
3 1
3 1
Z
λ
λ
+=
−
QAC SAC 3
π
( )
( )
2
3 15 3
3 11
2 3 14 5
3 1
λ
λ
λ
λ
+− +
−=
++ −
3 5λ = −
3 5SQ
SB
= −
2n = A B
ξ
( ) 2
4
3 11 2P C
ξ = = = ( ) 2
4
2 12 3P C
ξ = = = ( ) 2
4
1 13 6P C
ξ = = =
ξ
ξ
P 1
2
1
3
1
6
1 2 1 5
2 3 2 3Eξ = + + =
3n = A B
2ξ η= = A B A B
3ξ η= = A B A B
4ξ η= = A B A B
此时 .
（3）当 个数分成 ， 两组，
时， ， 时， .
时， .
∴当 时， ； 时， .
( ) 3
6
6 3
10P D C
= =
n A B
2n = ( ) 2 1
3 2P D = > 3n = ( ) 3 1
10 2P D = <
4n ≥ ( ) ( )1 2 3 2
2 4 6 2 4
2
2 1 1 ... 1
2
n
n
n
n
C C C C
P D C
−
−+ + + + + +
= <
2n = ( ) 1
2P D > 3n ≥ ( ) 1
2P D
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