2021 届高三一轮复习题型专题训练
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《函数的对称性》（二）
考查内容：主要涉及判断函数的对称性，由对称性求函数的解析式、函数
值和研究函数的单调性等
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数 ，则（ ）
A． 在 单调递增 B． 在 单调递减
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 对称
2．若 总成立，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于 对称
C．以 4 为周期 D．关于原点对称
3．已知函数 与函数 的图象关于直线 对称，且
，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
4．已知函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 的图像与函数 的图像关于 对称，
若 ，则 （ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．3
6．函数 的图象关于点 对称， 是偶函数，则
（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 满足 ，且
时， ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
8．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时
( ) ( )ln ln 4f x x x= + −
( )f x ( )0,4 ( )f x ( )0,4
( )y f x= 2x = ( )y f x= ( )2,0
( ) ( )2 2f x f x− = − + ( )2f x+
( )2,0 2x =
( ) 2logf x x= ( )y g x= y x=
( ) ( ) 1f a f b+ = ( )g ab =
( )f x 2xy = x ( )f x =
2x− 2 x−
2log x− 2log x
( )f x ( ) ( )2 1
1
ax ag x a Rx a
+ += ∈+ −
y x=
( ) ( )3 4 3f x f x− + + = − + a =
( ) xf x x a
= +
( )1,1 ( )( ) lg 10 1xg x bx= + +
a b+ =
1
2
1
2
− 3
2
3
2
−
( )( )f x x R∈ (1 ) (1 ), (4 ) (4 )f x f x f x f x+ = − + = −
3 3x− < ≤ 2( ) ln( 1 )f x x x= + + (2018)f =
ln( 5 2)− ln( 5 2)+
R ( )y f x= ( ) ( )( )4f x f x x R= − ∈ 2x >2021 届高三一轮复习题型专题训练
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为增函数，记 ， ， ，则 的大
小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 是偶函数， 在 上单调递减， ，则
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数 在 上单调递减，且 的图象关于直线 对称，则
， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 的图象关于点 对称，当 时， ，且
在 上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 在 上单调递增，且 的图象关于 对称.若
，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题
13．函数 的图象对称中心是___．
14．已知 ，有下列 4 个命题：
①若 ，则 的图象关于直线 对称；
② 与 的图象关于直线 对称；
③若 为偶函数，且 ，则 的图象关于直线 对称；
④若 为奇函数，且 ，则 的图象关于直线 对称.
( )f x ( )0.51.1a f= ( )1.10.5b f= 0.5
1log 16c f = , ,a b c
c b a< < c a b< < b a c< < a b c< <
( 2)f x + ( )f x ( ]2−∞， (0) 0f =
(2 3 ) 0f x− >
2( ) (2 )3
−∞ + ∞， ，
2( 2)3
，
2 2( )3 3
− ， 2 2( ) ( )3 3
−∞ − + ∞， ，
( )f x [ )3,+∞ ( )f x 3x =
( )1.10.3a f= ( )0.53b f= ( )0c f=
a b c> > b c a> > c b a> > b a c> >
( )f x ( )1,0 1x > 2( ) 5f x x mx= − +
( )f x ( ,0)−∞ m
[4, )+∞ [2, )+∞ ( ,4]−∞ ( ,2]−∞
( )f x [0, )+∞ ( )3f x − 3x =
( )3 0f − = ( )1 0f x − ≥
[ ]2,4− [ ]3,3−
, 3 [ )3,( ]∞ − ∪ +∞- ( , 2] [4, )−∞ − ∪ +∞
1( ) ( )1
xf x x Rx
−= ∈+
( ),y f x x R= ∈
(1 2 ) (1 2 )f x f x+ = − ( )f x 1x =
( 2)y f x= − (2 )y f x= − 2x =
( )f x (2 ) ( )f x f x+ = − ( )f x 2x =
( )f x ( ) ( 2)f x f x= − − ( )f x 1x =2021 届高三一轮复习题型专题训练
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其中正确的命题为 .（填序号）
15．已知函数 关于 对称,则 的解集为_____.
16．已知定义在 上的函数 满足 ，且 的图象与
的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________.
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知函数 是定义在 上的函数,且 ，当 时，
．
（1）求函数 在 上的解析式；
（2）若关于 的方程 有四个不同的实数解，求实数 的取值范围．
18．已知函数 的图像过点 .
（1）求 的值；
（2）证明：函数 的图像关于点 对称；
（3）求
的值.
19．已知函数 的图象过点 ，且 对任意
实数都成立，函数 与 的图象关于原点对称．
（1）求 与 的解析式；
（2）若 在 上是增函数，求实数 的取值范围．
( ) 1( )2
x af x −= 1x = ( ) ( )2 2 0f x f− ≥
R ( )f x (1 ) (3 )f x f x+ = − − ( )f x
( ) lg 4
xg x x
= −
( )f x R (1 ) ( 1)f x f x− = + 1x ≥
2( ) 4f x x x= − +
( )f x ( ,1)−∞
x ( ) 0f x m+ = m
1( ) 3xf x a
= +
3 1(0, )2A
−
a
( )y f x= 1 3( , )2 6M
( 4) ( 3) ( 2) ( 1) (0) (1) (2) (3) (4) (5)f f f f f f f f f f− + − + − + − + + + + + +
2( )f x x mx n= + + (1,2) ( 1 ) ( 1 )f x f x− + = − −
( )y g x= ( )y f x=
( )f x ( )g x
( ) ( ) ( )F x g x f xλ= − [ ]1,1− λ2021 届高三一轮复习题型专题训练
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20．已知函数 与 的图象关于点 对称.
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 有两个不同零点，求实数 的取值范围；
（3）若函数 在 上是单调减函数，求实数 的取值范围.
21．已知函数 ，函数 的图像与函数 的
图像关于原点对称.
（1）写出函数 的解析式；
（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（3）若 时，总有 成立，求实数 的取值范围.
22．已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若函数 的定义域为 ，值域为 ，求实数
， 的值；
（3）当 时，求函数 的最小值 ．
( )f x ( ) 1 2g x x x
= + + ( )1,2A
( )f x
( ) ( )F x f x c= − c
( ) ( )
2
ah x f x x
= + −
( )2,4 a
( ) ( )log 1af x x= + ( )0 1a< < ( )y g x= ( )f x
( )g x
( ) ( )f x g x−
[ )0,1x∈ ( ) ( )f x g x m+ ≤ m
( ) 1
2
x
f x =
( )y g x= y x=
( )( ) 26f g x x= − x
( )( )2y g f x= [ ]( ), 0m n m ≥ [ ]2 ,2m n
m n
[ ]1,1x∈ − ( ) ( )2 2 3y f x af x= − + ( )h a2021 届高三一轮复习题型专题训练
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《函数的对称性》（二）解析
1.【解析】函数的定义域满足 ，即 ，
即函数的定义域是 ， ，
设 ，
由复合函数单调性可知函数在 单调递增，在 单调递减，故 AB 不正确；
, ,
所以 ，函数关于直线 对称.故选：C
2.【解析】令 ，由已知， ，
所以 为奇函数，即函数 的图象关于原点对称.故选：D
3.【解析】函数 与函数 的图象关于直线 对称
与 互为反函数，所以
， ，故选：D
4.【解析】设点 是函数 上任意一点，则点 在函数 的图像上
即 ，所以函数 的解析式为： ，故选：A
5.【解析】由 ，解得 ，
故 ，根据已知 ，
即 ，代入选项验证可知 .
6.【解析】由于 图像关于 对称，也即 关于 的对称点为
，故 ，即 ，而
，故 ，化简得 ，故 .由于 是偶
函数，故 ，即 ，故 .所
0
4 0
x
x
>
− > 0 4x< <
{ }0 4x x< < ( ) ( ) ( )2ln 4 ln 4f x x x x x= − = − +
( )22 4 2 4t x x x= − + = − − +
( )0,2 ( )2,4
( ) ( ) ( )2 ln 2 ln 2f x x x+ = + + − ( ) ( ) ( )2 ln 2 ln 2f x x x− = − + +
( ) ( )2 2f x f x− = + 2x =
( )( ) 2g x f x= + ( )( ) 2 (2 ) ( )g x f x f x g x− = − = − + = −
( )g x ( )2f x+
( ) 2logf x x= ( )y g x= y x=
( )y g x= ( ) 2logf x x= ( ) 2xy g x= =
( ) ( ) 2 2log1, 1, 2logf a f b a b ab+ = + = = ( ) 22 2 4abg ab = = =
( , )x y ( )f x ( , )x y− 2xy =
2 2x xy y− = ⇒ = − ( )f x ( ) 2xf x = −
2 1
1
ax ay x a
+ += + −
( ) 21 1a y ax y a
− + += −
( ) ( ) 21 1a x af x x a
− + += −
( ) ( )3 4 3f x f x− + + = − +
( )( ) ( )( )2 21 3 1 1 3 143 3
a x a a x a
x a x a
− − + + + − + ++ = −− + − + − 3a =
( )f x ( )1,1 ( ),x y ( )1,1
( )2 ,2x y− − ( ) 22 2 2
xy f x x a
−− = − = − + 1 2
ay x a
= + − +
1x a
x a x a
−= ++ + 2
a a
x a x a
−=− + + 2 2a = − 1a = − ( )g x
( ) ( )1 1g g− = ( ) ( )1lg 10 1 lg 10 1b b− + − = + + 12 1, 2b b= − = −2021 届高三一轮复习题型专题训练
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以 ，故选 D.
7.【解析】因为 ，
所以
，选 D.
8.【解析】∵数 满足 ，∴ 的图象关于直线
对称，又 时， 递增，所以 时， 递减，
，由指数函数性质得 ，
所以 ，即 ．故选：D．
9.【解析】因为 是偶函数，所以 关于直线 对称；
因此，由 得 ；
又 在 上单调递减，则 在 上单调递增；
所以，当 即 时，由 得 ，
所以 ，解得 ；
当 即 时，由 得 ，
所以 ，解得 ；
因此， 的解集是 .
10.【解析】因为函数 在 上单调递减，
且 的图象关于直线 对称,所以函数 在 上单调递增
又因为 ，所以 ，即
故选:D.
11.【解析】函数 的图象关于点 对称且在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，所以对称轴 ，即 .故选：C
12.【解析】因为 的图象关于 对称，
所以 的图象关于 轴对称， .
3
2a b+ = −
( ) ( ) ( ) ( )1 1 , 4 4f x f x f x f x+ = − + = −
( ) (2 ), ( ) (8 ) (2 ) (8 ) 8 2 6,f x f x f x f x f x f x T= − = − ∴ − = − ∴ = − =
(2018) (2) ln(2 5)f f∴ = = +
( )y f x= ( ) ( )( )4f x f x x R= − ∈ ( )f x
2x = 2x > ( )f x 2x < ( )f x
0.5
1(log ) (4) (0)16f f f= = 0.5 1.12 1.1 1 0.5 0> > > >
0.5 1.1(1.1 ) (0.5 ) (0)f f f< < a b c< <
( 2)f x + ( )f x 2x =
(0) 0f = (4) 0f =
( )f x ( ]2−∞， ( )f x [ )2,+∞
2 3 2x− ≥ 0x ≤ (2 3 ) 0f x− > (2 3 ) (4)f x f− >
2 3 4x− > 2
3x < −
2 3 2x− < 0x > (2 3 ) 0f x− > (2 3 ) (0)f x f− >
2 3 0x− < 2
3x >
(2 3 ) 0f x− > 2 2( ) ( )3 3
−∞ − + ∞， ，
( )f x [ )3,+∞
( )f x 3x = ( )f x ( ),3−∞
0.5 1.13 3 0.3 0>> > ( ) ( ) ( )0.5 1.13 0.3 0f f f> > b a c> >
( )f x ( )1,0 ( ,0)−∞
( )f x (2, )+∞ 22
m ≤ 4m ≤
( 3)f x − 3x = ( 3) 0f − =
( )f x y (3) 0f =2021 届高三一轮复习题型专题训练
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又因为 在 上单调递增，
所以函数 的草图如下：
所以 或 ，解得： 或 .故选：D
13.【解析】因为 ，
即 ， 可设 ， ，得到 ，
所以 与 成反比例函数关系且为奇函数，
则对称中心为 ，即 ， ，得到 ，
所以函数 的对称中心为 .故答案为：
14.【解析】∵f（1+2x）=f（1-2x），令 t=2x∴f（1+t）=f（1-t）,
∴函数 f（x）的图象自身关于直线 x=1 对称,①对∵f（x）的图象向右平移 2 个单位，
可得 f（x-2）的图象，将 f（x）的图象关于 y 轴对称得 f（-x）的图象，然后将其图象
向右平移 2 个单位得 f（2-x）的图象，∴f（x-2）与 f（2-x）的图象关于直线 x=2 对
称,②对．∵f（2+x）=-f（x），∴f（4+x）=f（x）,∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）∴f（4+x）=f（-x），∴f（x）的图象自身关于直线 x=2 对称,
③对．∵f（x）为奇函数，且 f（x）=f（-x-2）∴f（x+2）=-f（x）=f（-x），
∴f（x）的图象自身关于直线 x=1 对称,④对．
15.【解析】∵函数 关于 对称,∴ ,
则由 ,结合图象可得 ,求得 ,
故答案为：
( )f x [0, )+∞
( )f x
( 1) 0 1 3f x x− ≥ ⇒ − ≥ 1 3x − ≤ − 4x ≥ 2x −≤
1 2( ) 11 1
xy f x x x
−= = = −+ +
21 1y x
−− = + 1y y′ = − 1x x′ = + 2y x
−′ = ′
y′ x′
(0,0) 0y′ = 0x′ = 1y = 1x = −
( )y f x= ( 1,1)− ( 1,1)−
( ) 1( )2
x af x −= 1x = ( ) 111, 2
x
a f x
− = =
( ) ( ) 12 2 0 2f x f− ≥ = 0 2 2 2x≤ − ≤ 1 2x≤ ≤
[ ]1,22021 届高三一轮复习题型专题训练
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16.【解析】 ，故 ，即 的图象关于点
对称，又函数 满足 ，则函数 的图象关于点
对称，所以四个交点的横纵坐标之和为 8.故答案为：8.
17.【解析】（1） 是定义在 上的函数，且 ，
得 ，
令 ，则 ，当 时， ．
所以 ；
（2）关于 的方程 有四个不同的实数解，得 在 上有 4 个
交点，
由（1）可得当 时， 在 上递增，在 上递减，
， ，
当 时， 在 上递增，在 上递减， ，
， ，
所以 ，即 时，方程 有四个不同解.
18.【解析】（1）由题意得： ，解得：
（2）因为
所以函数 的图像关于点 对称.
（3）由（2）知， ，
则 ， ， ，
，
故
( ) lg 4
xg x x
= − (4 ) ( )g x g x− = − ( )y g x= (2,0)
( )f x (1 ) (3 )f x f x+ = − − ( )y f x= (2,0)
( )f x R (1 ) ( 1)f x f x− = +
( ) (2 )f x f x= −
1x < 2 1x− > 1x ≥ 2( ) 4f x x x= − +
( ) (2 )f x f x= − = 2 2(2 ) 4(2 ) 4x x x− − + − = − +
x ( ) 0f x m+ = ( )m f x− = R
1x ≥ 2( ) 4f x x x= − + [ ]1,2 [ )2,+∞
(1) 3f = (2) 4f =
1x < 2( ) 4f x x= − + ( ],0−∞ [ )0,1 (0) 4f =
1x → (1) 3f →
3 4m< − < ( )4, 3m∈ − − ( ) 0f x m+ =
1 3 1
1 2a
−=+ 3a =
( ) ( ) 1
1 11
3 3 3 3x xf x f x −
− + = +
+ + ( )
1
1
3 3 2 3 3
33 3 3 2 3
x x
x x
−
−
+ += =
+ +
( )y f x= 1 3,2 6M
( ) ( ) 31 3f x f x− + =
( ) ( ) 34 5 3f f− + = ( ) ( ) 33 4 3f f− + = ( ) ( ) 32 3 3f f− + =
( ) ( ) 31 2 3f f− + = ( ) ( ) 30 1 3f f+ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 1 0 1 2 3 4 5f f f f f f f f f f− + − + − + − + + + + + +2021 届高三一轮复习题型专题训练
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19.【解析】（1） 的图象过点 ，∴ ，
又 对任意实数都成立，
∴ ， ， ，∴ ，
又函数 与 的图象关于原点对称，
∴ ， ．
（2）∵ ，
∴ 在 上是
增函数，
当 ，即 时， 符合题意；
当 ，且 ，即 符合题意；
当 ，且 ，即 符合题意．
综上可知 ．
20.【解析】（1）在函数 的图象上任取一点 ，
则该点关于点 的对称点 在函数 的图象上，
所以， ， ；
（2）令 ，得 ，
则问题等价于直线 与函数 的图象有两个交点，
，
由双勾函数的单调性可知，函数 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 和 ，
函数 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 和 ，
作出函数 与直线 的图象如下图所示：
5 33
=
2( )f x x mx n= + + (1,2) 1 2m n+ + =
( 1 ) ( 1 )f x f x− + = − −
12
m− = − 2m = 1n = − 2( ) 2 1f x x x= + −
( )y g x= ( )y f x=
2 2( ) ( ) ( 2 1) 2 1g x f x x x x x= − − = − − − = − + + 2( ) 2 1g x x x= − + +
( ) ( ) ( )F x g x f xλ= −
2 2 2( ) 2 1 ( 2 1) (1 ) (2 2 ) 1F x x x x x x xλ λ λ λ= − + + − + − = − + + − + + [ ]1,1−
1 0λ+ = 1λ = − ( ) 4F x x=
1 0λ+ > 1 11
λ
λ
− ≥+ 1 0λ− < ≤
1 0λ+ < 1 11
λ
λ
− ≤ −+ 1λ < −
0λ ≤
( )y f x= ( ),x y
A ( )2 ,4x y− − ( ) 1 2g x x x
= + +
( ) 1 14 2 2 2 42 2y g x x xx x
− = − = − + + = − +− − ( ) 1
2f x x x
∴ = + −
( ) 0F x = ( )c f x=
y c= ( )y f x=
( ) ( )1 12 22 2f x x xx x
= + = − + +− −
1y t t
= + ( ), 1−∞ − ( )1,+∞
( )1,0− ( )0,1
∴ ( )y f x= ( ),1−∞ ( )3,+∞
( )1,2 ( )2,3
( )y f x= y c=2021 届高三一轮复习题型专题训练
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由图象可知，当 或 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
因此，实数 的取值范围是 ；
（3）由（1）知， ，
任取 、 且 ，即 ，
则
，
，则 ， ，
所以 ，
， ，则 ， ，即
，
，解得 .因此，实数 的取值范围是 .
21.【解析】（1）∵函数 的图像与 的图像关于原点对称，
∴ ，即 ， .
（2）函数 是偶函数.理由如下：
记 ，即
， .
∵ ，∴函数 为偶函数，即函数
为偶函数.
0c < 4c > y c= ( )y f x=
c ( ) ( ),0 4,−∞ +∞
( ) ( ) 1
2 2
a ah x f x xx x
+= + = +− −
1x ( )2 2,4x ∈ 1 2x x< 1 22 4x x< < <
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )2 1
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
11 1
2 2 2 2
a x xa ah x h x x x x xx x x x
+ −+ +− = + − − = − +− − − −
( ) ( )( ) ( )
( )( )
1 2 1 2
1 2
2 2 1 02 2
x x x x a
x x
− − − − + = >− −
1 22 4x x< < − −
10 2x< ( ) ( )2 7 4h a m a= = −
( ) 2
7 4 , 2
13, 22
13 1,4 2
a a
h a a a
a a
− >
= − + ≤ ≤
− +
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