2021届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：函数的对称性（一）（含解析）

2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 1 - 《函数的对称性》（一） 考查内容：主要涉及判断函数的对称性，由对称性求函数的解析式、函数 值和研究函数的单调性等 一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数 的图象关于（　　） A．y 轴对称 B．直线 对称 C．直线 对称 D．坐标原点对称 2．已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数 是奇函数，由下列四个命题中不正确的是（ ） A．函数 是周期函数 B．函数 的图象关于点 对称 C．函数 是偶函数 D．函数 的图象关于直线 对称 3．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于直线 对称 C． 的图象关于点 中心对称 D． 的图象关于点 中心对称 4．已知函数 y＝f(x)是定义域为 R 的函数，则函数 y＝f(x＋2)与 y＝f(4－x)的图象 （ ） A．关于 x＝1 对称 B．关于 x＝3 对称 C．关于 y＝3 对称 D．关于(3，0)对称 5．函数 的图象的对称中心为（ ） A． B． C． D． 1( ) 2f x x x = − y x= − y x= R ( )y f x= ( )3 2f x f x + = −   3 4y f x = −   ( )y f x= ( )y f x= 3 ,04  −   ( )y f x= ( )y f x= 3 4x = ( ) ( )sin 1 1f x x x= − + − ( )f x 1x = ( )f x 1x = − ( )f x ( )1,0 ( )f x ( )1,0− ( ) 2 21 1xf x e = − − ( )0,0 10, 2      ( )0,1 ( )0,22021 届高三一轮复习题型专题训练 - 2 - 6．对于函数 的图象，下列说法正确的是 （ ） A．关于直线 对称 B．关于直线 对称 C．关于点 对称 D．关于点 对称 7．函数 对称中心为（　　） A． B． C． D． 8．设函数 的图像关于直线 对称．若 时， ，则 当 时， 的解析式是（ ）． A． B． C． D． 9．已知函数 ，且满足 ，则 （ ）. A． B． C． D． 10．若函数 的图像关于直线 对称，则 的最大 值为（ ） A．15 B．16 C．0 D．20 11．设函数 的图象与 的图象关于直线 对称，且 ，则 （ ） A．1 B．4 C． D． 12．已知函数 满足： ，当 若不等式 恒成立，则实数 的 取值范围是 A． B． C． D． 二．填空题 13．已知奇函数 的图象关于直线 对称，当 时， ，则 ______． 14． 是 上的奇函数且满足 ，若 时， ( ) 2 1xf x e = + 1x = y x= ( )1,0 ( )0,1 1 2( ) 1 2 3 x x xf x x x x + += + ++ + + ( )4,6− ( )2,3− ( )4,3− ( )2,6− ( )y f x= 1x = 1x 2( ) ( 1) 1f x x= + − 1x > ( )f x 2( ) ( 3) 1f x x= + − 2( ) ( 3) 1f x x= − − 2( ) ( 3) 1f x x= − + 2( ) ( 1) 1f x x= − − ( ) 3 2x af x −= + ( ) ( )5 3f x f x+ = − ( )6f = 29 11 3 5 ( )( )2 2( ) 1f x x x ax b= − + + 2x = − ( )f x ( )y f x= 2x ay += y x= − ( ) ( )1 8 5f f− + − = − a = 1− 4− ( )f x ( ) ( )2f x f x− = ( ) [ ) [ )2 2 , 1,2 ,1 4, 2, , x xx f x x x  − ∈≥ =  − ∈ +∞ 时， ( ) 6f x x a≥ + a 13a ≤ − 13a ≥ 12a ≥ 12a ≤ − ( )y f x= 2x = − [ ]0,2x∈ ( ) 3f x x= ( )9f − = ( )f x R (3 ) (3 )f x f x− = + (0,3)x∈2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 3 - ，则 在 上的解析式是______________． 15．函数 在 上单调递增，且 恒成立，则关于 的不 等式 的解集为________ 16．已知定义在 R 上的奇函数 的图象关于直线 对称，当 时， ，则方程 在 内的所有根之和为____ 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称. （1）求函数 的解析式； （2）若 ，求实数 m 的值. 18．已知函数 和 （m，c 为常数），且对任意 ，都 有 恒成立. （1）求 m 的值； （2）对任意的 ， ，都有 成立，求实数 c 的取值范围. 19．已知函数 . （1）若对任意的实数 都有 成立，求实数 的值； （2）若 在区间 上为单调增函数，求实数 的取值范围； （3）当 时，求函数 的最大值. ( ) lgf x x x= + ( )f x ( 6, 3)− − ( )y f x= [2, )+∞ ( ) (4 )f x f x= − x 2( 3) (2 2)f x f x+ > + ( )y f x= 1x = 1 0x− ≤ < ( ) ( )1 2 logf x x= − − ( ) 1 02f x − = ( )0,6 ( ) 2 1,xf x x mx m += ≠ −+ ( )y g x= y x= ( )g x ( ) ( )f x g x= ( )f x x m= − ( ) 2g x x c= − + x∈R ( ) ( )2f x f x+ = − 1x [ ]2 1,4x ∈ − ( ) ( )1 2 1f x g x− ≤ ( ) 2 2 1f x x ax= − + x ( ) ( )1 1f x f x+ = − a ( )f x [ )1,+∞ a [ ]1,1x∈ − ( )f x2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 4 - 20．已知函数 和 的图象关于原点对称，且 . （1）求函数 的解析式； （2）解不等式 . 21．已知函数 的图象与函数 的图象关于点 对称. （1）求函数 的解析式； （2）若 ，且 在区间 上为减函数，求实数 的取值范围. 22．已知函数 与 的图象关于点 对称. （1）求函数 的解析式； （2）若函数 有两个不同零点，求实数 的取值范围； （3）若函数 在 上是单调减函数，求实数 的取值范围. ( )f x ( )g x 2( ) 2f x x x= − ( )g x ( ) ( ) | 1|g x f x x− − ( )f x ( ) 1h x x x = + ( )0,1A ( )f x ( ) ( )g x xf x ax= + ( )g x ( ]0,4 a ( )f x ( ) 1 2g x x x = + + ( )1,2A ( )f x ( ) ( )F x f x c= − c ( ) ( ) 2 ah x f x x = + − ( )2,4 a2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 5 - 《函数的对称性》（一）解析 1.【解析】函数的定义域为 ， 因为 ，所以函数 是奇函数， 则 的图象关于原点对称.故选：D 2.【解析】因为 ，所以 ，即知函 数 是一个周期为 的周期函数，A 正确；由于函数 是奇函 数，所以函数 的图象关于点 对称，而函数 的图象是由 函数 的图象向左平移 个单位得到，即函数 的图象关于点 对称，即有 ，又 ，所以 ，即函数 是偶函 数，B，C 正确．故选：D． 3.【解析】对于 A 选项， ， ， ， 所以，函数 的图象不关于直线 对称，A 选项错误； 对于 B 选项， ，则 ， 所以，函数 的图象不关于直线 对称，B 选项错误； 对于 C 选项， ， 所以，函数 的图象关于点 成中心对称，C 选项正确； 对于 D 选项， ，所以，函数 的图象不关于点 成中 心对称，D 选项错误.故选：C. 4.【解析】设 为 图象上任意一点， 则 ， ( ,0) (0, )−∞ +∞ 1 1( ) 2 (2 ) ( )f x x x f xx x − = − + = − − = − ( )f x ( )f x ( )3 2f x f x + = −   ( ) ( )33 2f x f x f x + = − + =   ( )y f x= 3 3 4y f x = −   3 4y f x = −   ( )0,0 ( )y f x= 3 4y f x = −   3 4 ( )y f x= 3 ,04  −   ( )3 02f x f x − + + − =   ( )3 3 2 2f x f x f x   + = − + = −       ( ) ( )f x f x= − ( )y f x= ( )0 sin1 1f = − − ( )2 sin1 1f = + ( ) ( )2 0f f≠ ( )y f x= 1x = ( )2 sin3 3f − = − − ( ) ( )2 0f f− ≠ ( )y f x= 1x = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 sin 2 1 2 1 sin 1 1f x x x x x f x − = − − + − − = − + − = −  ( )y f x= ( )1,0 ( ) ( )2 0f f− ≠ − ( )y f x= ( )1,0− ( )0 0,P x y ( )2y f x= + ( ) ( )( )0 0 02 4 2y f x f x= + = − −2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 6 - 所以点 在函数 的图象上， 而 与 关于直线 对称， 所以函数 与 的图象关于直线 对称.故选：A 5.【解析】由题意知， ，令 ， 易知 为奇函数，其图象的对称中心为 ，再由平移的知识可知， 的图 象的对称中心为 ，故选：D． 6.【解析】∵ ， 令 ，则 ， ∴ 为奇函数，其图象关于原点对称， 将 图象向上平移 1 个单位长度可得 图象， 所以 图象关于 对称.故选：D 7.【解析】设 ， 则 ，所以函数 为奇 函数，图象关于原点对称，易知 ， 所以函数 的对称中心为 .故选：B 8.【解析】当 时，在 上任取一点 ， 关于直线 对称的点 在 上， 所以 ，即 ，故选：B. 9.【解析】因为 ，所以 的图象关于 对称， 而 关于 对称，所以 ， . 故选：B. ( )0 02 ,Q x y− ( )4y f x= − ( )0 0,P x y ( )0 02 ,Q x y− 1x = ( )2y f x= + ( )4y f x= − 1x = ( ) 21 2 x x x x x x x e e ef x e e e e − − − − += − = −− − ( ) x x x x e eg x e e − − += − − ( )g x ( )0,0 ( )f x ( )0,2 ( ) 2 11 1 11 1 x x x ef x e e −= − + = ++ + ( ) ( )1 1 x x eg x x Re −= ∈+ ( ) ( )1 1 1 1 x x x x e eg x g xe e − − − −− = = = −+ + ( )g x ( )g x ( )f x ( )f x ( )0,1 1 1 1( ) ( 1)1 1g x xx x x = − − − ≠ ±− + 1 1 1 1 1 1( ) ( )1 1 1 1g x g xx x x x x x − = − − − = + + = −− − − − + − + ( )g x 1 1 1( ) 3 ( 2) 31 2 3f x g xx x x  = − + + = + + + + +  ( )f x ( )2,3− 1x > ( )f x ( ),P x y ( ),P x y 1x = ( )2 ,P x y′ − 2( ) ( 1) 1f x x= + − 2(2 1) 1y x= − + − 2( 3) 1y x= − − ( ) ( )5 3f x f x+ = − ( )f x 4x = ( ) 3 2x af x −= + x a= 4a = ( ) 6 46 3 2 11f −= + =2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 7 - 10.【解析】 函数 的图像关于直线 对称， 且 ， 即 ，解得 ， 因此， ， 求导数得 ， 令 ，解得 ， 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 在区间 、 上是增函数， 在区间 、 上是减函数， 又 ， 的最大值为 .故选：B 11.【解析】设 上任意一点 ，则 在 图象上， 即 ， ，即 ， ，得 ， ， . 故选：C. 12.【解析】由 ，可知函数 图像关于直线 对称，作出函数 示意图，如图所示.显然，当 时， ， ，由题意， 切线斜率为 ，所以 ，解得 ， 所以在切点 的切线方程为 ，即 ， 由 恒成立，可得 图像与 的图像相切或恒在 图像的上方，故所求 的范围为 ，故选 A 项.  ( )( )2 2( ) 1f x x x ax b= − + + 2x = − ∴ ( ) ( )1 3 0f f− = − = ( ) ( )1 5 0f f= − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 3 3 0 1 5 5 5 0 a b a b    − − − + ⋅ − + =       − − − + ⋅ − + =    8 15 a b =  = ( ) 4 3 28 14 8 15f x x x x x= − − − + + ( ) 3 24 24 28 8f x x x x′ = − − − + ( ) 0f x′ = 1 2 32 5, 2, 2 5x x x= − − = − = − + ( ), 2 5x∈ −∞ − − ( ) 0f x′ > ( )2 5, 2x∈ − − − ( ) 0f x′ < ( )2, 2 5x∈ − − + ( ) 0f x′ > ( )2 5,x∈ − + +∞ ( ) 0f x′ < ∴ ( )f x ( ), 2 5−∞ − − ( )2, 2 5− − + ( )2 5, 2− − − ( )2 5,− + +∞  ( ) ( )2 5 2 5 16f f− − = − + = ( )f x∴ 16 ( )y f x= ( ),P x y ( ),P y x′ − − 2x ay += 2 y a x− + = − ( )2logy a x∴ = − − ( ) ( )2logf x a x= − − ( ) ( )1 8 5f f− + − = − 2 2log 1 log 8 5a a− + − = − 2 3 5a∴ − = − 1a∴ = − ( ) ( )2f x f x− = ( )f x 1x = ( )f x 2x ≥ ( ) 2 4f x x= − ( ) 2f x x′ = 6 2 6x = 3x = ( )3,5 ( )5 6 3y x− = − 6 13y x= − ( ) 6f x x a≥ + ( )y f x= 6 13y x= − 6 13y x= − a 13a ≤ −2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 8 - 13.【解析】由题意奇函数 的图象关于直线 对称, 则 则得 14.【解析】因为 是 上的奇函数且满足 ， 所以 ，即 . 设 ，所以 . ， 所以 . 15.【解析】 恒成立， 函数关于 对称， 函数 在 上单调递增， 函数在 单调递减， 关于 的不等式 ， ， 解得 ，即 或 ，解得 ， 故不等式的解集为 . 16.【解析】因为奇函数 在 时有 即 ， 又图象关于直线 对称，则 ， 即 ，所以函数 是以 4 位周期的周期函数， 作出图象如下， ( )y f x= 2x = − ( ) ( ) ( )4f x f x f x= − − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 9 1 1 3.f x f x f f f+ = ⇒ − = − = − = − ( )f x R (3 ) (3 )f x f x− = + [3 ( 3)] [3 ( 3)]f x f x+ + = − + ( 6) ( ) ( )f x f x f x+ = − = − ( 6, 3)x∈ − − 6 (0,3)x + ∈ ( 6) 6 lg( 6) ( )f x x x f x+ = + + + = − ( ) 6 lg( 6)f x x x= − − − +  ( ) (4 )f x f x= − ∴ 2x =  ( )y f x= [2, )+∞ ∴ ( ],2−∞  x 2( 3) (2 2)f x f x+ > + ∴ 23 2 2 2 2x x+ − > + − 21 2x x+ > 22 1 1 0 x x x  < +  + ≥ ( )22 1 1 0 x x x  < − +  + 1x = − max( ) 2 2f x a= + 0a = 1x = max( ) 2f x =2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 10 - 20.【解析】（1）设函数 的图象上任意一点 关于原点的对称点为 ，则 即 ∴点 在函数 的图象上， ，故 . （2）由 可得 ， 当 时， ，此时不等式无解； 当 时， ，因此原不等式的解集为 . 21.【解析】（1）∵ 的图象与 的图象关于点 对称，设 图象上 任意一点坐标为 ，其关于 的对称点 ， 则 ∴ ， ∵ 在 上，∴ . ∴ ，∴ ，即 . （2）∵ 且 在 上为减函数， ∴ ，即 .∴ 的取值范围为 . 22.【解析】（1）在函数 的图象上任取一点 ， 则该点关于点 的对称点 在函数 的图象上， 所以， ， ； （2）令 ，得 ， 则问题等价于直线 与函数 的图象有两个交点， ， 由双勾函数的单调性可知，函数 的单调递增区间为 和 ，单调 ( )y f x= ( ),q qQ x y ( , )x y 0,2 0,2 q q x x y y + = + = , . q q x x y y = −  = − ( ),q qQ x y ( )f x 2 2y x x∴− = + 2( ) 2g x x x= − − ( ) ( ) | 1|g x f x x− − 22 | 1| 0x x− − ≤ 1x ≥ 22 1 0x x− + ≤ 1x < 2 12 1 0, 1 2x x x+ − ∴−   11, 2  −   ( )f x ( )h x ( )0,1A ( )f x ( ),B x y ( )0,1A ( ),B x y′ ′ ′ 02 12 x x y y + = + ′ ′ = 2 x x y y = −  = − ′ ′ ( ),B x y′ ′ ′ ( )h x 1y x x ′ ′= + ′ 12 y x x − = − − 1 2y x x = + + ( ) 1 2f x x x = + + ( ) ( )g x xf x ax= + = ( )2 2 1x a x+ + + ( )g x ( ]0,4 2 42 a +− ≥ 10a ≤ − a ( ], 10−∞ − ( )y f x= ( ),x y A ( )2 ,4x y− − ( ) 1 2g x x x = + + ( ) 1 14 2 2 2 42 2y g x x xx x − = − = − + + = − +− − ( ) 1 2f x x x ∴ = + − ( ) 0F x = ( )c f x= y c= ( )y f x= ( ) ( )1 12 22 2f x x xx x = + = − + +− − 1y t t = + ( ), 1−∞ − ( )1,+∞2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 11 - 递减区间为 和 ， 函数 的单调递增区间为 和 ， 单调递减区间为 和 ， 作出函数 与直线 的图象如下图所示： 由图象可知，当 或 时，直线 与函数 的图象有两个交点， 因此，实数 的取值范围是 ； （3）由（1）知， ， 任取 、 且 ，即 ， 则 ， ，则 ， ， 所以 ， ， ，则 ， ，即 ， ，解得 . 因此，实数 的取值范围是 . ( )1,0− ( )0,1 ∴ ( )y f x= ( ),1−∞ ( )3,+∞ ( )1,2 ( )2,3 ( )y f x= y c= 0c < 4c > y c= ( )y f x= c ( ) ( ),0 4,−∞ +∞ ( ) ( ) 1 2 2 a ah x f x xx x += + = +− − 1x ( )2 2,4x ∈ 1 2x x< 1 22 4x x< < < ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1 2 2 2 2 a x xa ah x h x x x x xx x x x + −+ +− = + − − = − +− − − − ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 1 02 2 x x x x a x x − − − − +  = >− − 1 22 4x x< < − − 10 2x<