2021届高三数学一轮复习第7单元训练卷 数列（文科） A卷（详解）

2021 届单元训练卷▪高三▪文科数学卷（A） 第 7 单元 数列 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知数列 满足 ， ， 等于 的个位数，则 （ ） A． B． C． D． 2．设 为等差数列，公差 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则当 最大时， 的值为（ ） A． B． C． D． 4．若等比数列 的各项均为正数， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 5．已知一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则这个数列 的项数为（ ） A． B． C． D． 6．已知数列 满足 ， ，则数列 的前 项和为（ ） A． B． C． D． 7．设 为等比数列， 为等差数列，且 为数列 的前 项和若 ， ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 8．数列 的首项为 ， 为等差数列，且 （ ），若 ， ， 则 （ ） A． B． C． D． 9．已知等差数列 中， ，则 （ ） A． B． C．28 D． 10．已知正项等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，则该数列公比 为（ ） A． B． C． D． 11．数列 ， ， ，…， ，…的前 项和为（ ） A． B． C． D． 12．已知正项数列 的前 项和为 ，数列 满足 ， ．数列 满足 ，它的前 项和为 （ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．在等差数列 中， ，则 ______． 14．等比数列 中， ， ，则 的前 项和为______． 15．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 ______． 16．正项等比数列 满足： ， ，则数列 的前 项和是_____． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． { }na 1 3a = 2 8a = 2na + 1n na a+ ⋅ 2020a = 2 4 6 8 { }na 2d = − 5 82 30a a+ = 6a = 8 10 12 14 { }na n nS 16 0S > 17 0S < nS n 8 9 10 16 { }na 2 3a = 2 3 1 74a a a= 5a = 3 4 3 8 12 24 1 85 170 2 4 8 16 { }na 1 1n n na an+ = + 1 1a = 1{ }n na a + 10 10 11 11 10 9 10 10 9 { }na { }nb nS { }nb n 2 1a = 10 16a = 6 6a b= 11S = 20 30 44 88 { }na 3 { }nb 1n n nb a a+= − *n∈N 3 2b = − 10 12b = 8a = 0 3 8 11 { }na 3 4 5 6 8a a a a+ − + = 7S = 8 21 35 { }na 3 5 4a a = 4a 6 1a + 7a q 1 4 1 2 2 4 1 1 2+ 1 2 4+ + 1 2 4 2n+ + + + n 12 2n n+ − − 22 2n n+ − − 22 3n n+ − − 2 1n n− − { }na n nS { }na 1 1a = (2 1)n n nS a a= + { }nb 1( )2 n n nb a= n nT = 22 2n n −− 1 22 2n n − +− 22 2n n +− 12 2n n +− { }na 5 10 15 20 20a a a a+ + + = 24S = { }na 2 9a = 5 243a = { }na 4 { }na n nS 1 3 5 2a a+ = 2 4 5 4a a+ = 3 3 S a { }na 2 1a = 8 64a = 2{4 }nn a n17．（10 分）数列 的前 项和为 ． （1）若 为等差数列，求证： ； （2）若 ，求证： 为等差数列． 18．（12 分）记 是正项数列 的前 项和， 是 和 的等比中项． （1）求数列 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项和 ． 19．（12 分）已知 是公差不为零的等差数列， ，且 ， ， ，成等比数列． （1）求数列 的通项公式； { }na n nS { }na 1( ) 2 n n n a aS += 1( ) 2 n n n a aS += { }na nS { }na n 1na + 4 nS { }na 1 1 ( 1) ( 1)n n n b a a + = + ⋅ + { }nb n nT { }na 4 26a = 1a 2a 7a { }na（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 ． 20．（12 分）已知数列 的首项为 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ． 21．（12 分）数列 中， ， ． （1）求证：存在 的一次函数 ，使得 成公比为 的等比数列； （2）求 的通项公式； 1( 1)n n nb a+= − { }nb n nT 511T { }na 1 1 3n na a+ = { }na { }nb 3n n nb a = { }nb n nT { }na 1 1a = 1 2 1n na a n+ = + − n ( )f n { ( )}na f n+ 2 { }na（3）令 ，求证： ． 22．（12 分）记数列 的前 项和为 ，且 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项 ． 2log ( )n nb a n= + 2 2 2 1 2 1 1 1 5 3nb b b + +⋅⋅⋅+ < na n nS 1 1a = 1 1n na S+ = + na nna n nT答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】A 【解析】已知 ， ， 等于 的个位数， 则 ， ， ， ， ， ， ， ，…， 可以看出：从 开始重复出现从 到 的值为 ， ， ， ， ， ． 因此 （ ， ），∴ ，故选 A． 2．【答案】B 【解析】由已知，得 ，即 ，解得 ， 故选 B． 3．【答案】A 【解析】因为在等差数列 中， ， ， 所以 ， ， 所以 ，所以 ， ， 所以在等差数列 中，当 且 时， ； 当 且 时， ， 所以 最大值为 ，此时 的值为 ，故选 A． 4．【答案】D 【解析】数列 是等比数列，各项均为正数， ， 所以 ，所以 ， 所以 ，故选 D． 5．【答案】C 【解析】设这个等比数列 共有 项，公比为 ， 则奇数项之和为 ， 偶数项之和为 ， ∴ ， 等比数列 的所有项之和为 ， 则 ，解得 ， 因此，这个等比数列的项数为 ，故选 C． 6．【答案】A 【解析】∵ ，∴ ， 则 ， ∴ ， 所以，数列 的前 项和为 ， 故选 A． 7．【答案】C 【解析】∵ 为等比数列，∴ 且 ，∴ ， 又 为等差数列，∴ ，故选 C． 8．【答案】B 【解析】由题意可设等差数列的首项为 ，公差为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，即 ， ， 所以 ，故选 B． 9．【答案】C 1 3a = 2 8a = 2na + 1n na a+ ⋅ 3 4a = 4 2a = 5 8a = 6 6a = 7 8a = 8 8a = 9 4a = 10 2a = 8a 2a 7a 8 4 2 8 6 8 6n na a += 2n ≥ *n∈N 2020 4 6 336 4 2a a a+ ×= = = 5 8 6 62 2( ) 2 30a a a d a d+ = − + + = 63 30a = 6 10a = { }na 16 0S > 17 0S < 1 16 16 1 16 ( ) 16 8( ) 02 a aS a a + ×= = + > 1 17 17 9 ( ) 17 17 02 a aS a + ×= = < 1 16 8 9 9 0 0 a a a a a + = + >  9 0a < { }na 8n ≤ *n∈N 0na > 9n ≥ *n∈N 0na < nS 8S n 8 { }na 2 2 3 1 7 44a a a a= = 2 2 3 2 4 4aq a = = 2q = 3 3 5 2 3 2 24a a q= ⋅ = × = { }na 2 ( )k k ∗∈N q 1 3 2 1 85kS a a a −= + + + =奇 2 4 2 1 3 2 1( ) 170n nS a a a q a a a qS−= + + + = + + + = =  奇偶 170 285 Sq S = = =偶 奇 { }na 2 21 2 (1 2 ) 2 1 170 85 2551 2 k k k aS −= = − = + =− 22 256k = 4k = 8 1 1n n na an+ = + 1 1 n n a n a n + = + 32 1 1 2 1 1 2 1 11 2 3 n n n a aa na a a a a n n− −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = × × × × =  1 1 1 1 ( 1) 1n na a n n n n+ = = −+ + 1{ }n na a + 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 10(1 ) ( ) ( ) ( ) 12 2 3 3 4 10 11 11 11S = − + − + − + + − = − = { }na 2 6 2 10 16a a a= ⋅ = 4 6 2 0a a q= ⋅ > 6 6 4b a= = { }nb 1 11 11 611 11 442 a aS a += × = = 1b d 10 3 14 210 3 7 b bd −= = =− 1 3 2 2 4 6b b d= − = − − = − 2 8nb n= − 1 2 8n na a n+ =− − 1 2 1 3 28 8 7( ) ( ) ( ) 3 ( 6) ( 4) 6 3a a a a a a a a= + − + − + − = + − + − + + =  8 3a =【解析】 ， ， 故选 C． 10．【答案】C 【解析】由于 ， ， 成等差数列，所以 ， 所以 ，即 ，解得 ， ， 故选 C． 11．【答案】A 【解析】设 ， 所以数列 的前 项和 ， 故选 A． 12．【答案】C 【解析】当 时， ， 又 ，两式相减整理得 ， 由于数列 为正项数列，则 ，故 ，即 ， ∴ ，所以 ， ，则 ， ， A 中， ，舍去； B 中， 舍去； C 中， ， ，符合； D 中， ，舍去， 故选 C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】 【解析】由等差数列的性质，得 ， 已知 ，解得 ， ，故答案为 ． 14．【答案】 【解析】 ，∴ ，∴ ，∴ ， 故答案为 ． 15．【答案】 【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ， ， 两式相除可得 ，解得 ， ， ，故答案为 ． 16．【答案】 【解析】由题意，设正项等比数列 的公比为 ， 则 ，解得 ， ∴ ，∴ ， ． 令 ，则 ， 设数列 的前 项和为 ， 则 ， ， 两式相减，可得 ，① ① ，可得 ，② 53 4 5 6 3 5 3 52 8a a a a a a a a a+ − + + − = + == 1 7 3 5 7 7 7 282 2 a a a aS + += × = × = 4a 6 1a + 7a 6 4 72( 1)a a a+ = + 6 4 7 3 5 2( 1) 4 a a a a a + = +  = 5 3 6 1 1 1 2 4 1 1 2 4 ( )1a q a q a q a q a q  + = +  ⋅ = 1 1 4a = 2q = 1 1 (1 2 )1 2 4 2 2 11 2 n n n na − ⋅ −= + + + + = = −− { }na n 2 1 2 2 1 2 1 2 1n n nT a a a= + +⋅⋅⋅+ = − + − +⋅⋅⋅+ − 2 12(1 2 )(2 2 2 ) 2 21 2 n n nn n n+−= + + + − = − = − −− 2n ≥ 2 1 1 12 n n nS a a− − −= + (2 1)n n nS a a= + 1 1 1( )( ) ( )n n n n n na a a a a a− − −+ − = + { }na 1 1n na a −− = 1 ( 1)na n n= + - = na n= 1( )2 n nb n= ⋅ 1 1 2b = 2 1 2b = 1 1 2T = 2 1T = 1 5 2T = 1 1T = − 1 1 2T = 2 1T = 1 1T = 120 5 20 1 1 10 5 24a a a a a a+ + += = 5 10 15 20 20a a a a+ + + = 21 4 10a a+ = 1 24 241 24 )24( 12( 120)2 a aS a a += = + = 120 120 3 5 2 27aq a = = 3q = 2 1 3aa q = = 4 1 4 (1 ) 1201 a qS q −= =− 120 7 { }na q 2 1 1 5 2a a q+ = 3 1 1 5 4a q a q+ = 2 3 1 2q q q + =+ 1 2q = 1 2a = 1 23 3 3 3 12 1 2 71 2 S a a a a a + + =+ += = 7 2 1( 2 3) 2 6nn n +− + ⋅ − { }na ( 0)q q > 6 6 8 2 64a a q q= ⋅ = = 2q = 2 1 1 2 aa q = = 1 21 2 22 n n na − −= ⋅ = *n∈N 24n nb n a= 2 2 24 2 2n n nb n n−= ⋅ = ⋅ 2{4 }nn a n nT 2 1 2 2 2 3 21 2 2 2 3 2 2n nT n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ 2 2 2 3 2 2 12 1 2 2 2 ( 1) 2 2n n nT n n += ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + ⋅ 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 11 2 (2 1 ) 2 (3 2 ) 2 [ ( 1) ]2 2n n nT n n n +− = ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + + − − − ⋅ 1 2 3 2 11 2 3 2 5 2 (2 1) 2 2n nn n += ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ − ⋅ − ⋅ 2× 2 3 1 2 22 1 2 3 2 (2 3) 2 (2 1) 2 2n n n nT n n n+ +− = ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ − ⋅ + − ⋅ − ⋅① ②，可得 ， 故答案为 ． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）证明：已知数列 为等差数列，设其公差为 ， 有 ，则 ， 于是 ，① 又 ，② 由①②相加有 ，即 ． （2）证明：由 ， 又当 时， ， 所以 ，③ ，④ ④ ③并整理，得 ，即 ， 所以数列 是等差数列． 18．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）因为 是 和 的等比中项，所以 ，① 当 时， ，② 由① ②，得 ， 化简得 ，即 或者 （舍去）， 故 ，数列 为等差数列， 因为 ，解得 ， 所以数列 是首项为 、公差为 的等差数列， ． （2）因为 ， 所以 ． 19．【答案】（1） ；（2）2042． 【解析】（1）设 的公差为 ， ， ∵ ， ， 成等比数列，∴ ， 即 ，整理，得 ， 又 ，∴ ．① 又 ，② 联立①②，得 ，解得 ， ∴ ． （2）∵ ， ∴ ． 20．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由题得 ，∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ∴ ． （2） ，所以 ， 所以 ， − 1 2 3 2 1 1 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2 2n n n n nT n n n+ + += ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅ − ⋅ − − ⋅ + ⋅ 1 2 2 2 12 8 (1 2 2 ) [2 (2 1)] 2n nn n n− += + ⋅ + + + + − − − ⋅ 1 2 1 2 11 22 8 ( 2 1) 2 ( 2 3) 2 61 2 n n nn n n n − + +−= + ⋅ + − + ⋅ = − + ⋅ −− 2 1( 2 3) 2 6nn n +− + ⋅ − { }na d 1 ( 1)na a n d= + − 1 2 3n nS a a a a= + + + + 1 1 1 1( 2 ) [ ( 1)) ](nS a a d a d a n d= + + + + + + + − ( ) ( 2 ) [ ( 1) ]n n n n nS a a d a d a n d= + − + − + + − − 12 ( )n nS n a a= + 1( ) 2 n n n a aS += 1( ) 2 n n n a aS += 2n ≥ 1 1 1 (( 1) 2 )n n n a aS − − − += 1 1 1 1 ( ) ( 1)( ) 2 2 n n n n n n a a n a aa S S − − + − += − = − 1 1 1 1 ( 1)( ) ( ) 2 2 n n n n a a n a aa + + + + += − − 1 1( 2)n n n na a a a n+ −− = − ≥ 1 12 n n na a a− += + { }na 2 1na n= − 4( 1) n n + 1na + 4 nS 2( 1) 4n na S+ = 2n ≥ 2 1 1( 1) 4n na S− −+ = − 2 2 1 1( 1) ( 1) 4 4n n n na a S S− −+ − + = − 2 2 1( 1) ( 1)n na a −− = + 11 1n na a −− = + 11 1 0( )n na a −− + + = 1 2( 2)n na a n−− = ≥ { }na 2 1 1( )1 4a S+ = 1 1a = { }na 1 2 2 1na n= − 1 1 1 1( )2 (2 2) 4 1nb n n n n = = −⋅ + + 1 2 1 1 1 1 1 1(1 )4 2 2 3 1 4( 1)n n nT b b b n n n = + + + = − + − + + − =+ +  8 6na n= − { }na d 0d ≠ 1a 2a 7a 2 2 1 7a a a= 2 1 1 1( ) ( 6 )a d a a d+ = + 2 14 0d da− = 0d ≠ 14d a= 4 1 3 26a a d= + = 1 1 4 3 26 d a a d =  + = 1 2 8 a d =  = 2 8( 1) 8 6na n n= + − = − 1 1( 1) ( 1) (8 6)n n n nb a n+ += − = − − 511 1 2 511 2 10 18 26 4066 4074 4082T b b b= + +⋅⋅⋅+ = − + − +⋅⋅⋅+ − + (2 10) (18 26) (4066 4074) 4082=( 8) 255 4082 2042= − + − + + − + − × + = 13n na −= 3 2 3 4 4 3n n nT += − ⋅ +1 =3n n a a { }na 1 3 13n na −= 3 3n n n n nb a = = 2 3 1 1 2 3 1 3 3 3 3 3n n n n nT − −= + + + + + 2 3 4 1 1 1 2 3 1 3 3 3 3 3 3n n n n nT + −= + + + + +上面两式相减得 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ． 21．【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）证明见解析． 【解析】（1）证明：设 满足条件， 由于 成公比为 的等比数列， 则 ，即 ， 由 ，得 ， 解得 ， ， ∴ ， ∴存在 ，使 成公比为 的等比数列． （2）由（1）知 是首项为 ，公比为 的等比数列， 则 ，∴ ． （3）证明：∵ ，即 ， 要证 ，即证 ， ∵当 时， ， ， 即 ， 所以 ，即 ． 22．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由 ，① 可得 （ ），② ① ②，得 （ ）， 而 ，∴ ，即有 ， 所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，其通项公式为 ． （2）由题得 ， 令 ， 有 ， 所以 ， 从而 ． 2 3 1 2 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3n n n nT += + + + + − 1 1 1(1 )2 3 3 13 31 3 n n n nT + − = − − 1 2 1 1(1 )3 2 3 3n n n nT += − − 1 2 1 1 1 1 1 2 3=3 2 2 3 3 2 3 6n n n n n nT + += − ⋅ − − ⋅ 3 2 3 4 4 3n n nT += − ⋅ 2n na n= − ( )f n kn b= + { ( )}na f n+ 2 1 ( 1) 2 ( ])[n na f nn a f+ + + = + 1 ( 1) 2( )n na k n b a kn b+ + + + = + + 1 2 1n na a n+ = + − 2 ( 1) 2 )1 (n na k n b an kn b+ + ++ + = +− 1k = 0b = ( )f n n= ( )f n n= { ( )}na f n+ 2 { }na n+ 1 1 2a + = 2 2n na n+ = 2n na n= − 2 2log ( ) log (2 )n n nb a n n n n= + = − + = nb n= 2 2 2 1 2 1 1 1 5 3nb b b + +⋅⋅⋅+ < 2 2 2 1 1 1 5 1 2 3n + +⋅⋅⋅+ < 2n ≥ 2 2 1 1 1 1 1( )1 2 1 1n n n n < = −− − + 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 [( ) ( ) ( ) ( )]1 2 4 2 2 4 3 5 4 6 1 1n n n ∴ + +⋅⋅⋅+ < + + − + − + − + + −− + 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 51 ( )1 2 4 2 2 3 1 3 2 2 2 3n n n n n + + + < + + + − − = − −