2021 届单元训练卷▪高三▪文科数学卷（B）
第 7 单元 数列
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知数列 的通项公式是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列 中，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知正项数列 是公比为 的等比数列，若 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．已知数列 的前 项和为 ，若对于任意的正整数 ， ， ， 成等差数列，则
（ ）
A． B． C． D．
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日
脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其意思为有一个人走 里
路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了 天后到达目的地，
请问第二天走了（ ）
A． 里 B． 里 C． 里 D． 里
6．设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，且 ， ，
其中 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在数列 中， ， ，记 为数列 的前 项和，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．在递减的等差数列 中， ，若 ，则数列 的前 项和 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知数列 满足 ，设 ， 为数列 的前
项和，若 （ 为常数， ），则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，若对任意的 ，
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11 ． 已 知 数 列 满 足 ， 且 ， 其 前 项 和 为 ， 则 满 足 不 等 式
的最小整数 是（ ）
A． B． C． D．
12．“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光”，是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述．假设一条螺旋线
是用以下方法画成（如图）： 是边长为 的正三角形，曲线 ， ， 分别是以
， ， 为圆心， ， ， 为半径画的弧，曲线 称为螺旋线，然后以 为圆心，
为半径画弧……如此画下去，则所得弧 ， ， ，…， ， 的总长度为
（ ）
A． B． C． D．
{ }na ( 1) (3 1)n
na n= − ⋅ − 1 2 10a a a+ + + =
15 12 12− 15−
{ }na 1 3 5 6a a a+ + = 2
1 2 3a a+ = − 11a
20 22 24 26
{ }na q 1a 3a 2a q
1
2 1 1
2
− 1 1
2 1
{ }na n nS n na nS n 100S =
0 50 100 200
378
6
96 48 192 24
{ }na n nS 4a 3a 5a 33kS = 1 63kS + = −
k ∗∈N k
4 5 6 7
{ }na 1 1a =
2
12 21 ( , )n n
na an n n−
∗= ∈ ≥− N nS 2{ }na
n n
49
25nS = n =
25 49 50 26
{ }na 2
1 3 2 4a a a= − 1 13a =
1
1{ }
n na a +
n nS
24
143
1
143
24
13
6
13
{ }na 1 2 32 3 ( )2 1 3n
na a a na n+ + + + = − ⋅
4
n
n
nb a
= nS { }nb n
nS λ< λ n ∗∈N λ
3
2
9
4
31
12
31
18
{ }na n nS 1 5a = 1
1 6 22 ( )n na a n−= − + ≥ n ∗∈N
3)4(1 np S n≤ − ≤ p
(2,3] [2,3] (2,4] [2,4]
{ }na 12 3n na a+ + = 3
13
4a = n nS
16| | 123nS n− − < n
8 9 10 11
ABC△ 1 1CA 1 2A A 2 3A A
A B C AC 1BA 2CA 1 2 3CA A A A
3AA 1CA 1 2A A 2 3A A 28 29A A 29 30A A
310π 110 π3 58π 110π第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．设等差数列 满足 ， ，则数列 的前 项和等于 ．
14．已知数列 满足 ，则 ．
15．已知在等比数列 中， 且 ，记数列 的前 项和为 ，则
的最小值为 ．
16．已知等差数列 的公差 ， ， ， ， 成等比数列，且 ， ， ，
， … ， 成 等 比 数 列 ， 若 对 任 意 的 ， 恒 有 ， 则
．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．（10 分）设 是数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）求数列 的通项公式，并判断 ， ， 是否成等差数列．
18．（12 分）设公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等比数
列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
19．（12 分）已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
{ }na 2 5a = 6 8 30a a+ =
2
1{ }1na − n
{ }na 2 1
1 1( ) ( 1)n
n na a n +
++ = − + − 99 1a a− =
{ }na 0na > 3 4 1 2 3a a a a+ = + + { }na n nS
6 4S S−
{ }na 0d ≠ 1 1a = 1a 2a 5a 1a 2a 1ka
2ka nka n ∗∈N *
2 1 2 1( )n m
n m
a a mk k
≤ ∈− − N
m =
nS { }na n 3 7a = 1 2 ( )2 2 2n na a a n−= + − ≥
{ 1}na +
{ }na n na nS
{ }na 5 55 2a 6 7a a+ 4 9a −
{ }na
1 1
( )( 6) 4n n nb a a
= − − { }nb n nS 1
2nS <
{ }na n nS 1a m= 1 2n na S+ = +（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
20．（12 分）已知数列 中， ， ，前 项和为 ，若 （
且 ）．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 ．
21．（12 分）数列 的前 项和为 ，若 ，点 在直线
上．
（1）求证：数列 是等差数列；
m
2 1
,
log ,
n
n
n
a nb
a n+
=
为奇数
为偶数 1 2 nb b b+ + +
{ }na 1 1a = 0na > n nS 1n n na S S −= + n ∗∈N
2n ≥
{ }na
2 na
n nc a ⋅= { }nc n nT
{ }na n nS 1 3a = 1( , )n nS S +
*1( )1ny x n nn
+= + + ∈N
{ }nS
n（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求使不等式 对一切 都成立的最大
正整数 的值．
22．（12 分）某投资理财公司推出一种新型理财方式：客户投入资金按期获得的盈利组成数列
，设 为数列 的前 项和，若 是非零常数，则称数列 是“和谐数列”，称该理
财方式为“和谐理财”．
（1）若数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，试判断数列 是否为“和谐数列”；
（2）若数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，且数列 是“和谐数列”，试探究
与 之间的等量关系．1
1
n
n n
b a a +
= { }nb n nT
57n
kT > *n∈N
k
{ }na nS { }na n 2n
n
S
S { }na
{3 }nb 3 3 { }nb
{ }nc 1c ( 0)d d ≠ { }nc d
1c答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】依题意，得
．
2．【答案】D
【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ， ，
得 ，
，得 ， ，
所以 ．
3．【答案】B
【解析】由题意知 ，则 ，
即 ，解得 或 ，
因为数列 是正项数列，所以 舍去．
4．【答案】B
【解析】∵ ， ， 成等差数列，∴ ，∴ ，
上述两式相减，得 ，∴ ，
即数列 相邻两项的和是 ．∴ ．
5．【答案】A
【解析】依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为 的等比数列，记为 ，
其前 项和等于 ，于是有 ，解得 ，
因此 ，即该人第二天走了 里．
6．【答案】B
【解析】设数列 的公比为 ，由 ， ， 成等差数列，得 ，
即 ，易知 ， ，
所以 ，解得 或 ，
当 时，与 ， 矛盾，舍去，所以 ，
又 ， ，所以 ，得 ．
7．【答案】B
【解析】设 ，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
由 ，得 ．
8．【答案】D
【解析】设数列 的公差为 ，则 ，
由 ， ，
得 ，解得 或 （舍去），
则 ，
因为 ，
所以数列 的前 项和 ．
9．【答案】C
【解析】 ①，
当 时， ，②
① ②，得 ，即 ，
当 时， ，
所以 ， ，
所以 ③，
1 2 10 1 3 9 2 4 10( ) ( )a a a a a a a a a+ + + = + + + + + + +
2 26 5 292 8 26 5 11 29 5 5 70 85 152( ) ( ) 2
+ += − + + + + + + + = − × + × = − + =
{ }na d 1 3 5 6a a a+ + = 2
1 2 3a a+ = −
1 2 2a d+ =
2
1 1( ) 3a a d+ + = − 1 4a = − 3d =
11 4 3 10 26a = − + × =
3 1 22a a a= + 2
1 1 12a q a a q= +
22 1 0q q− − = 1q = 1
2q = −
{ }na 1
2q = −
na nS n 2 n nS a n= + 1 12 1 2( )n nS a n n− −= + − ≥
12 1n n na a a −= − + 1 1 2( )n na a n−+ = ≥
{ }na 1 100 50S =
1
2 { }na
6 378
6
1
1[1 ( ) ]2 37811 2
a −
=
− 1 192a =
2 1
1 962a a= = 96
{ }na q 4a 3a 5a 3 4 52a a a= +
2 3 4
1 1 12a q a q a q= + 1 0a ≠ 0q ≠
2 2 0q q+ − = 1q = 2q = −
1q = 33kS = 1 63kS + = − 2q = −
1(1 ) 331
k
k
a qS q
−= =−
1
1
1
(1 ) 631
k
k
a qS q
+
+
−= = −− 2 32( )k− = − 5k =
2
n
n
a bn
=
2
12 21 ( )n n
na a nn −= ≥− 1 1a =
1
1
1n n
nb bn −
−= + 1 1b =
2
( 1)
1 12( )1nb n n n n
= − += +
2
1n
nS n
= +
2 49
1 25
n
n
=+ 49n =
{ }na d 0d <
21
2
3 4aa a = − 1 13a =
2( )1 (3 13 2 4)13d d+ = + − 2d = − 2d =
(13 2 15)1 2na n n= − − = −
1
1 1 1 1 1( )(15 2 )(13 2 ) 2 2 15 2 13n na a n n n n+
= = −− − − −
1
1{ }
n na a +
n 1 1 1 1 1 1 6( ) (2 13 2 13 2 13 2 )6 13 13nS n
= − − ≤ − =− − × −
1 2 32 3 ( )2 1 3n
na a a na n+ + +… = ⋅+ −
2n ≥ 1
1 2 3 1( )2 3 1 2 3 3( ) n
na a a n a n −
− ⋅+ + + + − = −
− 14 3n
nna n −= ⋅ 14 3 2)(n
na n−= ⋅ ≥
1n = 1 3 4a = ≠
1
3, 1
4 3 , 2n n
na n−
== ⋅ ≥
1
4 , 13
, 23
n
n
n
b n n−
==
≥
2 1 0 1 2 1
4 2 3 1 1 2 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3n n n
n nS − −= + + + + = + + + + + ④，
③ ④，得 ，
所以 ，所以 的最小值是 ．
10．【答案】B
【解析】由 ，得 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，即 ，
所以 ，
若 恒成立，则 恒成立，
令 ，则易知 ， ，
所以 ，得 ，
即实数 的取值范围为 ．
11．【答案】C
【解析】由 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，代入上式，有 ， ，
可知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
，
又 ，所以 的最小值为 ．
12．【答案】A
【解析】根据弧长公式及题意知，弧 ， ， ，…， ， 的长度分别为 ，
， ，…， ， ，
此数列是首项为 ，公差为 的等差数列，
根据等差数列的求和公式，得其前 项和 ，
所以所得弧 ， ， ，…， ， 的总长度为
．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】
【解析】由题意知 ，则 ，
设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以 ，则 ，
于是数列 的前 项和为
．
14．【答案】
【解析】在数列 中， ，
，
两式作差，得 ，
则有 ， ， ，…， ，
累加得 ．
15．【答案】
【解析】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ，
2 3 1
1 1 1 2 3 1
3 9 3 3 3 3 3n n n
n nS −
−= + + + + + +
− 0 2 1
112 2 1 1 1 1 2 3
13 9 3 3 3 3 3 9 31 3
n
n n n n
n nS −
−
+ + + + + =
−
= − + −
31 6 9 31
12 4 3 12n n
nS
+= − 0q >因为 ，所以 ，
由 ， ，得 ，则 ，
，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 ．
16．【答案】 或
【解析】由已知可得， ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
因为 ， ， ， 成等比数列，且 ， ， ， ，…， 成等比数列，
，
，所以 ，代入可得 ，
令 ， ， ， ，
当 时， ，
又 ， ， ，
所以 或 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】（1）证明见解析；（2） ，是等差数列，详见解析．
【解析】（1）由题意得 ， ，所以 ，
则 ，
取 ，得 ，求得 ，
由 ，得 ，即 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（2）由（1）知， ，即 ，
所以 ，
于是 ，
所以 ，即 ， ， 成等差数列．
18．【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，解得 或 （舍去），
故数列 的通项公式为 ，即 ．
（2）由（1）知 ，得 ，
所以 ．
19．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由 ，得 ，
∴ ，∴ ，
又 ， 是等比数列，
∴ ，∴ ．
（2）由（1）得， ，∴ ，
令 ，
则
，
∴当 为偶数时， ；
，
∴ 为奇数时， ，
3 4 1 2 3a a a a+ = + + 2
3 4 1 2 1 2( ) ( ) ( 1 3)( )a a a a q a a+ − + = − + =
2
1 2( )1 ( 0)q a a− + > 0na > 1q > 1 2 2
3
1a a q
+ = −
4 4 2
6 4 5 6 1 2 22
3( ) 13 1[( )1 1 ]2S S a a q a a q q qq
⋅∴ − = + = + = = + +−− −
2
2
16 3 2 ( 1) 121q q
≥ + × − ⋅ =−
2q = 6 4S S− 12
1 2
1
2
2 5aa a= ⋅ 21 1( ) (1 )4d d+ = ⋅ +
0d ≠ 2d = 2 1na n= −
1 1a = 1a 2a 5a 1a 2a 1ka 2ka nka
3q∴ =
2 1nk na k= − 12 1 3n
nk +− = 1 1
2 1 2 1
3 3n m
n m
+ +
− −≤
1
2 1( ) 3n
ng n +
−= 1
2 ln3 2 ln3( ) 3n
ng n +
+ −′ = (1) 0g′∴ > (2) 0g′ <
2n ≥ ( ) 0g n′ <
1(1) 9g = 1(2) 9g = max
1( ) (1) (2) 9g n g g∴ = = =
1m = 2
2 1n
na = −
3 7a = 3 23 2a a= − 2 3a =
1 1 )2 ( 2n na a n−= + ≥
2n = 2 12 1a a= + 1 1a =
12 1n na a −= + 11 2 1( )n na a −+ = +
1 1 (1 2 2)n
n
a na −
+ ≥+ =
{ 1}na + 1 1 2a + = 2
11 2 2 2n n
na −+ = × = 2 1n
na = −
12(1 2 ) 2 21 2
n
n
nS n n+−= − = − −−
1( ) ( )2 2 2 2 2 1 0n n
n nn S a n n++ − = + − − − − =
2n nn S a+ = n na nS
2 5na n= +
{ }na 1a ( 0)d d ≠
1
2
1 1 1 1
5 45 552
( 5 6 ) ( 3( 9))
a d
a d a d a d a d
× + =
+ + + = + + −
1 7
2
a
d
=
=
1 11
0
a
d
=
=
{ }na 7 2( )1na n= + − 2 5na n= +
2 5na n= + 1 1 1 1 1( )6 4 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1( )( )n
n n
b a a n n n n
= = = −− − − + − +
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( )] [1 ]2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2n nS b b b n n n
= + + + = − + − + + − = −
2n ≥ 1n n na S S −= −
÷ 1 1( 2)n nS S n−− = ≥
{ }nS 1 1 1S a= = 1
1 ( 1) 1nS n n= + − × = 2
nS n=
2n ≥ 2 2
1 ( )1 2 1n n na S S n n n−= − = − − = −
1n = 1 1 1a S= =
*2 1( )na n n= − ∈N
2 1na n= − 2 12 1( 2) n
nc n −⋅= −
3 2 3 2 1( ) (1 2 3 2 2 3 2 2 1 2)n n
nT n n− −= × + × + + − × + − ×
3 5 2 1 2 14 1 2 3 2 2 3( ) ( )2 2 1 2n n
nT n n− += × + × + + − × + − ×
3 5 2 1 2 1( ) ( )3 2 2 2 2 2 2 1 2n n
nT n− +− = + + + + − − ×
2 2
2 1 2 15(8(1 2 ) 102 2 2 1 2 2 21 4 3) ( )3
n
n nn n
−
+ +−= + × − − × = − + − ×−
2 1(6 5) 2 10
9
n
n
nT
+− × +=
3
1( , )n nS S +
*1( )1ny x n nn
+= + + ∈N
1
1 1n n
nS S nn+
+= + +
1n + 1 11
n nS S
n n
+ = ++
1 1 31 1
S a= = { }nS
n 3 1
(3 1 1 2)nS n nn
= + − × = + 2 *( )2nS n n n= + ∈N
2n ≥ 1 2 1n n na S S n−= − = +
1n = 1 3 2 1 1a = = × +
*2 1( )na n n= + ∈N
1
1 1 1 1 1( )(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n
n n
b a a n n n n+
= = = −+ + + +
1 1 1[2 3( )5nT = − + 1 1 1 1 1 1 1
5 7 2 1 2 3( ) ( )] 2 3 2 3( )n n n
− + + − = −+ + +
n nT { }nT 1
1
15nT T≥ =
57n
kT > *n∈N 1
1
15 57
kT = > 19
5k <
k 3
12d c=
{3 }nb 3 3
13 33 3nb n n−= ⋅ = nb n=
{ }nb n nT ( 1)1 2 3 2n
n nT n
+= + + + + =
2
2 (2 1) (2 1)2n
n nT n n
+= = +
2 (2 1) 4 2
( 1) 1
2
n
n
T n n n
n nT n
+ += =+ + { }nb
{ }nc n nR { }nc
2n
n
R kR
= k 0k ≠
{ }nc 1
( 1)
2n
n nR nc d
−= +
2 1
2 (2 1)2 2n
n nR nc d
−= + 1
2
1
2 (2 1)2 2
( 1)
2
n
n
n nnc dR kn nR nc d
−+
= =−+
n ∗∈N
14 2( ) ( ) 2( ) 0k dn k c d− + − − =
1
( 4) 0
( 2)(2 ) 0
k d
k c d
− =
− − =
0d ≠ 4k = 12d c=
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