2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（A）
第 9 单元 立体几何与空间向量
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．如图，在正方体 中， 为 的中点，几何体 的侧视图与俯视图
如图所示，则该几何体的正视图为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．通过圆台侧面一点，有无数条母线
B．棱柱的底面一定是平行四边形
C．圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形
D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
3．如图所示，正方形 的边长为 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形
的周长是（ ）
A． B． C． D．
4．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱
的轴截面是边长为 2 的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为（ ）
A． B． C． D．
5．设 ， 为两个不重合的平面，能使 成立的是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． 内有两条相交直线与 平行
C． 内有无数个点到 的距离相等 D． ， 垂直于同一平面
6．如图，正三棱柱 中， ， 是 的中点，则 与平面 所成
角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
7．在长方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，
，则异面直线 与 所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，则下列命题正确的是（ ）
A． 、 平行 B． 、 垂直 C． 、 重合 D． 、 不垂直
1 1 1 1ABCD A B C D− E 1DD 1ABCDEC
O A B C′ ′ ′ ′ 1cm
6 cm 8 cm 2 3 2 cm+ 2 2 3 cm+
5π 6π 3π 4π
α β α β∥
α β α β
α β α β
1 1 1ABC A B C− 1 2AA AB= D 1BB AD 1 1AAC C
2
2
3
2
6
4
10
4
1 1 1 1ABCD A B C D− E F G 1AA 1 1C D 1DD
30° 60° 90° 120°
α (2, 2,2)= −u β (1,2,1)=v
α β α β α β α β
1AB AA= =
2AD EF BG9．如图， 平面 ， 为正方形，且 ， 分别是线段 的中点，
则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．在空间中，设 ， 为两条不同直线， ， 为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 且 ，则
D．若 不垂直于 ，且 ，则 必不垂直于
11．如图，正方体 的棱长为 2，点 为底面 的中心，点 在侧面
的边界及其内部运动．若 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知球 的直径 ， ， ， 是球 球面上的三点， 是等边三角形，且
，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知圆锥的顶点为 ，母线 与底面所成的角为 ，底面圆心 到 的距离为 ，则该圆
锥外接球的表面积为________．
14．设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面．
① ， ，则 ；② ， ， ，则 ；
③ ， ， ，则 ；④若 ， ， ，则 ．
上述四个命题中，正确命题的序号是__________．
15．在棱长为 1 的正方体 中， ，在面 中取一个点 F，
使 最小，则这个最小值为______．
16．如图，在矩形 中， ， 为 的中点，将 沿 翻折成
（ 平面 ）， 为线段 的中点，则在 翻折过程中给出以下四个结论：
①与平面 垂直的直线必与直线 垂直；
②线段 的长为 ；
③异面直线 与 所成角的正切值为 ；
④当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 外接球的表面积是 ．
其中正确结论的序号是_______．（请写出所有正确结论的序号）
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．（10 分）如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形， ， 为 的中
点．
PA ⊥ ABCD ABCD FE, CDPA,
EF BD
2
6
3
3
3
6
2
3
m n α β
m α∥ α β∥ m β∥
α β⊥ m α⊂ n β⊂ m n⊥
m α⊥ α β∥ m β⊥
m α n α⊂ m n
1 1 1 1ABCD A B C D− O ABCD P 1 1BB C C
1D O OP⊥ 1 1D C P△
2 5
5
4 5
5 5 2 5
O 4PQ = A B C O ABC△
30APQ BPQ CPQ∠ = ∠ = ∠ = ° P ABC−
3 3
4
9 3
4
3 3
2
27 3
4
P PA 30° O PA 1
m n α β γ
m α⊂ //n α //m n //α β //β γ m α⊥ m γ⊥
nα β = //m n //m α //m β //m α βn// //m n //α β
1 1 1 1ABCD A B C D− 1
1
2AE AB= ABCD
1EF FC+
ABCD 2 2BC AB= = N BC ABN△ AN 1B AN△
1B ∉ ABCD M 1B D ABN△
1B AN CM
CM 5
2
CM 1NB 3
3
1D ANB− 1D ANB− 4π
P ABCD− ABCD PA PC= E PB
PA AD=（1）求证： 面 ；
（2）求证：平面 平面 ．
18．（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 是 的中点， 平面
，且 ， ．
（1）求 与平面 所成角的正弦；
（2）求二面角 的余弦值．
19．（12 分）将边长为 的正方形 沿对角线 折叠，使得平面 平面 ，
平面 ， 是 的中点，且 ．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小．
PD∥ AEC
AEC ⊥ PDB
P ABCD− ABCD M PA PD ⊥
ABCD 4PD CD= = 2AD =
AP CMB
M CB P− −
2 ABCD BD ABD ⊥ CBD AE ⊥
ABD F BD 2AE =
DE AC⊥
B EC F− −20．（12 分）如图，在三棱锥 中， 是等边三角形， ，
点 是 的中点，连接 ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，且二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
21．（12 分）如图，四棱锥 中， 是正三角形，四边形 是菱形，点 是
的中点．
（1）求证： 平面 ；
A BCD− ABC△ 90BAD BCD∠ = ∠ = °
P AC BP DP
ACD ⊥ BDP
6BD = A BD C− − 120° AD BCD
S ABCD− ABS△ ABCD E BS
SD∥ ACE（2）若平面 平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
22．（12 分）如图，矩形 和等边三角形 中， ， ，平面 平面
．
（1）在 上找一点 ，使 ，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求平面 与平面 所成锐二面角余弦值．
ABS ⊥ ABCD 120ABC∠ = ° AC ADS
ACEF ABC 2AC = 1CE = ABC ⊥
ACEF
EF M BM AC⊥
ABM CBE高三▪数学卷（A）
第 9 单元 立体几何与空间向量 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】结合俯视图和侧视图，根据几何体特征，该几何体为图中 ，
正投影为 ， 与 不在同一平面，所以正视图为 A 选项的图形，故选 A．
2．【答案】C
【解析】因为通过圆台侧面一点只有一条母线，所以 A 不正确；
因为棱柱的底面不一定是平行四边形，可以是任意多边形，所以 B 不正确；
因为由棱台的定义，要求上､下底面平行，所以 D 不正确；
因为圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，三角形的两腰是其母线，所以 C 正确，
故选 C．
3．【答案】B
【解析】 ， ， ，
， 原图形周长为 8，故选 B．
4．【答案】A
【解析】圆锥的侧面展开图是半径为 ，弧长为 的扇形，
其面积 ，所以圆锥的侧面展开图面积为 ．
5．【答案】B
【解析】如图所示：
对 A， 内有无数条直线可平行于 ，即有无数条直线与 平行，但 与 可相交于 ，
故 A 不一定能使 成立；
对 C，在 内有一条直线平 ，则在 内有无数个点到 的距离相等，
但 与 可相交于 ，故 C 不一定能使 成立；
对 D，如图 ， ，但 与 可相交于 ，故 D 不一定能使 成立，
故选 B．
6．【答案】C
【解析】记 分别为直线 的中点，取 中点 ，连结 ， ，
所以在正三棱柱 中， 平面 ，
又 是 的中点，所以 ，所以 平面 ，
故 即是 与平面 所成的角，
设 ，则 ， ，
所以 ，故选 C．
7．【答案】C
【解析】以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间
直角坐标系 ，如图：
1AED BCC−
1EDCC ABE 1EBC
1OA OA′= = 2 2 2OB O B′ ′= = 1BC B C′ ′= =
21 (2 2) 3AB OC∴ = = + = ∴
5 2π
1 1 (2π 1) 5 5π2 2S l r= ⋅ = ⋅ = 5π
α l β α β l
α β∥
α l α β
α β l α β∥
α γ⊥ β γ⊥ α β l α β∥
P Q、 1 1AC AC、 PQ E AE DE
1 1 1ABC A B C− 1B Q ⊥ 1 1AAC C
D 1BB 1DE B Q∥ DE ⊥ 1 1ACC A
DAE∠ AD 1 1AAC C
1 2 4AA AB= = 2 22 2 2 2AD = + = 2 2
1 2 1 3DE B Q= = − =
6sin 4
DEDAE AD
∠ = =
D DA DC
1DD x y z
D xyz−设 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的大小为 ，故选 C．
8．【答案】B
【解析】平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
因为 ，所以两个平面垂直，故选 B．
9．【答案】C
【解析】由题可知，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ．
设 ，则 ， ，
，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选 C．
10．【答案】C
【解析】由 ， 为两条不同直线， ， 为两个不同平面，知：
在 A 中，若 且 ，则 或 ，故 A 错误；
在 B 中，若 ， ， ，则 ， 相交、平行或异面，故 B 错误；
在 C 中，若 且 ，则由线 面垂直的判定定理得 ，故 C 正确；
在 D 中，若 不垂直于 ，且 ，则 有可能垂直于 ，故 D 错误，
故选 C．
11．【答案】C
【解析】取 的中点 ，连接 、 、 、 ，连接 、 、 、 、
，如图：
因为正方体 的棱长为 2，
所以 ， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
由 可得 平面 ，
所以 ，所以点 的轨迹为线段 ，
又 ，
所以 面积的最大值 ，故选 C．
12．【答案】B
【解析】设球心为 ，等边三角形 截面小圆的圆心为 （也是等边三角形 的中心）．
1AD = ( )1,0,1E ( )0,1,2F ( )0,0,1G ( )1,2,0B
( )1,1,1EF = − ( )1, 2,1BG = − − 0EF BG⋅ =
EF BG⊥
EF BG 90°
α (2, 2,2)= −u β (1,2,1)=v
2 4 2 0⋅ = − + =u v
APADAB ,, x y z
A xyz−
2AD = ( 2,2,0)BD = − (1,2, 1)EF = −
| 2 4 | 3cos , 68 6
BD EF
− +〈 〉 = =
×
EF BD 3
6
m n α β
m α∥ α β∥ m β∥ m β⊂
α β⊥ m α⊂ n β⊂ m n
m α⊥ α β∥ n α⊂ m β⊥
m α n α⊂ m n
1BB F OF 1D F CF 1C F DO BO OC 1 1D B
1D C
1 1 1 1ABCD A B C D−
1 1B F BF= = 2DO BO OC= = = 1 1 1 2 2D B D C= =
1BB ⊥ ABCD 1BB ⊥ 1111 DCBA 1 1C D ⊥ 1 1BB C C
2 2
1 1 6OD OD DD= + = 2 2 3OF OB BF= + = 2 2
1 1 1 1 3D F D B B F= + =
2 2 2
1 1OD OF D F+ = 2 2 2
1 1OD OC D C+ =
1OD OC⊥ 1OD OF⊥
OC OF O= 1OD ⊥ OCF
1OD CF⊥ P CF
2 2
1 1 1 1 15 2C F B C B F C C= + = > =
1 1D C P△ 1 1 1
1 1 2 5 52 2S C F D C= ⋅ = × × =
M ABC O ABC由于 是等边三角形， ，
所以 平面 ， 在面 的投影即 ，也即等边三角形 的中心，且 平面
，则 ．
因为 是直径，所以 ，
所以 ， ， ．
由于 是等边三角形 的中心，所以 ，
所以等边三角形 的高 ， ．
所以三棱锥 的体积为 ，
故选 B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】
【解析】依题意得，圆锥底面半径 ，高 ，
设圆锥外接球半径为 ，则 ，
即 ，解得 ，
外接球的表面积为 ，故本题正确结果 ．
14．【答案】②
【解析】对于①，若 ， ，则 或 异面，故①错；
对于②，因为 ， ，故 ，而 ，故 ．故②正确；
对于③，若 ， ， ，则 或 ，故③错；
对于④，若 ， ， ，则 或 相交，故④错，
故答案为②．
15．【答案】
【解析】将正方体 补全成长方体，点 关于面 的对称点为 ，
连接 交平面 于一点，即为所求点 F，使 最小，其最小值就是 ，
连接 ， ，计算可得 ， ， ，
所以 为直角三角形，
又 ，所以 ，
所以 ，故答案为 ．
16．【答案】①②④
【解析】如图，取 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ， ， ， ，
则四边形 为平行四边形，直线 平面 ，所以①正确；
ABC△ 30APQ BPQ CPQ∠ = ∠ = ∠ = °
PQ ⊥ ABC P ABC O ABC PO ⊥
ABC PO OC⊥
PQ 90PCQ∠ = °
4cos30 2 3PC = ° = 2 3 cos30 3PC PO= = ° = 2 3sin30 3OC = ° =
O ABC 2
3OC CH=
ABC 3 3
2CH = 3 3 sin 60 32AC = ÷ ° =
P ABC− 1 1 1 3 9 33 3 33 3 2 2 4ABCV PO S
= × × = × × × × × = △
64π
3
1 2sin30r = =°
1 2 3
sin 60 3h = =°
R ( )22 2R r R h= + −
2
2 2 2 32 3R R
= + −
4 3
3R =
∴ 2 64π4π 3S R= = 64π
3
m α⊂ //n α //m n ,m n
//α β //β γ //α γ m α⊥ m γ⊥
nα β = //m n //m α //m β m β⊂
//m α βn// //m n //α β ,α β
14
2
1 1 1 1ABCD A B C D− 1C ABCD 2C
2EC ABCD 1EF FC+
2EC
2AC 1 2B C 2 3AC = 1 2 5B C = 1 2AB =
1 2AB C△
1
1
2AE AB=
1
1 2
2 2AE AB= =
( ) 2
22 2
2 2
2 143 2 2EC AE AC
= + = + =
14
2
1AB E AD F EN EM FN 1B F
CNEM CM ∥ 1AB N，所以②正确；
因为 ，异面直线 与 的所成角为 ，
，所以③错误；
当三棱锥 的体积最大时，平面 与底面 垂直，
可计算出 ， ， ，所以 ，
同理 ，
所以三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 1，外接球的表面积是 ，④正确，
故答案为①②④．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）证明：设 ，连接 ，
因为 分别是 ， 的中点，所以 ，
而 ， ，所以 面 ．
（2）连接 PO，因为 ，所以 ，
又四边形 是菱形，所以 ，
而 面 ， 面 ， ，所以 面 ，
又 面 ，所以面 面 ．
18．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）∵ 是矩形，∴ ，
又∵ 平面 ，
∴ ， ，即 ， ， 两两垂直，
∴以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立如图空间直角坐标系，
由 ， ，得 ， ， ， ， ，
，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ， ，
∴ ，
∴ ，
故 与平面 所成角的正弦值为 ．
（2）由（1）可得 ，
设平面 的一个法向量为 ，
21 51 2 2CM NE = = + =
CM EN CM 1NB 1ENB∠
1
1tan 2ENB∠ =
1D ANB− 1B AN ABCD
1 3B D = 1 1AB = 2 2 2
1 1AB B D AD+ = 1 90AB D∠ = °
90AND∠ = °
1D ANB− F 4π
AC BD O= EO
EO, BD PB PD EO∥
PD AEC⊄ 面 EO AEC⊂ 面 PD∥ AEC
PA PC= AC PO⊥
ABCD AC BD⊥
PO ⊂ PBD BD ⊂ PBD PO BD O= AC ⊥ PBD
AC ⊂ AEC AEC ⊥ PBD
4
5
3 10
10
ABCD AD CD⊥
PD ⊥ ABCD
PD AD⊥ PD CD⊥ PD AD CD
D DA DC DP x y z
4PD CD= = 2AD = ( )2,0,0A ( )2,4,0B ( )0,4,0C ( )0,0,0D ( )0,0,4P
( )1,0,2M
( )2,0,4AP = − ( )2,0,0BC = − ( )1,4, 2MB = −
CMB ( )1 1 1 1, ,x y z=n
1
1
0
0
BC
MB
⋅ = ⋅ =
n
n
1
1 1 1
2 0
4 2 0
x
x y z
− =
+ − = 1 1y = 1 0x = 1 2z =
( )1 0,1,2=n
1
1
1
8 4cos , 52 5 5
APAP
AP
⋅= = =
⋅⋅
nn
n
AP CMB 4
5
( )0,4, 4PC = −
PBC ( )2 2 2 2, ,x y z=n则 ，即 ，令 ，得 ， ，
∴ ，
∴ ，
故二面角 的余弦值为 ．
19．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间
直角坐标系，
如图所示，则 ， ， ，
取 的中点 并连接 ， ．
由题意得 ，
又 平面 平面 ， 平面 ，
，
， ，
， ．
（2）设平面 的法向量为 ，
则 ， ，
，
令 ．
设平面 的法向量为 ，
∵ ，所以 ， ，
由 ，得 ．
设二面角 为 ，则 ，
所以二面角 的大小为 ．
20．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：因为 是等边三角形， ，
所以 ，可得 ．
因为点 是 的中点，则 ， ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）如图，作 ，垂足为 连接 ．
因为 ，
所以 ， ， 为二面角 的平面角．
由已知二面角 为 ，知 ．
在等腰三角形 中，由余弦定理可得 ．
因为 是等边三角形，则 ，所以 ．
在 中，有 ，得 ，
因为 ，所以 ．
又 ，所以 ，
则 ， ．
2
2
0
0
BC
PC
⋅ = ⋅ =
n
n
2
2 2
2 0
4 4 0
x
y z
− =
− = 2 1y = 2 0x = 2 1z =
( )2 0,1,1=n
1 2
3 3 10cos , 105 2
= =
⋅n n
M CB P− − 3 10
10
45°
A , ,AB AD AE x y z
( )0,0, 2E ( )2,0,0B ( )0,2,0D
BD F CF AF
CF BD⊥
BDA ⊥ BDC CF∴ ⊥ BDA
( )1,1, 2C∴
( )0, 2, 2DE∴ = −uuur ( )1,1, 2AC =uuur
( )0, 2, 2DE AC⋅ = − ⋅uuur uuur ( )1,1, 2 0= DE AC∴ ⊥
BCE ( )1 1 1, ,x y z=n
( )2,0, 2EB = −uuur ( )1,1, 2BC = −uuur
1 1
1 1 1
2 2 00
0 2 0
x zDE
CB x y z
− =⋅ = ⇒ ⋅ = − − =
n
n
( )1, 1, 2= −n
FCE ( )2 2 2, ,x y z=m
( )1,1,0F ( )1,1,0EC =uuur ( )0,0, 2FC =uuur
2 2
2
00
00
x yEC
zFC
+ =⋅ = ⇒ =⋅ =
m
m
( )1, 1,0= −m
B EC F− − θ 2cos cos , 2
θ = =n m
B EC F− − 45°
2
2
ABC△ 90BAD BCD∠ = ∠ = °
ABD CBD≅Rt Rt△ △ AD CD=
P AC PD AC⊥ PB AC⊥
PD PB P= PD ⊂ PBD PB ⊂ PBD
AC ⊥ PBD
AC ⊂ ACD ACD ⊥ BDP
CE BD⊥ E AE
ABD CBD⊆Rt Rt△ △
AE BD⊥ AE CE= AEC∠ A BD C− −
A BD C− − 120° 120AEC∠ = °
AEC 3AC AE=
ABC△ AC AB= 3AB AE=
ABDRt△ 1 1
2 2AE BD AB AD⋅ = ⋅ 3BD AD=
6BD = 2AD =
2 2 2BD AB AD= + 2AB =
2 3
3AE = 6
3ED =以 为坐标原点，以向量 ， 的方向分别为 轴， 轴的正方向，
以过点 垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ，向量 ，
平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ， ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
21．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：连接 BD 交 AC 于点 F，再连接 EF．
因为四边形 是菱形，所以点 F 是 BD 的中点，
又因为点 是 的中点，所以 EF 是三角形 DBS 的中位线，
所以 DS 平行 EF，
又因为 EF 平面 ACE，SD 平面 ACE，
所以 平面 ．
（2）因为四边形 是菱形， ，所以 ，
又 AB=AD，所以三角形 ABD 为正三角形．
取 AB 的中点 O，连接 SO，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ABS，
又因为三角形 ABS 为正三角形，则以 O 为坐标原点建立坐标系，
设 ，则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 ADS 的一个法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ， ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．
22．【答案】（1） 为线段 的中点，证明过程详见解析；（2） ．
【解析】（1） 为线段 的中点，理由如下：
分别取 的中点 ，连接 ，
在等边三角形 中， ，
又 为矩形 的中位线， ，而 ，
所以 面 ，所以 ．
（2）由（1）知 两两互相垂直，建立空间直角坐标系 如图所示，
， ，三角形 为等边三角形，
．
于是 ， ，
设面 的法向量 ，所以 ，得 ，
则面 的一个法向量 ，
又 是线段 的中点，则 的坐标为 ，
E EC ED x y
E BCD z E xyz−
60, ,03D
3 ,0,13A
−
3 6, , 13 3AD
= −
BCD (0,0,1)=m
AD BCD θ
1 2cos , 22 1
ADAD
AD
⋅ −〈 〉 = = = −
×
mm
m
2sin | cos , | 2ADθ = 〈 〉 =m
AD BCD 2
2
5
5
ABCD
E BS
⊂ ⊄
SD∥ ACE
ABCD 120ABC∠ = ° 1 602ABD ABC∠ = ∠ = °
DO AB⊥
ABS ⊥ ABCD ABS ABCD AB=
DO ⊥
aAB 2= (0, ,0)A a− ( 3 ,0,0)S a (0,0, 3 )D a (0,2 , 3 )C a a
(0, , 3 )AD a a= ( 3 , ,0)AS a a= (0,3 , 3 )AC a a=
( , , )x y z=n
0 3 0
0 3 0
AD y z
AS x y
⋅ = + = ⇒ ⋅ = + =
n
n
1x = 3y = − 1z = (1, 3,1)= −n
AC ADS θ
5sin cos , 5
ACAC
AC
θ ⋅= = =
⋅
nn
n
M EF 7
7
M EF
AC EF、 O M、 OM
ABC AC BO⊥
OM ACEF AC OM⊥ OM OB O=
AC ⊥ BOM BM AC⊥
, ,OA OB OM O xyz−
2AC = 1CE = ABC
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 0, 3,0 , 1,0,0 , 1,0,1 , 1,0,0 , 1,0,1O B C E A F− −
( )1, 3,0CB = ( )0,0,1CE =
BCE ( ), ,x y z=n 0
0
CB
CE
⋅ ⋅
=
=
n
n
3 0
0
x y
z
+ =
=
BCE ( )3, 1,0= −n
M EF M ( )0,0,1M于是 ，且 ，
又设面 的法向量 ，
由 ，得 ，取 ，则 ， ，
平面 的一个法向量 ，所以 ，
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
( )1,0,1AM = − ( )1, 3,0AB = −
ABM ( ), ,a b c=m
0
0
AB
AM
⋅ =
⋅ =
m
m
0
3 0
a c
a b
− + =
− + =
3a = 1b = 3c =
ABM ( )3,1, 3=m · 2 7cos 7· 2 7
θ = = =m n
m n
MAB BCE 7
7
微信/支付宝扫码支付