2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（B）
第 9 单元 立体几何与空间向量
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．下列说法正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的多面体是棱柱
C．棱锥的侧面可以是四边形
D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
2．已知 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ，则 或
3．设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则下列说法错误的
是（ ）
A． 平面 B．
C．直线 与平面 所成角为 D．异面直线 与 所成角为
5．设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 ．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图， 垂直于以 为直径的圆所在平面， 为圆上异于 ， 的任意一点， 垂
足为 ，点 是 上一点，则下列判断中不正确的是（ ）
A． 平面 B．
C． D．平面 平面
7．边长为 的正方形 沿对角线 折叠使得 垂直于底面 ，则点 到平面
的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正四棱柱 中， ， ， 为 的中点，则直线 与
平面 的距离为（ ）
m n α β
m n⊥ m α⊥ n α∥
m n∥ m α∥ n α⊄ n α∥
m n⊥ m α⊥ n β⊥ α β⊥
m α∥ α β∥ m β∥ m β⊂
12 8 4 2
1 1 1 1ABCD A B C D− M N AC 1A B
MN∥ 1 1ADD A MN AB⊥
MN ABCD 45° MN 1DD 60°
α β m m α⊂ m β∥ α β∥
PA AB C A B AE PC⊥
E F PB
BC ⊥ PAC AE EF⊥
AC PB⊥ AEF ⊥ PBC
2 ABCD AC ACD△ ABC C ABD
2 6
3
2 3
3
2 2
3
6
3
1 1 1 1ABCD A B C D− 2AB = 1 2 2CC = E 1CC 1AC
BEDA． B． C． D．
9．如图，空间四边形 中， ，则 所在直线与平面
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．第 届世界博览会于 年 月 日至 月 日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆
——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，
代表中国文化的精神与气质，其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱，它有四根高 米的方柱，托起
斗状的主体建筑，总高度为 米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是
米，下底面边长是 米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）
A． B． C． D．
11．在正四棱柱 中， ， ，动点 ， 分别在线段 ，
上，则线段 长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．正方体 的棱长为 ，动点 在线段 上，动点 在平面 上，
且 平面 ，线段 长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．在长方体 中， ，直线 与平面 所成的角为 ，
则异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
14．已知 的三个顶点在以 为球心的球面上，且 ， ， ，三棱
锥 的体积为 ，则球 的表面积为________．
15．如图，点 在正方形 所在的平面外， 底面 ， ，则 与 所
成角的度数为_________．
16．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证
明了多面体的顶点数（ ）、棱数（ ）、面数（ ）之间存在如下关系： ．利用这
个公式，可以证明柏拉图多面体只有 种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十
二面体和正二十面体，若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为 ，
，则 的值为________．
2 3 2 1
ABCD AB BC CD DA AC BD= = = = = AB BCD
3
3
1
3
6
3
1
41 2010 5 1 10 31
33.3
60.3 139.4
69.9
20° 28° 38° 48°
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 4AA = 2AB BC= = P Q 1C D
AC PQ
2 2
3
2 3
3
4
3
2 5
3
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 M 1CC P 1111 DCBA
AP ⊥ 1MBD AP
[1, 2] [1, 3] [ 3 , 2]2 [ 6 , 2]2
1 1 1 1ABCD A B C D− 2 2AB BC= = 1DC ABCD 45°
1AD 1DC
ABC△ O 2 2cos 3A = 1BC = 3AC =
O ABC− 14
6
O
P ABCD PD ⊥ ABCD PD AD= PA BD
V E F 2V F E+ − =
5
1S
2S 1
2
S
S三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．（10 分）如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， ， ， 分别是
， 的中点．
（1）证明： ；
（2）判断直线 和平面 的位置关系，并加以证明．
18．（12 分）如图，组合体由棱长为 的正方体 和四棱锥 组成，
平面 ， ， 是 中点， 是 中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ；
（3）求 到平面 的距离．
19．（12 分）如图，在正三棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中
点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
1 1 1ABC A B C− 90BAC∠ = ° M N
1 1A B BC
1AB AC⊥
MN 1 1ACC A
2 1 1 1 1ABCD A B C D− S ABCD−
SD ⊥ ABCD 2SD = E 1DD F SB
SB∥ 1 1EAC
1 1AC EF⊥
S 1 1EAC
1 1 1ABC A B C− 1 2AB AA= = E F AB 1 1B C
1B E∥ ACF
1B ACF−20．（12 分）如图，在空间几何体 中，平面 平面 ， 与 都是
边长为 的等边三角形， ，点 在平面 上的射影在 的平分线上，已知 和平
面 所成角为 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
21．（12 分）已知直三棱柱 中， 为正三角形， ， 为 的
中点．点 在棱 上，且 ．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
ABCDE ACD ⊥ ACB ACD△ ACB△
2 2BE = E ABC ABC∠ BE
ACB 60°
DE∥ ABC
E BC A− −
1 1 1ABC A B C− ABC△ 1 4AB AA= = F BC
E 1C C 1 3C E EC=
1B F ⊥ AEF
1B AE F− −22．（12 分）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， ，点 为棱 的中点．
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若 为棱 上一点，满足 ，求二面角 的余弦值．
P ABCD− PA ⊥ ABCD AD AB⊥ AB DC∥
2AD DC AP= = = 1AB = E PC
BE DC⊥
BE PBD
F PC BF AC⊥ F AB P− −高三▪数学卷（B）
第 9 单元 立体几何与空间向量 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】对于 A，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体，所有侧棱不一定交于同
一点，所以该六面体不一定是棱台，故 A 错误；
对于 B，由棱柱的概念可得两底面平行，并且各侧棱也互相平行的多面体是棱柱，故 B 正确；
对于 C，棱锥的侧面一定是三角形，故 C 错误；
对于 D，在正六棱柱中，存在互相平行的侧面，故 D 错误．
2．【答案】A
【解析】对于 A：若 ， ，则 或 ，故 A 错误；B，C，D 正确．
3．【答案】C
【解析】还原该立体图形，如图，则其体积为 ．
4．【答案】D
【解析】如图，连结 ， ，
由 ， 分别为 ， 的中点，知 ，
对 A，由 ，从而 平面 ，A 正确；
对 B，由 面 ，可得 ，又 ，得 ，B 正确；
对 C，由 ，直线 与平面 所成角为 ，C 正确；
对 D，由 ，直线 与 所成角为 ，D 错误．
5．【答案】B
【解析】 ， 得不到 ，
因为 ， 可能相交，只要 和 ， 的交线平行即可得到 ， ， ，
∴ 和 没有公共点，∴ ，即 能得到 ，
∴“ ”是“ ”的必要不充分条件．
6．【答案】C
【解析】对于 A， 垂直于以 为直径的圆所在平面，而 底面圆面，则 ，
又由圆的性质可知 ，且 ，则 平面 ，所以 A 正确；
对于 B，由 A 可知 ，由题意可知 ，且 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 ，所以 B 正确；
对于 C，由 B 可知 平面 ，因而 与平面 不垂直，所以 不成立，
所以 C 错误；
对于 D，由 A、B 可知， 平面 ， 平面 ，
由面面垂直的性质可得平面 平面 ，所以 D 正确，
综上可知，C 为错误选项．
7．【答案】A
【解析】取 的中点 ，连接 和 ，则 ， ，
由于四边形 是边长为 的正方形，
∴ ，
则 ， ，
由题知，平面 平面 ，且交线为 ，而 平面 ，
则 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
∴在 中， ，
∴ 是等边三角形，则 ，
m n⊥ m α⊥ n α∥ n ⊂ α
1 1 1( 4 3) 2 43 3 2V Sh= = × × × × =
BD 1A D
M N AC 1A B 1MN A D∥
1MN A D∥ / /MN 1 1ADD A
AB ⊥ 1 1ADD A 1AB A D⊥ 1MN A D∥ MN AB⊥
1MN A D∥ MN ABCD 1 45A DA∠ = °
1MN A D∥ MN 1DD 1 1 45A DD∠ = °
m α⊂ m β∥ α β∥
α β m α β m β∥ α β∥ m α⊂
m β m β∥ α β∥ m β∥
m β∥ α β∥
PA AB BC ⊂ PA BC⊥
AC BC⊥ PA AC A= BC ⊥ PAC
BC AE⊥ AE PC⊥ BC PC C= AE ⊥ PCB
EF ⊂ PCB AE EF⊥
AE ⊥ PCB AC PCB AC PB⊥
BC ⊥ PAC BC ⊂ PCB
AEF ⊥ PBC
AC O DO BO DO AC⊥ BO AC⊥
ABCD 2
2AD CD AB BC= = = =
2 22 2 2 2AC = + = 2 22 ( 2) 2DO BO= = − =
ACD ⊥ ABC AC DO ⊂ ACD
DO ⊥ ABC
BO ⊂ ABC DO BO⊥
BODRt△ 2 2( 2) ( 2) 2BD = + =
ABD△ 1 2 2 sin 60 32ABDS = × × × ° =△则在 中， ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，即 ，
即 ，解得 ，即点 到平面 的距离为 ．
8．【答案】D
【解析】因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法，
∴ 平面 ，∴ 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
由题计算得 ，
在 中， ， ，
边上的高 ，所以 ，
所以 ，
利用等体积法 ，得 ，解得 ．
9．【答案】A
【解析】因为空间四边形 中， ，
所以四面体 为正四面体，
所以点 在平面 上的投影为正三角形 的中心 ，连接 ， ，
则 为 所在直线与平面 所成角，
令 ，则 ，
在 中， ．
10．【答案】C
【解析】依题意得“斗冠”的高为 米，
如图， ， ，
为“斗冠”的侧面与上底面的夹角， ，
而 ， ，且 在 上单调递增，
因为 ，所以 ．
11．【答案】C
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ， ，∴ ，
当且仅当 时， 取最小值 ．
12．【答案】D
【解析】以 ， ， 分别为 ， ， 建立空间直角坐标系，
ABCRt△ 1 2 2 22ABCS = × × =△
C ABD d C ABD D ABCV V− −= 1 1
3 3ABD ABCS d S DO⋅ = ⋅△ △
1 13 2 23 3d× = × × 2 6
3d = C ABD 2 6
3
1AC ∥ BDE 1AC BDE A BDE
1
1 1 1 1 2 22 2 23 2 3 2 3E ABD ABDV S CC− = × = × × × × =△
BDE△ 2 22 ( 2) 6BE DE= = + = 2 2BD =
BD 2 26) ( 2( 2)= − = 1 2 2 2 2 22BDES = × × =△
1 1 2 23 3A BDE BDEV S h h− = = ×△
A BDE E ABDV V− −= 1 2 22 23 3h× = 1h =
ABCD AB BC CD DA AC BD= = = = =
ABCD
A BCD BCD O AO BO
ABO∠ AB BCD
AB BC CD DA AC BD a= = = = = = 2 3 3
3 2 3BO a a= × =
ABORt△
3
33cos 3
aBOABO AB a
∠ = = =
60.3 33.3 27− =
27PE = 1 1( )2 2ME MN EF= − = × 139(139.4 69.9) 4
− =
PME∠ 27 108tan 0.78139 139
4
PEPME ME
∠ = = = ≈
3tan30 0.583
° = ≈ tan 45 1° = tany x= (0, π)2
0.58 0.78 1< < 30 45PME° < ∠ < °
(2,0,0)A (0,2,0)C 1(0,2,4)C (0, ,2 )P t t
[0,2]t ∈ (2 , ,0)Q m m− [0,2]m∈ 2 29 10 165( ) ( )5 5 9 9
mPQ t m= − + − +
105 9t m= = PQ 4
3
DA DC 1DD x y z则 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
由 平面 ，则 且 ，
所以 且 ，得 ， ，
所以 ，
当 时， ；当 或 时， ，
所以 ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】
【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
∵在长方体 中， ，
直线 与平面 所成的角为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ， ， ， ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
14．【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
在三角形 中，由正弦定理得 ，∴ ，
因此 ，斜边 的中点就是 的外接圆的圆心，
由于三棱锥的体积为 ， ，
∴ ，∴ ，
因此 ，表面积 ．
15．【答案】
【解析】如图所示，以 为坐标原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴， 所在
的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
因为点 在正方形 所在平面外， 平面 ， ，
令 ，所以 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
即异面直线 与 所成的角为 ．
(1,0,0)A (1,1,0)B (0,1, )M t (0,0,1)D ( , ,1)P x y
( 1, ,1)AP x y= −
1 ( 1, 1,1)BD = − − ( 1,0, )BM t= − [0,1]t ∈
AP ⊥ 1MBD 0BM AP⋅ =
1 0BD AP⋅ =
1 0x t− + = 1 1 0x y− − + = 1x t= + 1y t= −
2 2 21 3| | ( 1) 1 2( )2 2AP x y t= − + + = − +
1
2t =
min
6| | 2AP = 0t = 1t = max| | 2AP =
6 | | 22 AP≤ ≤
10
5
D AD x DC y 1DD z
1 1 1 1ABCD A B C D− 2 2AB BC= =
1DC ABCD 45°
1 45C DC∠ = ° 1 2DC CC= =
(1,0,0)A 1 0,( 0,2)D (0,0,0)D 1(0,2,2)C 1 ( 1,0,2)AD = −
1 (0,2,2)DC =
1AD 1DC θ
1 1
1 1
1 1
|| | || 4 10cos | cos , | 5| | || | 5 8
AD DCAD DC
AD DC
θ ⋅= < > = = =
⋅ ⋅
1AD 1DC 10
5
16π
2 2cos 3A = 2 1sin 1 cos 3A A= − =
ABC sin sin
BC AC
A B
= sin 1B =
90B = ° AC ABC△
14
6
2 2 2 2AB AC BC= − =
1 1 14
3 2 6AB BC h⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 7
2h =
2 27 3( ) ( ) 22 2R = + = 24π 16πS R= =
60°
D DA x DC y DP
z
P ABCD PD ⊥ ABCD PD AD=
1PD AD= = (1,0,0)A (0,0,1)P (1,1,0)B (0,0,0)D
(1,0, 1)PA = − ( 1, 1,0)BD = − −
1 1cos 2| | 2
|
2
|
| |
PA BD
PA BD
θ ⋅= = =
⋅ ×
60θ = °
PA BD 60°16．【答案】
【解析】设棱长为 ，正六面体即正方体，它的外接球的半径等于体对角线的一半，
所以 ，对于正八面体，易得 ，
故其外接球的球心为 中点，所以 ，所以 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】（1）证明见解析；（2） 平面 ，证明见解析．
【解析】（1）因为 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，且 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
（2） 平面 ，
证明如下：如图所示：设 的中点为 ，连接 ， ．
因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ， ，
又 ，而 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ．
【解析】（1）连结 ，连结 交 于 ，连接 ，
则 ，
∵ ，∴ ，
又 ， ，因此四边形 是平行四边形，
∴ ，故 ，
又 面 ， 面 ，因此 平面 ．
（2）四边形 是正方形，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ ，
又 ，∴ 面 ，
又 面 ，因此， ．
（3）设 到平面 的距离 ，
，即 ，∴ 到平面 的距离 ．
19．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
3
2
a
1
3
2R a= AC BD EF= =
AC 2
2
2R a=
2
2
1 1
2
22 2
3
4π 34
24π 2
4
aS R
S R a
= = =
MN∥ 1 1ACC A
1CC ⊥ ABC
AB Ì ABC 1CC AB⊥
90BAC∠ = ° AC AB⊥ 1AC CC C=
AB ⊥ 1 1ACC A
1AC ⊂ 1 1ACC A 1AB AC⊥
MN∥ 1 1ACC A
AC D DN 1A D
D N AC BC DN AB∥ 1
2DN AB=
1 1 1
1
2A M A B= 1 1A B AB∥ 1 1A B AB=
1A M DN∥ 1A M DN=
1A DNM 1A D MN∥
1A D ⊂ 1 1ACC A MN ⊄ 1 1ACC A
MN∥ 1 1ACC A
6
1DB 1 1D B 1 1AC O EO
1 1D O OB=
1D E ED= 1EO DB∥
1SD BB∥ 1SD BB= 1SDB B
1SB DB∥ SB EO∥
SB ⊄ 1 1EAC EO ⊂ 1 1EAC SB∥ 1 1EAC
1111 DCBA 1 1 1 1AC B D⊥
1DD ⊥ 1111 DCBA 1 1AC ⊂ 1111 DCBA 1 1 1AC SD⊥
1 1 1 1SD D B D= 1 1AC ⊥ 1 1SD B B
EF ⊂ 1 1SD B B 1 1AC EF⊥
S 1 1EAC d
1 1 1 1A SEC S EA CV V− −= 1 1 1 1 2 33 2 2 2 23 2 3 2 2 d⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ S 1 1EAC 6
3
3【解析】（1）证明：取 的中点 ，连结 ， ，
在 中，因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 且 ，
又 为 的点， ，所以 且 ，
即 且 ，
故四边形 为平行四边形，所以 ．
又 平面 内， 在平面 外，所以 平面 ．
（2）设 为 的中点，
因棱柱底面是正三角形，所以有 ，且 ，
因为正三棱柱 ，
所以 平面 ， 在平面 内，所以 ，
因为 ， ， 在平面 内，
所以 平面 ，
于是 ．
20．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：由题意知， 与 都是边长为 的等边三角形，取 中点 ，
连接 ， ，则 ， ，
又∵平面 平面 ， 平面 ，作 平面 ，
那么 ，根据题意，点 落在 上，
∵ 和平面 所成角为 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，∴ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）由已知， ， ， 两两互相垂直，故以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立如
图所示的空间直角坐标系 ，
得 ， ， ，
∴ ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
∵ ，∴ ，令 ，∴取 ，
又∵平面 的一个法向量 ，∴ ，
又由图知，所求二面角的平面角为锐角，∴二面角 的余弦值为 ．
21．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ，
以 为坐标原点， ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
AC M EM FM
ABC△ E M AB AC
EM BC∥ 1
2EM BC=
F 1 1B C 1 1B C BC∥ 1B F BC∥ 1
1
2B F BC=
1EM B F∥ 1EM B F=
1EMFB 1B E FM∥
MF ACF 1B E ACF 1B E∥ ACF
O BC
3AO = AO BC⊥
1 1 1ABC A B C−
1BB ⊥ ABC AO ABC 1BB AO⊥
1BB BC B= 1BB BC 1 1BCC B
AO ⊥ 1 1BCC B
1 1 1
1 1 1 32 33 3 2 3B ACF A B CF B CFV V S AO− −= = × × = × × × =△
13
13
ABC△ ACD△ 2 AC O
BO DO BO AC⊥ DO AC⊥
ACD ⊥ ABC DO ⊥ ABC EF ⊥ ABC
EF DO∥ F BO
BE ABC 60° 60EBF∠ = °
2BE = 3EF DO= =
DEFO DE OF∥ DE ⊄ ABC OF ⊂ ABC
DE∥ ABC
OA OB OD OA OB OD x y z
O xyz−
(0, 3,0)B ( 1,0,0)C − (0, 3 1, 3)E −
( 1, 3,0)BC = − − (0, 1, 3)BE = −
BCE 2 , ,( )x y z=n
2
2
0
0
BC
BE
⋅ = ⋅ =
n
n
3 0
3 0
x y
y z
− − =
− + =
1z = 2 ( 3, 3,1)= −n
ABC 1 (0,0,1)=n 1 2
1 2
1 2
13cos< , | 13|| |
⋅= => n nn n n n
E BC A− − 13
13
15
10
1 1B C D DF 4AB =
F FA FB FD x y z
1(0,2,4)B (0,0,0)F (2 3,0,0)A (0, 2,1)E −
1 (0, 2, 4)B F = − − (2 3,0,0)FA = (0, 2,1)FE = −
AEF 1 1 1( , , )x y z=m∵ ， ，∴ ，
得 ，令 ，则 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴直线 平面 ．
（2） ， ，
设平面 的法向量为 ，
∵ ， ，∴ ，
令 ，则 ， ，∴ ，
设二面角 的平面角为 ，
∴ ，
由图示可知二面角 是锐角，
所以二面角 的余弦值为 ．
22．【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【解析】依题意，以点 为原点建立空间直角坐标系（如图），
可得 ， ， ， ，
由点 为棱 的中点，得 ，
（1）向量 ， ，故 ，∴ ．
（2）向量 ， ，
设 为平面 的法向量，则 ，即 ，
不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量，
于是有 ，
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
（3） ， ， ，
由点 在棱 上，故 ，
由 ，得 ，解得 ，即 ，
设 为平面 的法向量，则 ，即 ，
不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量，
取平面 的法向量 ，则 ，
易知，二面角 是锐角，∴其余弦值为 ．
0FA⋅ =m 0FE⋅ =m 1
1 1
2 3 0
2 0
x
y z
=− + =
1 0x = 1 2y = 1 2z = (0,1,2)=m
1 2B F = − m 1B F∥m 1B F∥m
1B F ⊥ AEF
( 2 3, 2,1)AE = − − (0, 4, 3)BE = − −
1B AE 2 2 2( , , )x y z=n
0AE⋅ =n 0BE⋅ =n 2 2 2
2 2
2 3 2 0
4 3 0
x y z
y z
− − + =− − =
2 5x = −
2 3 3y = 2 4 3z = − ( 5,3 3, 4 3)= − −n
1B AE F− − θ
2 2 2 2 2
1 3 3+2 ( 4 3) 15cos , | | | | 101 2 ( 5) (3 3) +( 4 3)
⋅ × × −< >= = = −⋅ + × − + −
m nm n m n
1B AE F− −
1B AE F− − 15
10
3
3
3 10
10
E
(1,0,0)B (2,2,0)C (0,2,0)D (0,0,2)P
E PC (1,1,1)E
(0,1,1)BE = (2,0,0)DC = 0BE DC⋅ = BE CD⊥
( 1,2,0)BD = − (1,0, 2)PB = −
( , , )x y z=n PBD
0
0
BD
PB
⋅ = ⋅ =
n
n
2 0
2 0
x y
x z
− + =
− =
1z = (2,1,1)=n PBD
2 3cos , 3| | | | 6 2
BEBE
BE
×< >= = =
× ×
nn
n
BE PBD 3
3
( 2, 2,2)CP = − − (2,2,0)AC = (1,0,0)AB =
F PC (1 2 ,2 2 ,2 )BF BC CF BC lCP l l l= + = + = − −
BF AC⊥ +22(1 2 ) (2 2 =0)l l− − 3
4l = 1 1 3( , , )2 2 2BF = −
1 ( , , )x y z=n ABF 1
1
0
0
AB
BF
⋅ = ⋅ =
n
n
0
1 1 3 02 2 2
x
x y z
=− + + =
1z = 1 (0, 3,1)= −n ABF
PAB 2 (0,1,0)=n 1 2
1 2
1 2
3 3 10cos , | | | | 1010
⋅ −< >= = = −⋅
n nn n n n
F AB P− − 3 10
10
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