2021届高三数学一轮复习第八单元训练卷不等式（理科） A卷（详解）

2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（A） 第 8 单元 不等式 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．在 上定义运算 ，则满足 的实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 3．若关于 的不等式 的解集中只有一个整数，且该整数为 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．若关于 的不等式 的解集为实数集 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．若 ，则（ ） A． B． C． D． 6．在 上定义运算： ，若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．下列命题中，真命题的是（ ） A． ， B． ， C． （ ， ） D． ， 8．若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．设变量 ， 满足约束条件 ，若目标函数 （ ， ）的最小 值为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．若关于 的不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．若 ，则下列不等式：① ；② ；③ ；④ ， 其中正确的不等式的个数有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 12．已知 的三边长分别为 ， ， ，有以下四个命题： （1）以 ， ， 为边长的三角形一定存在； （2）以 ， ， 为边长的三角形一定存在； （3）以 ， ， 为边长的三角形一定存在； （4）以 ， ， 为边长的三角形一定存在． 其中正确命题的个数为（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．不等式 的解集是 ． R : 2a b ab a b= + +  ( 2) 0x x − 2 2a b> 2 2a b− −> ln( ) 0a b− > 1a be − > R a b ad bcc d = − 1 2 11 x a a x − − ≥+ x a 1 2 − 3 2 − 1 3 3 2 0x∃ ∈R 0 0xe ≤ x∀ ∈R 22x x> 1sin 2sinx x + ≥ πx k≠ k ∈Z x∀ ∈R 2 1 0x x− + > 1t > − 2 1 2 5 t at t + ≤+ + a 1( , ]4 −∞ (0, )+∞ 1[ , )4 +∞ [0, )+∞ x y 2 3 0 2 4 0 1 x y x y y − − ≥  − − ≤  ≥ z ax by= + 0a > 0b > 1 1 1 a b + 7 2 6+ 7 2 2+ 3 2 6+ 3 2 2+ x 2 2 0x ax− + < [1,2] a ( ,2 2)−∞ ( ,1)−∞ (1, )+∞ (2 2, )+∞ 0b a< < a b> a b ab+ < 2b a a b + > 2 2a a bb < − 1 2 3 4 ABC△ a b c a b c 2a 2b 2c 3a 3b 3c a b c− + b c a− + c a b− + 1 2 3 4 2 2 1 0x x− + − 0b > (1,2) 2a b+ N M K 40 15 8 x 0ax b− < (3, )+∞ x 02 ax b x + ≥− 0a > 0b > 1 1( )( ) 4a ba b + + ≥ 2( ) 3 (6 ) 12f x x a a x= − + − + 3a = ( ) 0f x > ( )f x b> (0,3) a b 2 2 4 1 13 7 2 x x x x − + ≤− +20．（12 分）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品 桶需耗 原料 千克， 原料 千 克；生产乙产品 桶需耗 原料 千克， 原料 千克，每桶甲产品的利润是 元，每桶乙产品的 利润是 元，公司在要求每天消耗 ， 原料都不超过 千克的条件下，生产产品 、产品 的利润之和的最大值为多少？ 21．（12 分）已知 ， ， ． （1）求 的最小值； （2）证明： ． 1 A 2 B 3 1 A 2 B 1 300 400 A B 12 A B 0a > 0b > 3a b+ = 1 1 2a b ++ 9 2 a b b a ab + ≥22．（12 分）已知函数 （ 为常数）． （1）求不等式 的解集； （2）当 时，若对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 2( ) ( 2) 2f x ax a x= − + + a ( ) 0f x > 0a > [3,4]x∈ ( ) 0f x > a高三▪数学卷（A） 第 8 单元 不等式 答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】根据定义 ，解得 ， 所以所求的实数 的取值范围为 ． 2．【答案】A 【解析】∵ ，∴ ，∴ ， ∴当 时， 取最大值为 ，故选 A． 3．【答案】A 【解析】令 ，由题意可得 ，解得 ． 4．【答案】A 【解析】当 时，不等式 恒成立，满足题意； 当 时，则 ，解得 ， 综上，实数 的取值范围是 ． 5．【答案】D 【解析】 ， 同为负数时选项 A 不成立； ， 同为正号时选项 B 不成立； 时选项 C 不成立； ， ，所以选项 D 正确． 6．【答案】D 【解析】原不等式等价于 ， 即 对于任意实数 恒成立， 又 ，所以 ，解得 ，故选 D． 7．【答案】D 【解析】令 ，因为 ，且开口向上， 故 恒成立，故选 D． 8．【答案】C 【解析】∵ ，∴ ， 当且仅当 ，即 时等号成立，∴ ． 9．【答案】D 【解析】如图，当 （ ， ）过直线 和直线 的交点 时 有最小值 ， ∴ ，∴ ， 经验证能取到等号，故选 D． 10．【答案】D 【解析】关于 的不等式 在区间 上有解， ∴ 在 上有解，即 在 上有解， 设函数 ， ，则 ， 当且仅当 时取等号，∴ ． 11．【答案】C 【解析】对于①，因为 ，∴ ，所以①是错误的； 对于②，因为 ，所以 ， ，所以 ，所以②是正确的； 对于③，因为 ，所以 ， ，∴ ， 2( 2) ( 2) 2 ( 2) 2 0x x x x x x x x− = − + + − = + −  52 2a≤ < 0a = 1 0≥ 0a ≠ 2 0 4 0 a a a >  − ≤ 0 4a< ≤ a [0,4] a b a b 1a b− ≤ 0a b− > 1a be − > ( 1) ( 2)( 1) 1x x a a− − − + ≥ 2 1 ( 1)( 2)x x a a− − ≥ + − x 2 21 5 51 ( )2 4 4x x x− − = − − ≥ − 25 24 a a− ≥ − − 1 3 2 2a− ≤ ≤ 2( ) 1f x x x= − + 1 4 0Δ = − < ( ) 0f x > 1t > − 2 1 1 1 1 42 5 441 2 ( 1)1 1 t t t t tt t + = ≤ =+ + + + + ×+ + 41 1t t + = + 1t = 1 4a ≥ z ax by= + 0a > 0b > 1y = 2 3 0x y− − = (2,1) 1 2 1a b+ = 1 1 1 1 2(2 ) ( ) 3 a ba ba b a b b a + = + ⋅ + = + + 23 2 3 2 2a b b a ≥ + ⋅ = + x 2 2 0x ax− + < [1,2] 2 2ax x> + [1,2]x∈ 2a x x > + [1,2]x∈ 2( )f x x x = + [1,2]x∈ 2( ) 2 2 2f x x x ≥ ⋅ = 2x = 2 2a > 0b a< < b a> 0b a< < 0a b+ < 0ab > a b ab+ < 0b a< < 0b a > 0a b > 2b a a b + ≥当且仅当 时取等号，但是 ，所以不能取到等号，所以 ， 所以③是正确的； 对于④， ，∴ ， 所以④是正确的． 12．【答案】B 【解析】由题意不妨设 ，则 ． 对于（1）， ， ∴ ，所以以 ， ， 为边长的三角形一定存在，（1）正确； 对于（2），令 ， ，此时 ， ， 可以构成三角形，而 ， ， 则 ， ， 不能构成三角形，（2）错误； 对于（3），取 ， ，此时 ， ， 可以构成三角形，而 ， ， ∴ ， ， 不能构成三角形，（3）错误； 对于（4），因为 ， ，且 ，所以 ， 所以以 ， ， 为边长的三角形一定存在，（4）正确， 综上所述，正确命题的个数为 个． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】 【解析】不等式化为 ，即 ，则 ， ∴解集为 ． 14．【答案】 【解析】∵ 且 ， ， ∴ ，经验证能取到等号． 15．【答案】 【解析】设要同时开放 个窗口才能满足要求，则 ， 由①②得 ，代入③，得 ，解得 ， 故至少同时开放 个窗口才能满足要求． 16．【答案】 【解析】因为关于 的不等式 的解集是 ， 即 得解集是 ，所以 且 ， 关于 的不等式 ，即 ，即 ， 所以关于 的不等式 的解集是 ． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．【答案】证明见解析． 【解析】∵ ， ，∴ ， ，∴ ． 18．【答案】（1） ；（2） ， ． 【解析】（1）根据题意，当 时， ， ，即 ，解得 ， 即不等式的解集为 ． （2）若不等式 的解集为 ，即 的解集为 ， 则方程 的两根为 或 ， 则有 ，解得 ， ， 故 ， ． a b= b a< 2b a a b + > 2 2 2 22 ( )2 0a a ab b a ba bb b b − + −− + = = < 2 2a a bb < − a b c≥ ≥ b c a+ > 2 2( ) ( ) 2 0b c a b c bc a+ − = + + − > b c a+ > a b c 5a = 3b c= = a b c 2 32a = 2 2 8b c= = 2a 2b 2c 3a = 2b c= = a b c 3 27a = 3 3 8b c= = 3a 3b 3c a b c a c b− + = + − ,b c a a b c c a b a b c− + = + − − + = + − a b c a c b+ − ≥ + − b c a c a b a b c− + + − + > − + a b c− + b c a− + c a b− + 2 { 1}x x x∈ ≠R且 2 2 1 0x x− + > 2( 1) 0x − > 1x ≠ { 1}x x x∈ ≠R且 8 1 2 1a b + = 0a > 0b > 1 2 4 42 (2 )( ) 4 4 2 8b a b aa b a b a b a b a b + = + + = + + ≥ + ⋅ = 4 x 40 40 , 15 2 15 , 8 8 , N M K N M K N M Kx + =  + = ×  + ≤ ① ② ③ 2.5 60 K M N M =  = 60 8 8 2.5M M Mx+ ≤ × 3.4x ≥ 4 [ 3,2)− x 0ax b− < (3, )+∞ ax b< (3, )+∞ 0a < 3b a = x 02 ax b x + ≥− 3 02 2 bx xa x x + += ≤− − 3 2x− ≤ < x 02 ax b x + ≥− [ 3,2)− 0a > 0b > 1 2a a + ≥ 1 2b b + ≥ 1 1( )( ) 4a ba b + + ≥ ( 1,4)− 3a = 12b = 3a = 2( ) 3 9 12f x x x= − + + ( ) 0f x > 23 9 12 0x x− + + > 1 4x− < < ( 1,4)− ( )f x b> (0,3) 23 (6 ) 12x a a x b− + − + > (0,3) 23 (6 ) 12 0x a a x b− + − + − = 0 3 12 03 (6 ) 33 b a a − = − − = 3a = 12b = 3a = 12b =19．【答案】 ． 【解析】原不等式等价于 ， 则 ，则 ， 画数轴如图： ∴不等式的解集为 ． 20．【答案】 元． 【解析】设分别生产甲乙两种产品为 桶， 桶，利润为 元， 则根据题意可得， ， ， 根据不等式组表示的平面区域，作直线 ， 然后把直线在可行域内平移，当直线经过点 时， 取最大值为 元． 21．【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1） ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， ∴ 的最小值为 ． （2）要证 ，由 ， ，即证 ， ∵ ，∴ ，即 ， 当且仅当 时，等号成立． 22．【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】（1）不等式 可化为 ，即 ． ① 时，不等式变为 ，解得 ； ② 时，不等式变为 ， 若 ，则 ，解得 或 ； 若 ，则 ，解得 ； 若 ，则 ，解得 或 ， ③ 时，不等式变为 ，解得 ， 综上所述， 时，不等式 的解集为 ； 时，不等式 的解集为 ； 时，不等式 的解集为 ； 时，不等式 的解集为 ； 时，不等式 的解集为 ． （2）由（1）知：① 时， ， ， 需 ，∴ ，即 ，解得 ； ② 时， 符合条件； ③ 时， 符合条件， 综上所述，符合条件的 的取值范围是 ． 1 1( , ) [ ,1] (2, )3 2 −∞ +∞  2 2 2 3 1 03 7 2 x x x x − + ≥− + (2 1)( 1) 0(3 1)( 2) x x x x − − ≥− − (2 1)( 1)(3 1)( 2) 0 (3 1)( 2) 0 x x x x x x − − − − ≥  − − ≠ 1 1( , ) [ ,1] (2, )3 2 −∞ +∞  2400 x y z 2 2 12 3 12 , 0, , x y x y x y x y + ≤  + ≤  ≥ ∈ N 300 400z x y= + :300 400 0L x y+ = (0,6) z 2400 4 5 1 1 1 1 1 1 2 4( )[( 2) ] [2 ]2 5 2 5 2 5 b aa ba b a b a b ++ = + + + = + + ≥+ + + 3 2 a b b a + =  = + 1 2a = 5 2b = 1 1 2a b ++ 4 5 9 2 a b b a ab + ≥ 0a > 0b > 2 2 9 2a b+ ≥ 2 2 2 ( ) 2 a ba b ++ ≥ 2 2 2 3 9 2 2a b+ ≥ = 9 2 a b b a ab + ≥ 3 2a b= = 2 3a > ( ) 0f x > 2 ( 2) 2 0ax a x− + + > ( 2)( 1) 0ax x− − > 0a = 2( 1) 0x− − > 1x < 0a > 2( )( 1) 0x xa − − > 2a > 2 1a < 1x > 2x a < 2a = 2 1a = 1x ≠ 0 2a< < 2 1a > 2x a > 1x < 0a < 2( )( 1) 0x xa − − < 2 1xa < < 0a = ( ) 0f x > ( ,1)−∞ 0 2a< < ( ) 0f x > 2( ,1) ( , )a −∞ +∞ 2a = ( ) 0f x > ( ,1) (1, )−∞ +∞ 2a > ( ) 0f x > 2( , ) (1, )a −∞ +∞ 0a < ( ) 0f x > 2( ,1)a 0 2a< < ( ) 0f x > 2( ,1) ( , )x a ∈ −∞ +∞ 2[3,4] ( ,1) ( , )a ⊂ −∞ +∞ 2 3a < 2 3a< 22 3a> > 2a = ( ,1) (1, )x∈ −∞ +∞ 2a > 2( , ) (1, )x a ∈ −∞ +∞ a 2 3a >