2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（B）
第 8 单元 不等式
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知 、 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．“ ”是“ ， 成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若直线 被圆 截得的弦长为 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．7
4．设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知正项等比数列 满足 ，若存在两项 ， ，使得 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
6．对于实数 a，b，m，下列说法：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若
， ，则 ；④若 ，且 ，则 的最小值为
．其中是真命题的为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
7．设 p：实数 满足 ，q：实数 满足 ，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知实数满足约束条件 ，目标函数 （ 且 ）的最大值为 2，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．若 ，满足 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 的值域为 ，当正数 满足 时，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．实数 ， ， 满足 且 ，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知 ，且 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
a b∈R a b>
1 1
a b
< sin sina b> 1 1
3 3
a b
2a = 0x∀ > 1x ax
+ ≥
4 4 0( 0, 0)ax by a b− − = > > 2 2 4 2 4 0x y x y+ − + − = 6 4b a
ab
+
3 2+ 3 2 2+
0a > 0b > 1a b+ ≤ 1 1 4a b
+ ≥
{ }na 7 6 52a a a= + ma na 2
164m na a a= 1 9
m n
+
3
2
8
3
11
4
a b> 2 2am bm> a b> | | | |a a b b>
0b a> > 0m > a m a
b m b
+ >+ 0a b> > | ln | | ln |a b= 2a b+
2 2
x ( ) ( )2 1 0 0 5x a x a a− + + ≤ < < x ln 2x <
4 0
2 0
3 4 0
x y
x y
x y
+ − ≥
− + ≥
− − ≤
z ax by= + 0a > 0b >
1 2
a b
+
13 302
+ 7 62
+ 3 2 2+ 5 6 2+
,a b∈R 0ab > 2 2 3a b+ =
3 3a b
b a
+
3
2 3 3 2 3
2
2log 2( )17y x x= − + [ , )m +∞ ,a b 2 1
3 2 ma b a b
+ =+ +
7 4a b+
9
4 1 5 2 2
4
+
2
a b c 2 2 1a a c b= + − − 2 1 0a b+ + =
b a c> ≥ c a b≥ > b c a> ≥ c b a≥ >
( ), 0,a b∈ +∞ 2 1a b+ = 2 22 4s ab a b= − −
2 1
2
−
2 1− 2 1+ 2 1
2
+13．若 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为______．
14．已知 ， ，若不等式 恒成立，则 的最大值为______．
15．若 且 ，则 的最小值为________．
16．已知 为正实数，则 的最小值为______．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．（10 分）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ．
（1）求 和 的值；
（2）求不等式 的解集．
18．（12 分）已知 ， ， 均为正实数，求证：
（1） ；
（2）若 ，则 ．
19．（12 分）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）若对任意 ， 恒成立，试求实数 a 的取值范围．
x y
1
1 0
1
x y
x
x y
+ ≤
+ ≥
− ≤
3 2x y+
0a > 0b > 3 1
3
m
a b a b
+ ≥ + m
1b a> > 3log 6log 11a bb a+ = 3 2
1a b
+ −
,x y 2 9
2
y x
x x y
+ +
x 2 0ax x b+ + > ( ) ( ), 2 1,−∞ − +∞
a b
( )2 0ax c b x bc− + + <
a b c
( )2( ) 4a b ab c abc+ + ≥
3a b c+ + = 1 1 1 3 2a b c+ + + + + ≤
( ) [ )2 2 , 1,x x af x xx
+ += ∈ +∞
1
2a = ( )f x
[ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x >20．（12 分）已知 为正数，且满足 ．证明：
（1） ；
（2） ．
21．（12 分）已知 ．
（1）将 的解析式写成分段函数的形式，并求函数 的值域；
（2）若 ，对任意 ， 恒成立，求 的取值范围．
, ,a b c 1a b c+ + =
1 1 1 9a b c
+ + ≥
8
27ac bc ab abc+ + − ≤
( ) | 2 1| | 1|f x x x= + − −
( )f x ( )f x
1a b+ = , (0, )a b∈ +∞ 4 1 9 ( )f xa b
+ ≥ x22．（12 分）已知函数 ， ．
（1）若 ， ，求 的解集；
（2）若 ，且 的最小值为 2，求 的最小值．
( ) 2f x x a x b= − + + ,a b∈R
1a = 1
2b = − ( ) 2f x ≤
0ab > ( )f x 2 1
a b
+高三▪数学卷（B）
第 8 单元 不等式 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】对于 A 选项，取 ， ，则 成立，但 ，A 选项错误；
对于 B 选项，取 ， ，则 成立，
但 ，即 ，B 选项错误；
对于 C 选项，由于指数函数 在 上单调递减，
若 ，则 ，C 选项正确；
对于 D 选项，取 ， ，则 ，但 ，D 选项错误，
故选 C．
2．【答案】A
【解析】 时， ， “ ， ”等价于 ，
而 可推出 ， 不能推出 ，
所以“ ”是“ ， ”成立的充分不必要条件，故选 A．
3．【答案】B
【解析】由题得圆的方程可以化为 ，
所以圆心为 ，半径为 ，
因为直线 被圆 截得的弦长为 ，
所以直线经过圆心，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时取“=”，
所以 的最小值为 ，故选 B．
4．【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 （当且仅当 时取等号），
所以 （当且仅当 时取等号）．
所以“ ”是“ ”的充分条件，
反之，当 ， 时， ，但是 ，
所以“ ”是“ ”的不必要条件．
故选 A．
5．【答案】D
【解析】设正项等比数列 的公比为 q，且 ，
由 ，得 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），
因为 ，所以 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，此时 ，解得 ，
所以 的最小值为 2，故选 D．
6．【答案】B
【解析】对于①，当 时， ，所以①是假命题；
对于②，当 时， 成立；
1a = 1b = − a b> 1 1
a b
>
πa = 0b = a b>
sin π sin 0= sin sina b=
1
3
x
y = R
a b> 1 1
3 3
a b 2 2a b<
0x∀ >
1 2x x
+ ≥ ∴ 0x∀ > 1x ax
+ ≥ 2a ≤
2a = 2a ≤ 2a ≤ 2a =
2a = 0x∀ > 1x ax
+ ≥
2 2( 2) ( 1) 9x y− + + =
(2, 1)− 3r =
4 4 0( 0, 0)ax by a b− − = > > 2 2 4 2 4 0x y x y+ − + − = 6
2 4 4 0a b+ − = 12
a b+ =
4 4 1 4 4( )( ) 3 3 2 3 2 22 2 2
b a a b a b abab a b a b a b
+ = + + = + + ≥ + ⋅ = +
4 2 2, 2 1a b= − = −
4b a
ab
+
3 2 2+
0a > 0b > 2 1ab a b≤ + ≤ 10 4ab< ≤
1 4ab
≥ 1
2a b= =
1 1 12 2 4 4a b ab
+ ≥ ≥ = 1
2a b= =
1a b+ ≤ 1 1 4a b
+ ≥
1
3a = 1b = 1 1 4a b
+ ≥ 1a b+ >
1a b+ ≤ 1 1 4a b
+ ≥
{ }na 0q >
7 6 52a a a= + 6
6 6
2aa q a q
= +
2 2 0q q− − = 2q = 1q = −
2
164m na a a= ( )( )1 1 2
1 1 164m na q a q a− − =
2 64m nq + − = 8m n+ =
1 9 1 1 9 1 9 1 9( ) 10 10 2 28 8 8
n m n mm nm n m n m n m n
+ = + + = + + ≥ + ⋅ =
9n m
m n
=
9
8
n m
m n
m n
=
+ =
2
6
m
n
=
=
1 9
m n
+
0m = 2 2 0am bm= =
0a > | | | |a a b b>当 时， 等价于 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 成立；
当 时， ，所以 成立，所以②是真命题；
对于③，因为 ，所以 ，
所以 ，所以③是真命题；
对于④，因为 ，且 ，
所以 ，且 ，所以 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时成立，
，不合题意，所以 的最小值不是 ，
又由 ，因为 ，所以 ，
所以 是 a 的增函数， 在 时没有最小值．所以④是假命题，
故选 B．
7．【答案】A
【解析】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力．
，
当 时， ；
当 时， ；
当 ， ，
，
因为 ，所以 的充分不必要条件，故选 A．
8．【答案】A
【解析】由题意，画出约束条件 所表示的平面区域，如图所示，
目标函数 （ 且 ），可化为直线 ，
当直线 过点 点时，此时在 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，
又由 ，解得 ，所以目标函数的最大值为 ，
则 ，
当且仅当 时取“=”，故选A．
9．【答案】C
【解析】因为 ，
则 ，
又由 ，当且仅当 时等号成立，即 ，所以 ，
设 ，可得函数 在 上单调递减，
所以 ，即当 时， ，
所以 的最小值为 ，
故选 C．
10．【答案】A
【解析】 ，
当 时，函数有最小值 ，故 ；
即 ，
0a < a a b b> 2 2a b- >- 2 2a b<
0b a< < 2 2a b< | | | |a a b b>
0a = 0b < a a b b>
0, 0b a m> > > ( ) ( ) ( ) 0( ) ( )
a m a a m b b m a b a m
b m b b m b b m b
+ + − + −− = = >+ + +
a m a
b m b
+ >+
0a b> > | ln | | ln |a b=
1 0> > >a b ln lna b= − 1ab =
12 2 2 2a b a a
+ = + ≥ 12a a
= 2
2a =
2 12
< 2a b+ 2 2
2
1 12 2a a a
′ + = −
1a >
2
1 12 2 0a a a
′ + = − >
12y a a
= + 12a a
+ 1a >
( ){ } ( )( ){ }2 1 0 1 0A x x a x a x x x a= − + + ≤ = − − ≤
0 1a< < [ ,1]A a=
1a = { }1A =
1 5a< < [1, ]A a=
{ } { }2ln 2 0B x x x x e= < = < <
A B p q是
4 0
2 0
3 4 0
x y
x y
x y
+ − ≥
− + ≥
− − ≤
z ax by= + 0a > 0b > a zy xb b
= − +
a zy xb b
= − + B y
2 0
3 4 0
x y
x y
− + =
− − = (3,5)B 3 5 2z a b= + =
1 2 1 1 2 1 5 6 1(3 5 ) 13 (13 2 30)2 2 2
b aa ba b a b a b
+ = + + = + + ≥ +
5 6b a
a b
=
2 2 3a b+ =
3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 9 2 9= 2a b a b a b a b a b abb a ab ab ab ab
+ + − −+ = = = −
2 2 2a b ab+ ≥ a b= 2 3ab ≤ 30 2ab< ≤
( ) 9 32 , (0, ]2f x x xx
= − ∈ ( )f x 3(0, ]2
( ) 3( ) 32f x f≥ = 30 2ab< ≤ 9 2 3abab
− ≥
3 3a b
b a
+ 3
( )22
2 2( )log 2 17 log 1 16( )y x x x= − +− + =
1x = 4 4m =
2 1 43 2a b a b
+ =+ +
( ) ( )17 4 2 3 24
2 1
3 2a b a b a ab b a b
+ = + + +
+ + + ，
当 ，即 ， 时等号成立，
故选 A．
11．【答案】D
【解析】由 可得 ，所以 ，
由 可得 ，
， ，
综上 ，故选 D．
12．【答案】A
【解析】∵ 且 ，
∴ ，
当且仅当 时取等号，故 的最大值是 ，故选 A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】3
【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图所示：
目标函数 ，即 与直线 平行，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点 时，取得最大值，故 ，
故答案为 ．
14．【答案】12
【解析】因为 ，且 ， ，
所以当且仅当 ，即 时取等号，
因为不等式 等价于 ，所以 的最大值为 ，
故答案为 ．
15．【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
即 ，
因此 ，
当且仅当 时取等号．
16．【答案】
【解析】令 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故答案为 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】（1） ， ；（2）答案见解析．
【解析】（1）由题意知 和 是方程 的两个根，
( ) ( )21 2 4 5 954 3 2 4 4
2 2 3a b a b
a b a b
+= + + ≥ = + +
+ +
( ) ( )2
3 2
2 2 3
a b
a b
b
b a
a
= +
+ +
+ 3
20a = 3
10b =
2 2 1a a c b= + − − 2( 1) 0a c b− = − ≥ c b≥
2 1 0a b+ + = 2 1a b= − −
2 21 31 ( ) 02 4b a b b b∴ − = + + = + + > b a∴ >
c b a≥ >
( ), 0,a b∈ +∞ 2 1a b+ =
12 2a b= = s 2 1
2
−
3 2z x y= + 3
2 2
zy x= − + 3
2y x= −
( )1,0A max 3z =
3
( )3 1 9 93 6 6 2 12b a b aa ba b a b a b
+ + = + + ≥ + ⋅ = 0a > 0b >
9b a
a b
= 3a b=
3 1
3
m
a b a b
+ ≥ +
( )3 1 3a b ma b
+ + ≥ m 12
12
2 2 1+
1b a> > log 1a b >
3log 6log 11a bb a+ = 63log 11loga
a
b b
+ = 2log 3 log ( )3a ab b= =或 舍
3b a=
3 2 2 2 21 1 2 ( 1) 1 2 2 11 1 1 1a b b bb b b b
+ = + = − + + ≥ − ⋅ + = +− − − −
2 1b = +
6 2 4−
0y tx
= >
( ) ( )2 9 9 9 92 2 2 4 2 2 2 4 6 2 42 2 2 2
y x t t tx x y t t t
+ = + = + + − ≥ + ⋅ − = −+ + + +
( ) 92 2 2t t
+ = +
3 2 22
y tx
= = −
6 2 4−
1a = 2b = −
2− 1 2 0ax x b+ + =
2
2 2 2 2 2 (2 ) 2 12 4 2 2 (2 ) 2 2 2 2
a b a bs ab a b ab a b
+ + − = − − = − + ≤ × − = 由根与系数的关系，得 ，解得 ．
（2）由 、 ，不等式可化为 ，即 ，
则该不等式对应方程的实数根为 和 ，
所以，①当 时，不等式为 ，它的解集为 ；
②当 时，不等式的解集为 ；
②当 时，不等式的解集为 ．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）要证 ，
可证 ，需证 ，
即证 ，当且仅当 时，取等号，
由已知，上式显然成立，
故不等式 成立．
（2）因为 均为正实数，
由不等式的性质知 ，当且仅当 时，取等号，
当且仅当 时，取等号，
当且仅当 时，取等号，
以上三式相加，得 ，
所以 ，当且仅当 时，取等号．
19．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）当 时， ，
∵ 在区间 上为增函数，
∴由对勾函数的性质知函数 在区间 上的最小值为 ．
（2）在区间 上， 恒成立 恒成立．
设 ， ，
因为 在 上递增，
∴当 时， ，
于是，当且仅当 时，函数 恒成立，
故 ．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1） ，
故
，
当 时等号成立．
（2）易知 ， ， ，
，
当 时等号成立．
21．【答案】（1） ， 值域为 ；（2） ．
【解析】（1）由已知得 ，画出图像如下：
12 1
2 1
a
b
a
− + = −
− ⋅ =
1
2
a
b
=
= −
1a = 2b = − ( )2 2 2 0x c x c− − − < ( )( )2 0x x c+ − <
2− c
2c = − ( )22 0x + < ∅
2c > − ( )2,c−
2c < − ( ), 2c −
( )( )2 4a b ab c abc+ + ≥
2 2 2 2 4 0a b ac ab bc abc+ + + − ≥ ( ) ( )2 2 2 22 2 0b a c ac a c b bc+ − + + − ≥
( ) ( )2 2 0b a c a c b− + − ≥ a b c= =
( )( )2 4a b ab c abc+ + ≥
, ,a b c
1 2 31 2 2 2
a aa
+ + ++ ≤ ≤ = 1 2a + =
1 2 31 2 2 2
b bb
+ + ++ ≤ ≤ = 1 2b + =
1 2 31 2 2 2
c cc
+ + ++ ≤ ≤ = 1 2c + =
( )2 1 1 1 62
a b c da b c
+ + ++ + + + + ≤ =
1 1 1 3 2a b c+ + + + + ≤ 1a b c= = =
7
2 3a > −
1
2a = ( ) 1 22f x x x
= + +
( )f x [ )1,+∞
( )f x [ )1,+∞ ( ) 71 2f =
[ )1,+∞ ( ) 2 2 0x x af x x
+ += > 2 2 0x x a⇔ + + >
2 2y x x a= + + [ )1,x∈ +∞
( )22 2 1 1y x x a x a= + + = + + − [ )1,+∞
1x = min 3y a= +
min 3 0y a= + > ( ) 0f x >
3a > −
1a b c+ + =
1 31 1 a b c a b c a b c
a b c a b
b a c a c
c
b
a b a c b c
+ + + + + ++ + = + + = + + + + + +
3 2 2 2 9≥ + + + =
1
3a b c= = =
1 0a− > 1 0b− > 1 0c− >
( ) ( )( )( )1 1 1 1ac bc ab abc a b c ac bc ab abc a b c+ + − = − + + + + + − = − − −
31 1 1 8
3 27
a b c− + − + − ≤ =
1
3a b c= = =
2, 1
1( ) 3 , 12
12, 2
x x
f x x x
x x
+ ≥
= − <
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