2021 届单元训练卷▪高三▪文科数学卷（B）
第 8 单元 不等式
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．设 ， ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， ， ， ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．设 ， 且 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
5．若 ，则下列不等式：① ；② ：③ ；④ 中正确
的不等式有（ ）个．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
6．若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．定义对于函数 ，在使 成立的所有常数 中，我们把 的最大值叫做函数
的下确界，例如函数 的下确界是 ，则函数 的下确界是（ ）
A． B． C． D．
8．设 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．正实数 满足 ，则当 取得最小值时， 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于 的不等式 的解集为空集，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．不等式 的解集为 ．
14．设 ， ．若 是 与 的等比中项，则 的最小值为 ．
a b c∈R a b>
ac bc> 1 1
a b
< 2 2a b> 3a b3 >
a b c d ∈R
a b> c d> ac bd> a b> 2 2ac bc>
0a b> > ( ) 0a b c− > a b> a c b c− > −
,x y∈R 5 7 5 7x y y x- -+ £ +
1 1( ) 3( )3
x y£ 2 2x y£ 3 3x y£ 1 1
2 2
log logx y£
a b∈R 0ab ≠ 1ab > 1a b
>
0b a< < | | | |a b> a b ab+ < 2b a
a b
+ >
2
2a a bb
< −
1 2 3 4
1t > −
2
1
2 5
t at t
+ ≤+ + a
1( , ]4
−∞ (0, )+∞ 1[ , )4
+∞ [0, )+∞
( )f x ( )f x M≥ M M ( )f x
2( ) 4f x x x= + 4−
2 2( ) ( 0)| |
xg x xx
+= ≠
2− 2 2 2 3
2
−
yx,
≥≥
≥+−
≤−−
0,0
042
033
yx
yx
yx
yxz +=
8 7 6 5
zyx ,, 043 22 =−+− zyxyx z
xy 2x y z+ −
0 9
8 2 9
4
x 1 0( 1)x bx c aba
2 + + < > 1 ( 2 )
2( 1) 1
a b cT ab ab
+= +− −
3 2 2 3 4
3( )f x x= 2( ) (2 3)f a f a< + a
( 1,3)− ( , 1) (3, )−∞ − +∞
( 3,1)− ( 3,1)− ( , 3) (1, )−∞ − +∞
0x > 22 ln ln 0xae x a− + ≥ a
2
e
1
2 e
2
e
1
2e
( 1)( 2) 0x x− − >
0a > 0b > 3 3a 23 b 2 1
a b
+15．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值是__________．
16．若 ，满足 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．（10 分）解关于 的不等式 ．
18．（12 分）已知函数 ．
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 ， ，且 ，求 的最小值．
19．（12 分）已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）若 ，求证： ．
x y
3 0
2 6 0
0
x y
x y
y
ì - - ³ïïïï + - £íïï ³ïïî
y
x
[ , )x e∀ ∈ +∞ 32 ln 0
m
xx x me− ≥ m
x 2 2( 1) 4 0( )ax a x a− + + > ∈R
2( ) 2f x x ax b= + −
23b a= ( ) 0f x ≤
0a > 0b > 2( ) 1f b b b a= + + + a b+
( ) | 3|f x x= -
( ) 4 | 2 1|f x x³ - +
1 4 2( 0, 0)m nm n+ = > >
3| | ( )2m n x f x+ ³ + -20．（12 分）已知定义在 上的偶函数 和奇函数 满足 ．
（1）证明： ；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
21．（12 分）已知函数 ．
（1）用定义证明：函数 在 上单调递增；
（ 2 ） 设 关 于 的 方 程 的 两 根 为 ， ， 试 问 是 否 存 在 实 数 ， 使 得 不 等 式
对任意的 及任意的 恒成立?若存在，求出 的取
值范围；若不存在，说明理由．
R ( )f x ( )g x 1( ) ( ) 2xf x g x ++ =
2(2 ) [ ( )] 2f x g x= +
[1,2]x∈ (2 ) ( ) 1 0f x ag x+ + ≥ a
22 2 1( ) x xf x x
+ +=
( )f x 2[ , )2
+∞
x ( )f x x b= + 1x 2x t
2
1 22 4 | |m t m x x- × + ³ - [4,2 13]bÎ + 1[ ,2]2mÎ t22．（12 分）已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）对 及 ，不等式 恒成立，求实数 的
取值范围．
( ) | 2 |f x x= −
( ) (2 1) 6f x f x+ + ≥
1( 0, 0)a b a b+ = > > x∀ ∈R 4 1( ) ( )f x m f x a b
− − − ≤ + m答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】对于 A，由 ，但是 ，故 A 不正确；
对于 B，由 ，但是 ，故 B 不正确；
对于 C，由 ，但是 ，故 C 不正确；
对于 D，∵ ，∴ ，成立，故 D 正确．
2．【答案】D
【解析】当 ， 时，A 不成立；
当 时，B 不成立；
当 时，C 不成立；
由不等式的性质知 D 成立．
3．【答案】C
【解析】∵函数 为增函数，∴ ，
即 ，可得 ，∴A，B，D 错误，C 正确，故选 C．
4．【答案】D
【解析】若“ ”当 ， 时，不能得到“ ”，若“ ”，
例如当 ， 时，不能得到“ ”，
故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件．
5．【答案】C
【解析】对于①，因为 ，所以 ，所以该命题是错误的；
对于②，因为 ，所以 ， ，所以 ，所以该命题是正确的；
对于③，因为 ，所以 ， ，∴ ，当且仅当 时取等，但是 ，
所以不能取等，所以 ，所以该命题是正确的；
对于④ ，∴ ，所以该命题是正确的．
6．【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，∴ ．
7．【答案】B
【解析】∵ ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴由题意可知，函数 的下确界为 ．
8．【答案】D
【解析】作图可知当 经过 时 取最大值，即 ．
9．【答案】C
【解析】因为 ，两边同时除 ，得 ，
故 ，
由于 取最小值，所以取 ，
将 代入到 ，得到 ，
故 ，故 ，
所以当 时，有最大值 ．
10．【答案】D
【解析】∵关于 的不等式 的解集为空集，
3 2> 3 ( 1) 2 ( 1)× − < × −
1 2> − 11 2
> −
1 2− > − 2 2( 1) ( 2)− < −
a b> 3 3a b>
0c < 0b >
0c =
0c ≤
5 7x xy -= - 5 7 5 7x y y x- -+ £ +
5 7 5 7x x y y- -- £ - x y£
1ab > 2a = − 1b = − 1a b
> 1a b
>
1a = 1b = − 1ab >
1ab > 1a b
>
0b a< < | | | |b a>
0b a< < 0a b+ < 0ab > a b ab+ <
0b a< < 0b
a
> 0a
b
> 2b a
a b
+ ≥ a b= b a<
2b a
a b
+ >
2 2 2 22 ( )2 0a a ab b a ba bb b b
− + −− + = = <
2
2a a bb
< −
1t > −
2
1 1 1 1
42 5 441 2 ( 1)1 1
t
t t t tt t
+ = ≤ =+ + + + + ×+ +
41 1t t
+ = + 1t = 1
4a ≥
2 2 2( ) | | 2 2| | | |
xg x xx x
+= = + ≥ 2| | | |x x
= 2x = ±
( )g x 2 2
yxz += (2,3)B z max 2 3 5z = + =
2 23 4 0x xy y z− + − = xy 43x y z
y x xy
− + =
42 3 1z x y
xy y x
≥ ⋅ − =
z
xy 1z
xy
=
z xy= 2 23 4 0x xy y z− + − = 2 2 23 4 ( 2 ) 0x xy y xy x y− + − = − =
2x y= 2 22 4 2 2( 1) 2x y z y y y+ − = − = − − +
1y = 2
x 21 0( 1)x bx c aba
+ + < >∴ 且 ，∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∴ 的最小值为 ，故选 D．
11．【答案】A
【解析】∵ 是 上的增函数，∴不等式 等价于 ，
解得 ．
12．【答案】D
【解析】由 ，
得 ，
设 ， ，令 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】 或
【解析】由 ， 或 ，所以 或 ，
所以不等式的解集为 或 ．
14．【答案】
【解析】根据题意，若 是 与 的等比中项，则有 ，即 ，
则有 ，则 ，
即 的最小值为 ．
15．【答案】
【解析】由约束条件可作如图所示的可行域，两直线的交点 ，
则当过原点的直线过点 时，斜率 最大，即 的最大值为 ．
16．【答案】
【解析】（1） ，显然成立；
（2） 时，由 ，
由 在 为增 在 恒成立，
由 在 为增， ， ．
综上， ，故答案为 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】见解析．
【解析】原不等式可化为 ．
①当 时，不等式为 ，解得 ；
②当 时，由 ，解得 ， ，
1 0a
> 2 4 0cΔ b a
= − ≤
2
4
abc ≥
2
2 2( 2 )1 ( 2 ) 1 1 24
2( 1) 1 2( 1) 1 2( 1)
aba ba b c ab a bT ab ab ab ab ab
+ ×+ + += + ≥ + =− − − − −
1 ( 0)ab m m− = >
21 2( 1) ( 1) 2 2 42 2
m m mT m m
+ + + += = + + ≥
2
2
m
m
= 4m =
T 4
3( )f x x= R 2( ) (2 3)f a f a< + 2 2 3a a< +
1 3a− < <
22 ln ln 0xae x a− + ≥
2 22 ln 2 ln 2 ln ln ln ln ln 2x xx x x xae xe x x a a x xa a a a
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ = − ⇒ ≥ −
( ) ln 2f x x x= − 1( ) 2f x x
′ = − 1( ) 0 2f x x′ = ⇒ =
1(0, )2x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
1( , )2x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
max
1 1 1( ) ( ) ln 1 ln2 2 2f x f e
= = − = 1
2a e
≥
{ | 1x x < 2}x >
( 1)( 2) 0x x− − > 1 0
2 0
x
x
− 1x < 2x >
{ | 1x x < 2}x >
8
3 3a 23 b 2 23 3 ( 3)a b× = 23 3a b+ =
2 1a b+ = 2 1 2 1 4( 2 )( ) 4 ( ) 4 2 4 8b aa ba b a b a b
+ = + + = + + ≥ + =
2 1
a b
+ 8
1
4
(4,1)A
A 0 1
0 4
yk x
-= =-
y
x
1
4
( ,2 ]e−∞
0m ≤
0m > 3 2 2ln2 ln 0 2 ln (2ln )
m m m
xx x xm mx x me x x e x e ex x
− ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
( ) xf x xe= [ , )e +∞ 2ln 2 lnmx m x xx
⇒ ≥ ⇒ ≤ [ , )e +∞
( ) 2 lng x x x= [ , )e +∞ min( ) 2g x e= 0 2m e< ≤
2m e≤ ( ,2 ]e−∞
( 2)( 2) 0x ax− − >
0a = 2 4 0x− + > 2x <
0a < ( 2)( 2) 0x ax− − = 1 2x = 2
2x a
=由 ，得 ；
③当 时，由 ，解得 ， ，
∴ ．
（i）当 时， ，解得 ；
（ii）当 时， ，解得 或 ；
（iii）当 时， ，解得 或 ，
综上：当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
18．【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
由 ，得 ，即 ，
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ．
（2）因为 ，由已知 ，
可得 ，
∵ ， ，∴ ， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
，当且仅当 ， 时取等号，
所以 的最小值为 ．
19．【答案】（1） 或 ；（2）证明见解析．
【解析】（1）原不等式化为 ，即 ．
当 时，不等式化为 ，解得 ，故 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ，故 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ，故 ，
∴原不等式的解集为 或 ．
（2）∵ ，
∴ ，
当且仅当 且 时取等号．
又∵ ，
∴ ，
当且仅当 时取等号，
∴ 成立．
20．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）依题意 ，
又 为偶函数， 为奇函数，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ 得证．
（2）原不等式可化为 ，
( 2)( 2) 0x ax− − > 2 2xa
< <
0a > ( 2)( 2) 0x ax− − = 1 2x = 2
2x a
=
1 2
2 2( 1)2 ax x a a
−− = − =
1a = 1 2x x= 2x ≠
1a > 1 2x x> 2x a
< 2x >
0 1a< < 1 2x x< 2x < 2x a
>
0a < 2( ,2)a
0a = ( ,2)−∞
0 1a< < 2( ,2) ( , )a
−∞ +∞
1a = ( ,2) (2, )−∞ +∞
1a > 2( , ) (2, )a
−∞ +∞
7
2
23b a= 2 2( ) 2 3f x x ax a= + −
( ) 0f x ≤ 2 22 3 0x ax a+ − ≤ ( 3 )( ) 0x a x a+ − ≤
0a = ( ) 0f x ≤ { | 0}x x =
0a > ( ) 0f x ≤ { | 3 }x a x a− ≤ ≤
0a < ( ) 0f x ≤ { | 3 }x a x a≤ ≤ −
2( ) 2f b b ab b= + − 2( ) 1f b b b a= + + +
2 2 1 0ab a b− − − =
0a > 0b > 1a > 1
2b > 1 1 1
2( 1) 1 2
ab a a
+= = +− −
0a > 0b > 1a > 1
2b >
1 3 3 71 21 2 2 2a b a a
+ = − + + ≥ + =− 2a = 3
2b =
a b+ 7
2
2{ | 3x x £- 0}x ³
| 3| 4 | 2 1|x x- ³ - + | 2 1| | 3| 4x x+ + - >
1
2x £- 2 1 3 4x x- - - + ³
2
3x £-
2
3x £-
1 32 x- < < 2 1 3 4x x+ - + ³ 0x ³ 0 3x£ <
3x ³ 2 1 3 4x x+ + - ³ 2x ³ 3x ³
2{ | 3x x £- 0}x ³
( ) | 3|f x x= -
3 3 3 9| | ( ) | | | 3| |( ) ( 3) |2 2 2 2x f x x x x x+ - = + - - £ + - - =
3( )( 3) 02x x+ - ³
3| | | 3|2x x+ ³ -
1 4 2( 0, 0)m nm n+ = > >
1 1 4 1 4 1 4 9( )( ) (5 ) (5 2 )2 2 2 2
n m n mm n m n m n m n m n+ = + + = + + ³ + × =
4n m
m n=
3| | ( )2m n x f x+ ³ + -
2 3a ≥ −
1( ) ( ) 2xf x g x ++ =
( )f x ( )g x
1( ) ( ) 2 xf x g x − +− + − = 1( ) ( ) 2 xf x g x − +− =
( ) 2 2x xf x −= + ( ) 2 2x xg x −= −
2 2 2 2(2 ) 2 2 (2 2 ) 2 [ ( )] 2x x x xf x g x− −= + = − + = +
2[ ( )] ( ) 3 0g x ag x+ + ≥∴当 时， 恒成立，其中 ，
∴当 时， ，当且仅当 时取最小值，
∴ ，∴ ．
21．【答案】（1）证明见解析；（2） 存在， ．
【解析】（1）已知 ，任取 ，且 ，
则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 在 上单调递增．
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
故只需当 ，使得 恒成立，
即 在 恒成立，
也即 在 恒成立，
∴令 ， ，
由第（1）问可知 在 上单调递增，
同理可得 在 上单调递减．
∴ ，∴ ，
故 的取值范围是 ．
22．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） ，
当 时，由 ，解得 ；
当 时， 不成立，
当 时，由 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ．
（2）∵ ，∴ ，
∴对于 ，恒成立等价于：对 ， ，
即 ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
[1,2]x∈ 3( ) ( )a g x g x
− ≤ + 3 15( ) [ , ]2 4g x ∈
[1,2]x∈ min
3( ( ) ) 2 3( )g x g x
+ = ( ) 3g x =
2 3a− ≤ 2 3a ≥ −
t ( ,2 2]−∞
1( ) 2 2f x x x
= + + 1 2
2, [ , )2x x ∈ +∞ 2 1 0x x x∆ = − >
1 2 1 2
2 1 2 1 2 1
2 1 1 2 1 2
1 1 2 1( ) ( ) 2 (2 ) 2( ) ( )x x x xy f x f x x x x x xx x x x x x
− −∆ = − = + − + = − + = ∆
2 1
2
2x x> ≥ 2
1 2 1
1
2x x x≥ ≥ 1 22 1 0x x − > 0y∆ >
( )f x 2[ , )2
+∞
( )f x x b= + 2 (2 ) 1 0x b x+ − + =
2 2
1 2 1 2 1 2| | ( ) 4 ( 2) 4x x x x x x b− = + − = − −
4 2 13b≤ ≤ + 1 20 | | 3x x≤ − ≤
1[ ,2]2m∈ 22 4 3m t m− ⋅ + ≥
22 1 0m t m− ⋅ + ≥ 1[ ,2]2m∈
22 1m tm
+ ≥ 1[ ,2]2m∈
22 1( ) mg m m
+= 1[ ,2]2m∈
22 1( ) mg m m
+= 2[ ,2]2
22 1( ) mg m m
+= 1 2[ , ]2 2m∈
min
2[ ( )] ( ) 2 22g m g= = 2 2t ≤
t ( ,2 2]−∞
( , 1] [3, )−∞ − +∞ 13 5m− ≤ ≤
1
13 3 , 2
( ) (2 1) | 2 22
3 3,
| | 2 1| 1,
2
x x
f x f x x x x x
x x
≤ ≤
−
−
+
1
2x < 3 3 6x− ≥ 1x ≤ −
1 22 x≤ ≤ 1 6x + ≥
2x > 3 3 6x − ≥ 3x ≥
( ) 6f x ≥ ( , 1] [3, )−∞ − +∞
1( , 0)a b a b+ = > 4 1 4 4( )( ) 5 5 2 9b a b aa b a b a b a b
+ + = + + ≥ + ⋅ =
x∀ ∈R x∀ ∈R | 2 | | 2 | 9x m x− − − − − ≤
max| 2 | | 2 |] 9[ x m x− − − − − ≤
| 2 | | 2 | | ( 2 ) ( 2) | | 4 |x m x x m x m− − − − − ≤ − − − + = − −
9 4 9m− ≤ + ≤ 13 5m− ≤ ≤
微信/支付宝扫码支付