2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（B）
第 10 单元 直线与圆
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．若 ， ， 三点共线，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．点 在圆 的内部，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
4．过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
5．若直线 与直线 关于原点对称，则直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ， ，直线 过坐标原点且与线段 相交，那么直线 的斜率 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
7．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线
的斜率为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
8．若圆 上有且仅有两个点到直线 的距离等于 ，则半径 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
9．从直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
11．若对圆 对任意一点 ， 的取值与 ， 无关，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知圆 ，圆 ，点 ， 分别为 ，
上的动点， 为 轴上的动点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知两点 与点 之间的距离等于 ，则实数 ．
14 ． 已 知 两 条 平 行 直 线 ， 间 的 距 离 为 ， 则
．
15．已知直线 与圆 交于 两点，过 分别作 的垂线与 轴交
于 两点，若 ，则 ．
16．若曲线 与曲线 有四个不同的交点，则实数
( )0,2A 0( )1,B − ( ), 2C m − m
6 2− 6− 2
(1,1) 2 2( ) ( ) 8x a y a− + − = a
( 1,3)− (0,3)
( , 1] [3, )−∞ − +∞ {3}
: 2 0l x my m+ − − = 2 2:( 2) 3C x y− + =
( )3,1−
3 0x y+ = 2 0x y− + = 3 0x y+ =
2 0x y− + = 2 0x y+ + = 3 0x y+ =
1 : ( 4)l y k x= − 2l 2l
( 4,0)− (0,4) ( 2,4)− (4, 2)−
(2,1)M (3,4)N l MN l k
1 4[ , ]2 3
1 4( , ] [ , )2 3
−∞ +∞
( ,3]−∞ [3, )+∞
(2, 1)− y 2 2( 3) ( 4) 1x y− + − =
5
3
3
5
3
2
2
3
5
4
4
5
4
3
3
4
2 2 2( 3)x y r+ + = 3 4 3 0x y− + = 1 r
(2, )+∞ (0,4) (2,4) (0,2) (4, )+∞
2 0x y+ + = 2 2 4 2 1 0x y x y+ − − + =
3 2
2
14
2
3 2
4
34
2
0Ax By C+ + = 2 2 4x y+ = P Q 2 3PQ = OP OQ⋅ =
2 2− 4 4−
2 2( 1) 1x y− + = ( , )P x y 4 3 12 4 3x y x y m+ + + + − x y
m
( , 1]−∞ − [9, )+∞ [ 1,9]− ( , 1] [9, )−∞ − +∞
2 2
1 :( 2) ( 2) 1C x y− + + = 2 2
2 :( 5) ( 6) 4C x y− + − = M N 1C 2C
P x PN PM−
8 3 4 2+ 9 3 5 2+
(1, )A m ( ,2)B m 13 m =
1 2 3: 0l x y+ + = 2 0:3l x by c+ + = 5
b c+ =
: 4 0l mx y m− + = 2 2 9x y+ = ,A B ,A B l x
,C D | | 2 5AB = | |CD =
2
1 : 2 2C y x x= + − − 2 :( 2)( ) 0C y y kx k− − + = k的取值范围是 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．（10 分）已知直线 与直线 的交点为 ．
（1）求过点 且与直线 垂直的直线 的方程；
（2）求过点 且与直线 平行的直线 的方程．
18．（12 分）已知圆 ，直线 ．
（1）判断直线 与圆 的位置关系；
（2）设直线 与圆 交于 两点，若直线 的倾斜角为 ，求弦长 的值．
19．（12 分）如图所示，已知点 ， ， 是以 为底边的等腰三角形，点
在直线 上．
1 : 2 3 4 0l x y− + = 2 : 3 0l x y+ − = M
M 1l l
M 3 : 2 5 0l x y− + = l′
2 2:( 2) ( 1) 5C x y− + − = : 1 3 0( )l mx y m m− + − = ∈R
l C
l C ,A B l 120° AB
( 1,5)A − 1( 3, )C − ABC△ AC B
:3 4 4 0l x y+ − =（1）求 边上的高 所在直线的方程；
（2）求 的面积．
20．（12 分）已知圆 经过点 ， 两点，且圆心 在直线 上．
（1）求圆 的方程；
（2）若直线 与圆 有公共点，求实数 的取值范围．
21．（12 分）已知圆 ，直线 ．
（1）求直线 所过定点 的坐标及当直线 被圆 所截得的弦长最短时 的值；
（2）已知点 ，在直线 上存在定点 （异于点 ），满足对圆 上任一点 都有
AC BD
ABC△
C ( 1,0)A − (1,2)B C 2 0x y+ =
C
5 0kx y k− − = C k
2 2:( 3) 4C x y− + = :( 1) (3 1) 3 0l m x m y m+ − − + − =
l A l C m
(3,3)M MC N M C P
PM
PN为常数，试求所有满足条件的点 坐标及该常数．
22．（12 分）已知圆 的圆心在坐标原点，且与直线 相切．
（1）过点 作两条与圆 相切的直线，切点分别为 ， ，求直线 的方程；
（2）若与（1）中直线 平行的直线 与圆 交于不同的两点 ， ，若 为钝角，求直线
在 轴上的截距的取值范围．
N
O 2 2 0x y+ + =
(3,3)M O A B AB
AB l O P Q POQ∠
l y高三▪数学卷（B）
第 10 单元 直线与圆 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】因为 三点共线，所以 ，
所以 ，所以 ．
2．【答案】A
【解析】因为点 在圆 的内部，
所以 ，所以 ．
3．【答案】B
【解析】圆心 到直线 的距离 ，∴直线 与圆 相交，故选 B．
4．【答案】D
【解析】当截距均为 时，设方程为 ，将点 代入得 ，
此时直线方程为 ；
当截距不为 时，设直线方程为 ，将 代入得 ，
此时直线方程为 ．
5．【答案】A
【解析】因为直线 恒过定点 ，
点 关于原点对称的点的坐标为 ，∴直线 恒过定点 ．
6．【答案】A
【解析】当直线 过点 时，斜率 取得最小值 ；
当直线 过点 时，斜率 取得最大值 ，
∴ 的取值范围是 ，故选 A．
7．【答案】D
【解析】由于反射光线经过点 关于 轴的对称点 ，
故设反射光线所在直线方程为 ，
由直线与圆相切的条件可得 ，解得 或 ．
8．【答案】C
【解析】根据题意可知，圆心到直线的距离 应满足 ，
即 ，解得 ，故选 C．
9．【答案】D
【解析】将圆 化成标准形式得 ，
圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 为 ，
切线长的最小值为 ．
10．【答案】B
【解析】设圆 圆心为 ，则 ， ， ，
∴ ，∴ ，故选 B．
11．【答案】B
【解析】∵ 的取值与 ， 无关，
根据直线与圆的位置关系，可知直线 与直线 在圆
两侧，
∴直线 与圆相离或相切，且 ，
∴ 且 ，解得 ，故选 B．
12．【答案】A
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
∴ ，
A B C、 、 AB ACk k=
2 0 2 ( 2)
0 ( 1) m
− − −=− − − 2m = −
(1,1) 2 2( ) ( ) 8x a y a− + − =
2 2(1 ) (1 ) 8a a− + − < 1 3a− < <
(2,0) l 2
1 3
1
md
m
−= < <
+ l C
0 y kx= ( )3,1− 1
3k = −
3 0x y+ =
0 1x y
a a
+ = ( )3,1− 2a = −
2 0x y+ + =
1 4: ( )l y k x= − (4,0)
(4,0) ( 4,0)− 2l ( 4,0)−
l (2,1)M k 1 0 1
2 0 2
− =−
l (3,4) k 4 0 4
3 0 3
− =−
k 1 4[ , ]2 3
(2, 1)− y ( 2, 1)− −
1 ( 2)y k x+ = +
2
| 5 5| 1
1
k
k
− =
+
4
3k = 3
4
d 1 1r d r− < < +
12 31 15r r
+− < < + 2 4r< <
2 2 4 2 1 0x y x y+ − − + = 2 2( 2) ( 1) 4x y− + − =
(2,1) 2r =
2 0x y+ + = | 2 1 2 | 5 2
22
d
+ += =
2 2 34
2h d r= − =
2 2 4x y+ = O 2OP = 2OQ = 2 3PQ =
120POQ∠ = ° 2 2 cos120 2OP OQ⋅ = × × ° = −
4 3 12 4 3x y x y m+ + + + − x y
4 3 12 0x y+ + = 4 3 0x y m+ − = 2 2( 1) 1x y− + =
4 3 0x y m+ − = 0m >
4 15
m− ≥ 0m > 9m ≥
2 2
1 :( 2) ( 2) 1C x y− + + = 1(2, 2)C − 1
2 2
2 :( 5) ( 6) 4C x y− + − = 2 (5,6)C 2
2 1 2 1( 2) ( 1) 3PN PM PC PC PC PC− ≤ + − − = − +设 关于 轴的对称点为 ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，故选 A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】 或
【解析】根据题意得 ，解得 或 ．
14．【答案】 或
【解析】直线 ，∴ ，且 ，解得 或 ，
所以 或 ．
15．【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ，
过点 作 的垂线，垂足为 ，
∵直线 的方程为 ，∴直线过定点 ，
圆心到直线 的距离 ，得 ，
根据对称性，不妨取 ，所以 ，
在 中， ， ，所以 ．
16．【答案】
【解析】由 ，得 ，
∴曲线 表示以 为圆心，以 为半径的上半圆，
显然直线 与曲线 有两个交点，且交点为半圆的两个端点，
∴直线 与半圆有两个除端点外的交点，
当直线 经过点 时， ；
当直线 与半圆相切时， ，解得 （舍去）或 ，
∴ 的取值范围是 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由 ，解得 ，
∴ ， 交点 坐标为 ，
∵ ，∴直线 的斜率 ，
直线 的方程为 ，即 ．
（2）∵ ，∴直线 的斜率 ，
又 经过点 ，∴直线 的方程为 ，即 ．
18．【答案】（1）相交；（2） ．
【解析】（1）直线 可变形为 ，∴直线 过定点 ，
又 ，∴点 在圆内，
∴直线 与圆 相交．
（2）∵直线 的倾斜角为 ，∴直线 的斜率 ，∴ ，
2C x 2 (5, 6)C ′ −
2 2
2 1 2 1 2 1 (5 2) ( 6 2) 5PC PC PC PC C C′ ′− = − ≤ = − + − + =
PN PM− 5 3 8+ =
1− 4
2 2( 2) 1(1 ) 3m m− + − = 1m = − 4
0 30
1 6 9:3 0l x y+ + = 6b =
2 2
| 9 | 5
3 6
c− =
+ 6c = − 24
0b c+ = 30
4 15
3
AB E OE
C BD F
l 4 0mx y m− + = ( 4,0)P −
l 2 2
2
| 4 | | | | | 2
1
md OA AE
m
= = − =
+
3
3m = ±
3
3m = 30DPB∠ = °
CDF△ | | | | 2 5CF AB= = 30DCF∠ = ° | | 4 15| | cos30 3
CFCD = =°
4 7( , 2)3
− − −
22 2y x x= + − − 2 2( 1) ( 2) 1( 2)x y y+ + − = ≥
1C ( 1,2)− 1
2y = 1C
y kx k= −
y kx k= − (0,2) 2k = −
y kx k= −
2
2 2 1
1
k
k
− − =
+
4 7
3k
− += 4 7
3k
− −=
k 4 7( , 2)3
− − −
3 2 7 0x y+ − = 2 3 0x y− + =
2 3 4 0
3 0
x y
x y
− + =
+ − =
1
2
x
y
=
=
1l 2l M (1,2)
1l l⊥ l 3
2k = −
l 32 ( 1)2y x− = − − 3 2 7 0x y+ − =
3l l′∥ l′ 1
2k =
l′ (1,2)M l′ 12 ( 1)2y x− = − 2 3 0x y− + =
17
l ( 3) 1 0m x y− − + = l (3,1)D
2 2(3 2) (1 1) 1 5− + − = < (3,1)D
l C
l 120° l tan120 3k = ° = − 3m = −此时，圆心 到直线 的距离 ，
又圆 半径 ，∴ ．
19．【答案】（1） ；（2）5．
【解析】（1）由题意可知， 为 的中点，所以 ，且 ，
所以 所在直线方程为 ，即 ．
（2）由 ，得 ，
直线 的方程为 ，
所以点 到直线 的距离 ，
，
所以 ．
20．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）设圆 的标准方程为 ，
依题意有 ，解得 ．
∴圆 的方程为 ．
（2）若直线 与圆 有公共点，
则圆心 到直线 的距离小于或等于半径，
∴ ，解得 ，
∴实数 的取值范围为 ．
21．【答案】（1） ， ；（2）存在定点 ，使得 为常数为 ．
【解析】（1） ，
令 ，得 ，
∴直线 过定点 ，
当 时，直线 被圆 所截弦长最短，
∵ ，∴ ，∴ ，解得 ．
（2）由题知，直线 方程为 ，
设 ， ，
假设存在定点 满足题意，则有 ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
化简得 ，
根据题意，可得 ，解得 或 ，
当 ， 时，点 与点 重合，不符合题意，
∴在直线 上存在定点 ，使得 为常数，且常数为 ．
22．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由题意得，圆心 到直线 的距离为圆 的半径 ，
即 ，
∴圆 的标准方程为 ，
C 3 1 3 3 0x y− − + + =
2 2
| 3 2 1 1 3 3 | 3
2( 3) ( 1)
d
− × − + += =
− + −
C 5r = 2 2| | 2 17AB r d= − =
2 4 0x y+ − =
D AC ( 2,3)D − 1 1
2C
BD
A
k k
= − = −
BD 13 ( 2)2y x− = − + 2 4 0x y+ − =
2 4 0
3 4 4 0
x y
x y
+ − =
+ − = ( 4,4)B −
AC 2 7 0x y− + =
B AC 2 2
| 4 2 4 7 || | 5
2 1
BD
− × − + =
+
=
2 2| ( 1 3) (5 1) 2 5|AC = − + + − =
1 | | | | 52ABCS AC BD= ⋅ =△
2 2( 1) ( 2) 4x y+ + − = [ 2,0]−
C 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − =
2 2 2
2 2 2
( 1 ) (0 )
(1 ) (2 )
2 0
a b r
a b r
a b
− − + − =
− + − =
+ =
1
2
2
a
b
r
= −
=
=
C 2 2( 1) ( 2) 4x y+ + − =
5 0kx y k− − = C
( 1,2)C − 5 0kx y k− − =
2
| 2 5 | 2
1
k k
k
− − − ≤
+ 2 0k− ≤ ≤
k [ 2,0]−
(2,1)A 1m = 4(3, )3N
PM
PN
3
2
( 1) (3 1) 3 0 ( 3 1) 3 0m x m y m x y m x y+ − − + − = ⇔ − + + + − =
3 1 0
3 0
x y
x y
− + =
+ − =
2
1
x
y
=
=
l (2,1)A
AC l⊥ l C
(3,0)C 1 0 12 3ACk
−= = −−
1 13 1l
mk m
+= =− 1m =
MC 3x =
( , )P x y ( 0)PM
PN
λ λ= >
(3, )N t 2 2 2PM PNλ=
2 2 2 2 2( 3) ( 3) [( 3) ( )]x y x y tλ− + − = − + −
2 2( 3) 4x y− = − 2 2 2 2 24 ( 3) [4 ( ) ]y y y y tλ− + − = − + −
2 2 2 2(2 6) ( 4 13) 0t y tλ λ λ− − + − =
2
2 2 2
2 6 0
4 13 0
t
t
λ
λ λ
− = + − =
1
3t
λ =
=
3
2
4
3t
λ =
=
1λ = 3t = N M
MC 4(3, )3N
PM
PN
3
2
3 3 4 0x y+ − = 4 4( 2,0) (0, ) ( ,2)3 3
−
(0,0)O 2 2 0x y+ + = O r
2 2 2
2
r = =
O 2 2 4x y+ =连结 ， ， ，
以 为圆心，以 为半径的圆的方程为 ，①
又∵圆 的方程为 ，②
∴由① ②，即得直线 方程为 ．
（2）∵直线 方程为 ，可设直线 方程为 ，
联立直线 与圆 的方程 ，化简得 ，
设 ， ，则 ， 是方程 两个不同的根，
由 ，得 ，且有 ， ，
，
∵ 为钝角，∴ 且 与 不反向共线， ，
∴ ，
又∵ 时， 与 反向共线，此时不符合题意，
故截距 的取值范围是 ．
OM 3 2OM = 2 2 14BM OM OB= − =
M MB 2 2( 3) ( 3) 14x y− + − =
O 2 2 4x y+ =
− AB 3 3 4 0x y+ − =
AB 3 3 4 0x y+ − = l 4( )3y x b b= − + ≠
l O 2 2 4
y x b
x y
= − +
+ =
2 22 2 4 0x bx b− + − =
1 2( , )P x x 2 2( , )Q x y 1x 2x 2 22 2 4 0x bx b− + − =
2 2( 2 ) 8( 4) 0Δ b b= − − − > 2 2 2 2b− < < 1 2x x b+ = 2
1 2
4
2
bx x
−=
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
4( )( ) ( ) 2
by y x b x b x x b x x b
−= − + − + = − + + =
POQ∠ 0OP OQ⋅
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