2021届高三数学一轮复习第十二单元训练卷概率与统计（理科） A卷（详解）

2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（A） 第 12 单元 概率与统计 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．将一枚骰子抛掷一次，则向上点数为 的概率是（ ） A． B． C． D． 2．将 个不同的篮球放入 个不同的收纳筐中，则不同放法种数有（ ） A． B． C． D． 3．若 把钥匙中只有 把能打开某锁，则从中任取 把能将该锁打开的概率为（ ） A． B． C． D． 4． 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A． B． C． D． 5．设服从二项分布 的随机变量 的期望与方差分别是 和 ，则 ， 的值分别是（ ） A． B． C． D． 6．某外卖企业两位员工今年 月某 天日派送外卖量的数据（单位：件），如茎叶图所示针对这 天的数据，下面说法错误的是（ ） A．阿朱的日派送量的众数为 B．阿紫的日派送量的中位数为 C．阿朱的日派送量的中位数为 D．阿朱的日派送外卖量更稳定 7．已知 的展开式中第 项与第 项的二项式系数相等，则 （ ） A． B． C． D． 8．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 9．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 个爻组成，爻分 为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 个阳爻 的概率是（ ） A． B． C． D． 10．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 ，下面为检测结果的频率分 布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间 的为一等品，在区间 和 的 为二等品，其余均为三等品，则样品中三等品的件数为（ ） A． B． C． D． 11．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为 ，落在 正方形内的豆子数为 ，则圆周率 的估算值是（ ） 2 1 6 1 3 1 2 2 3 5 2 20 25 30 32 6 2 2 3 5 1 15 8 15 1 3 2 2( )nx x − 180 90 180− 90− ( , )B n p X 10 8 n p 150, 5 160, 5 450, 5 460, 5 3 10 10 76 77 76 (1 )nx+ 4 8 n = 9 11 10 12 X 2(1, )( 0)N σ σ > ( 0) 0.15P X < = (0 2)P X≤ ≤ = 0.35 0.6 0.7 0.85 6 3 5 16 11 32 21 32 11 16 200 [25,30) [20,25) [30,35) 30 40 50 60 n m πA． B． C． D． 12．下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量 服从二项分布 ，则 ； ②已知随机变量 服从正态分布 且 ，则 ； ③小赵、小钱、小孙、小李到 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “ 个人去的景点互不 相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则 ； ④ ； ． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13． ，则 的值 为 ． 14．篮子里装有 个红球， 个白球和 个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件 “取出 的两个球颜色不同”，事件 “取出一个红球，一个白球”，则 ． 15．已知离散型随机变量 服从二项分布 ，且 ， ，则 的 最小值为 ． 16．甲罐中有 个红球， 个白球和 个黑球，乙罐中有 个红球， 个白球和 个黑球．先从甲罐 中随机取出一球放入乙罐，分别以 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再 从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的 是 ．（写出所有正确结论的编号）． ① ； ② ； ③事件 与事件 相互独立； ④ 是两两互斥的事件； ⑤ 的值不能确定，因为它与 中哪一个发生有关． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．（10 分）甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为 ， 由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为 ．假设比赛没有和棋，且已知前 两盘棋都是甲赢． （1）求第四盘棋甲赢的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率． 18．（12 分）由于疫情影响，今年我们学校开展线上教学，高一年级某班班主任为了了解学生上网 学习时间，对本班 名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据（取整数）整理后，绘制出如图 n m 2n m 3n m 2m n X 1(6, )2B 5( 3) 16P X = = X 2(2, )N σ ( 4) 0.9P X < = (0 2) 0.4P X< < = 4 A = 4 B = 2( | ) 9P A B = (2 3) 2 ( ) 3E X E X+ = + (2 3) 2 ( ) 3D X D X+ = + 2020 2 2020 0 1 2 2020(1 2 ) ( )x a a x a x a x x− = + + +⋅⋅⋅+ ∈R 1 3 5 2019a a a a+ + +⋅⋅⋅+ 2 3 4 A = B = ( | )P B A = X ( , )X B n p ( ) 4E X = ( )D X q= 1 1 p q + 5 2 3 4 3 3 1 2,A A 3A B 2( ) 5P B = 1 5( | ) 11P B A = B 1A 1 2 3, ,A A A ( )P B 1 2 3, ,A A A 3 4 1 2 40所示频率分布直方图，已知从左到右各个小组的频率分别是 ，则根据直方 图所提供的信息： （1）这一天上网学习时间在 分钟之间的学生有多少人？ （2）估计这 位同学的线上平均学习时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）以及中 位数分别是多少？（精确到 ） （3）如果只用这 名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天的上网 学习时间，这样推断是否合理？为什么？ 19．（12 分）为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价 调控政策．某市拟定出台“房产限购的年龄政策”．为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度，在 岁的人群中随机调查 人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结 果如图所示： （1）由以上统计数据填 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为以 岁 为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？ （2）若以 岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取 人参加政策听证会， 现从这 人中随机抽 人．记抽到 岁以上的人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望． 参考公式： ． 0.15,0.25 0.35 0.20 0.05, , , 100 119∼ 40 0.1 40 20 60∼ 100 2 2× 0.05 44 44 8 8 2 44 X X 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + +20．（12 分）盒子中放有大小形状完全相同的 个球，其中 个红球， 个白球． （1）某人从这盒子中有放回地随机抽取 个球，求至少抽到 个红球的概率； （2）某人从这盒子中不放回地随机抽取 个球，每抽到 个红球得红包奖励 元，每抽到 个白球 得到红包奖励 元，求该人所得奖励 的分布列． 21．（12 分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每批产品的非 原料总成本 （元）与生产该产品的数量 （千件）有关，经统计得到如下数据： 根据以上数据，绘制如图所示的散点图． 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型 和指数函数模型 分别对两个变量的关系进行拟合． （1）根据散点图判断， 与 （ ， 均为大于零的常数）哪一个适宜作为非 原料总成本 关于生产该产品的数量 的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表 中的数据，建立 关于 的回归方程； （3）已知每件产品的原料成本为 元，若该产品的总成本不得高于 元，请估计最多能生产 多少千件产品． 参考数据： 其中 ， ． 10 4 6 2 1 3 1 20 1 10 ξ y x lny a b x= + xy c d= ⋅ lny a b x= + xy c d= ⋅ c d y x 1 y x 10 123470 lgi iv y= 1 1 7 n i i v v = = ∑参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的 最小二乘估计公式分别为 ， ． 22．（12 分）某商店每天（开始营业时）以每件 元的价格购入 商品若干（ 商品在商店的保鲜 时间为 小时，该商店的营业时间也恰好为 小时），并开始以每件 元的价格出售，若前 小时内 所购进的 商品没有售完，则商店对没卖出的 商品将以每件 元的价格低价处理完毕（根据经 验， 小时内完全能够把 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进 商品）．该商店统 计了 天 商品在每天的前 小时内的销售量，由于某种原因销售量频数表中的部分数据被污损 而不能看清，制成如下表格（注：视频率为概率）． （1）若某天商店购进 商品 件，试求商店该天销售 商品获取利润 的分布列和期望； （2）若商店每天在购进 件 商品时所获得的平均利润最大，求 的取值集合． 1 1( , )u v 2 2( , )u v ( , )n nu v ˆˆ ˆv a uβ= + 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i u v nuv u nu β = = − = − ∑ ∑ ˆˆa v uβ= − 15 A A 8 8 30 6 A A 10 2 A A 100 A 6 A 4 A ξ 4 A x高三▪数学卷（A） 第 12 单元 概率与统计 答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】A 【解析】一枚骰子抛掷一次，有 种结果，每种结果等可能出现， 出现“向上点数为 ”的情况只有一种，故所求概率为 ，故选 A． 2．【答案】D 【解析】由题意可知，每个篮球都有 种不同的放法， 则由乘法原理可得共有 种放法，故选 D． 3．【答案】A 【解析】 把不同的钥匙中只有 把能打开某锁， 从中任取 把，基本事件总数 ， 从中任取 把能将该锁打开包含的基本事件个数 ， ∴从中任取 把能将该锁打开的概率 ，故选 A． 4．【答案】A 【解析】∵ 展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴ ， 故 展开式的通项公式为 ， 令 ，解得 ， 所以展开式中的常数项为 ，故选 A． 5．【答案】A 【解析】题意可得 ，解得 ，故选 A． 6．【答案】C 【解析】由茎叶图可知，阿朱的日派送量由小到大分别为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，众数为 ，中位数为 ， 阿紫的日派送量由小到大分别为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，中位数为 ， 由茎叶图可知，阿朱的日派送量数据相对集中， 阿紫的日派送量数据相对分散，所以，阿朱的日派送外卖量更稳定． 所以，A、B、D 选项正确，C 选项错误，故选 C． 7．【答案】C 【解析】由题意 ，所以 ，故选 C． 8．【答案】C 【解析】随机变量 服从正态分布 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，故选 C． 9．【答案】A 【解析】由题知，每一爻有 种情况，一重卦的 爻有 情况， 其中 爻中恰有 个阳爻情况有 ， 所以该重卦恰有 个阳爻的概率为 ，故选 A． 10．【答案】C 【解析】由频率分布直方图可知一等品的频率是 ， 二等品的频率是 ， 所以样品中三等品的频率是 ， 所以样品中三等品的件数是 ， 故选 C． 11．【答案】B 【解析】设正方形的边长为 ．则圆的半径为 ， 根据几何概型的概率公式可以得到 ，即 ，故选 B． 12．【答案】A 6 2 1 6 2 52 2 2 2 2 2 32× × × × = = 6 2 2 2 6C 15n = = 2 1 1 2 2 4 2CC 9Cm += = 2 9 3 15 5 mp n = = = 2 2( )nx x − 10n = 2 2( )nx x − 5510 2 1 10 102 2C ( ) ( ) C ( 2) rr r r r r rT x xx −− + = ⋅ − = − ⋅ 55 02 r− = 2r = 2 2 10C 2 180× = 10 (1 ) 8 np np p =  − = 50 1 5 n p = = 63 64 72 76 76 77 78 84 86 94 76 76.5 54 58 63 72 73 81 86 89 95 99 77 3 7C Cn n = 10n = X 2(1, )( 0)N σ σ > ( 0) 0.15P X < = ( 0) ( >2) 0.15P X P X< = = (0 2) 1 2 0.15 0.7P X≤ ≤ = − × = 2 6 62 6 3 3 6C 3 3 6 62 C = 5 16 5 0.0625 0.3125× = 5 0.05 5 0.0375 0.4375× + × = 1 0.3125 0.4375 0.25− − = 200 0.25 50× = 2 2 4 2π m n = 2π n m =【解析】命题①：设随机变量 服从二项分布 ， 则 ，正确； 命题②：∵ 服从正态分布 ，∴正态曲线的对称轴是 ， ∵ ， ∴ ，正确； 命题③：设事件 “ 个人去的景点不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”， 则 ， ， 所以 ，正确； 命题④： 正确， 错误， 应该为 ，故不正确，故选 A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】 【解析】令 ，得 ①， 令 ，得 ②， ① ②，得 ， ∴ ． 14．【答案】 【解析】事件 的选法有 种，事件 的选法有 种， 所以 ， ， ． 15．【答案】 【解析】 ， ， 故 ， ， ， ， 当且仅当 ，即 时等号成立，故答案为 ． 16．【答案】②④ 【解析】由题意可知事件 不可能同时发生，则 是两两互斥的事件，则④正确； 由题意得 ， ， ，故②正确； ，①⑤错； 因为 ， ，所以事件 与事件 不独立，③错， 综上选②④． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）设事件 为“第四盘棋甲赢”，若第四盘棋甲赢，分两种情况： 若第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，概率 ， 若第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，概率 ， ∴ ． X 1(6, )2B 3 3 3 6 1 1 5( 3) C ( ) (1 )2 2 16P X = = × − = ξ 2(2, )N σ 2x = ( 4) 0.9 ( 4) ( 0) 0.1P X P X P X< = ⇒ > = < = (0 2) (2 4) 0.4P X P X< < = < < = A = 4 B = 4 4 3!( ) 4P AB ×= 3 4 4 3( ) 4P B ×= ( ) 2( | ) ( ) 9 P ABP A B P B = = (2 3) 2 ( ) 3E X E X+ = + (2 3) 2 ( )D X D X+ = (2 3) 4 ( )D X D X+ = 20201 3 2 − 1x = 2020 0 1 2 2020 (1 2) 1a a a a+ + +⋅⋅⋅+ = − = 1x = − 2020 2020 0 1 2 2020 (1 2) 3a a a a− + −⋅⋅⋅+ = + = − 2020 1 3 5 20192( ) 1 3a a a a+ + +⋅⋅⋅+ = − 2020 1 3 5 2019 1 3 2a a a a −+ + +⋅⋅⋅+ = 3 13 A 1 1 1 1 1 1 2 3 2 4 3 4C C C C C C 26+ + = B 1 1 2 3C C 6= 2 9 26 26( ) C 36P A = = 2 9 6( ) 6 1 CP AB = = ( ) 3( ) ( ) 13 P ABP B A P A = =∣ 9 4 ( ) 4E X np= = ( ) (1 )D X np p q= − = 4p n = 4 4 164(1 ) nq n n −= − = 4n > ( )1 1 1 4 1 4 9( 4 5) (2 4 5)4 4 16 4 4 4 4 4 n n n np q n n n + = + = − + + ≥ − ⋅ + =− − − 44 4n n − = − 6n = 9 4 1 2 3, ,A A A 1 2 3, ,A A A 1 5( | ) 11P B A = 2 4( | ) 11P B A = 3 4( | ) 11P B A = 1 2 3 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A B P A B P A B P A P B A P A P B A= + + = + + 3 3 5 5 2 4 3 4 9( ) ( | ) 10 11 10 11 10 11 22P A P B A = × + × + × = 1 5( ) 22P A B = 1 5 9 9( ) ( ) 10 22 44P A P B = × = B 1A 11 16 7 32 A 1 3 3 9 4 4 16P = × = 2 1 1 1 4 2 8P = × = 1 2 9 1 11 16 8 16( )P A P P= + = + =（2）设事件 为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”， 若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况： 若甲第三盘赢，概率 ， 若甲第四盘赢，概率 ， 若甲第五盘赢，概率 ， ∴ ． 18．【答案】（1）14 人；（2）平均学习时间 分钟，中位数估计值是 ；（3）不合理，详 见解析． 【解析】（1）因为频数 样本容量 频率， 一天上网学习时间在 分钟之间的学生所占频率为 ， 所以一天上网学习时间在 分钟之间的学生人数为 （人）． （2） 位同学的线上学习时间估计值为： 分钟， 在中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的， 设在 靠近左侧长度为 ， 则 ，解得 ， 所以中位数估计值是 ． （3）因为该样本的选取只在高一某班，不具有代表性，所以这样推断不合理． 19．【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过 的前提下能认为；（2）分布列见解析， ． 【解析】（1）由统计数据填列 联表如下： 计算观测值 ， 所以在犯错误的概率不超过 的前提下认为以 岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的 支持度有差异． （2）由题意可知抽取的这 人中， 岁以下的有 人， 岁以上的有 人， 根据题意， 的可能取值是 ． ， ， ， 可得随机变量 的分布列为： 故数学期望为 ． 20．【答案】（1） ；（2）分布列见解析． 【解析】（1）法 1：记抽取红球的事件为 ，抽取白球的事件为 ， 且每次取到红球的概率均为 ，每次取到白球的概率均为 ． 则至少抽到 个红球的概率表示为： ． （2）由题意，随机变量 可能的取值为 ， ， ， ， ， 所以随机变量 的分布表为： ． B 3 3 1 1 3(1 )4 4 2 32P = × × − = 4 1 1 1 1(1 )4 2 2 16P = × × − = 5 1 1 1 1(1 )4 2 2 16P = × − × = 3 4 5 3 1 1 7 32 16 2( 3) 16P B P P P= + + = + + = 94.9 100.2 = × 100 119∼ 0.35 100 119∼ 40 0.35 14× = 40 0.15 69.9 0.25 89.9 0.35 109.9 0.20 129.9 0.05 149.9 94.9× + × + × + × + × = 99.9 119.9∼ x 0.15 0.25 0.35 0.5x+ + = 0.29x ≈ 99.9 0.29 100.19 100.2+ = ≈ 5% 1( ) 2E X = 2 2× 2 0 100 (35 5 45 15) 25 6.25 3.84150 50 80 20 4k × × − ×= = = >× × × 5% 44 8 44 6 44 2 X 0,1,2 2 6 2 8 C 15( 0) C 28P X = = = 1 1 6 2 2 8 C C 3( 1) C 7P X ⋅= = = 2 2 2 8 C 1( 2) C 28P X = = = X 15 3 1 1( ) 0 1 228 7 28 2E X = × + × + × = 16 25 A B 2 5 3 5 1 22 2 3 3 2 16( ) ( ) ( )( ) ( )( )5 5 5 5 5 25P AA+AB+BA = + + = ξ 30,40,50,60 0 3 4 6 3 10 C C 1( 30) C 6P ξ = = = 1 2 4 6 3 10 C C 1( 40) C 2P ξ = = = 2 1 4 6 3 10 C C 3( 50) C 10P ξ = = = 3 0 4 6 3 10 C C 1( 60) C 30P ξ = = = ξ21．【答案】（1） 适宜；（2） ；（3） 千件． 【解析】（1）根据散点图判断， 适宜作为非原料总成本 关于生产该产品的数量 的回归 方程类型． （2）由 ，两边同时取常用对数得 ． 设 ，∴ ， ∵ ， ∴ ． 把 代入 ，得 ， ∴ ，∴ ， ∴ ， 即 关于 的回归方程为 ． （3）设生产了 千件该产品， 则生产总成本为 ， 又 在其定义域内单调递增， 且 ， 故最多能生产 千件产品． 22．【答案】（1）分布列见解析， ；（2） ， ． 【解析】（1）设商店某天销售 商品获得的利润为 （单位：元）， 当需求量为 时， ， 当需求量为 时， ， 当需求量为 时， ， 的分布列为： 则 （元）， 所以商店该天销售 商品获得的利润均值为 元． （2）设销售 商品获得的利润为 ， 依题意，视频率为概率，为追求更多的利润， 则商店每天购进的 商品的件数取值可能为 件， 件， 件， 当购进 商品 件时， ， 当购进 商品 件时， ， 当购进 商品 件时， ， ， 由题意 ，解得 ， 又知 ，所以 的取值范围为 ， ． xy c d= ⋅ 0.25ˆ 3.47 10 xy = × 12 xy c d= ⋅ y x xy c d= ⋅ lg lg( ) lg lgxy c d c x d= ⋅ = + lg y v= lg lgv c x d= + 7 2 1 4, 1.54, 140i i x v x = = = =∑ 7 1 7 2 2 2 1 7 50.12 7 4 1.54 7lg 0.25140 7 4 287 i i i i i x v xv d x x = = − − × ×= = = =− ×− ∑ ∑ (4,1.54) lg lgv c x d= + lg 0.54c = ˆ 0.54 0.25v x= + ˆlg 0.54 0.25y x= + 0.54 0.25 0.25ˆ 10 3.47 10x xy + ×== y x 0.25ˆ 3.47 10 xy = × x 0.25( ) 3.47 10 10 1000xg x x= × + × × 0.25( ) 3.47 10 10000xg x x= × + 3(12) 3.47 10 120000 123470g = × + = 12 54Eξ = [45,70] *x∈N A ξ 3 15 3 5 (4 3) 40ξ = × − × − = 4 15 4 60ξ = × = 5 15 4 60ξ = × = ξ 40 0.3 60 0.7 54Eξ = × + × = A 54 A Y A 3 4 5 A 3 70(30 15) 3 0.3 (30 15) 3 (30 15) 3 45100 100 x xEY −= − × × + − × × + − × × = A 4 70[(30 15) 3 (15 10) 1] 0.3 [(30 15) 4] [(30 15) 4]100 100 x xEY −= − × − − × × + − × × + − × × 54= A 5 [(30 15) 3 (15 10) 2] 0.3 [(30 15) 4 (15 10) 1] 100 xEY = − × − − × × + − × − − × × 70[(30 15) 5] 63 0.2100 x x −+ − × × = − 63 0.2EY x= − 63 0.2 54x− ≤ 45x ≥ 100 30 70x ≤ − = x [45,70] *x∈N