2021届高三数学一轮复习第十二单元训练卷概率与统计（理科）B卷（详解）

2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（B） 第 12 单元 概率与统计 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学 生会的同学随机对 名同学进行调查；第二种由教务处对年级的 名学生编号，由 到 ， 请学号最后一位为 3 的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为（ ） A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，分层抽样 C．分层抽样，系统抽样 D．简单随机抽样，系统抽样 2．从装有完全相同的 个红球和 个黄球的盒子中任取 个小球，则互为对立事件的是（ ） A．“至少一个红球”与“至少一个黄球” B．“至多一个红球”与“都是红球” C．“都是红球”与“都是黄球” D．“至少一个红球”与“至多一个黄球” 3．甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则（ ） A．甲得分的平均数比乙的大 B．甲的成绩更稳定 C．甲得分的中位数比乙的大 D．乙的成绩更稳定 4．在 的展开式中， 的系数为（ ） A． B． C． D． 5．设某大学的女生体重 （单位： ）与身高 （单位： ）具有线性相关关系，根据一组样本 数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下列结论中不正 确的是（ ） A． 与 具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心 C．若该大学某女生身高增加 ，则其体重约增加 D．若该大学某女生身高为 ，则可断定其体重必为 6．某产品的广告费用 与销售额 的统计数据如下表： 根据上表可得回归方程 的 约等于 ，据此模型预报广告费用为 万元时，销售额约 为（ ） A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 7．利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查 200 名高中生是 否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得 ，参照下表： 得到的正确结论是（ ） A．有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B．有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” C．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 8．若随机变量 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 9． 即空气质量指数， 越小，表明空气质量越好，当 不大于 时称空气质量为“优 24 240 001 240 4 2 2 5( 2)x − 2x 5− 5 10− 10 y kg x cm ( , )( 1,2, , )i ix y i n=  ˆ 0.85 85.71y x= − y x ( , )x y 1cm 0.85 kg 170 cm 58.79 kg x y  y bx a= + b 9 6 54 55 56 57 2 7.245K ≈ 99% 99% 0.5% 0.5% 2(3, )X N σ∼ ( 5) 0.2P X ≥ = (1 5)P X< < = 0.6 0.5 0.4 0.3 AQI AQI AQI 100良”，如图是某市 月 日到 日 的统计数据，则下列叙述正确的是（ ） A．这 天的 的中位数是 B． 天中超过 天空气质量为“优良” C．从 月 日到 日，空气质量越来越好 D．这 天的 的平均值为 10．下图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中 为直角三 角形，四边形 为它的内接正方形，已知 ， ，在 内任取一点，则此点 取自正方形 内的概率为（ ） A． B． C． D． 11．某围棋俱乐部有队员 人，其中女队员 人，现随机选派 人参加围棋比赛，则选出的 人中 有女队员的概率为（ ） A． B． C． D． 12．某城市有连接 个小区 、 、 、 、 、 、 、 和市中心 的整齐方格形道路网， 每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区 前往小区 ， 则他经过市中心 的概率是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 ， ， ，通过前一关才能进入 下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为 ． 14．已知 ，则 ． 15．某公司的班车在 ， 发车，小明在 至 之间到达发车站乘坐班车，且到达发 车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 分钟的概率是__________． 16．将三位老师分配到 户贫困家庭实施精准帮扶，若每位老师只去一户，每户家庭最多去 位老 师，则不同的分配方法有 种（用数字作答）． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．（10 分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得 到数据如下： （1）在坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出 关于 的线性回归方程 ；（参考公式：回归直线方程 ， ， ，其中 ， 为样本平均值．） （3）试预测加工 个零件需要多少时间？ 3 1 12 AQI 12 AQI 90 12 7 3 4 9 12 AQI 100 ABC△ DEFC 2BC = 4AC = ABC△ DEFC 2 9 4 9 5 9 1 2 5 2 2 2 10 3 3 5 4 5 7 10 8 A B C D E F G H O A H O 1 3 2 3 1 4 3 4 0.8 0.7 0.6 7 2 7 0 1 2 7(2 1)x a a x a x a x− = + + + + 2a = 8:00 8:30 7 :50 8:30 10 4 2 y x ˆˆ ˆy bx a= + ˆy bx a= + 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑  a y bx= −  x y 1018．（12 分）某公司计划购买 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进 机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买， 则每个 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 台这种机 器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图． 记 表示 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数， 表示 台机器在购买易损零件上所需的 费用（单位：元）， 表示购机的同时购买的易损零件数． （1）若 ，求 与 的函数解析式； （2）若要求“需更换的易损零件数不大于 ”的频率不小于 ，求 的最小值； （3）假设这 台机器在购机的同时每台都购买 个易损零件或每台都购买 个易损零件，分别 计算这 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 台机器的同时应 购买 个还是 个易损零件？ 19．（12 分） 年将在日本东京举办第 届夏季奥林匹克运动会，简称为“奥运会”，为了解不 同年龄的人对“奥运会”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在 岁之间的 人进行调查， 经统计，“年轻人”与“中老年人”的人数之比为 ． （1）根据已知条件完成上面的 列联表，并判断是否有 的把握认为是否关注“奥运会” 与年龄段有关； （2）现采用分层抽样的方法从中老年人中选取 人进行问卷调查．若再从这 人中选取 人进行面 对面询问，求事件“选取的 人中至少有 人关注奥运会”的概率． 附：临界值表 参考公式： ． 1 200 500 100 x 1 y 1 n 19n = y x n 0.5 n 100 19 20 100 1 19 20 2020 32 20 70∼ 100 2:3 2 2× 99.9% 6 6 2 2 1 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d −= = + + ++ + + +20．（12 分）从 名女同学和 名男同学中选出 人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多 少种不同选法？（写出必要的过程，用数字作答） （1）男、女同学各 名； （2）男、女同学分别至少有 名； （3）在（2）的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出． 21．（12 分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等 品通过检测的概率为 ，现有 件产品，其中 件是一等品， 件是二等品． （1）随机选取 件产品，求能够通过检测的概率； （2）随机选取 件产品，其中一等品的件数记为 ，求 的分布列及数学期望． 5 4 4 2 1 2 3 10 6 4 1 3 X X22．（12 分）有一名高二学生盼望 年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均 可录取：① 年 月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从 年 月省数学竞赛一等 奖中选拔）：② 年 月自主招生考试通过并且达到 年 月高考重点分数线，③ 年 月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生 和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表： 若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是 ，若进入国家集训队， 则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试 或录取．（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） （1）求该学生参加自主招生考试的概率； （2）求该学生参加考试的次数 的分布列及数学期望； （3）求该学生被该校录取的概率． 2020 2020 2 2019 10 2020 3 2020 6 2020 6 0.2 X高三▪数学卷（B） 第 12 单元 概率与统计 答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】学生会的同学随机对 名同学进行调查，是简单随机抽样， 对年级的 名学生编号，由 到 ，请学号最后一位为 3 的同学参加调查，是系统抽样． 2．【答案】B 【解析】“至多一个红球”与“都是红球”是对立事件． 3．【答案】D 【解析】甲、乙得分的平均数均为 ，中位数均为 ，甲得分的方差明显比乙大． 4．【答案】C 【解析】由题意知： 的通项为 ， 令 ，得 ， 故 的系数为 ． 5．【答案】D 【解析】由回归方程为 ，知 随 的增大而增大， 所以 与 具有正的线性相关关系， 由最小二乘法建立的回归方程的过程知 ， 所以回归直线过样本点的中心 ，利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确． 6．【答案】D 【解析】由题意， ， ， ∵回归方程 的 约等于 ，∴ ， ∴ ，∴ ， 当 时， 万元． 7．【答案】B 【解析】由 ，可得有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”． 8．【答案】A 【解析】∵随机变量 服从正态分布 ，∴对称轴是 ， ∵ ， ． 9．【答案】C 【解析】这 天的 指数值的中位数是 ，故 A 不正确； 这 天中，空气质量为“优良”的有 ， ， ， ， ， 共 天，故 B 不正确； 从 日到 日，空气质量越来越好，故 C 正确； 这 天的 指数值的平均值约为 ，故 D 不正确． 10．【答案】B 【解析】设正方形 的边长为 ，则 ，∴ ， 因此所求概率为 ． 11．【答案】D 【解析】由题意结合排列组合公式可得随机选派 人参加围棋比赛的方法有 种， 而选出的 人中没有女队员的方法有 种， 结合古典概型计算公式可得：选出的 人中有女队员的概率为 ． 12．【答案】B 【解析】此人从小区 前往 的所有最短路径为： ， ， ， ， ， ，共 条， 记“此人经过市中心 ”为事件 ，则 包含的基本事件为： ， ， ， ，共 条， ∴ ，即他经过市中心的概率为 ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 24 240 001 240 13 13 5( 2)x − 5 5 2 1 55C ( ) ( 2) ( 2) C r r r r r r rT x x − − + = ⋅ ⋅ − = − 5 22 r− = 1r = 2x 1 52C 10− = − ˆ 0.85 85.71y x= − y x y x ˆ ( )y bx a bx y bx a y bx= + = + − = − ( , )x y 1 (1 2 4 5) 34x = + + + = 1 (10 26 35 49) 304y = + + + =  y bx a= + b 9 ˆ30 9 3 a= × + ˆ 3a = ˆ 9 3y x= + 6x = ˆ 9 6 3 57y = × + = 2 7.245 6.635K ≈ > 99% X 2(3, )N σ 3x = ( 5) 0.2P X ≥ = 1 2 ( 5) 1 0.45) 0( .61 P XP X< < = − ≥ = − = 12 AQI 95 104 99.52 + = 12 95 85 77 67 72 92 6 4 9 12 AQI 110 DEFC x 4 2 4 x x−= 4 3x = 24( ) 43 1 92 42 = × × 2 2 5C 2 2 3C 2 2 2 5 3 2 5 C C 10 3 7 C 10 10P − −= = = A H A B C E H→ → → → A B O E H→ → → → A B O G H→ → → → A D O E H→ → → → A D O G H→ → → → A D F G H→ → → → 6 O M M A B O E H→ → → → A B O G H→ → → → A D O E H→ → → → A D O G H→ → → → 4 4 2( ) 6 3P M = = 2 313．【答案】 【解析】由题意可知，该选手只闯过前两关的概率为 ． 14．【答案】 【解析】 ． 15．【答案】 【解析】设小明到达时间为 ，当 在 至 或 至 时， 小明等车时间不超过 分钟，故 ． 16．【答案】 【解析】若每户贫困家庭去一位老师，则有 种分配方法； 若有一户贫困家庭去两位老师，另一户贫困家庭去一位老师，则有 种分配方法， 所以共有 种不同的分配方法． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．【答案】（1）见解析；（2） ；（3） (小时)． 【解析】（1）散点图如图所示． （2）由表中数据得 ， ， ， ∴ ，∴ ， ∴ ． （3）将 代入回归直线方程，得 (小时)． 18．【答案】（1） ；（2） ；（3）应购买 个易损零件． 【解析】（1）当 时， （元）； 当 时， （元）， 所以 ． （2）由柱状图可知更换易损零件数的频率如表所示． 所以更换易损零件数不大于 的频率为 ， 更换易损零件数不大于 的频率为 ， 故 最小值为 ． （3）若每台都购买 个易损零件，则这 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为： （元）； 若每台都购买 个易损零件，则这 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为： （元）， 因为 ，所以购买 台机器的同时应购买 个易损零件． 19．【答案】（1）列联表见解析，有 的把握认为；（2） ． 【解析】（1）年轻人共有 人，中老年人共有 人． 所以 ， 故有 的把握认为是否关注“奥运会”与年龄段有关． （2）抽取的 位中老年人中有 人不关注，记为 ， ， ， ， 0.224 0.8 0.7 (1 0.6) 0.224P = × × − = 84− 5 2 5 2 7C 2 ( 1) 84a = × × − = − 1 2 y y 7 :50 8:00 8: 20 8:30 10 20 1 40 2P = = 60 3 4A 24= 1 2 3 4C A 36× = 60 ˆ 0.7 1.05y x= + 8.05 1 52.5 n i i i x y = =∑ 2 1 54 n i i x = =∑ 3.5x y= = 1 2 2 1 4 52.5 49 3.5ˆ 0.754 49 54 n i i i n i i x y xy b x x = = − −= = = =−− ∑ ∑ ˆˆ 1.05a y bx= − = ˆ 0.7 1.05y x= + 10x = ˆ 0.7 10 1.05 8.05y = × + = 3800, , 19 500 5700, , 19 x xy x x x ∈ ≤=  − ∈ > N N 19 19 19x ≤ 19 200 3800y = × = 19x > ( )19 200 19 500 500 5700y x x= × + − × = − 3800, , 19 500 5700, , 19 x xy x x x ∈ ≤=  − ∈ > N N 18 0.06 0.16 0.24 0.46 0.5+ + = < 19 0.06 0.16 0.24 0.24 0.70 0.5+ + + = > n 19 19 100 100 19 200 20 500 2 10 500 4000100 × × + × + × × = 20 100 100 20 200 10 500 4050100 × × + × = 4000 4050< 1 19 99.9% 3 5 2100 405 × = 3100 605 × = 2 2 100(30 40 10 20) 50 16.67 10.82840 60 50 50 3K × − ×= = ≈ >× × × 99.9% 6 4 1A 2A 3A 4A人关注，记为 ， ， 设“选取的 人中至少有 人关注奥运会”为事件 ． 从 人中选 人的选法有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种， 其中有 种情况满足题意， 故 ． 20．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1） （种）． （2） （种）． （3） （种）或 （种）． 21．【答案】（1） ；（2）分布列见解析， ． 【解析】（1）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 ， 事件 等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”， ∴ ． （2）由题可知 可能取值为 ， ， ， ， ， ， ， ， 则随机变量 的分布列为 ． 22．【答案】（1） ；（2）分布列见解析， ；（3） ． 【解析】（1）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为 ， ， 则 ， ， ， 即该学生参加自主招生考试的概率为 ． （2）该学生参加考试的次数 的可能取值为 ， ， ， ， ， ， 所以 的分布列为： ． （3）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分 数线录取的事件分别为 ， ， ， ， ， 所以该学生被该校录取的概率为 ． 2 1B 2B 2 1 A 6 2 1 2( , )A A 1 3( , )A A 1 4( , )A A 1 1( , )A B 1 2( , )A B 2 3( , )A A 2 4( , )A A 2 1( , )A B 2 2( , )A B 3 4( , )A A 3 1( , )A B 3 2( , )A B 4 1( , )A B 4 2( , )A B 1 2( , )B B 15 9 9 3( ) 15 5P A = = 2 2 4 5 4 4(C C ) A 1440⋅ ⋅ = 1 3 2 2 3 1 4 5 4 5 4 5 4 4(C C C C C C )A 2880⋅ + ⋅ + ⋅ = 2 1 1 2 4 4 4 3 3 4[120 (C C C C )]A 2376− + ⋅ + = 2 4 7 4(120 C )A 2376− = 13 15 9( ) 5E X = A A 6 4 2 13( ) 10 10 3 15P A = + × = X 0 1 2 3 3 0 4 6 3 10 C C 1( 0) C 30P X = = = 2 1 4 6 3 10 C C 3( 1) C 10P X = = = 1 2 4 6 3 10 C C 1( 2) C 2P X = = = 0 3 4 6 3 10 C C 1( 3) C 6P X = = = X 1 3 1 1 9( ) 0 1 2 330 10 2 6 5E X = × + × + × + × = 0.9 ( ) 3.3E X = 0.838 A B ( ) 0.5P A = ( ) 0.2P B = 1 ( ) ( ) 1 0.5 0.5 (1 0.2) 0.9P P A P AB= + = − + × − = 0.9 X 2 3 4 ( 2) ( ) ( ) 0.5 0.2 0.1P X P A P B= = = × = ( 3) ( ) 1 0.5 0.5P X P A= = = − = ( 4) ( ) ( ) 0.5 0.8 0.4P X P A P B= = = × = X ( ) 2 0.1 3 0.5 4 0.4 3.3E X = × + × + × = C D ( ) 0.1P AB = ( ) 0.9 0.6 0.9 0.486P C = × × = ( ) 0.9 0.4 0.7 0.252P D = × × = 2 ( ) ( ) ( ) 0.838P P AB P C P D= + + =